第5講二次根式及其運(yùn)算

1、第一篇數(shù)與代數(shù)第一章數(shù)與式第5講二次根式及其運(yùn)算(a0).1二次根式的有關(guān)概念a2.二次根式的性質(zhì) 2a aa2 ababbaba 0a-a3.二次根式的運(yùn)算最簡(jiǎn)二次根式 相同 abba 乘除 abba)0a (a 1(2013宜賓)二次根式 的值是 ( ) A3 B3或3 C9 D32(2015武漢)若代數(shù)式 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是 ( ) Ax-2 Bx-2 Cx2 Dx23下列運(yùn)算正確的是 ( ) A. 5 B 1 C. 9 D. 6DCD232x 25218273423244一個(gè)正方形的面積是15，估計(jì)它的邊長(zhǎng)大小在 ( ) A2與3之間 B3與4之間 C4與5之間 D5

2、與6之間5(1)(2015黃岡)計(jì)算： (2)(2015長(zhǎng)沙)把 進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到的最簡(jiǎn)結(jié)果是 （結(jié)果保留根號(hào)）B 218222 _2222【問(wèn)題】下列各式已給出計(jì)算結(jié)果： ； 3； ； 4(1)其中正確的是_；(2)對(duì)于錯(cuò)誤的結(jié)果，請(qǐng)給出正確答案；(3)通過(guò)以上的解答，聯(lián)想二次根式有哪些性質(zhì)、運(yùn)算法則？【解析】(1)；(2) ， 3， 2； (3)主要從二次根式性質(zhì)、運(yùn)算法則方面去思考【歸納】通過(guò)開(kāi)放式問(wèn)題，歸納、疏理二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則28623326282282823類型一平方根、算術(shù)平方根、立方根類型一平方根、算術(shù)平方根、立方根例例1 1 (1)(2015黃岡)9的平方根是 () A

3、3 B C3 D3 (2)(2015湖州)4的算術(shù)平方根是 () A2 B2 C2 D. (3)(2015荊門(mén))64的立方根是 () A4 B4 C8 D831 2【思路分析】(1)9的平方根是： 3；(2)因224， 根據(jù)算術(shù)平方根的定義即可得4的算術(shù)平方根是2；(3)因4的立方等于64，故64的立方根等于4. 【答案】(1)A；(2)B；(3)A【解后感悟】一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根；注意算術(shù)平方根易與平方根的概念混淆而導(dǎo)致錯(cuò)誤；開(kāi)立方和立方互為逆運(yùn)算是解題的關(guān)鍵91(1)(2015南京)4的平方根是 ；4的算術(shù)平方根是 (2)如果一個(gè)正數(shù)的平方根

4、為a1和2a7，則這個(gè)數(shù)為 . 2 29類型二二次根式的有關(guān)概念與性質(zhì)類型二二次根式的有關(guān)概念與性質(zhì)例2(1)(2013婁底)式子 有意義的x的取值范圍是 ()Ax 且x1 Bx1Cx Dx 且x1 112xx212121【答案】(1)根據(jù)題意得，2x10且x10，解得x 且x1.故選A. (2) ， ， ，可得：k3，m2，n5，則mkn. 故選D. (2)(2013臺(tái)灣)k、m、n為三整數(shù)，若 ， ， ，則下列有關(guān)于k、m、n的大小關(guān)系，何者正確 () Akmn Bmnk Cmnk Dmkn15135k215450 n6180 【思路分析】(1)根據(jù)被開(kāi)方數(shù)大于等于0，分母不等于0列式進(jìn)行

5、計(jì)算即可得解(2)根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)得到k，m及n的值，即可作出判斷21153135 m15450 56180 【解后感悟】(1)此類有意義的條件問(wèn)題主要是根據(jù)：二次根式的被開(kāi)方數(shù)大于或等于零；分式的分母不為零列不等式組，轉(zhuǎn)化為求不等式組的解集(2)此題根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，是解本題的關(guān)鍵1(2013廣東)的平方根是 是最簡(jiǎn)二次根 式，則最小的正整數(shù)a= 2(2013廣東)若實(shí)數(shù)a、b滿足 ，則 3(2013曲靖)若整數(shù)x滿足|x|3，則使 為整數(shù)的x的值是 (只需填一個(gè))【解析】|x|3，3x3，當(dāng)x2時(shí)， x3時(shí)， ，故使 為整數(shù)的x的值是2或3(填寫(xiě)一個(gè)即可)5a3 21042ba

6、ba2x72. 3)2(77 x2377 xx7類型三二次根式的運(yùn)算與求值類型三二次根式的運(yùn)算與求值例3 (1)(2013包頭)計(jì)算： ； (2)(2013泰安)化簡(jiǎn)： 【思路分析】(1)先進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)，然后合并同類二次根式即可(2)根據(jù)二次根式的乘法運(yùn)算法則以及絕對(duì)值的性質(zhì)和二次根式的化簡(jiǎn)分別化簡(jiǎn)整理得出即可【答案】(1)原式 ， 故答案為： ； =-6. 故答案為：6.221383624)32(3223222322223)63(62363624)32(3(2) .5(2013泰州)下列計(jì)算正確的是 ( ) A B. 6(2014臺(tái)灣)算式 之值為( ) A B C D7(1)(計(jì)算)

7、( 3)2016( 3)2015= . (2)(2015南京)計(jì)算 的結(jié)果是 . 【解后感悟】(1)二次根式的加減運(yùn)算，關(guān)鍵是掌握二次根式的化簡(jiǎn)及同類二次根式的合并；(2)二次根式的混合運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵CD133345322212CD 252233)15106(42251213122181010310 3155 5 類型四二次根式的大小比較例4 已知甲、乙、丙三數(shù)，甲5 ，乙3 ，丙1 ，則甲、乙、丙的大小關(guān)系，下列何者正確() A丙乙甲 B乙甲丙 C甲乙丙 D甲乙丙【思路分析】本題可利用“夾逼法”，先估算無(wú)理數(shù) ， ， 的整數(shù)部分，繼而也可得出甲、乙、丙的取值范圍，進(jìn)而可以比

8、較其大小【答案】3 4，85 9，8甲9.4 5，73 8，7乙8.4 5，51 6，5丙6.丙乙甲故選A.15171915191791516151617251716192519【解后感悟】比較兩個(gè)二次根式大小時(shí)要注意：(1)負(fù)號(hào)不能移到根號(hào)內(nèi)；(2)根號(hào)外的正因數(shù)要平方后才能從根號(hào)外移到根號(hào)內(nèi)8(1)(2015嘉興)與無(wú)理數(shù) 最接近的是 ( ) A4 B5 C6 D7 (2)(2015杭州)若k k+1(k是整數(shù))， 則k= （ ） A6 B7 C8 D99 (填“”、“”或“”)C312152190D類型五二次根式的綜合型問(wèn)題例5 已知實(shí)數(shù)x，y滿足 0，則以x，y的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形

9、的周長(zhǎng)是() A20或16 B20 C16 D以上答案均不對(duì)84yx【思路分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的意義列出關(guān)于x、y的方程并求出x、y的值，再根據(jù)x是腰長(zhǎng)和底邊長(zhǎng)兩種情況討論求解【答案】由 0得，x40，y80，即x4，y8.(1)若4是腰長(zhǎng)，則三角形的三邊長(zhǎng)為：4、4、8，不能組成三角形；(2)若4是底邊長(zhǎng)，則三角形的三邊長(zhǎng)為：4、8、8，能組成三角形，周長(zhǎng)為48820.故選B.84yx【解后感悟】(1)常見(jiàn)的非負(fù)數(shù)有三種形式：|a|， ，a2. (2)若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于零，則這幾個(gè)數(shù)都為零10觀察分析下列數(shù)據(jù)，尋找規(guī)律：0， ， ，3，2 ，那么第10個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)是 11若y x3，則10 x2y

10、的平方根為 ；12已知x 1，y 1，求下列各式的值： (1)x22xyy2；(2)x2y2.a363336xx366333【答案】因?yàn)閤 1，y 1，所以xy ，xy2.則(1)x22xyy2(xy)2( )212.(2)x2y2(xy)(xy)4 .3332323【探索規(guī)律題】(2014資陽(yáng))如圖，以O(shè)(0，0)、A(2，0)為頂點(diǎn)作正OAP1，以點(diǎn)P1和線段P1A的中點(diǎn)B為頂點(diǎn)作正 P1BP2，再以點(diǎn)P2和線段P2B的中點(diǎn)C為頂點(diǎn)作 P2CP3，如此繼續(xù)下去，則第六個(gè)正三角形 中，不在第五個(gè)正三角形上的頂點(diǎn)P6的坐標(biāo)是_【分析與解】每一個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)都是上個(gè)三角形的邊長(zhǎng)的 ，第六個(gè)正三

11、角形的邊長(zhǎng)是 ，故頂點(diǎn)P6的橫坐標(biāo)是 ，P5縱坐標(biāo)是 ， P6的縱坐標(biāo)為 ， 故答案為：( )211613263835834333232132383532321,3263【方法與對(duì)策】根據(jù)O(0，0)A(2，0)為頂點(diǎn)作OAP1，再以P1和P1A的中B為頂點(diǎn)作P1BP2，再以P2和P2B的中C為頂點(diǎn)作P2CP3，如此繼續(xù)下去，結(jié)合圖形求出點(diǎn)P6的坐標(biāo)本題由特殊到一般的規(guī)律解題是鍵，這 類題型是中考的熱點(diǎn)【二次根式的化簡(jiǎn)符號(hào)不明確】下列各式中，正確的是 () A. 3 B 3 C. 3 D. 3【分析】本題是算術(shù)平方根的計(jì)算，其實(shí)質(zhì)就是對(duì)一個(gè)非負(fù)數(shù)進(jìn)行開(kāi)平方的運(yùn)算本題是常見(jiàn)的易錯(cuò)題之一，解題的關(guān)鍵是明確其中的符號(hào)問(wèn)題，可采用先計(jì)算被開(kāi)方數(shù)，再進(jìn)行開(kāi)方23232323【正解】 ，選項(xiàng)A錯(cuò)誤； ，選項(xiàng)C錯(cuò)誤； ，選項(xiàng)D 錯(cuò)誤故選B.3393223