212求曲線的方程

1、12.1 12.1 求曲線的方程求曲線的方程復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)1.1.什么是曲線的方程和方程的曲線什么是曲線的方程和方程的曲線. .答答: :一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C C上上的點與一個二元方程的點與一個二元方程 F(xF(x，y)=0y)=0的實數(shù)解建立的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：了如下的關(guān)系：（1 1）曲線）曲線 C C 上的點的坐標(biāo)都是方程上的點的坐標(biāo)都是方程 F(xF(x，y)=0 y)=0 的解的解, ,（2 2）以方程）以方程F(xF(x，y)=0 y)=0 的解為坐標(biāo)的點都是曲線的解為坐標(biāo)的點都是曲線 C C 上上 的點，的點， 那么方程那么方程

2、 F(x，y)=0 叫做曲線叫做曲線 C 的方程；的方程； 曲線曲線 C 叫做方程叫做方程 F(x，y)=0 的曲線（圖形）。的曲線（圖形）。復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)2 2坐標(biāo)法和解析幾何的本質(zhì)、基本問題坐標(biāo)法和解析幾何的本質(zhì)、基本問題坐標(biāo)法坐標(biāo)法對于一個幾何問題，在建立直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，用坐標(biāo)表示對于一個幾何問題，在建立直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，用坐標(biāo)表示點，用方程表示曲線，通過研究方程的性質(zhì)間接地來研究曲線的性質(zhì)，點，用方程表示曲線，通過研究方程的性質(zhì)間接地來研究曲線的性質(zhì)，這一研究幾何問題的方法稱為坐標(biāo)法。這一研究幾何問題的方法稱為坐標(biāo)法。解析幾何的本質(zhì)解析幾何的本質(zhì)用代數(shù)的方法來研究幾何問題。用代數(shù)的方法

3、來研究幾何問題。解析幾何的兩大基本問題解析幾何的兩大基本問題（1 1）根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程。（由曲線來求出方程）根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程。（由曲線來求出方程）（2 2）通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)。（由方程來研究曲線）通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)。（由方程來研究曲線）如何根據(jù)已知條件，求出曲線的方程如何根據(jù)已知條件，求出曲線的方程問題：問題：【例題引路】例題引路】 例、如圖，已知兩定點例、如圖，已知兩定點P（-1，0）和）和Q（3，0），），求到點求到點P和和Q的距離的平方和是的距離的平方和是16的點的軌跡方程的點的軌跡方程.解解: :設(shè)設(shè)M(x,yM(x,y) )

4、為所求軌跡上的任意一點，則有為所求軌跡上的任意一點，則有 由兩點間的距離公式，由兩點間的距離公式， 得得 化簡，得化簡，得 （1 1） 由上述推導(dǎo)過程可知，所求的軌跡上的任意由上述推導(dǎo)過程可知，所求的軌跡上的任意一點的坐標(biāo)都滿足方程（一點的坐標(biāo)都滿足方程（1 1）。）。1 16 6| |MMQ Q| | |MMP P| |2 22 21 16 6 y y3 3) )( (x x y y1 1) )( (x x 2 22 22 22 22 22 20 03 32 2x xy yx x2 22 21PQMO就就是是所所求求的的軌軌跡跡方方程程. .綜綜上上所所述述，方方程程( (1 1) ) 點點

5、都都在在這這一一軌軌跡跡上上. .坐坐標(biāo)標(biāo)滿滿足足方方程程( (1 1) )的的這這就就是是說說, , 1 16 6. .1 12 24 4x x4 44 4x x| |N NQ Q| | |N NP P| |所所以以，1 12 2. .4 4x x3 32 2x xx x3 3) )( (x xy y3 3) )( (x x| |N NQ Q| |4 4, ,4 4x x3 32 2x xx x1 1) )( (x xy y1 1) )( (x x| |N NP P| |的的距距離離的的平平方方于于是是，點點N N到到點點P P，Q Q3 3, ,2 2x xx x即即y y) )滿滿足足方

6、方程程( (1 1) )，y y, ,( (x x反反過過來來，設(shè)設(shè)點點N N的的坐坐標(biāo)標(biāo)1 11 12 22 21 11 12 21 12 21 12 22 21 12 21 12 21 11 12 21 12 21 12 22 21 12 21 12 21 12 21 12 21 11 11 1求曲線方程的基本步驟求曲線方程的基本步驟: 1. 1.建建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，并用坐標(biāo)表示點；立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，并用坐標(biāo)表示點； 2. 2.設(shè)設(shè)出曲線上任意一點出曲線上任意一點M M的坐標(biāo)；的坐標(biāo)； 3. 3.寫出寫出限限制條件制條件p p的點的點M M的集合的集合P=M/P=M/p(Mp(M)；

7、 4. 4.把坐標(biāo)把坐標(biāo)代代入條件入條件p(Mp(M),),列出方程列出方程f(x,yf(x,y)=0)=0 5.5.化化方程方程f(x,yf(x,y)=0)=0為最簡形式；為最簡形式； 6. 6.說明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上。說明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上。 上述五個步驟可簡記為：上述五個步驟可簡記為： 1 1、建；、建；2 2、設(shè)；、設(shè)；(3(3、限；、限；)4)4、代；、代；5 5、化、化.B例例2、動點、動點M與距離為與距離為2a的兩個定點的兩個定點A，B的連線的連線的斜率之積等于的斜率之積等于-1/2，求動點，求動點M的軌跡方程。的軌跡方程。.AM解解:如圖

8、如圖,以直線以直線AB為為x軸軸,線段線段AB的垂直平分線的垂直平分線為為y軸軸,建立平面直角坐標(biāo)系，則建立平面直角坐標(biāo)系，則A(-a,0),B(a,0)。 設(shè)設(shè)M(x,y)是軌跡上的任意一點，則是軌跡上的任意一點，則) 1 (a a) )( (x xa a2 2y yx x: :化化簡簡，得得. .2 21 1a ax xy ya ax xy y, ,2 21 1k kk ka a) )( (x x, ,a ax xy yk k, ,a ax xy yk k2 22 22 2M MB BM MA AM MB BM MA A由上可知，動點由上可知，動點M的軌跡上的任一點的坐標(biāo)都滿足方程的軌跡上

9、的任一點的坐標(biāo)都滿足方程（1）；容易證明，以方程（）；容易證明，以方程（1）的解為坐標(biāo)的點都在軌）的解為坐標(biāo)的點都在軌跡上。所以，方程（跡上。所以，方程（1）就是動點）就是動點M的軌跡方程。的軌跡方程。建立坐標(biāo)系的一般規(guī)律建立坐標(biāo)系的一般規(guī)律:1 1、若有、若有兩條垂直的直線，則以該二直線為坐標(biāo)軸；兩條垂直的直線，則以該二直線為坐標(biāo)軸；2 2、若有、若有對稱圖形，則以對稱圖形的對稱軸為坐標(biāo)軸，對稱圖形，則以對稱圖形的對稱軸為坐標(biāo)軸， 對稱中心為坐標(biāo)原點；對稱中心為坐標(biāo)原點；3 3、若有、若有已知長度的線段，則以線段所在直線為坐標(biāo)軸，已知長度的線段，則以線段所在直線為坐標(biāo)軸， 線段的端點或中點為

10、坐標(biāo)原點。線段的端點或中點為坐標(biāo)原點。4 4、讓盡量多的已知點在所建的坐標(biāo)軸上。、讓盡量多的已知點在所建的坐標(biāo)軸上。練練 習(xí)習(xí)2.求到求到F(2，0)和和Y軸的距離相等的動點的軸的距離相等的動點的 軌跡方程軌跡方程.3.在三角形在三角形ABC中中,若若|BC|=4,BC邊上的中線邊上的中線AD的長為的長為3,求點求點A的軌跡方程的軌跡方程.y2=4(x-1)x2+y2=9(y0)1.已知定點已知定點A(0，-1)，動點動點P在曲線在曲線y=2x2+1 上移動，則線段上移動，則線段AP的中點的軌跡方程是的中點的軌跡方程是:_1. 到到F(2，0)和和Y軸的距離相等的動點的軸的距離相等的動點的 軌

11、跡方程是軌跡方程是:_ 解解:設(shè)動點為設(shè)動點為(x，y)，則由題設(shè)得則由題設(shè)得| |x x| |y y2 2x x2 22 2化簡得化簡得:y2=4(x-1)這就是所求的軌跡方程這就是所求的軌跡方程. .2. 在三角形在三角形ABC中，若中，若|BC|=4，BC邊上的邊上的中線中線AD的長為的長為3，求點，求點A的軌跡方程的軌跡方程.設(shè)設(shè)A(xA(x，y)y)，又又D(0D(0，0)0)，所以所以3 3y yx x| |A AD D| |2 22 2化簡得化簡得 : :x x2 2+y+y2 2=9 (y0)=9 (y0)解解: :取取B B、C C所在直線為所在直線為X X軸，線段軸，線段B

12、CBC的中垂線為的中垂線為Y Y軸，軸，建立直角坐標(biāo)系。建立直角坐標(biāo)系。這就是所求的軌跡方程這就是所求的軌跡方程. .小小 結(jié)結(jié) 1 1、明確解析幾何中的兩大基本問題、明確解析幾何中的兩大基本問題; ; 2 2、熟練掌握求曲線方程的基本步驟、熟練掌握求曲線方程的基本步驟; ; 反反 思思 在求軌跡方程的問題中，如果化簡方程的過在求軌跡方程的問題中，如果化簡方程的過程是同解變形程是同解變形. .則由此所得的最簡方程就是所求曲則由此所得的最簡方程就是所求曲線的方程線的方程; ; 如果化簡過程不是同解變形，所求得的方程如果化簡過程不是同解變形，所求得的方程就不一定是所求曲線的方程就不一定是所求曲線的方程 . .此時，應(yīng)該通過調(diào)此時，應(yīng)該通過調(diào)整整x x，y y的取值范圍來去偽的取值范圍來去偽( (去偽存真去偽存真) )或補(bǔ)缺或補(bǔ)缺( (查漏補(bǔ)查漏補(bǔ)缺缺) )，使得化簡前后的方程保持等價，使得化簡前后的方程保持等價. . 三角形三角形ABC中，中，ab，且且c=(a+b)/2，若頂若頂點點A(-1，0)，B(1，0)，求頂點求頂點C的軌跡方程的軌跡方程.練練 習(xí)習(xí) 2 2歸納歸納: :本題具有隱含條件本題具