梯度散度旋度的關(guān)系

1、梯度gradie nt設(shè)體系中某處的物理參數(shù)(如溫度、速度、濃度等)為w，在與其垂直距離的dy處該參數(shù)為w+dw，則稱為該物理參數(shù)的梯度，也即該物理參數(shù)的變化率。如果參數(shù)為速度、濃度或溫度，則分別稱為速度梯度、濃度梯度或溫度梯度。在向量微積分中，標(biāo)量場(chǎng)的梯度是一個(gè) 向量場(chǎng)。標(biāo)量場(chǎng)中某一點(diǎn)上的梯度指向標(biāo)量場(chǎng)增長(zhǎng)最快的方向，梯度的長(zhǎng)度是這個(gè)最大的變化率。更嚴(yán) 格的說，從歐氏空間Rn到R的函數(shù)的梯度是在Rn某一點(diǎn)最佳的線性近似。在這個(gè)意義上，梯度是雅戈比矩陣的一個(gè)特殊情況。在單變量的實(shí)值函數(shù)的情況，梯度只是 導(dǎo)數(shù)，或者，對(duì)于一個(gè) 線性函 數(shù)，也就是線的斜率。梯度一詞有時(shí)用于斜度，也就是一個(gè)曲面沿著給

2、定方向的傾斜程度。 可以通過取向量梯度和所研究的方向的點(diǎn)積來得到斜度。梯度的數(shù)值有時(shí)也被成為梯度。在二元函數(shù)的情形，設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo) 數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn) P(x,y) D，都可以定出一個(gè)向量(S f/x)*i+( S f/y)*這向量稱為函數(shù) z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)的梯度，記作 gradf(x,y)類似的對(duì)三元函數(shù)也可以定義一個(gè)：(S f/x)*i+( S f/y)*j+(S f/記為gradf(x,y,z)梯度的漢語詞義，用法?，F(xiàn)代漢語詞典附：新詞新義梯度1坡度。2. 單位時(shí)間或單位距離內(nèi)某種現(xiàn)象(如溫度、氣壓、密度、速度等) 變化的程度。3. 依

3、照一定次序分層次地：我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展由東向西推進(jìn)。4. 依照一定次序分出的層次：考試命題要講究題型有變化，難易有。散度散度(diverge nee )的概念：在矢量場(chǎng)F中的任一點(diǎn) M處作一個(gè)包圍該點(diǎn)的任意閉合曲面S,當(dāng)S所限定的體積 4V以任何方式趨近于0時(shí)，則比值為F dS/ AV的極限稱為矢量場(chǎng)F在點(diǎn)M處的散度，并記作 div F由散度的定義可知，div F表示在點(diǎn) M處的單位體積內(nèi)散發(fā)出來的矢量 F的 通量，所以div F描述了通量源的密度。div F= F氣象學(xué)：散度指流體運(yùn)動(dòng)時(shí)單位體積的改變率。簡(jiǎn)單地說，流體在運(yùn)動(dòng)中集中 的區(qū)域?yàn)檩椇?，運(yùn)動(dòng)中發(fā)散的區(qū)域?yàn)檩椛ⅰＳ靡员硎镜牧糠Q為散度，值為

4、負(fù)時(shí)為輻合，此時(shí)有利于天氣系統(tǒng)的的發(fā)展和增強(qiáng)，為正時(shí)表示輻散，有 利于天氣系統(tǒng)的消散。表示輻合、輻散的物理量為散度。微積分學(xué)一多元微積分一多元函數(shù)積分：設(shè)某量場(chǎng)由 A(x,y,z) = P(x,y,z) i + Q(x.y,z) j + R(x,y,z) k 給出，其中 P、 Q、R具有一階連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù)，工是場(chǎng)內(nèi)一有向曲面，n是工在點(diǎn)(x,y,z)處 的單位法 向量，貝U /ATndS叫做向量場(chǎng) A通過曲面 工向著指定側(cè)的通 量，而 S P/ S x + S Q/S y + SHR/jfc向:量場(chǎng)A 的散度，記作 div A，即 divA=S P/ S x + S Q/ S y + o S R

5、/ Sz上述式子中的 S為偏微分(partial derivative )符號(hào)。散度(diverge nee)的運(yùn)算法則：div ( a A + B B= a div A+ p div B ( a ,為常數(shù))div ( u A ) = u div A+ A grad u (u為數(shù)性函數(shù))旋度設(shè)有向量場(chǎng)A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k在坐標(biāo)軸上的投影分別為S R/ Sy S Q/S z S P/ S-zS R/ S x S Q/S x S P/ S y的向量叫做向量場(chǎng)A的旋度，記作 rot A或curl A ，即rot A= ( S R/ S-y S

6、Q/ S z )i+( S P / S R/ S x )j+( S QZ Sf5/ S y)k 式中的 S為偏微分(partial derivative )符號(hào)。行列式記號(hào)旋度rot A的表達(dá)式可以用行列式記號(hào)形式表示：若 A=Ax- i+Ay -j，則 rotA=(dAy/dx)i-(dAx/dy)j若 A=Ax- i+Ay -j+Az -k貝U rotA=(dAz/dy-dAy/dz)i+(dAx/dz-dAz/dx)j+(dAy/dx-dAx/dy)k 為一向量。向量場(chǎng)A，數(shù)量場(chǎng)u稱為漢密爾頓算子，算法不表示了，符號(hào)打不出來。 = 2= ，稱為拉普拉斯算子梯度 u散度 A旋度朋 首先梯度

7、和旋度是向量場(chǎng)，而散度是標(biāo)量。梯度針對(duì)一個(gè)數(shù)量場(chǎng)（勢(shì)場(chǎng)），衡量一個(gè)數(shù)量場(chǎng)的變化方向。梯度為0 說明該勢(shì)場(chǎng)是個(gè)等勢(shì)場(chǎng)。散度針對(duì)一個(gè)向量場(chǎng)， 衡量一個(gè)向量場(chǎng)的單位體積內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)。 散度為0說明這個(gè)場(chǎng)沒有源頭。旋度針對(duì)一個(gè)向量場(chǎng)， 衡量一個(gè)向量場(chǎng)的自旋。 旋度為 0 說明這個(gè)場(chǎng)是個(gè)保守場(chǎng)（無旋場(chǎng)），保守場(chǎng)一定是某個(gè)數(shù)量場(chǎng)的梯度場(chǎng)。三者的關(guān)系：注意各自針對(duì)的對(duì)象不同。1梯度的旋度u=0梯度場(chǎng)的旋度為 0，故梯度場(chǎng)是保守場(chǎng)。例如重力場(chǎng)。2.梯度的散度 %= u3散度的梯度 （ A）4旋度的散度 （朋）=0旋度場(chǎng)的散度為 0，故旋度場(chǎng)是無源場(chǎng)。例如磁場(chǎng)，磁場(chǎng)本身是其他場(chǎng)的旋度場(chǎng)。5.旋度的旋度(A)=V( A)- 2A= ( A)- A旋度場(chǎng)的旋度 也要說明一下，勻強(qiáng)場(chǎng)是保守場(chǎng)，因此絕對(duì)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)是不可能的， 磁場(chǎng)本身也是有旋場(chǎng)。1.已