直線圓錐曲線有關(guān)向量的問題

1、直線圓錐曲線有關(guān)向量的問題高考考什么知識要點：1直線與圓錐曲線的公共點的情況直線： ax byc 0Bx( 或A y 2B y C 0)曲線： f ( x, y)Ax 2C 00（ 1）沒有公共點方程組無解（ 2）一個公共點i) 相交A0ii ) 相切A0 ,0（ 3）兩個公共點A 0,02連結(jié)圓錐曲線上兩個點的線段稱為圓錐曲線的弦，要能熟練地利用方程的根與系數(shù)關(guān)系來計算弦長，常用的弦長公式：12 y1 y2AB1 k2 x1 x21k3以平面向量作為工具，綜合處理有關(guān)長度、角度、共線、平行、垂直、射影等問題4. 幾何與向量綜合時可能出現(xiàn)的向量內(nèi)容（ 3）給出 , 等于已知是的中點;（ 5）

2、給出以下情形之一：；存在實數(shù)；若存在實數(shù), 等于已知三點共線.（ 6） 給出，等于已知是的定比分點，為定比，即（ 7） 給出 , 等于已知 , 即是直角 , 給出 , 等于已知是鈍角 , 給出 , 等于已知是銳角。（ 9）在平行四邊形中，給出，等于已知是菱形;（ 10） 在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形;（ 11）在中，給出，等于已知是的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點）；（12） 在中，給出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點）；（ 13）在中，給出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點）；（ 16） 在中，給出 , 等于

3、已知是中邊的中線;高考怎么考主要題型：1三點共線問題；2公共點個數(shù)問題；3弦長問題；4中點問題；5定比分點問題；6對稱問題；7平行與垂直問題；8角的問題。近幾年平面向量與解析幾何交匯試題考查方向為（ 1）考查學(xué)生對平面向量知識的簡單運用，如向量共線、垂直、定比分點。（ 2）考查學(xué)生把向量作為工具的運用能力，如求軌跡方程，圓錐曲線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系。特別提醒：法和韋達(dá)定理是解決直線和圓錐曲線位置關(guān)系的重要工具。例 1過點 P( x, y) 的直線分別與x 軸的正半軸和y 軸的正半軸交于 A,B 兩點，點 Q與點 P關(guān)于 y 軸對稱， O為坐標(biāo)原點，若uuuruu

4、ur 且 uuur uuur，則點 P 的軌跡方程是（D）BP2PAOQ?AB1A3 y2B3 y23x21(x0, y0)3x21(x0, y0)22C 323y21(x0, yD 323y21(x0, y0)x0)x22x22例 2 已知橢圓 C1： 4 y 1，橢圓 C2 以 C1的長軸為短軸，且與C1 有相同的離心率(1) 求橢圓 C2 的方程；(2) 設(shè)O為坐標(biāo)原點，點，B分別在橢圓1 和2 上， 2 ，求直線AB的方程ACCOB OA22解： (1) 由已知可設(shè)橢圓2 的方程為 y2x 1(a2) ，Ca43a243y2x2其離心率為2，故a 2 ，則 a 4，故橢圓 C2 的方程

5、為 16 4 1.(2) 解法一： A，B兩點的坐標(biāo)分別記為( xA， yA) ，( xB， yB) ，A，B 不在 y 軸上，因此可設(shè)直線AB的方程由 OB 2OA及 (1) 知， O， A，B 三點共線且點為 y kx .將 ykx 代入x22 1中，得 (1 2) x24，所以 x242，y4kA1 4k4將 ykx 代入y2x22216， 1 中，得 (4 k ) x16421622所以 xB4 k2，又由 OB 2OA，得 xB 4xA，16 16即 4 k21 4k2，解得 k 1，故直線AB的方程為y x 或 y x.解法二： ，兩點的坐標(biāo)分別記為(xA，yA) ，(xB，B)

6、，A ByA，B 不在 y 軸上，因此可設(shè)直線 AB的方程由 OB 2OA及 (1) 知， O， A，B 三點共線且點為 y kx .x2222將 ykx 代入 4 y 1 中，得(1 4k) x 4，所以x242，由2，A1 4kOBOA216216k2得 xB 14 2， yB 1 4k2，k將 x22y2x24 k222， y 代入16 4 1 中，得 1 4k2 1，即 4 k 14k，BB解得 k 1，故直線AB的方程為 y x 或 y x.uuuruuur例 4 已知 A,B 為拋物線 x2=2py( p0) 上異于原點的兩點，0 ，點 C坐標(biāo)為（ 0，2p）OA OB（ 1）求證

7、： A,B,C 三點共線；2AMRuuuuruuurMBM （）且 OMAB0 試求點的軌跡方程。（ ）若（ 1）證明：設(shè) A( x1, x12), B(x2, x22) ，2 p2 puuur uuur22由OA OB0 得 x1 x2x1x20, x1x24 p2 ，2 p 2 puuur2uuur22x1, x2x1 )又 Q AC ( x1, 2 px1 ), AB ( x22p2 px1x22x12(2 px12 ) ( x2x1 ) 0 ，2 p2puuuruuurAC / AB ，即 A,B,C 三點共線。uuuuruuur0及AMBM（R ）知 OM AB，（ 2）由（ 1）知

8、直線 AB過定點 C，又由 OMAB垂足為，所以點M的軌跡為以O(shè)C為直徑的圓，除去坐標(biāo)原點。即點M的軌跡方程為Mx2+( y-p ) 2=p2( x 0， y 0) 。x 2y21的左、右焦點 .例 6設(shè) F、F 分別是橢圓124uuuruuuur（）若 P 是該橢圓上的一個動點，求PF1PF2 的最大值和最小值 ;（）設(shè)過定點M(0,2) 的直線 l與橢圓交于不同的兩點A、B，且 AOB為銳角（其中 O為坐標(biāo)原點），求直線l的斜率 k 的取值范圍 .解：（）解法一：易知 a2, b1,c3，所以 F13,0, F23,0，設(shè) Px, y ，uuur uuuurx2y23 x2x213x2則

9、PF1 PF23 x, y , 3 x, y13844因為 x2,2uuuruuuur，故當(dāng) x=0，即點 P 為橢圓短軸端點時，PF1PF2 有最小值 -2當(dāng) x=2，即點 P 為橢圓長軸端點時，uuuruuuur有最大值 1PFPF12解法二：易知 a2, b1,c3 ，所以 F13,0, F23,0，設(shè) Px, y ，則uuur2uuuur 2uuuur 2uuuruuuuruuuruuuurcosF1PF2uuuruuuurPF1PF2F1F2PF1PF2PF1PF2PF1PF2uuuruuuur2 PF1PF212y222 12x2y2x3x3y3 （以下同解法一）2（）顯然直線x0

10、不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線l : ykx2, Ax1 , y2, Bx2 , y2，ykx21聯(lián)立x2，消去 y ，整理得：k2x24kx 30y2144 x1x24k, x1x231k21k244由213 4k23 0 得： k334k4 k4或 k22又 00900uuuruuuruuur uuurA0BcosA0B0OA OB0 ， OA OB x1 x2y1 y20又 y1 y2kx12 kx22 k2 x1 x22k x1x243k28k 24k 21k 21k 21k214443k210 ，即 k 24k 21k 21442k2故由、得2k33k2或22 自我提升1、平面直角坐標(biāo)系中

11、，O 為坐標(biāo)原點，已知A（ 3， 1）， B（ -1 ， 3），若點C 滿足，其中，且=1，則點C的軌跡方程為 ( D )OCOAOBRA 3+2-11=0B ( -1) 2+(y-2) 2=5 C 2x-y=0Dx+2y-5=0xyx2、已知 i ,j是 x,y軸正方向的單位向量，設(shè)a = ( x2)iyj ,b = ( x 2)iyj , 且滿足 | a |+|b |=4.則點 P( x, y) 的軌跡是 .( C )A橢圓B雙曲線C線段D射線y252012 許昌一模 設(shè) F1、 F2 分別是雙曲線 x2 9 1的左、右焦點若點P 在雙曲，則 | )線上，且 PF PF 0PFPF| (1

12、212A2 2C 4 2D2 105D 解析 根據(jù)已知 PF1F2 是直角三角形，向量PF1 PF2 2PO，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出10，則 | |10.212|2|1 2|2PFPFPFPFPOF F6已知 A、 B 為拋物線 x2=2py (p0)上兩點，直線AB 過焦點 F， A、 B 在準(zhǔn)線上的射影分別為 C、 D，則y 軸上恒存在一點K，使得 KA ? KF0； CF ? DF0 ；存在實數(shù) 使得ADAO ；若線段AB中點 P 在在準(zhǔn)線上的射影為T，有 FT ? AB0。中說法正確的為 _7. 已知橢圓 x2y21，過 P(1,0)作直線 l ，使得 l與該

13、橢圓交于A,B 兩點， l與 y2uuuruuur軸的交點為 Q，且 AQPB ，求直線 l 的方程。解：直線 l過 P(1,0)，故可設(shè)方程為y=k( x- 1) ， 因為 uuuruuur，所以 AB的中點與 PQ的AQPB中點重合 .由得k2x22k2所以，又 xP+xQ=故2(1+2)-4+2(-1)=021xy21xAxB4k12k22yk( x1)4k 2得2 ，所求的直線方程為2。1 2k 21k2y2( x1)82012 瑞安質(zhì)檢x2y21( a2) 的右焦點為 F ，直線 l ：xa22a 2與設(shè)橢圓 M：a 212x 軸交于點 A，若 OF 2AF 0( 其中 O為坐標(biāo)原點

14、 ) 11(1) 求橢圓 M的方程；(2) 設(shè) P 是橢圓 M上的任意一點， EF為圓 N：x2 ( y 2) 21 的任意一條直徑 ( E，F(xiàn) 為直徑的兩個端點 ) ，求 PE PF的最大值a2a2 2， 0) ，解： (1)由題設(shè)知， Aa2 2， 0 ，F(xiàn)1(2a222x2y22由1 21 0，得22 6. 所以橢圓的方程為aa 2 . 解得a62OFAFa 2M1.(2) 解法 1：設(shè)圓 N： x2 ( y 2) 2 1 的圓心為 N，222則 PEPF ( NE NP) (NFNP) ( NF NP) (NF NP) NP NF NP 1.22x 0y0設(shè) (0，0) 是橢圓上一點，

15、則62 1，所以2 02(y0 2)2 2(y01) 2 12.P xyMNP x因為 y0 2，2 ，所以當(dāng) y0 2 1 時， NP 取得最大值12. 所以 PE PF的最大值為11.x2 x1 ，解法 2：設(shè)點 E( x1， y1) ， F( x2， y2) ， P( x0，y0) ，所以y2 4y1.可得PE PF ( x1 x0)( x2 x0) ( y1 y0)( y2 y0) ( x1 x0)( x1 x0) ( y1 y0)(4 y1 y0)22224 14y022y0 (x22y1) 010100 411 4xxyyyxyy因為點 E 在圓 N上，所以 x21 ( y1 2)

16、 21，即 x21 y21 4y1 3.22x0y0又因為點 P 在橢圓 M上，所以 6 2 1，22 2211.即 x0 6 3y0. 所以 PE PF 2y0 4y0 9 2( y0 1)因為 y 2，2 ，所以當(dāng) y 1 時， ( PE PF)min 11.00 9. 設(shè)橢圓 C： x2y 21(a b 0) 的左焦點為F，上頂點為 A，過點 A 作垂直于 AFa2b 2的直線交橢圓C 于另外一點 P，交 x 軸正半軸于點Q，且AP8 PQ5（ 1）求橢圓C 的離心率；（ 2）若過 A、 Q、 F 三點的圓恰好與直線l ：x 3y 5 0 相切，求橢圓 C 的方程 .解：設(shè) Q（ x0， 0），由 F（ -c ， 0）A（ 0， b）知FA( ,),AQ(x0,)c bbFAAQ,cx0b20, x0b2c設(shè) P( x1, y1 ),由 AP8PQ，得x