必修5_第一章_正弦定理和余弦定理_知識點及典型例題

1、必修 5_第一章_正弦定理和余弦定理_知識點及典型例題-作者 xxxx-日期 xxxx【精品文檔】【精品文檔】正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理要點梳理要點梳理1正弦定理正弦定理其中其中 R 是是三角形外接圓的半徑由正弦定理可以變形為：三角形外接圓的半徑由正弦定理可以變形為：(1)abcsin Asin Bsin C；(2)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(3)sin Aa2R，sin Bb2R，sin Cc2R等形式，以解決不同的三角形問題等形式，以解決不同的三角形問題2三角形面積公式三角形面積公式SABC12absin C12bcsin A12acsin Babc4

2、R12(abc)r(r 是三角形內(nèi)切圓的半徑是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并，并可由此計算可由此計算 R、r.3余弦定理：余弦定理：222222222abc2bccos Abac2accos Bcab2abcos C ， ， .余弦定理可以變形為：余弦定理可以變形為：cos A222bca2bc，cos B222acb2ac，cos C222abc2ab.4在解三角形時，正弦定理可解決兩類問題：在解三角形時，正弦定理可解決兩類問題：(1)已知兩角及任一邊，求其它邊或角；已知兩角及任一邊，求其它邊或角；(2)已知兩邊及一邊的對角，求其它邊或角已知兩邊及一邊的對角，求其它邊或角情況情況(2)中結果可能有

3、一解、二解、無解，應注意區(qū)分中結果可能有一解、二解、無解，應注意區(qū)分余弦定理可解決兩類問題：余弦定理可解決兩類問題：(1)已知兩邊及夾角或兩邊及一邊對角的問題；已知兩邊及夾角或兩邊及一邊對角的問題；(2)已知三邊問題已知三邊問題基礎自測基礎自測1在在ABC 中，若中，若 b1，c 3，C23，則，則 a 1.2已知已知ABC 的內(nèi)角的內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別為的對邊分別為 a，b，c，若，若 c 2，b 6，B120，則，則 a_.3在在ABC 中，若中，若 AB 5，AC5，且，且 cos C910，則，則 BC 4 或或 5 .4已知圓的半徑為已知圓的半徑為 4，a、b、c 為該圓的內(nèi)

4、接三角形的三邊，若為該圓的內(nèi)接三角形的三邊，若 abc16 2，則三角形的面積為，則三角形的面積為(C)A2 2B8 2C. 2D.222sinsinsinabcRABC2【精品文檔】【精品文檔】題型分類題型分類深度剖析深度剖析題型一題型一利用正弦定理求解三角形利用正弦定理求解三角形例例 1 1在在ABCABC中，中，a a 3 3，b b 2 2，B B4545. .求角求角A A、C C和邊和邊c c. .思維啟迪思維啟迪 已知兩邊及一邊對角或已知兩角及一邊，可利用正弦定理解這個三角形，但要注意已知兩邊及一邊對角或已知兩角及一邊，可利用正弦定理解這個三角形，但要注意解的判斷解的判斷解解:由

5、正弦定理得由正弦定理得asin Absin B，3sin A2sin 45，sin A32.ab，A60或或 A120.當當 A60時，時，C180456075，cbsin Csin B6 22；當當 A120時，時，C1804512015，cbsin Csin B6 22.探究提高探究提高(1)(1)已知兩角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可已知兩角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可(2)(2)已知兩邊和一邊對角，解三角形時，利用正弦定理求另一邊的對角時要注意討論該角，這是解題的難已知兩邊和一邊對角，解三角形時，利用正弦定理求另一邊的對角時

6、要注意討論該角，這是解題的難點，應引起注意點，應引起注意變式訓練變式訓練 1 已知已知 a，b，c 分別是分別是ABC 的三個內(nèi)角的三個內(nèi)角 A，B，C 所對的邊，若所對的邊，若 a1，b 3，AC2B，則則A6解析解析AC2B，B3.由正弦定理知由正弦定理知 sin Aasin Bb12.題型二題型二利用余弦定理求解三角形利用余弦定理求解三角形例例 2在在ABC 中，中，a、b、c 分別是角分別是角 A、B、C 的對邊，且的對邊，且cos Bcos Cb2ac.（1）求角求角 B 的大?。坏拇笮。?2)若若 b 13，ac4，求，求ABC 的面積的面積解解(1)由余弦定理知：由余弦定理知：c

7、os Ba2c2b22ac，cos Ca2b2c22ab.將上式代入將上式代入cos Bcos Cb2ac得：得：a2c2b22ac2aba2b2c2b2ac，整理得：整理得：a2c2b2ac. cos Ba2c2b22acac2ac12.B 為三角形的內(nèi)角，為三角形的內(nèi)角，B23.(2)(2)將將b b 1313，a ac c4 4，B B2 23 3代入代入b b2 2a a2 2c c2 22 2acaccoscosB B，得，得b b2 2( (a ac c) )2 22 2acac2 2acaccoscosB B，13131616【精品文檔】【精品文檔】2 2acac1 11 12

8、2 ，acac3.3.S SABCABC1 12 2acacsinsinB B3 3 3 34 4. .探究提高探究提高(1)(1)根據(jù)所給等式的結構特點利用余弦定理將角化邊進行變形是迅速解答本題的關鍵根據(jù)所給等式的結構特點利用余弦定理將角化邊進行變形是迅速解答本題的關鍵(2)(2)熟練運用余弦定理及其推論，同時還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運用熟練運用余弦定理及其推論，同時還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運用. .變式訓練變式訓練 2 已知已知 A、B、C 為為ABC 的三個內(nèi)角，其所對的邊分別為的三個內(nèi)角，其所對的邊分別為 a、b、c，且，且2A2cos+cos A=02

9、. .(1)求角求角 A 的值；的值；(2)若若 a2 3，bc4，求，求ABC 的面積的面積解解(1)由由2A2cos+cos A=02，得，得 1cos Acos A0，即，即 cos A12.0A，A23.(2)由余弦定理得由余弦定理得，a2b2c22bccos A，A23，則則 a2(bc)2bc，又又 a2 3，bc4，有有 1242bc，則，則 bc4，故，故 SABC12bcsin A 3.題型三題型三正、余弦定理的綜合應用正、余弦定理的綜合應用例例 3. 在在ABC 中，中，a、b、c 分別是角分別是角 A、B、C 的對邊的對邊222 2(sinsin)()sin,ACabB已

10、知ABC 外接圓半徑為外接圓半徑為2 .（1）求角）求角 C 的大?。坏拇笮?；（2）求）求ABC 面積的最大值面積的最大值.解解: （1）ABC 外接圓半徑為外接圓半徑為2，222 2(sinsin)()sin,ACabB且22(2 2sin)(2 2sin)()2 2sin,ACabB即由正弦定理得：由正弦定理得：22() ,acab b即即222,abcab由余弦定理得：由余弦定理得：222cos2abcCab2abab12，(0 , )C，.3C（2）max332S探究提高探究提高在已知關系式中，若既含有邊又含有角通常的思路是：將角都化成邊或將邊都化成角，再結在已知關系式中，若既含有邊又

11、含有角通常的思路是：將角都化成邊或將邊都化成角，再結合正、余弦定理即可求角合正、余弦定理即可求角【精品文檔】【精品文檔】變式訓練變式訓練 3 在在ABC 中，內(nèi)角中，內(nèi)角 A，B，C 所對的邊長分別是所對的邊長分別是 a，b，c.(1)若若 c2，C3，且，且ABC 的面積為的面積為 3，求，求 a，b 的值；的值；(2)若若 sin Csin(BA)sin 2A，試判斷，試判斷ABC 的形狀的形狀解解(1)c2，C3，由余弦定理由余弦定理 c2a2b22abcos C 得得 a2b2abABC 的面積為的面積為 3，12absin C 3，ab4. 聯(lián)立方程組聯(lián)立方程組a2b2ab4，ab4

12、，解得解得 a2，b2.(2)由由 sin Csin(BA)sin 2A，得，得 sin(AB)sin(BA)2sin Acos A，即即 2sin Bcos A2sin Acos A，cos A(sin Asin B)0，cos A0 或或 sin Asin B0，當當 cos A0 時時，0A，A2，ABC 為直角三角形為直角三角形；當當 sin Asin B0 時時，得得 sin Bsin A，由正弦定理得由正弦定理得 ab，即即ABC 為等腰三角形為等腰三角形ABC 為等腰三角形或直角三角形為等腰三角形或直角三角形思想方法思想方法感悟提高感悟提高方法與技巧方法與技巧1正、余弦定理和三角

13、形面積公式是本節(jié)課的重點，利用三角形內(nèi)角和、邊、角之間的關系，三角函數(shù)正、余弦定理和三角形面積公式是本節(jié)課的重點，利用三角形內(nèi)角和、邊、角之間的關系，三角函數(shù)的變形公式去判斷三角形的形狀，求解三角形，以及利用它們解決一些實際問題的變形公式去判斷三角形的形狀，求解三角形，以及利用它們解決一些實際問題2應熟練掌握和運用內(nèi)角和定理：應熟練掌握和運用內(nèi)角和定理：ABC，A2B2C22中互補和互余的情況，結合誘導公式可以中互補和互余的情況，結合誘導公式可以減少角的種數(shù)減少角的種數(shù)3正、余弦定理的公式應注意靈活運用，如由正、余弦定理結合得正、余弦定理的公式應注意靈活運用，如由正、余弦定理結合得 sin2A

14、sin2Bsin2C2sin Bsin CcosA，可以進行化簡或證明，可以進行化簡或證明4根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：(1)化邊為角；化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦化角為邊，并常用正弦(余弦余弦)定定理實施邊、角轉換理實施邊、角轉換失誤與防范失誤與防范在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對角求另一邊的對角，進而求出其他的邊和角時，有時在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對角求另一邊的對角，進而求出其他的邊和角時，有時可能出現(xiàn)一解、兩解或無解，所以要進行分類討論可能出現(xiàn)一解、兩解或無解，所以要進行分類討論【精

15、品文檔】【精品文檔】過關精練過關精練一、選擇題一、選擇題1在在ABC 中，中，A60，a4 3，b4 2，則，則 B 等于等于()A45或或 135B135C45D以上答案都不對以上答案都不對2ABC 中中，若若 a4b4c42c2(a2b2)，則角則角 C 的度數(shù)是的度數(shù)是()A60B45或或 135C120D303在在ABC中，中，ABCSbcABC, 35,20 的外接圓半徑為的外接圓半徑為3，則，則a（ ）A1B2C3D234在在ABC中，已知中，已知,45, 1,2 Bcb則則a等于（等于（ ）A226 B226 C21 D23 5在在ABC中中2,3,3,ABACBA AC 則則A

16、 等于（等于（ ）A120B60C30D1506在在ABC中，中，7:5:3: cba， 則這個三角形的最大角為（則這個三角形的最大角為（ ）A30B90C120D607在在ABC 中中,已知已知三邊之比三邊之比4:3:2:cba，則，則CBA2sinsin2sin（ ）A1B2C2D218ABC中，邊中，邊cba,的對角分別為的對角分別為 A、B、C，且，且 A=2B，32ab ，cosB （ ）A21B31C32D43二、填空題二、填空題9在在ABC 中中,已知已知 2sinAcosB=sinC,那么那么ABC 的形狀是的形狀是三角形三角形10在銳角在銳角ABC 中，中，a，b，c 分別為角分別為角 A，B，C 所對的邊，且所對的邊，且3a2csin A，則角，則角 C_.1111在在ABCABC 中，邊中，邊 a a，b b，c c 的對角分別為的對角分別為 A A、B B、C C，且，且BCACA222sinsinsinsinsin。則。則角角B=B=。【精品文檔】【精品文檔】三、解答題三、解答題12(12 分分)已知