用無網格法求解彈性圓柱形薄殼

1、用無網格法求解彈性圓柱形薄殼第28卷第5期VoI.28No.52007青島理工大學JournalofQingdaoTechnologicalUniversity用無網格法求解彈性圓柱形薄殼徐斌,張偉星(青島理工大學a.土木工程學院;b.教務處,青島266033)摘要:無網格法的理論基礎是滑動最小二乘法,它只需節(jié)點信息而不需要劃分單元網格,它具有信息簡單,靈活性強,結果精確,收斂速度快等優(yōu)點.筆者將無網格法用于彈性柱形薄殼的數值求解,結果與理論解相比,其計算精度令人滿意.關鍵詞:無網格法;滑動最小二乘法;彈性圓柱形薄殼中圖分類號:O241文獻標志碼:A文章編號:1673-4602(2O07)O5

2、一O081一O5無網格法是一種新型的數值積分方法,它以滑動最小二乘法為基礎,形成一種非線性的插值函數.無網格法具有如下優(yōu)點:避免了大量單元網格劃分工作,并克服了有限元方法中由于場函數的局部變化近似所引起的誤差;為得到離散的線性方程組僅需對節(jié)點和邊界條件進行描述;場函數及其梯度在整個求解域內是連續(xù)的,無需尋找光滑梯度場的后處理過程.筆者將無網格法用于彈性圓柱形薄殼的求解計算,求解結果精度令人滿意.1滑動最小二乘法無網格法的數學基礎滑動最小二乘法.設場函數為U(X),其中X一(z,)為場點,給定U(X)在個結點上的值:U(X)一d,(i一1,2,3,)(1)根據滑動最小二乘法,場函數U(X)可以近

3、似為:u(x)一>:P,(x),(x)一P(x)(X)(2)其中:n(X)為m維系數向量;P(X)為m維基向量.對于二維情況P(X)可如下選取P(X)一E1,X,線性基m一3P(X)一E1,X,Y,X,xy,Y二次基m一6P(X)一E1,X,Y,X,xy,Y,X.,XY,xy,Y.三次基m一10令兒n(X)為近似場函數與已知點的值的誤差平方和,則J(x)一(x)EP(x)(x)一d;=0r其中:(x)為i節(jié)點的權函數在X點的取值,由最小二乘法可知一0即:(x)P(x)P(x)(x)=(x)P(x)i一1i=1上式可寫成矩陣形式:A(X)n(X)一B(X)d其中:A(X)為mm矩陣;B(X

4、)為m矩陣;d為維向量.收稿日期:2OO5112382青島理工大學第28卷A(x)一(U(x)P(x)P(x)n(x)i一1B(x)一cU(x)P(x),cU(x)P()=1d一(1,d2,d)n(X)一A(X)B(X)d將式(3)代人式(2)可得:u(x)一pr(x)A一(x)B(x)一lli(x)i=1其中:ni(x)=PJ(x)A一(x)B(x)一pr(x)A一(x)B(x)一yr(x)B(x).J=1上式中A(X)7(X)一P(X)向量y(X)可以通過對矩陣A(X)的LU分解而得到.2權函數(3)在無網格法中,權函數的選取非常重要,它直接關系到無網格法的計算精度,權函數的選擇要遵循以下

5、幾個原則引:(1)非負.(2)某節(jié)點的權函數應在自身取最大值,由近及遠逐漸衰減,且在某個影響半徑之外為0.(3)連續(xù)可導,以保證近似函數可導.遵照以上幾個原則,選取如下4次和5次樣條權函數cucr一一6+O8一3.c4次樣條權函數lOr>1,f4(1一lOr+20r.一15r4+4rs)r1(U(r)一J,l0r>1其中:rti/ro,llXXll為點X與節(jié)點X的距離;ro為節(jié)點i的影響半徑.3空間彈性柱形薄殼的無網格法控制方程4筆者所討論的殼為等厚度的薄殼.在殼體理論中采用Kirchhoff-Love基本假定.坐標放在中面的主曲率線和法線上,如圖1所示,則有Lame系數AB一1,

6、OA一OBo.(5次樣條權函數)圖1隨體坐標假設柱殼在方向的曲率為零,則有kz一0;在薄殼中,厚度t與中面曲率半徑R的比值,即t/Rkt與1相比是很小的數值,所以1+z可以用1來代替.殼體中任意一點的位移和應變可以用中面位移表示為:fU2iL撕Joz.一z品OO1,a一2.品.aaa母aa曰(4)(5)Za一第5期徐斌,等:用無網格法求解彈性圓柱形薄殼其中:三為殼體上任意一點的3個應變;為殼體中面M點沿p3個方向的位移.z為y方向上的點到殼體中面的距離.1100002M(6)由最dx-乘法原理可知,殼體中面上任意一點的位移可以通過該點影響域內的節(jié)點的函數擬合而得到.設殼體中面上任意一點的影響域

7、內有71個節(jié)點,節(jié)點的位移列陣為:一2,)根據滑動最小二乘法,場函數一一N為形函數矩陣:N=:=10N0N00廣l100N1I:JlI一其中:B一aN3a0aNa80aNfa8aN3aN0一d口.Nz0aN3a01aNI系統(tǒng)總勢能由00aN.a8aN:3a如下幾忌1Ni-z32NiaN.一aN一r,IzILL11J忌lN一z32NiaN一aN一部分組成:NNNWz一悶網,C一N00Nf00:8:aN.一zaN.一z1丌一丌+丌,+丌其中:丌,丌,丌分別為由應變,已知力,已知位移邊界約束所產生的勢能.(1)應變能:88i:8:8i8i:8:一B(8)(9)(10)17一/U一中其NOO84青島理

8、工大學第28卷一丟Q一丟f!fEBEDEBa(2)力勢能:丌,=-IIuqds一一jjEN1qds(3)位移邊界:采用罰函數法引入位移邊界條件.丌一丟一dr一(c一dr其中:為罰函數,可取為10.E一10E,E為彈性模量.根據線彈性問題的變分原理:平衡位移使系統(tǒng)總勢能取駐值,即8a:=0將式(11),式(12),式(13)代入式(10)中,并利用式(14)得到整體平衡方程:K一f其中:KlK11K21;K1K12K22:K2K1K2:Kf一(,)K一肌踟DBJd口+EcC,cLr一IEcqdS+IcT3dF士K,中的c對于固支邊界和簡支邊界分別為:C一Nf00N00aN一8N一N00N0l(簡

9、支邊)0Nl為了求解K,的積分值,在求解域上采用Guass積分.4實例分析設受有均勻內壓力q一10MPa的圓筒,如圖2所示,其壁厚t為0.O1m,半徑R為1m,長度z為0.2m,彈性模量E=210GPa,泊松比一0,試求其位移.采用柱面坐標,取圓柱殼的1/4進行計算,且采用均勻節(jié)點布置,如圖3,圖4所示.利用無網格法計算,由自編程序計算結果見表1,表2,表3.5結論(1)無網格法前處理簡單,節(jié)點布置靈活,但計算費時;(2)筆者采用罰函數法施加位移邊界條件,解決了位移邊界條件難以施加的難題;圖31/4圓柱殼(12)(13)(14)(15)圖2薄壁圓柱殼圖4節(jié)點均勻布置一=C者或,邊支固/第5期徐

10、斌,等:用無網格法求解彈性圓柱形薄殼85(3)由本文解和解析解的對比可以看出,無網格法求解柱形薄殼是合理可行的,而且精度較高,令人滿意;無網格法是一種新型的數值方法,筆者僅將其運用到特殊的彈性薄殼中,對于任意形狀的殼體,在任一狀態(tài)下的求解還需要進一步的研究.表1邊界自由的圓筒(mm)表2邊界簡支的圓筒(mm)表3邊界固支的圓筒(mm)參考文獻:Eli張雄,劉巖.無網格法EM:北京:清華大學出版社,2004.E2劉素貞,楊慶新,陳海燕.無單元法和有限元法的比較EJ.河北工業(yè)大學,2000,29(5):1821.3龐輝,張偉星.無網格法解拉普拉斯方程和泊松方程EJ.青島建筑工程學院,2000,21

11、(1):99105E41徐芝綸.彈性力學M.北京:高等教育出版社,1990.E5周維垣,寇曉東.無單元法及其工程應用EJ.力學,1998,30(2):193202.6王樂生,張偉星.邊界無單元法計算薄板彎曲問題EJ.青島理工大學,2006,27(4):121124.E7張偉星,龐輝.無網格法分析彈性地基板EJ.力學與實踐,2000,22(3):3841.E8張偉星,龐輝.雙參數彈性地基板計算新方法EJ.力學季刊,2000,21(2):262266.Applicationofelementfreemethodtos0lVeelasticcylindricalthinshellXUBin,ZHAN

12、GWeixing(a.SchoolofCivilEngenering;b.DeansOffice,QingdaoTechnologicalUniversity,Qingdao266033,China)Abstract:Themathematicalbasisofelementfreemethod(EFM)ismovingleastsquaresmethod(MLSM).EFMisagridlessmethodandrequiresonlynodes.ThekeyadvantagesofEFMareinsuperflexibility,accurateresults,highratesofcorcergence,andetc.InthispaperEFMisusedtosolvetheelasticcylindricalthinshel1.Numericalexamples