大學(xué)物理第三章習(xí)題選解

1、第三章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)3-1 一飛輪受摩擦力矩作用減速轉(zhuǎn)動(dòng)，其角加速度與角速度成正比，即，式中為比例常數(shù)。初始角速度為，求：（1）飛輪角速度隨時(shí)間變化的關(guān)系；（2）角速度由減為所需的時(shí)間以及在此時(shí)間內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)過(guò)的轉(zhuǎn)數(shù)。解：（1）由，分離變量 ，并由初始條件；等式兩邊積分 （2）當(dāng)角速度由減為時(shí) 由，分離變量 ，并由初始條件，；等式兩邊積分代入，得飛輪轉(zhuǎn)過(guò)的角度飛輪轉(zhuǎn)過(guò)的轉(zhuǎn)數(shù) 3-2 一剛體由靜止開(kāi)始繞一固定軸作勻角加速轉(zhuǎn)動(dòng)。由實(shí)驗(yàn)可測(cè)得剛體上某點(diǎn)的切向加速度為，法向加速度為，試證明，為任意時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度。解：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),設(shè)剛體上某點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為，則該點(diǎn)的法向加速度為 切向加速度為 又，且

2、3-3 一根質(zhì)量為，長(zhǎng)為的均勻細(xì)桿，可在水平桌面上繞通過(guò)其一端的豎直固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。已知細(xì)桿與桌面的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為，求桿轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)受摩擦力矩的大小。解：設(shè)桿的線密度為。在桿上取一線元距轉(zhuǎn)軸為，質(zhì)量為。該線元在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)受桌面摩擦力為摩擦力方向與垂直，故線元受摩擦力矩的大小為桿轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)受摩擦力矩的大小為又 3-4 如圖所示，一長(zhǎng)為，質(zhì)量可以忽略的直桿，兩端分別固定有質(zhì)量為和的小球，桿可繞通過(guò)其中心且與桿垂直的水平光滑固定軸在鉛直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。開(kāi)始桿與水平方向成某一角度，處于靜止?fàn)顟B(tài)，釋放后，桿繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)桿轉(zhuǎn)到水平位置時(shí)，求系統(tǒng)所受的合外力矩與系統(tǒng)的角加速度大小。解：兩小球?qū)λ睫D(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 題3-4圖當(dāng)桿

3、轉(zhuǎn)到水平位置時(shí)，小球和直桿所受合外力矩為題3-4圖由剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律 3-5 如圖所示，一輕繩繞于半徑的飛輪邊緣，現(xiàn)以恒力拉繩的一端，使飛輪由靜止開(kāi)始加速轉(zhuǎn)動(dòng)。已知飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，飛輪與軸承之間的摩擦不計(jì)。題3-5圖（1） 求飛輪的角加速度；（2） 求繩子拉下時(shí)，飛輪的角速度和飛輪獲得的動(dòng)能；（3） 這動(dòng)能和拉力所做的功是否相等？為什么？（4） 如以重量的物體掛在繩端，如圖示，飛輪將如何運(yùn)動(dòng)？試再計(jì)算飛輪的角加速度和繩子拉下時(shí)飛輪獲得的動(dòng)能。這動(dòng)能和重力對(duì)物體所做的功是否相等？為什么？解：恒力作用于飛輪的力矩 （1）由剛體轉(zhuǎn)動(dòng)第二定律，飛輪的角加速度（2）繩子拉下時(shí)，飛輪轉(zhuǎn)過(guò)的角度 題3-5圖

4、 題3-5圖設(shè)經(jīng)過(guò)的時(shí)間為，則飛輪的角速度 飛輪獲得的動(dòng)能 （3）拉力所做的功為 與飛輪獲得的動(dòng)能相等（4）若在繩端掛重量的物體則有 解得 繩子拉下時(shí)，飛輪的角速度為，由，飛輪獲得動(dòng)能 重力對(duì)物體所做的功 物體所獲動(dòng)能 重力對(duì)物體所做的功為物體動(dòng)能和飛輪動(dòng)能之和。3-6 如圖所示，兩物體的質(zhì)量分別為和，滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，半徑為，則（1） 若與桌面間滑動(dòng)摩擦系數(shù)為，求系統(tǒng)的加速度及繩中張力（設(shè)繩不可伸長(zhǎng)，繩與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)）；（2） 如與桌面為光滑接觸，求系統(tǒng)的加速度與繩中張力；（3） 若滑輪的質(zhì)量不計(jì)則結(jié)果又如何？ 題3-6圖 解：（1）若與桌面滑動(dòng)摩擦系數(shù)為，則有如下方程組解得 （2）若與桌

5、面光滑接觸，則有 解得 （3）若再忽略滑輪質(zhì)量 解得 3-7 如圖所示，輕彈簧、定滑輪和物體系統(tǒng)。已知彈簧倔強(qiáng)系數(shù)，定滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，半徑，開(kāi)始物體靜止，彈簧無(wú)伸長(zhǎng)，求當(dāng)質(zhì)量為的物體落下時(shí)它的速度大小。 題3-7圖解：設(shè)物體下落了時(shí)，其速度為，由機(jī)械能守恒定律又 故有代入 ，得 3-8 如圖所示，一質(zhì)量為的物體與繞在定滑輪上的繩子相聯(lián)，繩子質(zhì)量可以忽略，它與滑輪之間無(wú)滑動(dòng)。假設(shè)定滑輪質(zhì)量為，半徑為，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，滑輪軸光滑。求該物體由靜止開(kāi)始下落過(guò)程中下落速度與時(shí)間的關(guān)系。題3-8圖解：方法一：由牛頓第二定律及剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律得 得 故物體的下落速度為 題3-8圖方法二：由機(jī)械能守恒定律其中 解得

6、3-9 水分子的形狀如圖所示。從光譜分析知水分子對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是，對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是。試由此數(shù)據(jù)和各原子的質(zhì)量求出氫和氧原子間的距離和夾角。假設(shè)各原子都可當(dāng)質(zhì)點(diǎn)處理。解：水分子中兩個(gè)氫分子對(duì)軸和軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為、 題3-9圖 已知?dú)湓淤|(zhì)量 、兩式相除，得 把值代入式得3-10 如圖所示，從一個(gè)半徑為的均勻薄板上挖去一個(gè)直徑為的圓板。所形成的圓洞中心在距原薄板中心處。所剩薄板的質(zhì)量為。求此時(shí)薄板對(duì)于通過(guò)圓中心而與板面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：設(shè)均勻薄板被挖去圓板后的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，挖去圓板前的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，被挖去的圓板對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，則有被挖去的圓板對(duì)通過(guò)自己圓心并垂直于板面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，由

7、平行軸定理題3-10圖又 故 薄板對(duì)通過(guò)圓中心的垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量3-11 如圖所示，一根質(zhì)量均勻的鐵絲，質(zhì)量為，長(zhǎng)為，在其中心處彎成角，放在平面內(nèi)。（1） 求對(duì)軸和軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量； （2） 如果，（1）中結(jié)果如何？ 題3-11圖解：（1）在距點(diǎn)為 處取線元，距軸為。線元質(zhì)量為，對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為鐵絲對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量同理 ，（2）若 3-12 長(zhǎng)為，質(zhì)量為的勻質(zhì)棒，垂直懸掛在轉(zhuǎn)軸點(diǎn)上，用的水平力撞擊棒的下端，該力作用的時(shí)間為，求：（1） 棒所獲得的動(dòng)量矩；（2） 棒的端點(diǎn)上升的距離。解：棒對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為（1）在打擊瞬間，重力對(duì)轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力矩，由角動(dòng)量定理，棒所獲得的動(dòng)量矩 題3-12圖（2）撞擊后

8、，棒轉(zhuǎn)動(dòng)到最高位置時(shí)角速度為零，以棒和地球?yàn)檠芯繉?duì)象，此過(guò)程中機(jī)械能守恒。設(shè)棒的中心上升的距離為。其中代入上式棒的端點(diǎn)上升的距離 3-13 如圖所示，一根質(zhì)量為，長(zhǎng)為的均勻細(xì)棒，可在豎直平面內(nèi)繞通過(guò)其中心的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，開(kāi)始時(shí)細(xì)棒在水平位置。一質(zhì)量為的小球，以速度垂直落到棒的端點(diǎn)。設(shè)小球與棒作彈性碰撞。求碰撞后小球的回跳速度以及棒的角速度。解：棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 題3-13圖設(shè)碰撞后小球的速度為，棒的角速度為。碰撞過(guò)程內(nèi)力比外力大的多，碰撞過(guò)程角動(dòng)量守恒，則有 又因小球與棒作彈性碰撞，機(jī)械能守恒 把代入兩式解得 3-14 如圖所示，一長(zhǎng)，質(zhì)量為的均勻細(xì)木棒，由其上端的光滑水平軸吊起而處于靜止，今有一質(zhì)量的子彈以的速率水平射入棒中，射入點(diǎn)在軸下處。求：（1）子彈停在棒中時(shí)棒的角速度；（2）棒的最大偏轉(zhuǎn)角。解：（1）子彈對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為細(xì)木棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 題3-14圖子彈射入棒前對(duì)轉(zhuǎn)軸的角速度為，射入后與棒一起轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為。射入木棒前后，子彈與木棒的角動(dòng)量守恒（2）設(shè)棒的最大偏轉(zhuǎn)角為，棒的中心和子彈上升的高度分別為、。由機(jī)械能守恒定律解得 3-15 如圖所示，質(zhì)量為，長(zhǎng)為的均勻細(xì)桿可繞過(guò)端點(diǎn)的固定水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)。桿從水平位置由靜止開(kāi)始下擺，桿擺至豎直位置時(shí)剛好和光滑水平桌面上的小球相碰。小球看作質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量也為