(新課標(biāo)人教A版)選修1-2《2.2.2反證法》

1、路邊苦李路邊苦李 王戎王戎7歲時歲時,與小與小伙伴們外出游玩伙伴們外出游玩,看看到路邊的李樹上結(jié)滿到路邊的李樹上結(jié)滿了果子了果子.小伙伴們紛小伙伴們紛紛去摘取果子紛去摘取果子,只有只有王戎站在原地不動王戎站在原地不動.王戎回答說王戎回答說:“樹在道邊而多子樹在道邊而多子,此必苦李此必苦李.”小伙伴摘取一個嘗了一下果然是苦李小伙伴摘取一個嘗了一下果然是苦李. 王戎是怎樣知道李子是苦的呢王戎是怎樣知道李子是苦的呢?他運用了怎樣他運用了怎樣的推理方法的推理方法?這與事實這與事實矛盾。矛盾。說明說明李子是甜的這個假設(shè)是錯李子是甜的這個假設(shè)是錯的還是對的的還是對的？假設(shè)假設(shè)李子不是苦的，即李子是甜的，李

2、子不是苦的，即李子是甜的，那么這長在人來人往的大路邊的李子會不會被那么這長在人來人往的大路邊的李子會不會被過路人摘去解渴呢過路人摘去解渴呢？那么，樹上的李子還會這么多嗎那么，樹上的李子還會這么多嗎？所以，所以，李子是苦的李子是苦的甲：在五一長甲：在五一長假里，我和爸假里，我和爸爸、媽媽去新爸、媽媽去新加坡玩了整整加坡玩了整整6天，真是太高天，真是太高興了興了.乙：這不可能，乙：這不可能，5月月4號上午還看見你和丙號上午還看見你和丙在在“長廊長廊”逛街呢！逛街呢！丙：是啊丙：是啊,5月月4號我確實號我確實和甲在和甲在“長長廊廊”逛街！逛街！假設(shè)假設(shè)甲去新加坡玩了甲去新加坡玩了6天，天，乙：甲沒有

3、去新加坡玩了乙：甲沒有去新加坡玩了6天天.那么甲從那么甲從5月月1號至號至6號或是號或是2號至號至7號在號在新加坡，新加坡，即即5月月4號甲在新加坡，號甲在新加坡，這與這與“5月月4號甲在達(dá)州市的號甲在達(dá)州市的“長廊長廊”矛盾矛盾,所以所以假設(shè)假設(shè)“甲去新加坡玩了甲去新加坡玩了6天天”不正確不正確,于是于是“甲沒有去新加坡玩了甲沒有去新加坡玩了6天天”正確正確. 在古希臘時,有三個哲學(xué)家，由于爭論和天氣的炎熱感到疲倦，于是就在花園里的一棵大樹下躺下休息睡著了。這時一個愛開玩笑的人用炭涂黑了他們的前額,當(dāng)他們醒過來后，彼此相看時都笑了。一會兒其中有一個人卻突然不笑了，他是覺察到什么了？ 他運用了

4、怎樣的推理方法？他運用了怎樣的推理方法？各抒己見各抒己見假設(shè)假設(shè)自己的前額沒有被涂黑自己的前額沒有被涂黑,那么另一個哲學(xué)家也不會有異常行為那么另一個哲學(xué)家也不會有異常行為,自己的前額也被涂黑了自己的前額也被涂黑了.這與另一個哲學(xué)家笑個不停這與另一個哲學(xué)家笑個不停矛盾矛盾,所以所以假設(shè)假設(shè)“自己的前額沒有涂黑自己的前額沒有涂黑”不正不正確確,于是自己的前額也被涂黑了于是自己的前額也被涂黑了.一、問題情境一、問題情境小華睡覺前，地上是干的，早晨起來，看見地上全濕小華睡覺前，地上是干的，早晨起來，看見地上全濕了。小華對婷婷說：了。小華對婷婷說：“昨天晚上下雨了。昨天晚上下雨了。”你能對小華的判斷說出

5、理由嗎？你能對小華的判斷說出理由嗎？假設(shè)假設(shè)昨天晚上沒有下雨，昨天晚上沒有下雨，那么那么地上應(yīng)是干的，這與地上應(yīng)是干的，這與早晨地上全濕了早晨地上全濕了相矛盾相矛盾，所以說昨晚下雨是正確的。，所以說昨晚下雨是正確的。小華的理由：我們可以把這種說理方法應(yīng)用到數(shù)學(xué)問題上。解析：解析：由由C=90C=90可知是直角三角可知是直角三角形，根據(jù)勾股定理可知形，根據(jù)勾股定理可知a a2 2 +b+b2 2 c c2 .2 . 如圖，在如圖，在ABCABC中，中，AB=cAB=c，BC=aBC=a，AC=b,AC=b,如果如果C=90C=90，a a、b b、c c三邊有何關(guān)系？為三邊有何關(guān)系？為什么？什么

6、？A AC CC Ca ab bc c一、復(fù)習(xí)引入一、復(fù)習(xí)引入探究：探究：假設(shè)假設(shè)a a2 2 +b+b2 2 c c2 2，由勾股定理，由勾股定理可知三角形可知三角形ABCABC是直角三角形，且是直角三角形，且C=90C=90，這與已知條件，這與已知條件C90C90矛矛盾。假設(shè)不成立，從而說明原結(jié)論盾。假設(shè)不成立，從而說明原結(jié)論a a2 2 +b+b2 2 c c2 2成立。成立。A AC CC C 若將上面的條件改為若將上面的條件改為“在在ABCABC中，中，AB=cAB=c，BC=aBC=a，AC=b,C90AC=b,C90”，請問結(jié)論，請問結(jié)論a a2 2 +b+b2 2 c c2 2

7、成立嗎？成立嗎？請說明理由。請說明理由。a ab bc c 這種證明方法與前面的證明方法不同，它是首先假設(shè)結(jié)論這種證明方法與前面的證明方法不同，它是首先假設(shè)結(jié)論的反面成立，然后經(jīng)過正確的；邏輯推理得出與已知、定理、的反面成立，然后經(jīng)過正確的；邏輯推理得出與已知、定理、公理矛盾的結(jié)論，從而得到原結(jié)論的正確。象這樣的證明方法公理矛盾的結(jié)論，從而得到原結(jié)論的正確。象這樣的證明方法叫做叫做反證法反證法。問題問題：發(fā)現(xiàn)知識：發(fā)現(xiàn)知識：二、探究二、探究三、應(yīng)用新知三、應(yīng)用新知在在ABCABC中，中，ABAC,ABAC,求證：求證：B B C CA AB BC C證明：假設(shè)證明：假設(shè)，則則（）這與這與矛盾矛

8、盾假設(shè)不成立假設(shè)不成立B B C CABABACAC等角對等邊等角對等邊已知已知ABACABACB B C C小結(jié)：小結(jié)： 反證法的步驟：假設(shè)結(jié)論的反面不成立反證法的步驟：假設(shè)結(jié)論的反面不成立邏輯推理邏輯推理得出矛盾得出矛盾肯定原結(jié)論正確肯定原結(jié)論正確例例嘗試解決問題嘗試解決問題感感受受反反證證法法:證明證明：假設(shè)假設(shè)a a與與b b不止一個交點，不不止一個交點，不妨假設(shè)有兩個交點妨假設(shè)有兩個交點A A和和A A。 因為兩點確定一條直線，即經(jīng)因為兩點確定一條直線，即經(jīng)過點過點A A和和A的直線有且只有一條的直線有且只有一條，這與，這與與已知兩條直線與已知兩條直線矛盾矛盾, ,假設(shè)不成立。假設(shè)不

9、成立。 所以所以兩條直線相交只有一個交點。兩條直線相交只有一個交點。小結(jié)小結(jié)：根據(jù)假設(shè)推出結(jié)論除了可以與已知根據(jù)假設(shè)推出結(jié)論除了可以與已知條件矛盾以外，還可以與我們學(xué)過的定理、條件矛盾以外，還可以與我們學(xué)過的定理、公理矛盾公理矛盾例例2 2求證：兩條直線相交只有一個交點。求證：兩條直線相交只有一個交點。已知：如圖已知：如圖兩條相交直線兩條相交直線a、b。求證：求證：a與與b只有一個交點。只有一個交點。abAA A，A A證明：假設(shè)證明：假設(shè)a a與與b b不平行，則不平行，則可設(shè)它們相交于點可設(shè)它們相交于點A A。 那么過點那么過點A A 就有兩條直就有兩條直線線a a、b b與直線與直線c

10、c平行，這與平行，這與“過直線外一點有且只有一過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行矛盾條直線與已知直線平行矛盾, ,假設(shè)不成立。假設(shè)不成立。 a/b.a/b.小結(jié)小結(jié)：根據(jù)假設(shè)推出結(jié)論除了可以與已知根據(jù)假設(shè)推出結(jié)論除了可以與已知條件矛盾以外，還可以與我們學(xué)過的定理、條件矛盾以外，還可以與我們學(xué)過的定理、公理矛盾公理矛盾 已知：如圖有已知：如圖有a a、b b、c c三條直線，三條直線，且且a/c,b/c.a/c,b/c. 求證：求證：a/ba/babc例例3 3 求證：在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于求證：在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于或等于6060。已知：已知：ABCABC

11、求證：求證：ABCABC中至少有一個內(nèi)角小于或等于中至少有一個內(nèi)角小于或等于6060. .證明：假設(shè)證明：假設(shè)，則則。，即即。這與這與矛盾假設(shè)不成立矛盾假設(shè)不成立ABCABC中沒有一個內(nèi)角小于或等于中沒有一個內(nèi)角小于或等于6060A60A60,B60,B60,C60,C60A+B+C180A+B+C180三角形的內(nèi)角和為三角形的內(nèi)角和為180180度度ABCABC中至少有一個內(nèi)角小于或等于中至少有一個內(nèi)角小于或等于6060. .點撥：至少的反面是沒有！點撥：至少的反面是沒有！例例4 4A+B+C60A+B+C60+60+60+60+60=180=180求證求證:在同一平面內(nèi)在同一平面內(nèi),如果一

12、條直線和兩條平如果一條直線和兩條平行線中的一條相交行線中的一條相交,那么和另一條也相交那么和另一條也相交.已知已知: 直線直線l1, l2, l3在同一平面內(nèi)在同一平面內(nèi),且且l1l2, l3與與l1相相交于點交于點P.求證求證:l3與與l2相交相交.證明證明:假設(shè)假設(shè)_,那么那么_.因為已知因為已知_,這與這與“_ _”矛盾矛盾.所以所以假設(shè)不成立假設(shè)不成立,即求證的命題正確即求證的命題正確.l1l2l3Pl3與與l2 不相交不相交.l3l2l1l2 經(jīng)過直線外一點經(jīng)過直線外一點,有且只有一條直有且只有一條直線平行于已知直線線平行于已知直線所以過直線所以過直線l2外一點外一點P,有有兩條直線

13、兩條直線和和l2平行平行,例例6、用反證法證明：等腰三角形的底、用反證法證明：等腰三角形的底角必定是銳角角必定是銳角分析分析：解題的關(guān)鍵是反證法的第一步否定結(jié)：解題的關(guān)鍵是反證法的第一步否定結(jié)論，需要分類討論論，需要分類討論.已知：在已知：在ABC中，中，AB=AC.求證：求證：B、C為銳角為銳角.證明：證明：假設(shè)等腰三角形的底角不是銳角，那假設(shè)等腰三角形的底角不是銳角，那么只有兩種情況：么只有兩種情況：(1)兩個底角都是直角；兩個底角都是直角；(2)兩個底角都是鈍角；兩個底角都是鈍角；（1)由由A=B=90則則A+B+C=A+90+90180，這與三角形內(nèi)角和定理矛盾，這與三角形內(nèi)角和定理矛

14、盾，A=B=90這個假設(shè)不成立這個假設(shè)不成立.(2)由由90B180， 90C180，則則 A+B+C180，這與三角形內(nèi)角和定理矛盾，這與三角形內(nèi)角和定理矛盾.兩個底角都是鈍角這個假設(shè)也不成立兩個底角都是鈍角這個假設(shè)也不成立故原命題正確故原命題正確 等腰三角形的底角必定是銳角等腰三角形的底角必定是銳角.說明說明：本例中：本例中“是銳角是銳角(小于小于90)”的反面有的反面有兩種情況兩種情況，這時，必須分別證明命題結(jié)論反面的每一種情況都不可能這時，必須分別證明命題結(jié)論反面的每一種情況都不可能成立，最后才能肯定命題的結(jié)論一定正確成立，最后才能肯定命題的結(jié)論一定正確.此題是對反證此題是對反證法的進(jìn)

15、一步理解法的進(jìn)一步理解.假設(shè)結(jié)論的反面正確假設(shè)結(jié)論的反面正確推理論證推理論證得出結(jié)論得出結(jié)論回顧與歸納回顧與歸納反設(shè)反設(shè)歸謬歸謬結(jié)論結(jié)論 得出矛盾（已知、得出矛盾（已知、公理、定理等）公理、定理等） 假設(shè)不成立，原假設(shè)不成立，原命題成立命題成立.反證法的一般步驟反證法的一般步驟:假設(shè)命題結(jié)假設(shè)命題結(jié)論不成立論不成立假設(shè)不假設(shè)不成立成立假設(shè)命題結(jié)假設(shè)命題結(jié)論反面成立論反面成立與已知條與已知條件件矛盾矛盾假設(shè)假設(shè)推理得出推理得出的結(jié)論的結(jié)論與與定理，定義，定理，定義，公理公理矛盾矛盾所證命題所證命題成立成立什么時候運用反證法呢？什么時候運用反證法呢？證明真命題證明真命題 的方法的方法 直接證法直接

16、證法 間接證法間接證法 反證法反證法萬事開頭難，讓我們走好第一步！萬事開頭難，讓我們走好第一步！寫出下列各結(jié)論的反面：（1）a/b； （2）a0；（3）b是正數(shù)；（4）aba0b是0或負(fù)數(shù)a不垂直于bab1.在一個梯形中，如果同一條底邊上的兩個內(nèi)在一個梯形中，如果同一條底邊上的兩個內(nèi)角不相等，那么這個梯形是等腰梯形嗎？請證角不相等，那么這個梯形是等腰梯形嗎？請證明你的猜想明你的猜想誰來試一試！ 2.已知：如圖已知：如圖ABC中，中，D、E兩兩 點分別在點分別在AB和和AC上上 求證：求證：CD、BE不能互相平分不能互相平分 E D C B A （平行四邊形對邊平行）做一做做一做學(xué)習(xí)是件很愉快的

17、事學(xué)習(xí)是件很愉快的事證明：假設(shè)CD、BE互相平分互相平分連結(jié)DE，故四邊形BCED是平行四邊形BDCE這與BD、CE交于點A矛盾假設(shè)錯誤， CD、BE不能互相平分不能互相平分四、鞏固新知四、鞏固新知1 1、試說出下列命題的反面：、試說出下列命題的反面：（1 1）a a是實數(shù)。是實數(shù)。（2)a2)a大于大于2 2。（3 3）a a小于小于2 2。 （4 4）至少有）至少有2 2個個（5 5）最多有一個）最多有一個 （6 6）兩條直線平行。）兩條直線平行。2 2、用反證法證明、用反證法證明“若若a a2 2 b b2 2, ,則則a a b b”的第一步是的第一步是。3 3、用反證法證明、用反證法

18、證明“如果一個三角形沒有兩個相等的角，那么如果一個三角形沒有兩個相等的角，那么這個三角形不是等腰三角形這個三角形不是等腰三角形”的第一步的第一步。a a不是實數(shù)不是實數(shù)a a小于或等于小于或等于a a大于或等于大于或等于沒有兩個沒有兩個一個也沒有一個也沒有兩直線相交兩直線相交假設(shè)假設(shè)a=ba=b假設(shè)這個三角形是等腰三角形假設(shè)這個三角形是等腰三角形已知：在梯形已知：在梯形ABCDABCD中，中，AB/CDAB/CD，CDCD求證：梯形求證：梯形ABCDABCD不是等腰梯形不是等腰梯形. .證明：假設(shè)梯形證明：假設(shè)梯形ABCDABCD是等腰梯形。是等腰梯形。 C=D C=D（等腰梯形同一底（等腰梯

19、形同一底上的兩內(nèi)角相等）上的兩內(nèi)角相等） 這與已知條件這與已知條件CDCD矛盾矛盾, ,假設(shè)不成立。假設(shè)不成立。梯形梯形ABCDABCD不是等腰梯形不是等腰梯形. .、求證：如果一個梯形同一底上的兩個內(nèi)角不、求證：如果一個梯形同一底上的兩個內(nèi)角不相等，那么這個梯形不是等腰梯形相等，那么這個梯形不是等腰梯形。A AB BC CD D五、拓展應(yīng)用五、拓展應(yīng)用1 1、已知：如圖，在、已知：如圖，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，APBAPCAPBAPC。求證：求證：PBPCPBPCA AB BC CP P證明：假設(shè)證明：假設(shè)PB=PCPB=PC。 在在ABPABP與與ACPACP中中 AB

20、=AC(AB=AC(已知）已知） AP=APAP=AP（公共邊）（公共邊） PB=PCPB=PC（已知）（已知） ABPABPACPACP（S.S.S)S.S.S) APB=APC( APB=APC(全等三角形對應(yīng)邊全等三角形對應(yīng)邊相等）相等） 這與已知條件這與已知條件APBAPCAPBAPC矛盾，矛盾，假設(shè)不成立假設(shè)不成立. . PBPC PBPC 美國總統(tǒng)華盛頓從小非常聰明美國總統(tǒng)華盛頓從小非常聰明,小偷翻進(jìn)小偷翻進(jìn)鮑克家偷走了許多東西鮑克家偷走了許多東西,根據(jù)跡象表明小偷就根據(jù)跡象表明小偷就是本村人是本村人,華盛頓靈機(jī)一動華盛頓靈機(jī)一動,對全村人講起了對全村人講起了故事故事:“黃蜂是上帝

21、的使者黃蜂是上帝的使者,能辨別人間的真能辨別人間的真假假.”忽然華盛頓大聲喊道忽然華盛頓大聲喊道:“小偷就是他，黃小偷就是他，黃蜂正在他的帽子上兜圈子，要落下來了！蜂正在他的帽子上兜圈子，要落下來了！”大家回頭張望，看著那個想把帽子上的黃蜂大家回頭張望，看著那個想把帽子上的黃蜂趕走的人，其實哪有什么黃蜂？華盛頓大喝趕走的人，其實哪有什么黃蜂？華盛頓大喝一聲：一聲：“小偷就是他！小偷就是他！”你知道華盛頓是如何推理的嗎？你知道華盛頓是如何推理的嗎？華盛頓抓小偷華盛頓抓小偷警察局里有名嫌疑犯，他們分別做了如下口供：警察局里有名嫌疑犯，他們分別做了如下口供：說：這里有個人說謊說：這里有個人說謊說：這

22、里有個人說謊說：這里有個人說謊說：這里有個人說謊說：這里有個人說謊說：這里有個人說謊說：這里有個人說謊說：這里有個人說謊說：這里有個人說謊聰明的同學(xué)們，假如你是警察，你覺得誰說了真話？聰明的同學(xué)們，假如你是警察，你覺得誰說了真話？你會釋放誰？你會釋放誰？請與大家分享你的判斷！請與大家分享你的判斷！課外延伸課外延伸 古希臘哲學(xué)家亞里士多德有一個著名論點古希臘哲學(xué)家亞里士多德有一個著名論點: :輕重不同的兩個物體從同一高度自由下落時輕重不同的兩個物體從同一高度自由下落時, ,一一定是重的物體先落地定是重的物體先落地. .在意大利物理學(xué)家伽利略在意大利物理學(xué)家伽利略提出反對觀點以前的一千多年里人們對

23、亞里士提出反對觀點以前的一千多年里人們對亞里士多德的說法深信不疑多德的說法深信不疑. .伽利略為了證明自己的觀伽利略為了證明自己的觀點是正確的點是正確的, ,在意大利的比薩斜塔上在意大利的比薩斜塔上, ,讓一個中讓一個中1 1磅和重磅和重100100磅的兩個鐵球同時從高空自由下落磅的兩個鐵球同時從高空自由下落, ,果然是同時著地果然是同時著地. .這是科學(xué)史上一個極其有名的這是科學(xué)史上一個極其有名的實驗實驗, ,它否定了亞里士多德的錯誤觀點它否定了亞里士多德的錯誤觀點. .你能用今你能用今天所學(xué)的知識來否定亞里士多德的錯誤觀點嗎天所學(xué)的知識來否定亞里士多德的錯誤觀點嗎? ?試一試試一試. .六、全課總結(jié)六、全課總結(jié)1 1、知識小結(jié)：、知識小結(jié)： 反證法證明的思路：假設(shè)命題不成立反證法證明的思路：假設(shè)命題不成立正確的推正確的推理理, ,得出矛盾得出矛盾肯定待定命題的結(jié)論肯定待定命題的結(jié)論2 2、難點提示、難點提示: : 利用反證法證明命題時利用反證