線性方程組的通解

1、第六講第六講 線性方程組的通解線性方程組的通解一、非齊次線性方程組的通解一、非齊次線性方程組的通解二、齊次線性方程組的通解二、齊次線性方程組的通解 對(duì)于方程組（其中有對(duì)于方程組（其中有n個(gè)未知數(shù)，個(gè)未知數(shù)，m個(gè)方程）個(gè)方程）mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111(1)或用矩陣方程或用矩陣方程, ,方程組方程組(1)(1)表示為表示為: :bax 非齊次線性方程組非齊次線性方程組 axb 有解的判斷與求解步驟：有解的判斷與求解步驟：(1)(1)對(duì)于非齊次線性方程組對(duì)于非齊次線性方程組 把它的增廣矩陣把它的增廣矩陣b=(a, b)化成

2、行階梯形化成行階梯形 從從b的行階梯形可同時(shí)看出的行階梯形可同時(shí)看出r( (a) )和和r( (b) ) 若若r( (a) ) r( (b) ) 則方程組無(wú)解則方程組無(wú)解 一、非齊次線性方程組的通解一、非齊次線性方程組的通解(2)(2)若若r( (a) ) r( (b) ) 則進(jìn)一步把則進(jìn)一步把b化成行最簡(jiǎn)形化成行最簡(jiǎn)形 而對(duì)于齊次線性方程組而對(duì)于齊次線性方程組 則把系數(shù)矩陣則把系數(shù)矩陣a化成行化成行最簡(jiǎn)形最簡(jiǎn)形 (3)(3)設(shè)設(shè)r(a) r(b) r 把行最簡(jiǎn)形中把行最簡(jiǎn)形中 r 個(gè)非零個(gè)非零行的首非零元所對(duì)應(yīng)的未知數(shù)取作非自由未行的首非零元所對(duì)應(yīng)的未知數(shù)取作非自由未知數(shù)知數(shù) 其余其余n r

3、個(gè)未知數(shù)取作自由未知數(shù)個(gè)未知數(shù)取作自由未知數(shù) 并并令自由未知數(shù)分別等于令自由未知數(shù)分別等于c c1 1 c c2 2 c cn r 由由b的行最簡(jiǎn)形的行最簡(jiǎn)形 即可寫出含即可寫出含n r個(gè)參數(shù)的通解個(gè)參數(shù)的通解 例例1.1. 求解非齊次線性方程組求解非齊次線性方程組 . 3222, 2353, 132432143214321xxxxxxxxxxxx解解對(duì)增廣矩陣對(duì)增廣矩陣b進(jìn)行初等行變換，進(jìn)行初等行變換， 322122351311321b131223rrrr 23rr 104501045011321, 3)(, 2)( brar顯顯然然，故方程組無(wú)解故方程組無(wú)解 200001045011321

4、例例2 求解非齊次方程組的通解求解非齊次方程組的通解.2132130432143214321 xxxxxxxxxxxx解解 對(duì)增廣矩陣對(duì)增廣矩陣b進(jìn)行初等變換進(jìn)行初等變換 2132111311101111br rr r21311111000241001212rr2211011 200121 200241 , 2 brar由由于于故方程組有解，且有故方程組有解，且有 2122143421xxxxx 42442342242102120021xxxxxxxxxxxxrrrr2131111100024100121 2.rr32211011 200121 200000.02102112000011214

5、321 ccxxxx所以方程組的通解為所以方程組的通解為 .,21為為任任意意實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)其其中中cc12312313251352223xxxxxxxx 有有解解為為何何值值時(shí)時(shí)，線線性性方方程程， 并并求求例例 . .組組一一般般解解。解：解：12513152202b 125101210482 2 時(shí)時(shí)方方程程組組有有解解。1251051050482 125101210002 131223rrrr 251r234rr 1251 01210000b 101101210000 ( c為為任任意意實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)）1323112xxxx 212rr 333231121xxxxxx123112110 xxcx

6、所以方程組的通解為所以方程組的通解為對(duì)于方程組（其中有對(duì)于方程組（其中有n個(gè)未知數(shù)，個(gè)未知數(shù)，m個(gè)方程）個(gè)方程）nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xaxaxax111122121122221122000(2)或用矩陣方程方程組或用矩陣方程方程組(1)(1)表示為表示為: :ax 0齊次線性方程組齊次線性方程組 ax0 有非零解的判斷與求解步驟：有非零解的判斷與求解步驟：(1)(1)對(duì)于齊次線性方程組對(duì)于齊次線性方程組 把它的系數(shù)矩陣把它的系數(shù)矩陣a 化成行階化成行階梯形梯形 從從a的行階梯形可同時(shí)看出的行階梯形可同時(shí)看出r( (a) ) 若若r( (a) ) n , 則齊次線

7、性方程組只有零解則齊次線性方程組只有零解 二、齊次線性方程組的通解二、齊次線性方程組的通解(2)(2)若若r( (a) ) n 則進(jìn)一步把則進(jìn)一步把a(bǔ)化成行最簡(jiǎn)形化成行最簡(jiǎn)形 (3)(3)設(shè)設(shè)r(a) r 把行最簡(jiǎn)形中把行最簡(jiǎn)形中 r 個(gè)非零行的首個(gè)非零行的首非零元所對(duì)應(yīng)的未知數(shù)取作非自由未知數(shù)非零元所對(duì)應(yīng)的未知數(shù)取作非自由未知數(shù) 其其余余n r個(gè)未知數(shù)取作自由未知數(shù)個(gè)未知數(shù)取作自由未知數(shù) 并令自由未并令自由未知數(shù)分別等于知數(shù)分別等于c c1 1 c c2 2 c cn r 由由a的行最簡(jiǎn)的行最簡(jiǎn)形形 即可寫出含即可寫出含n r個(gè)參數(shù)的通解個(gè)參數(shù)的通解 .xxxxxxxxxxxx1234123412342202220430解解： 341122121221a 463046301221施行初等行變換：施行初等行變換：對(duì)系數(shù)矩陣對(duì)系數(shù)矩陣 a13122rrrr 求解齊次線性方程組求解齊次線性方程組例例4.4. 0000342101221)3(223 rrr212rr 00003421035201即得與原方程組同解的方程組即得與原方程組同解的方程組 , 0342, 0352432431xxxxxx 463046301221 ,342,3522413222221cxcxccxccx).,(43可任意取值可任意取值xx由此即得由此即得 ,342,352432431xxxxx