《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》浙江大學第四版課后習題答案

1、 概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題答案 第四版 盛驟 (浙江大學) 浙大第四版（高等教育出版社） 第一章 概率論的基本概念1.一 寫出下列隨機試驗的樣本空間（1）記錄一個小班一次數(shù)學考試的平均分數(shù)（充以百分制記分）（一 1）o1n?100?S?,?，n表小班人數(shù)n?nn（3）生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到10件正品，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。（一 2）S=10，11，12，n， （4）對某工廠出廠的產(chǎn)品進行檢查，合格的蓋上“正品”，不合格的蓋上“次品”，如連續(xù)查出二個次品就停止檢查，或檢查4個產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結(jié)果。查出合格品記為“1”，查出次品記為“0”，連續(xù)出現(xiàn)兩個“0”就停止檢查，或查滿4次才停止檢查。 （一

2、 (3)）S=00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111， 2.二 設(shè)A，B，C為三事件，用A，B，C的運算關(guān)系表示下列事件。 （1）A發(fā)生，B與C不發(fā)生。 表示為：ABC或A (AB+AC)或A (BC) （2）A，B都發(fā)生，而C不發(fā)生。 表示為：ABC或ABABC或ABC 1 （3）A，B，C中至少有一個發(fā)生 （4）A，B，C都發(fā)生， 表示為：A+B+C表示為：ABC 表示為：ABC或S (A+B+C)或A?B?C（5）A，B，C都不發(fā)生， （6）A，B，C中不多于一個發(fā)生，即A，B，C中至少有兩個同時不發(fā)生 相當于AB

3、,BC,AC中至少有一個發(fā)生。故 表示為：AB?BC?AC。 （7）A，B，C中不多于二個發(fā)生。相當于：A,B,C中至少有一個發(fā)生。故 表示為：A?B?C或ABC （8）A，B，C中至少有二個發(fā)生。相當于：AB，BC，AC中至少有一個發(fā)生。故 表示為：AB+BC+AC6.三 設(shè)A，B是兩事件且P (A)=0.6，P (B)=0.7. 問(1)在什么條件下P (AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么條件下P (AB)取到最小值，最小值是多少？解：由P (A) = 0.6，P (B) = 0.7即知AB，（否則AB = 依互斥事件加法定理， P(AB)=P (A)+P (B)=0.6+0.7

4、=1.31與P (AB)1矛盾）. 從而由加法定理得P (AB)=P (A)+P (B)P (AB) (*) （1）從0P(AB)P(A)知，當AB=A，即AB時P(AB)取到最大值，最大值為 P(AB)=P(A)=0.6，（2）從(*)式知，當AB=S時，P(AB)取最小值，最小值為 P(AB)=0.6+0.71=0.3 。7.四 設(shè)A，B，C是三事件，且P(A)?P(B)?P(C)?P(AC)?1. 求A，B，C至少有一個發(fā)生的概率。 81,P(AB)?P(BC)?0，4解：P (A，B，C至少有一個發(fā)生)=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C)P(AB)P(BC) 2 P

5、(AC)+ P(ABC)= 315?0? 4888.五 在一標準英語字典中具有55個由二個不相同的字母新組成的單詞，若從26個英語字母中任取兩個字母予以排列，問能排成上述單詞的概率是多少？記A表“能排成上述單詞”2 從26個任選兩個來排列，排法有A26種。每種排法等可能。字典中的二個不同字母組成的單詞：55個 P(A)?5511 ?2130A269. 在電話號碼薄中任取一個電話號碼，求后面四個數(shù)全不相同的概率。（設(shè)后面4個數(shù)中的每一個數(shù)都是等可能性地取自0，1，29）記A表“后四個數(shù)全不同” 后四個數(shù)的排法有104種，每種排法等可能。4后四個數(shù)全不同的排法有A10 4A10P(A)?4?0.5

6、041010.六 在房間里有10人。分別佩代著從1號到10號的紀念章，任意選3人記錄其紀念章的號碼。（1）求最小的號碼為5的概率。記“三人紀念章的最小號碼為5”為事件A10? 10人中任選3人為一組：選法有?3?種，且每種選法等可能。 ?5?又事件A相當于：有一人號碼為5，其余2人號碼大于5。這種組合的種數(shù)有1?2? ? 5?1?2?1 P(A)?12?10?3?3 （2）求最大的號碼為5的概率。10?記“三人中最大的號碼為5”為事件B，同上10人中任選3人，選法有?3?種，且?4?每種選法等可能，又事件B相當于：有一人號碼為5，其余2人號碼小于5，選法有1?2?種 4?1?2?1 P(B)?

7、20?10?3?11.七 某油漆公司發(fā)出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，紅漆3桶。在搬運中所標箋脫落，交貨人隨意將這些標箋重新貼，問一個定貨4桶白漆，3桶黑漆和2桶紅漆顧客，按所定的顏色如數(shù)得到定貨的概率是多少？記所求事件為A。9在17桶中任取9桶的取法有C17種，且每種取法等可能。432?C4?C3取得4白3黑2紅的取法有C10故 432C10?C4?C3252P(A)? 62431C1712.八 在1500個產(chǎn)品中有400個次品，1100個正品，任意取200個。 （1）求恰有90個次品的概率。 記“恰有90個次品”為事件A1500? 在1500個產(chǎn)品中任取200個，取法有?200?種

8、，每種取法等可能。?400?1100?種 200個產(chǎn)品恰有90個次品，取法有?90?110?400?1100?90?110?P(A)? 1500?200?4 （2）至少有2個次品的概率。 記：A表“至少有2個次品”B0表“不含有次品”，B1表“只含有一個次品”，同上，200個產(chǎn)品不含次品，取法1100?400?1100?有?200?種，200個產(chǎn)品含一個次品，取法有?1?199?種 ? A?B0?B1且B0，B1互不相容。 ?1100?200?P(A)?1?P(A)?1?P(B0)?P(B1)?1?1500?200?400?1100?1?199?1500?200?13.九 從5雙不同鞋子中任取

9、4只，4只鞋子中至少有2只配成一雙的概率是多少？ 記A表“4只全中至少有兩支配成一對” 則A表“4只人不配對”10? 從10只中任取4只，取法有?4?種，每種取法等可能。?要4只都不配對，可在5雙中任取4雙，再在4雙中的每一雙里任取一只。取法有?5?24 ?4?P(A)?4C5?244C10?821813?2121P(A)?1?P(A)?1?15.十一 將三個球隨機地放入4個杯子中去，問杯子中球的最大個數(shù)分別是1，2，3，的概率各為多少？記Ai表“杯中球的最大個數(shù)為i個” i=1,2,3, 三只球放入四只杯中，放法有43種，每種放法等可能對A1：必須三球放入三杯中，每杯只放一球。放法432種。

10、 (選排列：好比3個球在4個位置做排列) 5 P(A1)?4?3?26 ?31642?4?3種。 對A2：必須三球放入兩杯，一杯裝一球，一杯裝兩球。放法有C32(從3個球中選2個球，選法有C3，再將此兩個球放入一個杯中，選法有4種，最后將剩余的1球放入其余的一個杯中，選法有3種。2C3?4?3P(A2)?43?9 16對A3：必須三球都放入一杯中。放法有4種。(只需從4個杯中選1個杯子，放入此3個球，選法有4種) P(A3)?41 ?316416.十二 50個鉚釘隨機地取來用在10個部件，其中有三個鉚釘強度太弱，每個部件用3只鉚釘，若將三只強度太弱的鉚釘都裝在一個部件上，則這個部件強度就太弱，

11、問發(fā)生一個部件強度太弱的概率是多少？記A表“10個部件中有一個部件強度太弱”。 法一：用古典概率作：把隨機試驗E看作是用三個釘一組，三個釘一組去鉚完10個部件（在三個釘?shù)囊唤M中不分先后次序。但10組釘鉚完10個部件要分先后次序）3333?C47?C44?C23對E：鉚法有C50種，每種裝法等可能3333?C47?C44?C23對A：三個次釘必須鉚在一個部件上。這種鉚法有C310種3333C3?C47?C44?C23?10333C50?C47?C23P(A)?1?0.00051 1960法二：用古典概率作把試驗E看作是在50個釘中任選30個釘排成一列，順次釘下去，直到把部件鉚完。（鉚釘要計先后次

12、序）6 3對E：鉚法有A50種，每種鉚法等可能對A：三支次釘必須鉚在“1，2，3”位置上或“4，5，6”位置上，或“28，29，327327327327?A47?A3?A47?A3?A47?10?A3?A4730”位置上。這種鉚法有A3種P(A)?32710?A3?A4730A50?1?0.00051 196017.十三 已知P(A)?0.3,P(B)?0.4,P(AB)?0.5,求P(B|A?B)。 解一： P(A)?1?P(A)?0.7,P(B)?1?P(B)?0.6,A?AS?A(B?B)?AB?AB注意(AB)(AB)?. 故有P (AB)=P (A)P (AB)=0.70.5=0.2

13、。 再由加法定理，P (AB)= P (A)+ P (B)P (AB)=0.7+0.60.5=0.8 于是P(B|A?B)?PB(A?B)P(AB)0.2?0.25P(A?B)P(A?B)0.8解二:P(AB)?P(A)P(B|A)?由已知?05?07?P(B|A)?P(B|A)?0.5521?P(B|A)?故P(AB)?P(A)P(B|A)?0.77751P(BA?BB)P(BA)5P(B|A?B)定義?0.25P(A?B)P(A)?P(B)?P(AB)0.7?0.6?0.5 18.十四 P(A)?111,P(B|A)?,P(A|B)?,求P(A?B)。 43211?定義P(AB)P(A)P

14、(B|A)由已知條件143?P(B)?1 ?有?解：由P(A|B)P(B)P(B)2P(B)67 由乘法公式，得P(AB)?P(A)P(B|A)?1 121111? 46123由加法公式，得P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?19.十五 擲兩顆骰子，已知兩顆骰子點數(shù)之和為7，求其中有一顆為1點的概率（用兩種方法）。解：（方法一）（在縮小的樣本空間SB中求P(A|B)，即將事件B作為樣本空間，求事件A發(fā)生的概率）。擲兩顆骰子的試驗結(jié)果為一有序數(shù)組（x, y）（x, y=1,2,3,4,5,6）并且滿足x,+y=7，則樣本空間為S=(x, y)| (1, 6 ), (6, 1), (2,

15、 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3) 每種結(jié)果（x, y）等可能。A=擲二骰子，點數(shù)和為7時，其中有一顆為1點。故P(A)?方法二：（用公式P(A|B)?21? 63P(AB) P(B)S=(x, y)| x =1,2,3,4,5,6; y = 1,2,3,4,5,6每種結(jié)果均可能A=“擲兩顆骰子，x, y中有一個為“1”點”，B=“擲兩顆骰子，x,+y=7”。則P(B)?612， ?,P(AB)?2266622P(AB)21?6? 故P(A|B)?P(B)163620.十六 據(jù)以往資料表明，某一3口之家，患某種傳染病的概率有以下規(guī)律：P(A)=P孩子得病=0.6，P (B|

16、A)=P母親得病|孩子得病=0.5，P (C|AB)=P父親得病|母親及孩子得病=0.4。求母親及孩子得病但父親未得病的概率。解：所求概率為P (ABC)（注意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是隨機事件，這里不是求P (C|AB) 8 P (AB)= P(A)=P(B|A)=0.60.5=0.3, P (C|AB)=1P (C |AB)=10.4=0.6. 從而P (ABC)= P (AB) P(C|AB)=0.30.6=0.18. 21.十七 已知10只晶體管中有2只次品，在其中取二次，每次隨機地取一只，作不放回抽樣，求下列事件的概率。（1）二只都是正品（記為事件A）法一：用組合做 在1

17、0只中任取兩只來組合，每一個組合看作一個基本結(jié)果，每種取法等可能。C8228P(A)?2?0.62C1045法二：用排列做 在10只中任取兩個來排列，每一個排列看作一個基本結(jié)果，每個排列等可能。2A82A10P(A)?28 45法三：用事件的運算和概率計算法則來作。 記A1，A2分別表第一、二次取得正品。P(A)?P(A1A2)?P(A)P(A2|A1)?（2）二只都是次品（記為事件B）2C22C108728 ?10945法一： P(B)?1 45法二： P(B)?2A22A10?1 45211? 10945法三： P(B)?P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)?（3）一只是正品，一只是

18、次品（記為事件C）9 11C8?C22C10法一： P(C)?16 45法二： P(C)?112(C8?C2)?A22A10?16 45法三： P(C)?P(A1A2?A1A2)且A1A2與A1A2互斥 ?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)?281682 ?10910945（4）第二次取出的是次品（記為事件D）法一：因為要注意第一、第二次的順序。不能用組合作，11A9?A22A10法二： P(D)?1 5法三： P(D)?P(A1A2?A1A2)且A1A2與A1A2互斥 ?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)?82211? 109109522.十八 某人忘

19、記了電話號碼的最后一個數(shù)字，因而隨機的撥號，求他撥號不超過三次而接通所需的電話的概率是多少？如果已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是多少？記H表撥號不超過三次而能接通。 Ai表第i次撥號能接通。注意：第一次撥號不通，第二撥號就不再撥這個號碼。?H?A1?A1A2?A1A2A3三種情況互斥P(H)?P(A1)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) ?1919813?10109109810如果已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)（記為事件B）問題變?yōu)樵贐已發(fā)生的條件下，求H10 再發(fā)生的概率。P(H|B)?PA1|B?A1A2|B?A1A2A3|B) ?P(A1|B)?P(

20、A1|B)P(A2|BA1)?P(A1|B)P(A2|BA1)P(A3|BA1A2) ?1414313? 554543524.十九 設(shè)有甲、乙二袋，甲袋中裝有n只白球m只紅球，乙袋中裝有N只白球M只紅球，今從甲袋中任取一球放入乙袋中，再從乙袋中任取一球，問取到（即從乙袋中取到）白球的概率是多少？（此為第三版19題(1)）記A1，A2分別表“從甲袋中取得白球，紅球放入乙袋” 再記B表“再從乙袋中取得白球”。 B=A1B+A2B且A1，A2互斥 P (B)=P (A1)P(B| A1)+ P (A2)P (B| A2) =nN?1mN? n?mN?M?1n?mN?M?1十九(2) 第一只盒子裝有5

21、只紅球，4只白球；第二只盒子裝有4只紅球，5只白球。先從第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后從第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。記C1為“從第一盒子中取得2只紅球”。 C2為“從第一盒子中取得2只白球”。 C3為“從第一盒子中取得1只紅球，1只白球”，D為“從第二盒子中取得白球”，顯然C1，C2，C3兩兩互斥，C1C2C3=S，由全概率公式，有P (D)=P (C1)P (D|C1)+P (C2)P (D|C2)+P (C3)P (D| C3)112C525C4?C47C5653 ?2?2? ?1199C911C911C9226.二十一 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%

22、是色盲患者。今從男女11 人數(shù)相等的人群中隨機地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是多少？解：A1=男人，A2=女人，B=色盲，顯然A1A2=S，A1 A2= 由已知條件知P(A1)?P(A2)?由貝葉斯公式，有1P(B|A1)?5%,P(B|A2)?0.25% 2?15?P(A1B)P(A1)P(B|A1)202100P(A1|B)?125P(B)P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)1521?2100210000二十二 一學生接連參加同一課程的兩次考試。第一次及格的概率為P，若第一次及格則第二次及格的概率也為P；若第一次不及格則第二次及格的概率為P（1）若至少2有一次

23、及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率。（2）若已知他第二次已經(jīng)及格，求他第一次及格的概率。解：Ai=他第i次及格，i=1,2 已知P (A1)=P (A2|A1)=P，P(A2|A1)?P2（1）B=至少有一次及格 所以B?兩次均不及格?A1A2P(B)?1?P(B)?1?P(A1A2)?1?P(A1)P(A2|A1) ?1?1?P(A1)1?P(A2|A1) ?1?(1?P)(1?P31)?P?P2 222（*）定義P(A1A2)（2）P(A1A2)P(A2)由乘法公式，有P (A1 A2)= P (A1) P (A2| A1) = P2由全概率公式，有P(A2)?P(A1)P(A2

24、|A1)?P(A1)P(A2|A1) 12 ?P?P?(1?P)? P2P2P?22將以上兩個結(jié)果代入（*）得P(A1|A2)?P2P2P?22?2P P?128.二十五 某人下午5:00下班，他所積累的資料表明： 到家時間 乘地鐵到0.10 家的概率 乘汽車到0.30 家的概率某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車，結(jié)果他是5:47到家的，試求他是乘地鐵回家的概率。解：設(shè)A=“乘地鐵”，B=“乘汽車”，C=“5:455:49到家”，由題意,AB=,AB=S 已知：P (A)=0.5, P (C|A)=0.45, P (C|B)=0.2, P (B)=0.5 由貝葉斯公式有0.35 0.20 0

25、.10 0.05 0.25 0.45 0.15 0.05 5:355:39 5:405:44 5:455:49 5:505:54 遲于5:54 P(A|C)?P(C|A)P(A)?P(C)0.5?0.450.459?0.6923110.6513P(C|A)?P(C|B)2229.二十四 有兩箱同種類型的零件。第一箱裝5只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品。今從兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任取一只，作不放回抽樣。試求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率。解：設(shè)Bi表示“第i次取到一等品” i=

26、1，2 13 Aj表示“第j箱產(chǎn)品” j=1,2，顯然A1A2=S （1）P(B1)?A1A2=1101182。 ?0.4（B1= A1B +A2B由全概率公式解）2502305110911817?P(B1B2)2504923029（2）P(B2|B1)?0.48572P(B1)5 （先用條件概率定義，再求P (B1B2)時，由全概率公式解） 32.二十六（2） 如圖1，2，3，4，5表示繼電器接點，假設(shè)每一繼電器接點閉合的概率為p，且設(shè)各繼電器閉合與否相互獨立，求L和R是通路的概率。記Ai表第i個接點接通記A表從L到R是構(gòu)成通路的。 A=A1A2+ A1A3A5+A4A5+A4A3A2四種情

27、況不互斥 P (A)=P (A1A2)+P (A1A3A5) +P (A4A5)+P (A4A3A2)P (A1A2A3A5) + P (A1A2 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4) +P (A1A3 A4A5) + P (A1A2 A3A4A5) P (A2 A3 A4A5)+ P (A1A2A3 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4A5) + (A1A2 A3 A4A5) + P (A1A2 A3 A4A5)P (A1A2 A3 A4A5) 又由于A1，A2， A3， A4，A5互相獨立。 故 P (A)=p2+ p3+ p2+ p3p4 +p4 +p4 +p4 +p5 +p4

28、 L 1 3 4 5 2 R + p5 + p5+ p5+ p5p5=2 p2+ 3p35p4 +2 p5二十六（1）設(shè)有4個獨立工作的元件1，2，3，4。它們的可靠性分別為P1，P2，P3，P4，將它們按圖（1）的方式聯(lián)接，求系統(tǒng)的可靠性。記Ai表示第i個元件正常工作，i=1，2，3，4， 14 2 1 4 3 A表示系統(tǒng)正常。 A=A1A2A3+ A1A4兩種情況不互斥(加法公式) P (A)= P (A1A2A3)+P (A1A4)P (A1A2A3 A4) = P (A1) P (A2)P (A3)+ P (A1) P (A4)P (A1) P (A2)P (A3)P (A4) = P

29、1P2P3+ P1P4P1P2P3P4 (A1, A2, A3, A4獨立) 34.三十一 袋中裝有m只正品硬幣，n只次品硬幣，（次品硬幣的兩面均印有國徽）。在袋中任取一只，將它投擲r次，已知每次都得到國徽。問這只硬幣是正品的概率為多少？解：設(shè)“出現(xiàn)r次國徽面”=Br “任取一只是正品”=A 由全概率公式，有m1rn()?1rm?n2m?nm1r ()P(A)P(Br|A)mm?n2?P(A|Br)?m1rnP(Br)m?n?2r()?m?n2m?nP(Br)?P(A)P(Br|A)?P(A)P(Br|A)? （條件概率定義與乘法公式）35甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊，三人擊中的概率分別為

30、0.4，0.5，0.7。飛機被一人擊中而被擊落的概率為0.2，被兩人擊中而被擊落的概率為0.6，若三人都擊中，飛機必定被擊落。求飛機被擊落的概率。解：高Hi表示飛機被i人擊中，i=1，2，3。B1，B2，B2分別表示甲、乙、丙擊中飛機 H1?B1B2B3?B1B2B3?B1B2B3，三種情況互斥。 H2?B1B2B3?B1B2B3?B1B2B3 三種情況互斥 H3?B2B2B315 又 B1，B2，B2獨立。 P(H1)?P(B1)P(B2)P(B3)?P(B1)P(B2)P(B3) ?P(B1)P(B2)P(B3)?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7?0.

31、36P(H2)?P(B1)P(B2)P(B3)?P(B1)P(B2)P(B3) ?P(B1)P(B2)P(B3)?0.4?0.5?0.3 + 0.40.50.7+0.60.50.7=0.41 P (H3)=P (B1)P (B2)P (B3)=0.40.50.7=0.14 又因： A=H1A+H2A+H3A 三種情況互斥故由全概率公式，有P (A)= P(H1)P (A|H1)+P (H2)P (A|H2)+P (H3)P (AH3) =0.360.2+0.410.6+0.141=0.458 36.三十三設(shè)由以往記錄的數(shù)據(jù)分析。某船只運輸某種物品損壞2%（這一事件記為A1），10%（事件A2）

32、，90%（事件A3）的概率分別為P (A1)=0.8, P (A2)=0.15, P (A2)=0.05，現(xiàn)從中隨機地獨立地取三件，發(fā)現(xiàn)這三件都是好的（這一事件記為B），試分別求P (A1|B) P (A2|B), P (A3|B)（這里設(shè)物品件數(shù)很多，取出第一件以后不影響取第二件的概率，所以取第一、第二、第三件是互相獨立地） B表取得三件好物品。 B=A1B+A2B+A3B 三種情況互斥由全概率公式，有 P (B)= P(A1)P (B|A1)+P (A2)P (B|A2)+P (A3)P (B|A3) =0.8(0.98)3+0.15(0.9)3+0.05(0.1)3=0.8624 16

33、P(A1B)P(A1)P(B|A1)0.8?(0.98)3P(A1|B)?0.8731P(B)P(B)0.8624P(A2B)P(A2)P(B|A2)0.15?(0.9)3P(A2|B)?0.1268P(B)P(B)0.8624P(A3B)P(A3)P(B|A3)0.05?(0.1)3P(A3|B)?0.0001P(B)P(B)0.862437.三十四 將A，B，C三個字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為，而輸出為其它一字母的概率都是(1)/2。今將字母串AAAA，BBBB，CCCC之一輸入信道，輸入AAAA，BBBB，CCCC的概率分別為p1, p2, p3 (p1 +p2+p3=1)，已

34、知輸出為ABCA，問輸入的是AAAA的概率是多少？（設(shè)信道傳輸每個字母的工作是相互獨立的。）解：設(shè)D表示輸出信號為ABCA，B1、B2、B3分別表示輸入信號為AAAA，BBBB，CCCC，則B1、B2、B3為一完備事件組，且P(Bi)=Pi, i=1, 2, 3。再設(shè)A發(fā)、A收分別表示發(fā)出、接收字母A，其余類推，依題意有 P (A收| A發(fā))= P (B收| B發(fā))= P (C收| C發(fā))=，P (A收| B發(fā))= P (A收| C發(fā))= P (B收| A發(fā))= P (B收| C發(fā))= P (C收| A發(fā))= P (C收| B發(fā))=1? 2又P (ABCA|AAAA)= P (D | B 1)

35、 = P (A收| A發(fā)) P (B收| A發(fā)) P (C收| A發(fā)) P (A收| A發(fā)) =2(1?2)， 21?3) 2同樣可得P (D | B 2) = P (D | B 3) =?(于是由全概率公式，得P(D)?P(B)P(D|B)iii?13?p1a2(1?21?3)?(P2?P3)()22由Bayes公式，得 P (AAAA|ABCA)= P (B 1 | D ) =P(B1)P(D|B1)P(D) 17 =2P12P1?(1?)(P2?P3)二十九 設(shè)第一只盒子裝有3只藍球，2只綠球，2只白球；第二只盒子裝有2只藍球，3只綠球，4只白球。獨立地分別從兩只盒子各取一只球。（1）求

36、至少有一只藍球的概率，（2）求有一只藍球一只白球的概率，（3）已知至少有一只藍球，求有一只藍球一只白球的概率。解：記A1、A2、A3分別表示是從第一只盒子中取到一只藍球、綠球、白球，B1、B2、B3分別表示是從第二只盒子中取到一只藍球、綠球、白球。（1）記C=至少有一只藍球 C= A1B1+ A1B2+ A1B3+ A2B1+ A3B1，5種情況互斥 由概率有限可加性，得P(C)?P(A1B1)?P(A1B2)?P(A1B3)?P(A2B1)?P(A3B1)獨立性P(A)P(B)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?P(A)P(B)1112132131?32333422225

37、?79797979799（2）記D=有一只藍球，一只白球，而且知D= A1B3+A3B1兩種情況互斥P(D)?P(A1B3?P(A3B1)?P(A1)P(B3)?P(A3)P(B1)?342216?797963P(CD)P(D)16?P(C)P(C)35（3）P(D|C)?(注意到CD?D)三十 A，B，C三人在同一辦公室工作，房間有三部電話，據(jù)統(tǒng)計知，打給A，B，C的電話的概率分別為率分別為1,2141，設(shè)三人的行動相互獨立，求 42,52,51。他們?nèi)顺Ｒ蚬ぷ魍獬觯珹，B，C三人外出的概5（1）無人接電話的概率；（2）被呼叫人在辦公室的概率；若某一時間斷打進了3個電話，求（3）這3個電話

38、打給同一人的概率；（4）這3個電話打給不同人的概率；（5）這3個電話都打給B，而B卻都不在的概率。 18 解：記C1、C2、C3分別表示打給A，B，C的電話 D1、D2、D3分別表示A，B，C外出 注意到C1、C2、C3獨立，且P(C1)?P(C2)? P(D1)?21,P(C3)? 551,2P(D2)?P(D3)?1 4（1）P（無人接電話）=P (D1D2D3)= P (D1)P (D2)P (D3) =1111 ?24432（2）記G=“被呼叫人在辦公室”，G?C1D1?C2D2?C3D3三種情況互斥，由有限可加性與乘法公式P(G)?P(C1D1)?P(C2D2)?P(C3D3)?由于

39、某人外出與? ?P(C1)P(D1|C1)?P(C2)P(D2|C2)?P(C3)P(D3|C3)?否和來電話無關(guān)?故P(D|C)?P(D)?21231313kkk?52545420（3）H為“這3個電話打給同一個人”P(H)?22222211117? 555555555125（4）R為“這3個電話打給不同的人”R由六種互斥情況組成，每種情況為打給A，B，C的三個電話，每種情況的概率為2214 ?555125于是P(R)?6?424 ?125125（5）由于是知道每次打電話都給B，其概率是1，所以每一次打給B電話而B不在的概率為1，且各次情況相互獨立 4于是 P（3個電話都打給B，B都不在的概

40、率）=()3?141 6419 第二章 隨機變量及其分布1.一 一袋中有5只乒乓球，編號為1、2、3、4、5，在其中同時取三只，以X表示取出的三只球中的最大號碼，寫出隨機變量X的分布律解：X可以取值3，4，5，分布律為21?C23C5P(X?3)?P(一球為3號,兩球為1,2號)?11021?C33C5 P(X?4)?P(一球為4號,再在1,2,3中任取兩球)?310?610P(X?5)?P(一球為5號,再在1,2,3,4中任取兩球)?也可列為下表 X： 3， 4，5 P：21?C43C5136 ,1010103.三 設(shè)在15只同類型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽樣

41、，以X表示取出次品的只數(shù)，（1）求X的分布律，（2）畫出分布律的圖形。解：任取三只，其中新含次品個數(shù)X可能為0，1，2個。P(X?0)?3C133C15?22 3512? 351 35O 1 2 x P P(X?1)?12C2?C133C1521C2?C133C15P(X?2)?再列為下表?X： 0， 1， 2 20 P：22121 ,3535354.四 進行重復獨立實驗，設(shè)每次成功的概率為p，失敗的概率為q =1p(0pY)=P (X=1, Y=0)+P (X=2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P

42、(Y=2) =P (X=1) P (Y=0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2) 12?0.6?(0.4)2?(0.3)3?C3?(0.6)2?0.4?(0.3)8? =C322123 C3?(0.6)?0.4?C3?0.7?(0.3)?(0.6) 1?(0.3)3?(0.6)3?C3?0.7?(0.3)2?(0.6)3 22 ?C3?(0.7)?0.3?0.2439.十 有甲、乙兩種味道和顏色極為相似的名酒各4杯。如果從中挑4杯，能將甲種酒全部挑出來，算是試驗成功一次。

43、（1）某人隨機地去猜，問他試驗成功一次的概率是多少？（2）某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒。他連續(xù)試驗10次，成功3次。試問他是猜對的，還是他確有區(qū)分的能力（設(shè)各次試驗是相互獨立的。）解：（1）P (一次成功)=11? 470C8136973)()?。此概率太小，按實7070100003(（2）P (連續(xù)試驗10次，成功3次)= C10際推斷原理，就認為他確有區(qū)分能力。九 有一大批產(chǎn)品，其驗收方案如下，先做第一次檢驗：從中任取10件，經(jīng)驗收無次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大于2拒收；否則作第二次檢驗，其做法是從中再任取5件，僅當5件中無次品時接受這批產(chǎn)品，若產(chǎn)品的次品率為10%，求23 （1）這批產(chǎn)品

44、經(jīng)第一次檢驗就能接受的概率 （2）需作第二次檢驗的概率（3）這批產(chǎn)品按第2次檢驗的標準被接受的概率（4）這批產(chǎn)品在第1次檢驗未能做決定且第二次檢驗時被通過的概率 （5）這批產(chǎn)品被接受的概率解：X表示10件中次品的個數(shù)，Y表示5件中次品的個數(shù)， 由于產(chǎn)品總數(shù)很大，故XB（10，0.1），YB（5，0.1）（近似服從） （1）P X=0=0.9100.349 210.120.98?C100.10.99?0.581 （2）P X2=P X=2+ P X=1=C10（3）P Y=0=0.9 50.590 （4）P 0X2，Y=0 (0X2與 Y=2獨立) = P 0X2P Y=0 =0.5810.59

45、0?0.343 （5）P X=0+ P 010)=P (X 11)=0.002840（查表計算）十二 (2)每分鐘呼喚次數(shù)大于3的概率。PX?3?PX?4?0.566530十六 以X表示某商店從早晨開始營業(yè)起直到第一顧客到達的等待時間（以分計），X的分布函數(shù)是?1?e?0.4x,x?0FX(x)?x?0?0求下述概率：（1）P至多3分鐘；（2）P 至少4分鐘；（3）P3分鐘至4分鐘之間；24 （4）P至多3分鐘或至少4分鐘；（5）P恰好2.5分鐘 解：（1）P至多3分鐘= P X3 =FX(3)?1?e?1.2 （2）P 至少4分鐘 P (X 4) =1?FX(4)?e?1.6 （3）P3分鐘至4分鐘之間= P 3X4=FX(4)?FX(3)?e?1.2?e?1.6 （4）P至多3分鐘或至少4分鐘= P至多3分鐘+P至少4分鐘 =1?e?1.2?e?