橢圓濾波器的設(shè)計(jì)

1、第一章 摘 要本文簡單、直觀地介紹了橢圓低通濾波器的基本理論和設(shè)計(jì)思想，闡述了設(shè)計(jì)橢圓低通濾波器的具體步驟，利用MATLAB產(chǎn)生一個(gè)包含低頻、中頻、高頻分量的連續(xù)信號，并實(shí)現(xiàn)對連續(xù)信號進(jìn)行的采樣。文中還對采樣信號進(jìn)行頻譜分析，利用設(shè)計(jì)的橢圓濾波器對采樣信號進(jìn)行濾波處理，并對仿真結(jié)果進(jìn)行分析和處理。詳細(xì)介紹了在用MATLAB設(shè)計(jì)橢圓濾波器用到的工具和命令。 第二章 引 言 信號處理是科學(xué)研究和工程技術(shù)許多領(lǐng)域都需要進(jìn)行的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，傳統(tǒng)上對信號的處理大都采用模擬系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)。隨著人們對信號處理要求的日益提高，以及模擬信號處理中一些不可克服的缺點(diǎn)，對信號的許多處理而采用數(shù)字的方法進(jìn)行。近年來由于大規(guī)

2、模集成電路和計(jì)算機(jī)技術(shù)的進(jìn)步，信號的數(shù)字處理技術(shù)得到了飛速發(fā)展。數(shù)字信號處理系統(tǒng)無論在性能、可靠性、體積、耗電量、成本等諸多方面都比模擬信號處理系統(tǒng)優(yōu)越的多，使得許多以往采用模擬信號處理的系統(tǒng)越來越多地被數(shù)字處理系統(tǒng)所代替,數(shù)字信號處理技術(shù)在通信、語音、圖像、自動控制、雷達(dá)、軍事、航空航天、醫(yī)療和家用電器等眾多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。在數(shù)字信號處理中,數(shù)字濾波器十分重要并已獲得廣泛應(yīng)用,數(shù)字濾波器與模擬濾波器比較,具有精度高、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活、不要求阻抗匹配以及實(shí)現(xiàn)模擬濾波器無法實(shí)現(xiàn)的特殊濾波功能等優(yōu)點(diǎn)。在各種濾波器中,橢圓濾波器具有其獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)。本次設(shè)計(jì)中所用到數(shù)學(xué)軟件為MATLAB

3、。MATLAB和Mathematica、Maple并稱為三大數(shù)學(xué)軟件，它是由美國mathworks公司發(fā)布的主要面對科學(xué)計(jì)算、可視化以及交互式程序設(shè)計(jì)的高科技計(jì)算環(huán)境。它將數(shù)值分析、矩陣計(jì)算、科學(xué)數(shù)據(jù)可視化以及非線性動態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強(qiáng)大功能集成在一個(gè)易于使用的視窗環(huán)境中，為科學(xué)研究、工程設(shè)計(jì)以及必須進(jìn)行有效數(shù)值計(jì)算的眾多科學(xué)領(lǐng)域提供了一種全面的解決方案，并在很大程度上擺脫了傳統(tǒng)非交互式程序設(shè)計(jì)語言（如C、Fortran）的編輯模式，代表了當(dāng)今國際科學(xué)計(jì)算軟件的先進(jìn)水平。第3章 橢圓濾波器的基本理論3.1橢圓濾波器的概述常用數(shù)字濾波器的類型有巴特沃斯(Butterworth) ,切比雪

4、夫(Chebyshev) 及橢圓型 濾波器，其中橢圓濾波器（Elliptic filter）又稱考爾濾波器（Cauer filter），是一種性能優(yōu)越的濾波器。從傳遞函數(shù)來看，巴特沃斯和切比雪夫?yàn)V波器的傳輸函數(shù)都是一個(gè)常數(shù)除以一個(gè)多項(xiàng)式, 為全極點(diǎn)網(wǎng)絡(luò), 僅在無限大阻帶處衰減為無限大, 而橢圓函數(shù)濾波器在有限頻率上既有零點(diǎn)又有極點(diǎn)。極零點(diǎn)在通帶內(nèi)產(chǎn)生等波紋, 阻帶內(nèi)的有限傳輸零點(diǎn)減少了過渡區(qū), 可獲得極為陡峭的衰減曲線。也就是說在階數(shù)相同的條件下,橢圓濾波器相比于其他類型的濾波器，能獲得更窄的過渡帶寬和較小的阻帶波動, 就這點(diǎn)而言, 橢圓濾波器是最優(yōu)的。它陡峭的過渡帶特性是用通帶和阻帶的起伏為

5、代價(jià)來換取的，并且在通帶和阻帶的波動相同，這一點(diǎn)區(qū)別于在通帶和阻帶都平坦的巴特沃斯濾波器，以及通帶平坦、阻帶等波紋或是阻帶平坦、通帶等波紋的切比雪夫?yàn)V波器。 總結(jié)起來，橢圓濾波器具有以下特點(diǎn)：1、 橢圓低通濾波器是一種零、極點(diǎn)型濾波器，它在有限頻率范圍內(nèi)存在傳輸零點(diǎn)和極點(diǎn)。2、 橢圓低通濾波器的通帶和阻帶都具有等波紋特性，因此通帶，阻帶逼近特性良好。 3、 對于同樣的性能要求，它比前兩種濾波器所需用的階數(shù)都低，而且它的過渡帶比較窄。但是橢圓濾波器傳輸函數(shù)是一種較復(fù)雜的逼近函數(shù), 利用傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行電路網(wǎng)絡(luò)綜合要進(jìn)行繁瑣的計(jì)算, 還要根據(jù)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行查表, 整個(gè)設(shè)計(jì), 調(diào)整都十分困難和繁瑣。

6、而用MATLAB設(shè)計(jì)橢圓濾波器可以大大簡化設(shè)計(jì)過程。3.2橢圓濾波器設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)橢圓濾波器的振幅平方函數(shù)為 ： （1）其中是雅可比(Jacobi) 橢圓函數(shù)，雅可比橢圓函數(shù)是階數(shù)N的有理函數(shù)，N=5時(shí)的特性曲線如圖1所示。圖1 N=5時(shí)雅可比橢圓函數(shù)的特性曲線 由圖1 可見,在歸一化通帶內(nèi)( - 1 1) ,() 在(0 ,1) 間振蕩,而超過 后,() 在( , ) 間振蕩。L 越大，也變大。這一特點(diǎn)使濾波器同時(shí)在通帶和阻帶具有任意衰減量。L 是一個(gè)表示波紋性質(zhì)的參量。雅可比橢圓函數(shù)還具有以下性質(zhì)： （2）階數(shù)N等于通帶和阻帶內(nèi)最大點(diǎn)和最小點(diǎn)的總和，為與通帶衰減有關(guān)的參數(shù)。系統(tǒng)函數(shù)和階數(shù)N

7、是由系統(tǒng)下面的性能指標(biāo)來確定的，主要有：截止頻率,通帶內(nèi)最大衰減和阻帶截止頻率以及阻帶內(nèi)最小衰減。假定是頻率歸一化的基準(zhǔn)頻率，即 （3）定義頻率的選擇性因數(shù)k為 （4）則截止頻率分別歸一化為 （5）再次假定 （6） （7） （8） （9）則得到橢圓濾波器的階數(shù)N為 （10）這時(shí)，令歸一化的基準(zhǔn)頻率為，則得到歸一化后的橢圓低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 （11）式中， 所以，實(shí)際的橢圓低通濾波器就可以由歸一化的系統(tǒng)函數(shù)來得到 （12） 圖2 為典型N 為奇數(shù)的橢圓濾波器的幅度特性, 當(dāng)，和A 確定后,階次N 即可確定,進(jìn)而可以設(shè)計(jì)出橢圓濾波器。 圖2 橢圓濾波器的幅度特性3.3關(guān)于歸一化的討論歸一化是一

8、種簡化計(jì)算的方式，主要是為了數(shù)據(jù)處理方便提出來的，即將有量綱的表達(dá)式，經(jīng)過變換，化為無量綱的表達(dá)式，成為純量。比如，復(fù)數(shù)阻抗可以歸一化書寫：Z = R + jL = R(1 + jL/R) ，復(fù)數(shù)部分變成了純數(shù)量了，沒有量綱。歸一化方法（Normalization Method）把數(shù)據(jù)映射到01范圍之內(nèi)處理，更加便捷快速，應(yīng)該歸到數(shù)字信號處理范疇之內(nèi)。其具體作用是歸納統(tǒng)一樣本的統(tǒng)計(jì)分布性。歸一化在01之間是統(tǒng)計(jì)的概率分布，歸一化在-1+1之間是統(tǒng)計(jì)的坐標(biāo)分布。歸一化有同一、統(tǒng)一和合一的意思。無論是為了建模還是為了計(jì)算，其基本度量單位要同一。但是歸一化處理并不總是合適的，根據(jù)輸出值的分布情況，標(biāo)

9、準(zhǔn)化等其它統(tǒng)計(jì)變換方法有時(shí)可能更好。具體情況還需具體分析。第四章 設(shè)計(jì)過程4.1橢圓濾波器設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)圖橢圓濾波器設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)圖如圖3所示：圖3 結(jié)構(gòu)框圖4.2設(shè)計(jì)橢圓數(shù)字濾波器的步驟由于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法非常成熟, 許多典型系統(tǒng)有成熟的公式、圖表可以查閱,便于設(shè)計(jì);因此設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的主要方法是:首先設(shè)計(jì)一個(gè)合適的模擬濾波器, 然后將他“ 變換”成滿足給定指標(biāo)的數(shù)字濾波器。設(shè)計(jì)橢圓數(shù)字濾波器的步驟:(1) 確定數(shù)字濾波器性能指標(biāo)、 ;(2) 將數(shù)字濾波器性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的模擬濾波器性能指標(biāo);(3) 設(shè)計(jì)滿足指標(biāo)要求的模擬濾波器;(4) 通過變換將模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。4.3數(shù)字橢圓低通濾波

10、器的MATLAB實(shí)現(xiàn)Matlab 是MathWorks 公司于1984 年正式推出的一套集數(shù)值計(jì)算、符號運(yùn)算及圖形處理等強(qiáng)大功能于一體的科學(xué)計(jì)算語言。作為強(qiáng)大的科學(xué)計(jì)算平臺,他幾乎能夠滿足所有的計(jì)算需求。他的應(yīng)用范圍涵蓋了當(dāng)今幾乎所有的領(lǐng)域,如電子、半導(dǎo)體制造、醫(yī)學(xué)研究、航空航天、汽車制造、分子模型、影視制作、建筑等行業(yè)。Matlab 具有以下優(yōu)勢和特點(diǎn):友好的工作平臺和編程環(huán)境,簡單易用的程序語言,強(qiáng)大的科學(xué)計(jì)算及數(shù)據(jù)處理能力,出色的圖形處理功能,應(yīng)用廣泛的模塊集和工具箱,實(shí)用的程序接口和發(fā)布平臺,模塊化的設(shè)計(jì)和系統(tǒng)級的仿真。隨著Matlab的不斷完善, 尤其是Matlab 的信號處理工具箱

11、( SignalProcessing Toolbox) 的推出,如今Matlab 已經(jīng)成為數(shù)字信號處理DSP(Digital Signal Processing) 應(yīng)用中分析和仿真設(shè)計(jì)的主要工具。4.3.1設(shè)計(jì)橢圓濾波器所用函數(shù)Matlab 的信號處理工具箱提供了設(shè)計(jì)橢圓濾波器的函數(shù):ellipord 函數(shù)、ellip 函數(shù)和ellipap函數(shù)。1. ellipord 函數(shù)的功能是求濾波器的最小階數(shù)和截止頻率,其調(diào)用格式: N, = ellipord( , , , ) 可以得到數(shù)字橢圓型濾波器的最小階數(shù)N和截止頻率 ,并使濾波器在通帶內(nèi)(0 ,) 的波紋系數(shù)小于通帶最大衰減 ,阻帶內(nèi)( ,1)

12、 的波紋系數(shù)大于阻帶最小衰減。其中是橢圓濾波器通帶截止角頻率，是橢圓濾波器阻帶起始角頻率。 根據(jù)本次任務(wù)書的設(shè)計(jì)要求，需要產(chǎn)生一個(gè)連續(xù)信號，包含低頻5Hz，中頻15Hz，高頻30Hz的三個(gè)分量，并對其進(jìn)行采樣，采樣頻率為100Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為100。設(shè)計(jì)低通濾波器對信號進(jìn)行濾波處理，濾除中頻和高頻信號。由于已知參數(shù)有限，對于設(shè)計(jì)中所用到的參數(shù)可取= 0.1，=40，通帶截止頻率Wp=5Hz，阻帶截止頻率 Ws=10Hz，歸一化處理wp=2*Wp/Fs; ws=2*Ws/Fs 。根據(jù)程序：Wp=5;Ws=10;Fs=100;rp=0.1;rs=40;wp=2*Wp/Fs;ws=2*Ws/Fs;n

13、,wn=ellipord(wp,ws,rp,rs)可得出：n =4wn =0.1000 2. ellip 函數(shù)的功能是設(shè)計(jì)濾波器,其調(diào)用格式:b,a = ellip ( N, , ,) , 利用ellipord 函數(shù)得到的最小階數(shù)N和截止頻率,可以設(shè)計(jì)低通濾波器。其中，b、a分別為橢圓濾波器傳輸函數(shù)的分子、分母多項(xiàng)式。3. ellipap函數(shù)的功能是直接返回橢圓濾波器的零點(diǎn)z、極點(diǎn)p和增益k，其調(diào)用格式：z , p , k=ellipap(N , )4.3.2頻譜分析所用函數(shù)Matlab的信號處理工具箱提供了頻譜分析函數(shù):fft函數(shù)、filter函數(shù)和freqz函數(shù)。 1. fft函數(shù)的功能是

14、對信號進(jìn)行快速傅里葉變換，其調(diào)用格式： Y = fft(X) Y = fft(X,n)Y = fft(X,dim) Y = fft(X,n,dim)matlab的fft序號是從1到n，大多數(shù)采用從0到n-1，Y=fft（x）之后，這個(gè)Y是一個(gè)復(fù)數(shù)，它的模值應(yīng)該除以（length(x)2），才能得到各個(gè)頻率信號實(shí)際幅值。fs=100Hz，Nyquist頻率為fs/2=50Hz。整個(gè)頻譜圖是以Nyquist頻率為對稱軸的。由此可以知道FFT變換數(shù)據(jù)的對稱性。因此用FFT對信號做譜分析，只需考察0Nyquist頻率范為內(nèi)的福頻特性。若沒有給出采樣頻率和采樣間隔，則分析通常對歸一化頻率01進(jìn)行。另外，

15、振幅的大小與所用采樣點(diǎn)數(shù)有關(guān)，例如：采用128點(diǎn)和1024點(diǎn)的相同頻率的振幅是有不同的表現(xiàn)值，但在同一幅圖中，40Hz與15Hz振動幅值之比均為4：1，與真實(shí)振幅0.5：2是一致的。為了與真實(shí)振幅對應(yīng)，需要將變換后結(jié)果乘以2除以N。 2. Freqz函數(shù)功能是用來求幅頻響應(yīng)，其調(diào)用格式：h,w=freqz(b,a,n)h,f=freqz(b,a,n,Fs)h=freqz(b,a,w)h=freqz(b,a,f,Fs)freqz(b,a,n)說明: freqz 用于計(jì)算數(shù)字濾波器H(Z)的頻率響應(yīng)函數(shù)H(ej)。h,w=freqz(b,a,n)可得到數(shù)字濾波器的n點(diǎn)復(fù)頻響應(yīng)值，這n個(gè)點(diǎn)均勻地分布

16、在0,上,并將這n個(gè)頻點(diǎn)的頻率記錄在w中，相應(yīng)的頻響值記錄在h中。要求n為大于零的整數(shù),最好為2的整數(shù)次冪,以便采用FFT計(jì)算，提高速度。缺省時(shí)n =512。h,f=freqz(b,a,n,)用于對在0,/2上等間隔采樣n點(diǎn)，采樣點(diǎn)頻率及相應(yīng)頻響值分別記錄在f 和h中。由用戶指定（以HZ為單位）值。h=freqz(b,a,w)用于對在0,上進(jìn)行采樣，采樣頻率點(diǎn)由矢量w指定。h=freqz(b,a,f,Fs) 用于對在0,上采樣，采樣頻率點(diǎn)由矢量f指定。freqz(b,a,n) 用于在當(dāng)前圖形窗口中繪制幅頻和相頻特性曲線。3. filter函數(shù)功能是利用IIR濾波器和FIR濾波器對數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波，

17、其調(diào)用格式： y,zf=filter(b,a,x) y=filter(b,a,x,zi) y=filter(b,a,x)說明：filter采用數(shù)字濾波器對數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波，其實(shí)現(xiàn)采用移位直接型結(jié)構(gòu)，因而適用于IIR和FIR濾波器。濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 即濾波器系數(shù)a=.,b=.,輸入序列矢量為x。這里，標(biāo)準(zhǔn)形式為=1，如果輸入矢量a時(shí)，1，則MATLAB將自動進(jìn)行歸一化系數(shù)的操作；如果=0，則給出出錯(cuò)信息。y=filter(b,a,x)利用給定系數(shù)矢量a和b對x中的數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波，結(jié)果放入y矢量中，y的長度取max(N,M)。y=filter(b,a,x,zi)可在zi中指定x的初始狀態(tài)。y,zf=f

18、ilter(b,a,x)除得到矢量y外，還得到x的最終狀態(tài)矢量zf。4.3.3 其他命令函數(shù)在設(shè)計(jì)過程中出以上功能函數(shù)外，還用到了很多其他的函數(shù)。例如： clc 清除命令窗口中的內(nèi)容 Clear 清除內(nèi)存中的變量和函數(shù) Plot 繪制線性圖形 Abs 取模 等。4.4 橢圓低通濾波器的設(shè)計(jì)程序 %原始混合信號的產(chǎn)生及對其采樣Fs=100;t=(1:100)/Fs;s1=sin(2*pi*t*5);s2=sin(2*pi*t*15);s3=sin(2*pi*t*30);s=s1+s2+s3;figure(1);subplot(2,1,1)plot(t,s)xlabel(時(shí)間/t)ylabel(幅

19、值)title(原始輸入模擬信號)subplot(2,1,2)stem(t,s)xlabel(時(shí)間/t)ylabel(幅值)title(采樣后的輸入信號)%橢圓低通濾波器的設(shè)計(jì)%求取最小階數(shù)和截止頻率Wp=5;Ws=10;Fs=100;rp=0.1;rs=40;wp=2*Wp/Fs;ws=2*Ws/Fs;n,wn=ellipord(wp,ws,rp,rs)b,a=ellip(4,0.1,40,5*2/Fs);H,w=freqz(b,a,512);figure(2);plot(w*Fs/(2*pi),abs(H);xlabel(頻率/Hz);ylabel(幅度);title(橢圓低通濾波器的幅度

20、響應(yīng))grid;%對濾波后的信號進(jìn)行分析和變換sf=filter(b,a,s);figure(3);plot(t,sf);xlabel(時(shí)間/t);ylabel(幅值);title(濾波后的信號)axis(0 1 -1 1);S=fft(s,512);SF=fft(sf,512);w=(0:255)/256*(Fs/2);figure(4);subplot(2,1,1)plot(w,abs(S(1:256);xlabel(頻率/Hz);ylabel(幅度);title(濾波前的傅立葉變換圖)grid;subplot(2,1,2)plot(w,abs(SF(1:256);xlabel(頻率/Hz);ylabel(幅度);title(濾波后的傅立葉變換圖)grid;第五章 仿真圖5.1原始信號及其采樣仿真圖，如圖3所示圖3 原始輸入信號及其采樣圖5.2信號通過橢圓低通濾波器的仿真圖，如圖4所示圖4 信號通過橢圓低通濾波器的仿真圖5.3 橢圓低通濾波器的幅度特性，如圖5所示圖5 橢圓低通濾波器的幅度特性5.4 對信號進(jìn)行傅里葉變換的仿真，如圖6所示圖6 信號的傅里葉變換第6章 結(jié)論 在最常用的巴特沃斯、切比雪夫、橢圓函數(shù)3 種濾波器中,實(shí)現(xiàn)同樣性能指標(biāo)所需的階數(shù)及阻帶衰減，橢圓濾波器給出的設(shè)計(jì)階數(shù)比前兩種低,而且頻率特性較好,過渡帶較窄,但是橢圓濾波器在通帶上的非線性相位響應(yīng)最明顯。數(shù)