六章節(jié)方差分析

1、1第六章第六章 方差分析方差分析2 本章教學(xué)目標(biāo)本章教學(xué)目標(biāo)l了解方差分析可以解決那些實(shí)際問(wèn)題；l了解應(yīng)用方差分析的基本條件；l掌握方差分析的基本概念及其分析方法；l正確使用 excel 軟件求解單因素和雙因素方差分析問(wèn)題及其運(yùn)行輸出結(jié)果分析.本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容4.1 方差分析概述4.2 單因素方差分析4.3 雙因素方差分析本章重點(diǎn)本章重點(diǎn)：考慮交互作用的雙因素方差分析 3在生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)管理過(guò)程中，通常有很多因素會(huì)影響產(chǎn)品的質(zhì)量、產(chǎn)量、銷售量等指標(biāo)。如農(nóng)作物的產(chǎn)量受品種、肥料、氣候、雨水、光照、土壤、播種量等眾多因素的影響；產(chǎn)品銷售量受品牌、質(zhì)量、價(jià)格、促銷手段、競(jìng)爭(zhēng)產(chǎn)品、顧客偏好、季節(jié)、居

2、民收入水平等眾多因素的影響；化工產(chǎn)品的得率受溫度、壓力、催化劑、原料配比等因素的影響。因此需要了解：哪些因素會(huì)對(duì)所研究的指標(biāo)產(chǎn)生顯著影響；這些影響因素在什么狀況下可以產(chǎn)生最好的結(jié)果。方差分析就是解決這類問(wèn)題的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。 6.1 方差分析概述方差分析概述4某大型連鎖超市為研究各種促銷方式的效果，選擇下屬 4 個(gè)門店，分別采用不同促銷方式，對(duì)包裝食品各進(jìn)行了4 個(gè)月的試驗(yàn)。試驗(yàn)結(jié)果如下：超市管理部門希望了解：不同促銷方式對(duì)銷售量是否有顯著影響？哪種促銷方式的效果最好？ 促銷方式 與上年同期相比(%) a1 (廣告宣傳) 104.8 95.5 104.2 103.0 a2 (有獎(jiǎng)銷售) 11

3、2.3 107.1 109.2 99.2 a3 (特價(jià)銷售) 143.2 150.3 184.7 154.5 a4 (買一送一) 145.6 111.0 139.8 122.7 【案例【案例1 1】哪種促銷方式效果最好】哪種促銷方式效果最好？5影響某化工廠化工產(chǎn)品得率的主要因素是反應(yīng)溫度和催化劑種類。為研究產(chǎn)品的最優(yōu)生產(chǎn)工藝，在其他條件不變的情況下，選擇了四種溫度和三種催化劑，在不同溫度和催化劑的組合下各做了一次試驗(yàn)，測(cè)得結(jié)果如下： 化工產(chǎn)品得率試驗(yàn)(得率：%)催化劑 溫度 b1 b2 b3 a1(60 oc) 66 73 70 a2(70 oc) 81 96 53 a3(80 oc) 97

4、79 66 a4(90 oc) 79 76 88 【案例【案例2 2】如何確定最優(yōu)生產(chǎn)工藝】如何確定最優(yōu)生產(chǎn)工藝 6案例案例 2 要研究的問(wèn)題要研究的問(wèn)題溫度是否對(duì)該產(chǎn)品的得率有顯著影響?若有顯著影響，應(yīng)將溫度控制在什么范圍內(nèi)可使得率最高?催化劑是否對(duì)該產(chǎn)品的得率有顯著影響?若有顯著影響，哪種催化劑的效果最好？溫度和催化劑的不同組合是否對(duì)產(chǎn)品得率有顯著影響？如有顯著影響，哪種溫度和催化劑的組合可使得率最高？7 記 a, b, c 為試驗(yàn)中狀態(tài)發(fā)生變化的因素， 稱因素在試驗(yàn)中所取的不同狀態(tài)為水平水平。 設(shè)因素 a 有 a 個(gè)水平，記為 a1, a2, , aa；因素 b 有 b個(gè)水平，記為 b1

5、, b2, , bb 等。 若試驗(yàn)中只有一個(gè)變動(dòng)的因素，就稱為單因素試驗(yàn)； 若有兩個(gè)變動(dòng)的因素，就稱為雙因素試驗(yàn)； 若有兩個(gè)以上的變動(dòng)因素，則稱為多因素試驗(yàn)。二二. .方差分析的基本假設(shè)方差分析的基本假設(shè) 設(shè)因素 a 在水平 ai 下的某項(xiàng)指標(biāo)為總體 xi，則假定 xi n( i, 2 )， xi 相互獨(dú)立 一一. 方差分析的基本概念方差分析的基本概念8 就是要檢驗(yàn)原假設(shè) h0：1 = 2 = = a 是否成立。 若拒絕 h0，就說(shuō)明因素 a 對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，進(jìn)一步還應(yīng)確定使效果達(dá)到最佳的水平。 若不能拒絕 h0，則說(shuō)明因素 a 對(duì)該項(xiàng)指標(biāo)無(wú)顯著影響，試驗(yàn)結(jié)果中的差異主要是由其他未加控制

6、的因素和試驗(yàn)誤差所引起的。 雖然可以用兩兩 t 檢驗(yàn)法來(lái)檢驗(yàn)各 i 間是否存在顯著差異，但 t 檢驗(yàn)無(wú)法檢驗(yàn)多個(gè)因素間的交互效應(yīng)，而這正是方差分析要解決的主要問(wèn)題。 三三. .方差分析的目的方差分析的目的96.2 6.2 單因素方差分析單因素方差分析一一. .基本概念基本概念 記水平 ai 下的 ni 個(gè)試驗(yàn)結(jié)果為 xij ，則xij = i + iji = 1, 2, a；j = 1, 2, ni ij n(0, 2 )，且相互獨(dú)立其中 ij 是由各種無(wú)法控制的因素引起的隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差。 上式說(shuō)明，試驗(yàn)結(jié)果 xij 受到兩方面的影響： 因素 a 的水平 ai 的均值 i 隨機(jī)誤差 ij 1

7、0為一般平均。 稱 i = i - ； i = 1, 2, , a nniii1稱) (為試驗(yàn)總次數(shù)iinn 從而要檢驗(yàn)的原假設(shè)可改寫(xiě)為： h0：1= 2 = = a = 0 為水平 ai 的效應(yīng)效應(yīng)，反映了水平 xi 的均值與一般平均的差異。11二二. .方差分析的基本方法方差分析的基本方法方差分析 的基本思路：將因素的不同水平和隨機(jī)誤差對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響進(jìn)行分離，并比較兩者中哪一個(gè)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果 xij 的影響起主要作用。若因素的不同水平對(duì)試驗(yàn)結(jié)果 xij 的影響是主要的，就拒絕 h0，說(shuō)明因素 a 對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響；若試驗(yàn)結(jié)果 xij 中的差異主要是由隨機(jī)誤差引起的，就不能拒絕 h0，說(shuō)明

8、因素 a 對(duì)試驗(yàn)結(jié)果無(wú)顯著影響。為此，需要對(duì)總的偏差平方和進(jìn)行分解。 12稱jijiixnx1)1(ijijxnx1.1.總的偏差平方和總的偏差平方和ijijtxxs2)(為總的偏差平方和總的偏差平方和， 它反映了樣本數(shù)據(jù) xij 間總的差異量的大小。為便于對(duì) st 進(jìn)行分解，記水平 ai 下的樣本均值為 132. 偏差偏差平方和的分解平方和的分解ijijtxxs2)(ijiijexxs2)(iiiaxxns2)(其中iiiijiiijijiijxxnxxxxxx22)()(2()(iiiijiijxxnxx22)()(ijiiijxxxx2)(aess 反映了各樣本(同一水平)內(nèi)的數(shù)據(jù)差異，

9、主要是由隨機(jī)誤差所引起的，稱為誤差平方和誤差平方和或組內(nèi)平方和組內(nèi)平方和。反映了各樣本(不同水平)間數(shù)據(jù)的差異，主要是由因素a的不同水平效應(yīng)間的差異引起的，稱為因素a的平方和的平方和 或 組間平方和組間平方和。利用 sa 和 se 之比就可以構(gòu)造出檢驗(yàn) h0 的統(tǒng)計(jì)量。 14故在給定水平 下，若 f f (a-1, n-a)/() 1/(ansasfea可以證明， f (a-1, n-a)3. 檢驗(yàn)檢驗(yàn) h0 的統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)量當(dāng) h0 為真時(shí)，統(tǒng)計(jì)量就拒絕 h0，說(shuō)明各水平 ai 的效應(yīng)間存在顯著差異，或稱因素 a 的作用是顯著的。由于 sa /(a-1) 和 se /(n-a) 分別是組間數(shù)

10、據(jù)和組內(nèi)數(shù)據(jù)的樣本方差，故稱這種基于檢驗(yàn)樣本方差比的方法為方差分析方差分析。 15若 f f0.001(a-1, n-a)，稱因素 a 的作用極高度顯著；若 f f0.01(a-1, n-a)，稱因素 a 的作用高度顯著；若 f0.01 (a-1, n-a) f f0.05(a-1, n-a)，稱因素 a 的作用一般顯著；若 f f0.05(a-1, n-a)，則認(rèn)為因素 a 的作用不顯著。 )/() 1/(ansasea來(lái)源平方和自由度均方和f 比顯著性asaa-1sa/(a-1)誤差sen-ase/(n-a)總和stn-1單因素方差分析表三三. .方差分析表方差分析表16 2. 因素因素

11、a 的各水平間是否都存在顯著差異？的各水平間是否都存在顯著差異？ 這可以通過(guò)對(duì)各 i 進(jìn)行兩兩 t 檢驗(yàn)來(lái)確定。 如果存在多個(gè)效果最好的水平(它們間并無(wú)顯著差異)，就可以有多種最優(yōu)水平可供決策者選擇。 ix 若因素 a 的作用是顯著的，接下來(lái)還需要確定： 1. 因素因素 a 的哪一水平效果最好？的哪一水平效果最好？四四. .進(jìn)一步的分析進(jìn)一步的分析這可以通過(guò)求出各來(lái)確定， 它是 i 的優(yōu)良估計(jì)。17某大型連鎖超市為研究各種促銷方式的效果，選擇下屬4個(gè)門店，分別采用不同促銷方式，對(duì)包裝食品各進(jìn)行了4個(gè)月的試驗(yàn)。試驗(yàn)結(jié)果如下：超市管理部門希望了解：不同促銷方式對(duì)銷售量是否有顯著影響？哪種促銷方式的

12、效果最好？ 促銷方式 與上年同期相比(%) a1(廣告宣傳) 104.8 95.5 104.2 103.0 a2(有獎(jiǎng)銷售) 112.3 107.1 109.2 99.2 a3(特價(jià)銷售) 143.2 150.3 184.7 154.5 a4(買一送一) 145.6 111.0 139.8 122.7 【案例【案例1 1】哪種促銷方式效果最好】哪種促銷方式效果最好？18可用 excel 的【工具】“數(shù)據(jù)分析”“方差分析：?jiǎn)我蛩胤讲罘治觥鼻蠼鈫我蛩胤讲罘治鰡?wèn)題。 案例 1 的方差分析表 其中：p-value p 值，為檢驗(yàn)中達(dá)到的顯著性水平，其含義與 t 檢驗(yàn)中“p(t=t)單尾”相同。 f c

13、rit 在水平 （默認(rèn)0.05）下拒絕域的臨界值 f。 p-value = 0.00014 f ( a-1，(a-1)(b-1) ) 時(shí)，拒絕 h01；當(dāng) fb f ( b-1，(a-1)(b-1) ) 時(shí)，拒絕 h02。 ) 1)(1/() 1/(basbsfebb同樣可以證明：當(dāng) h01 為真時(shí)，統(tǒng)計(jì)量) 1)(1/() 1/(basasfeaa f( a-1, (a-1)(b-1) )當(dāng) h02 為真時(shí)，統(tǒng)計(jì)量 f(b-1, ( a-1)(b-1) )4. 檢驗(yàn)用的統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)用的統(tǒng)計(jì)量26 無(wú)交互作用的雙因素方差分析表來(lái)源 平方和 自由度 均方和 f 比 a sa a-1 sa /(a-

14、1) b sb b-1 sb /(b-1) 誤差 se (a-1)(b-1) se /(a-1)(b-1) 總和 st ab-1 ) 1)(1/() 1/(basasea) 1)(1/() 1/(basbseb5. 方差分析表方差分析表 27影響某化工廠化工產(chǎn)品得率的主要因素是反應(yīng)溫度和使用的催化劑種類。為研究產(chǎn)品的最優(yōu)生產(chǎn)工藝條件，在其他條件不變的情況下，選擇了四種溫度和三種催化劑，在不同溫度和催化劑的組合下各做了一次試驗(yàn)，測(cè)得結(jié)果如下： 化工產(chǎn)品得率試驗(yàn)(%)催化劑 溫度 b1 b2 b3 a1 (60 oc) 66 73 70 a2 (70 oc) 81 96 53 a3 (80 oc)

15、 97 79 66 a4 (90 oc) 79 76 88 【案例【案例2 2】如何確定最優(yōu)生產(chǎn)工藝？】如何確定最優(yōu)生產(chǎn)工藝？28可用 excel 【工具】“數(shù)據(jù)分析”“方差分析：無(wú)重復(fù)雙因素分析”求解無(wú)交互作用的雙因素方差分析問(wèn)題。 案例2的方差分析表來(lái)源 平方和 自由度 均方和 f 比 p-value a 250 3 83.3 0.42 0.743 b 360.5 2 180.3 0.92 0.449 誤差 1179.5 6 196.6 總和 1790 11 因素 a 的 p-value = 0.743 0.05 因素 b 的 p-valu = 0.49 0.05 故溫度和催化劑對(duì)該化工產(chǎn)

16、品的得率都無(wú)顯著影響!? 案例案例 2 分析分析29 顯然，很可能是由于未考慮因素間的交互作用，才導(dǎo)致了錯(cuò)誤的分析結(jié)果。 問(wèn)題出在哪里？問(wèn)題出在哪里？催化劑 溫度 b1 b2 b3 a1 (60 oc) 66 73 70 a2 (70 oc) 81 96 53 a3 (80 oc) 97 79 66 a4 (90 oc) 79 76 88 以上結(jié)論既不符合實(shí)際情況， 也違背化學(xué)反應(yīng)的基本常識(shí)。由本案例的試驗(yàn)數(shù)據(jù)可以明顯看出，溫度和催化劑不同搭配下的得率之間是存在顯著差異的。30 1. 考慮交互作用時(shí)的雙因素試驗(yàn)考慮交互作用時(shí)的雙因素試驗(yàn) 交互效應(yīng)交互效應(yīng) 記 a, b 間的交互作用為 ab，

17、, i , j 的定義同前。 由于存在交互作用，因此 ij + i + j 稱 ( )ij = ij - - i - j為 ai 與 bj 的交互效應(yīng)交互效應(yīng)，它反映了兩因素間不同水平的組合對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響。 因此，總體 xij 的均值可表示為 ij = + i + j + ( )ij 二二. .考慮交互作用的雙因素方差分析考慮交互作用的雙因素方差分析31(2)(2)要檢驗(yàn)的假設(shè)要檢驗(yàn)的假設(shè)由于考慮了交互作用，因此要檢驗(yàn)的原假設(shè)有以下三個(gè)： h01：1= 2 = = a = 0 h02：1= 2 = = b = 0 h03：( )ij = 0；對(duì)一切 i, j為檢驗(yàn)交互作用，就需要在每一 ai

18、 bj 水平組合下進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)。記 xijk 為在 ai bj 組合下的第 k 次試驗(yàn)的結(jié)果。 32其中 se , sa , sb 的含義同前；sab 則主要是由交互效應(yīng)所引起的差異，稱為 ab 間平方和間平方和。 ijkijktxxs2)( 完全類似地，可以將總的偏差平方和 st 作如下分解：2.2.偏差平方和的分解偏差平方和的分解babaessss33故 h01, h02, h03 的拒絕域分別為： fa f( a-1，ab(n-1) ) fb f( b-1，ab(n-1) ) fab f( (a-1)(b-1)，ab(n-1) ) 當(dāng) h02為真時(shí)，) 1(/) 1/(nabsbsfeb

19、b 同樣可以證明：當(dāng) h01為真時(shí)，) 1(/) 1/(nabsasfeaa f( a-1, ab(n-1) ) 當(dāng) h03為真時(shí)，) 1(/) 1)(1/(nabsbasfebaba f( (a-1)(b-1), ab(n-1) )f( b-1, ab (n-1) )3.3.檢驗(yàn)用的統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)用的統(tǒng)計(jì)量34 有交互作用的雙因素方差分析表來(lái)源 平方和 自由度 均方和 f 比 a sa a-1 sa /(a-1) b sb b-1 sb /(b-1) ab sab (a-1)(b-1) sab /(a-1)(b-1) 誤差 se ab(n-1) se /ab(n-1) 總和 st abn-1 )

20、 1(/) 1/(nabsasea) 1(/) 1/(nabsbseb) 1(/) 1)(1/(nabsbaseba4.4.方差分析表方差分析表 35影響某化工廠產(chǎn)品得率的主要因素是反應(yīng)溫度和使用的催化劑種類。為研究產(chǎn)品的最優(yōu)生產(chǎn)工藝條件，在其他條件不變的情況下，選擇了四種溫度和三種催化劑，在不同溫度和催化劑的組合下各做了兩次試驗(yàn)，測(cè)得結(jié)果如下： 化工產(chǎn)品得率試驗(yàn)(%)催化劑 溫度 b1 b2 b3 a1 (60 oc) 66, 58 73, 68 70, 65 a2 (70 oc) 81, 79 96, 97 53, 55 a3 (80 oc) 97, 95 79, 69 66, 56 a4 (90 oc) 79, 71 76, 56 88, 82 【案例【案例2 2】如何確定最優(yōu)生產(chǎn)工藝？】如何確定最優(yōu)生產(chǎn)工藝？ 36可用 excel 【工具】“數(shù)據(jù)分析”“方差分析：可重