第14章_市場風險_VaR_歷史模擬法

1、第 14 章Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 20121市場風險市場風險 VaR: 歷史模擬法歷史模擬法1.1 歷史模擬法思路介紹歷史模擬法思路介紹 l總思路：以歷史數(shù)據(jù)為依據(jù)構(gòu)造未來的若干種情形，以到時預測將來的目的。l如何構(gòu)造各種情景：l第一個模擬場景是假設未來一天的市場所以變量變化同第一天的變化一樣。l （情景1）Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John

2、C. Hull 2012211,10nnvvvv1.1 歷史模擬法思路介紹歷史模擬法思路介紹（續(xù)）（續(xù)） l第二個模擬場景是假設未來一天的市場所以變量變化同第二天的變化一樣。 （情景2）l以此類推。 321,21nnvvvv1,11,1()()inininnnnnvvvivvvvv情 景情 景 n1.1 歷史模擬法思路介紹歷史模擬法思路介紹 （續(xù)）（續(xù)）l通過給予每一個情景同樣的概率（1/n）可以得到我們所關心的變量第n+1天可能值 的經(jīng)驗分布。 最后通過經(jīng)驗分布計算其風險價值度VaRRisk Management and Financial Institutions 3e, Chapter

3、14, Copyright John C. Hull 201241nv1.2 擬合過程說明擬合過程說明Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 20125l1.2.0，以DJIA2008年9月25日為例說明情景如何構(gòu)造l求：投資9月26日99%的VaR？DayDateDJIADayDateDJIA0Aug 7, 2006 11,219.383Aug 10, 200611,124.371Aug 8, 2006 11,173.594Aug 11, 2006 11,088.022

4、Aug 9, 2006 11,076.185Aug 14, 200611,097.87.497Sep 19 200811,388.44499Sep 24, 2008 10,825.17498Sep 22, 200811,015.69500Sep 25, 2008 11,022.061.2 擬合過程說明擬合過程說明Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 20126l例： 2008年9月25日有如下的投資l求：投資9月26日99%的VaR？IndexAmount Invest

5、ed ($000s)DJIA 4,000FTSE 100 3,000CAC 40 1,000Nikkei 225 2,000Total10,000 1.2 擬合過程說明擬合過程說明注：表中股票指數(shù)以美元計價7l采用歷史模擬法，我們需要哪些數(shù)據(jù)？DayDateDJIAFTSE CAC 40Nikkei 0Aug 7, 2006 11,219.3811,131.84 6,373.89131.771Aug 8, 2006 11,173.5911,096.28 6,378.16134.382Aug 9, 2006 11,076.1811,185.35 6,474.04135.943Aug 10, 20

6、06 11,124.3711,016.71 6,357.49135.44.499Sep 24, 2008 10,825.179,438.58 6,033.93114.26500Sep 25, 2008 11,022.069,599.90 6,200.40112.821.2.1 第一步由歷史數(shù)據(jù)構(gòu)造情景第一步由歷史數(shù)據(jù)構(gòu)造情景Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 20128情景編號DJIAFTSECACNikkei投資組合價值損失110,977.089,569.236,2

7、04.55115.0510,014.334-14.334210,925.979,676.966,293.60114.1310,027.481-27,481311,070.019,455.166,088.77112.409,946.73653,264.49910,831.439,383.496,051.94113.859,857.465142.53550011,222.539,763.976,371.45111.4010,126.439-126.43938.219,1159.173,1106.022,111.2.2 把構(gòu)造的損失進行排序把構(gòu)造的損失進行排序Risk Management and

8、Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 20129情景編號損失 ($000s)494477.841339345.435349282.204329277.041487253.385227217.974131205.256從上表可以得知：1天 99%的 VaR=$253,3852.1 關于關于VaR的精確度的精確度l在歷史模擬法中，對于交易組合價值變化分布的計算是基于過去發(fā)生的有限的觀察值，正因如此，歷史模擬法對于分布的分位數(shù)的估計并不是絕對準確。l肯德爾（Kendall）及斯圖爾特（Stuart）的研究成果給出了

9、由抽樣數(shù)據(jù)計算出的概率分布的分位數(shù)的置信區(qū)間。Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 2012102.1 VaR的估計量的標準差的估計量的標準差 假定概率分布的第 q 個分位數(shù)的估計值為 x ，n 為觀察值的個數(shù)，這一估計的標準差為其中，f(x) 為對應于損失量為 x 的損失分布的密度函數(shù)值，這一函數(shù)值可以通過將經(jīng)驗數(shù)據(jù)與標準分布進行匹配來估計。nqqxf)1 ()(1Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapt

10、er 14, Copyright John C. Hull 2012112.2 例例14.1l假如采用歷史模擬法從500個觀測值中求取的0.99分位數(shù)的估計值為 2 500萬美元l我們可以采用標準分布來對經(jīng)驗分布進行匹配，并由此求得f(x)的近似值。假定經(jīng)驗分布服從正態(tài)分布，其期望值為0，標準差為1 000萬美元l在Excel中，0.99分位數(shù)所對應的數(shù)值為NORMINV(0.01,0,10) = 2 326 萬(美元)， f(x) 的數(shù)值為NORMDIST(23.26,0,10,FALSE)=0.0027l因此，0.99分位數(shù)估計值的標準差為Risk Management and Finan

11、cial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 20121267. 150099. 001. 00027. 013.歷史模擬法的擴展形式歷史模擬法的擴展形式l歷史模擬法的一個關鍵假設過去幾年的收益率是同分布（即分布是靜止不變的）l但是市場變量并非靜態(tài)，有時市場的波動率會很高，有時很低。l因此，有必要進行改進。Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 2012133.1 對觀測值設定權(quán)重（對最后一對觀測值設定權(quán)

12、重（對最后一步進行改進）步進行改進）l一種較為自然的權(quán)重選擇是使地權(quán)重隨時 間回望期的延伸而按指數(shù)速度遞減l將所有的觀察值由最壞到最好進行排序l由損失最壞的情形開始，我們開始累積計算每一項權(quán)重的和，當權(quán)重總和達到某指定分位數(shù)界限時，停止計算Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 201214(1)1n in 3.1.1 將新方法用于上述例將新方法用于上述例Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14,

13、Copyright John C. Hull 201215情景編號($000s)權(quán)重累積權(quán)重494477.8410.005280.00528339345.4350.002430.00771349282.2040.002550.01027329277.0410.002310.01258487253.3850.005100.01768227217.9740.001390.01906131205.2560.000860.01992令=0.995，使用新方法可得 1天 99%的 VaR=$282,204.3.2 擴展擴展 2-考慮波動率的更新考慮波動率的更新l將市場變量波動率的更新模式，與歷史模擬法并

14、用。l假定第 i 天的波動率是第 i-1 天波動率的兩倍，因此可以預見今天到明天的變化量也應該是從第i - 1 天到第i 天變化量的兩倍。l市場變量在第 i 個情形會變成Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 2012161111/)(iiniiinvvvvv3.2.1 在在4指數(shù)例子中，利用指數(shù)例子中，利用EWMA模型模型估計出的波動率估計出的波動率(% 每天每天)Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapte

15、r 14, Copyright John C. Hull 201217DayDateDJIAFTSE CAC 40Nikkei 0Aug 7, 20061.111.421.401.381Aug 8, 20061.081.381.361.432Aug 9, 20061.071.351.361.413Aug 10, 20061.041.361.391.37.499Sep 24, 20082.213.283.111.61500Sep 25, 20082.193.213.091.59經(jīng)波動率調(diào)節(jié)的經(jīng)波動率調(diào)節(jié)的500個個情景情景的的、 由高到低由高到低進行排序后的損失進行排序后的損失Risk Mana

16、gement and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 201218情景編號損失($000s)1311,082.969494 715.512227 687.720 98 661.221329 602.968 339 546.54074 492.7643.3 采用自助法計算估計值置信區(qū)間采用自助法計算估計值置信區(qū)間l假定有500個數(shù)據(jù)l我們可以采用再替換的形式對數(shù)據(jù)進行抽樣500000次，由此可以 產(chǎn)生1000組500天的數(shù)據(jù)，對于每一組數(shù)據(jù)我們可以進行VaR的運算l對于計算值我們從小到大 進行排列，假如名

17、列第25位的值為530萬美元，名列第475位的值為890萬美元，那么對應于95%置信水平的置信區(qū)間為530萬890萬l這就是統(tǒng)計自助法Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 2012194.計算問題計算問題l為了避免交易組合價值的多次重復計算，金融機構(gòu)有時會使用 delta/gamma 近似方法l當一個產(chǎn)品的價格 P 依賴于單一市場變量, S, 由 S 的變化而引起的價格變化可近似估計為Risk Management and Financial Institutions

18、3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 2012202)(21SSP5. 極值理論極值理論l極值理論可以描述一個變量 x 的經(jīng)驗概率分布的右尾部狀態(tài). (如果要描述左尾部狀態(tài)，我們可以使用變量 x.）l我們先選擇右端尾部的一個數(shù)值 ul我們可以使用 Gnedenko 的結(jié)論：隨著分布 u 的增加， 趨向于廣義Pareto分布。Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 201221)(1)()()(uFuFyuFyFu)(yFu廣義廣義P

19、areto 分布分布Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 201222l廣義Pareto 分布有兩個參數(shù) x (有關分布的形狀) 和 b (分布的規(guī)模因子)l廣義Pareto 分布的累計分布函數(shù)為xbx/111y參數(shù)參數(shù)的的最大似然估計最大似然估計xbxbuniiuv11/1)(11lnRisk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 201223l我們將所

20、有大于 u 的觀察值 xi,按從大到小進行排序。假設有 nu 個觀測值比 u 大。l我們采用使得 最大的x 和 b 作為最大似然法估 計的參數(shù)對對4指數(shù)的例子使用最大似然估計指數(shù)的例子使用最大似然估計法法, u=160Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 201224情景編號損失($000s)排序494477.8411 -8.97339345.4352 -7.47349282.2043 -6.51329277.0414 -6.42487253.3855 -5.99304160.77822 -3.71總計-108.37bxbx1/1)(11lnuvi尾部概率尾