數學教學課例3.1雙曲線的定義及標準方程教學設計

1、3.1 雙曲線的定義及標準方程教學設計一、教材分析與處理1、 教材的地位與作用本節(jié)內容選自于北師大版高中數學實驗教科書選修2-1高二第一學期第三章章第三節(jié)第一課時。教材首先介紹了利用拉鏈畫雙曲線的方法，便于學生從中概括出雙曲線上點的幾何性質。在雙曲線標準方程的推導過程中，類比橢圓標準方程的推導，進一步提高學生的代數推導能力，教材利用雙曲線標準方程研究其簡單性質的過程，突出了數形結合的思想，并力求使學生結合橢圓的學習方式，類比，探究運用雙曲線標準方程及圖形來理解a,b,c,的代數意義和幾何意義。教材注重創(chuàng)設知識的產生背景，引用了大量的實例，使學生認識到雙曲線是日常生活中常見的一種曲線，有著重要的

2、應用價值，突出了知識的實質，強調了它的應用。 2、 學生狀況分析： 學生在學習這節(jié)課之前，已掌握了橢圓的定義和標準方程，也曾經嘗試過探究式的學習方式，所以說從知識和學習方式上來說學生已具備了自行探索和推導方程的基礎。另外，高二學生思維活躍，敢于表現自己，不喜歡被動地接受別人現成的觀點，但同時也缺乏發(fā)現問題和提出問題的意識。 根據以上對教材和學生的分析，考慮到學生已有的認知規(guī)律我希望學生能達到以下三個教學目標。 3、 教學目標（1）知識與技能：理解雙曲線的定義并能獨立推導標準方程；（2）過程與方法：通過定義及標準方程的挖掘與探究 ，使學生進一步體驗類比及數形結合等思想方法的運用，提高學生的觀察與

3、探究能力；（3）情感態(tài)度與價值觀：通過教師指導下的學生交流探索活動，激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生用聯系的觀點認識問題。 4 教學重點、難點依據教學目標，根據學生的認知規(guī)律，確定本節(jié)課的重點是理解和掌握雙曲線的定義及其標準方程。難點是雙曲線標準方程的推導。 5、 教材處理： 我對教學內容作了一點調整：教材中是借用拉鏈畫出的雙曲線圖形，而我是讓學生課前用此方法畫，在課堂上我用動畫演示雙曲線的形成過程。因為相比之下，動畫更為形象直觀。通過動畫，學生不僅可看到雙曲線形成的過程，而且較易看出橢圓與雙曲線形成的聯系和區(qū)別。二、教學方法與教學手段1、教學方法 著名數學家波利亞認為：“學習任何東西最好的途徑是

4、自己去發(fā)現?！彪p曲線的定義和標準方程與橢圓很類似，學生已經有了一些學習橢圓的經驗， 所以本節(jié)課我采用了“啟發(fā)探究”式的教學方法，重點突出以下兩點：（1） 以類比思維作為教學的主線（2） 以自主探究作為學生的學習方法2、 教學手段采用多媒體輔助教學。體現在用動畫演示雙曲線形成過程。但不是單純用動畫演示給學生看，而是用動畫啟發(fā)引導學生思考，調動學生學習的積極性。三、教學過程與設計為達到本節(jié)課的教學目標，更好地突出重點，分散難點，我把教學過程分為四個階段。（一） 知識引入- 圖片展示、觀察動畫、概括定義展示圖片，觀察其特點，概括出圖片物體的外形特征。反問：如何采用簡易工具畫出這樣的曲線雙曲線動畫演示

5、雙曲線形成過程，讓學生仔細觀察圖像中，定量關系和變量關系。類比橢圓，給出雙曲線的定義什么？在探究中，學生類比橢圓會想到動點到兩定點的距離差為定值，會認為這個定值必是正值，而忽視了距離差為負值的情況，這樣實質上只能得到雙曲線的一支。對于這種情況，我采取啟發(fā)引導，把p從一支移到另一支，然后讓學生再次思考自己得到的關系是否正確。在引導下，學生會想到自己缺少一種情況，動點到兩定點的距離差為正值或正值的相反數。但這個關系能不能加以簡化？學生這個時候會聯想到利用絕對值進行簡化。這樣就得到了動點所滿足的較為精煉的關系，也就是得到了雙曲線的定義。這一設計讓學生先形象直觀地看到橢圓與雙曲線的形成過程，在此基礎上

6、，再通過教師的引導，學生就可在觀察思考中一步一步地由感性認識上升到理性認識，最終得到雙曲線定義，從而培養(yǎng)了學生的觀察能力及概括能力。另外，這一設計也在形的方面實現了橢圓與雙曲線的比較，也為下面雙曲線定義的挖掘及兩種曲線的對比打下基礎。隨著雙曲線定義的得出，教學進入第二階段-知識探索（二） 知識探索- 定義的挖掘、標準方程的推導、方程的對比1、定義的挖掘在這一環(huán)節(jié)中，我們要認識到定義中的絕對值和兩點間距離與常數的大小關系二者對曲線的影響。反思：定義中為什么要求02a2c?然后讓學生帶著問題進行合作探究，教師可適當引導，對于學生難以理解的地方適時給予幫助指導。雖然學生學習橢圓定義時也接觸過類似問題

7、，但雙曲線較為復雜，比如 ：增加了“絕對值”等等。學生要獨立完成會較為困難，所以采取合作探究。這個過程既可以加深學生對定義的理解，又讓可學生在相互交流中互相啟發(fā)、激勵、共同進步提高，從而培養(yǎng)學生的表達能力和協作能力。2 標準方程的推導這一環(huán)節(jié)是本節(jié)課的難點，為了突破它，我設置了這樣幾個問題讓其貫穿推導過程以將難點分解：（1） 回顧橢圓標準方程的推導步驟及方法；（2） 類比橢圓試著推導雙曲線的標準方程；（3） 換元處理與橢圓有沒有區(qū)別？（4） 雙曲線焦點在x軸和 y軸上的標準方程的異同。然后讓學生獨立完成推導過程。這樣設置的目的是考慮到由定義求方程，就是求軌跡方程的問題，并且雙曲線的標準方程推導

8、過程與橢圓十分類似，學生有能力獨立完成。但在由于化簡根式時運算量較大，處理起來很可能出現一些運算錯誤。另外，變形時絕大多數學生會想到先移項再平方，少部分學生會直接平方。若直接平方，就會出現4次方，較為復雜。如果在實際教學中，有學生提出這種做法，我會讓然后讓大家參與分析討論，看看哪種做法更為簡便。以讓學生認識到今后在變形前要考慮清楚不要盲目去做。整個這個推導過程，不僅提高了學生的變形能力、運算能力，而且也提高學生的分析問題和解決問題的能力。3、方程的對比此時，學生接觸的方程已比較多，很容易混淆，有必要加以對比。 判斷下列雙曲線的焦點位置：可以檢測學生對兩個方程的掌握程度。歸納出判斷雙曲線焦點位置

9、的一般方法。（三） 知識應用-例題與鞏固練習1、例題：已知雙曲線焦點的坐標為 ，雙曲線上一點p到 的距離的差的絕對值等于6，求（1）雙曲線的標準方程（2）雙曲線上一點， 若,求。2 鞏固練習練習是學習活動中不可缺少的環(huán)節(jié)，可鞏固對知識的理解，在這一環(huán)節(jié)我為學生準備了2道練習題。（1）.已知動圓圓m與圓c： 內切，且過點a（2,0）求動圓圓心m的軌跡方程（2）已知雙曲線的焦距為6,且經過點（4,-5），焦點在y軸上，求其雙曲線的標準方程。通過練習會提醒學生考慮問題要認真、全面，同時又可加深學生對定義及標準方程的理解。（四）知識小結-歸納知識與布置作業(yè)1、知識總結： （1）雙曲線的定義 （2）標準

10、方程 （兩種形式）（3）焦點位置的判斷（4）a 、b、 c的關系在課的尾聲，我讓學生對本節(jié)課進行了總結。目的是幫助他們認清這節(jié)課的知識結構， 培養(yǎng)他們的歸納總結能力。 2 作業(yè)：教材第80頁練習 第1題，第2題預習下一節(jié)教學內涵不局限于課堂，為了幫助學生課下能夠繼續(xù)探索和研究，以幫助學生鞏固對定義和標準方程的理解，激發(fā)他們的能動性。四、教學設計的想法說明： 我在教學過程設計方面注意了三點：1. 教學過程的著力點放在了如何激發(fā)學生的學習動機，培養(yǎng)學生的學習興趣上，這是喚醒學生主體認識的關鍵。2. 教學過程的重點放在了培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力上，而把握重點的關鍵是如何選擇好創(chuàng)新精神、實踐能力與

11、課堂教學的結合，這個結合點從學科來說，就是以科學知識為載體，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維方法；從教師來說就是“思路、教路、學路”三者有機結合的教學過程設計，及其在課堂中的藝術展現；從學生來說，就是親歷、體驗、探究、思考和創(chuàng)造性的解決問題的過程，從而在過程中獲得逐步發(fā)展。3. 教學過程的基本點放在了夯實基礎知識和訓練基本技能上，基礎知識的教學注重了層次性、針對性。 我在教學理念方面注重了四點 第一是能動性：師生互動、生生互動，學生主動參與研究過程。 第二是開放性：教學過程中關注每個學生的個性發(fā)展，尊重每個學生發(fā)展的特殊需要，學生的思維開放。 第三是生成性：在教學過程中，學生的認識和體驗不斷加深，創(chuàng)造性的火

12、花不斷進發(fā)，學生的思維資源被開發(fā)出來，充分利用。 第四是注意了學生學習方式的轉變，既注重了研究性學習，又注重了接受性學習，教師不把現成結論告訴學生，而是學生自己在教師指導下自主地發(fā)現問題、探究問題獲得結論，從而解決問題。3.1 雙曲線的定義及標準方程課堂實錄（二） 知識引入- 圖片展示、觀察動畫、概括定義展示圖片，觀察其特點，概括出圖片物體的外形特征。學生的學習積極性立馬被調動起來，回答的很激烈也很內容也很豐富，不管是基礎差的還是基礎好的都在觀察，思考，回答。接下來我又提出新的問題。反問：如何采用簡易工具畫出這樣的曲線雙曲線動畫演示雙曲線形成過程，讓學生仔細觀察圖像中，定量關系和變量關系。類比

13、橢圓，給出雙曲線的定義什么？學生開始回憶，回答橢圓的定義。此時我提示在橢圓的定義中有哪些關鍵詞？學生思考回答，慢慢的由橢圓的定義，而得到雙曲線的定義。隨著雙曲線定義的得出，教學進入第二階段-知識探索（二） 知識探索- 定義的挖掘、標準方程的推導、方程的對比1、定義的挖掘在這一環(huán)節(jié)中，我們要認識到定義中的絕對值和兩點間距離與常數的大小關系二者對曲線的影響。反思：定義中為什么要求02a2c?然后讓學生帶著問題進行合作探究，我慢慢給予引導，讓學生類比橢圓的探究方法或畫圖一點點探究，對于學生難以理解的地方適時給予個別指導。學生分組探究，合作交流，理解能力強的則幫助差的去解決問題，最終使問題得到完美解決

14、。2標準方程的推導這一環(huán)節(jié)是本節(jié)課的難點，為了突破它，我設置了這樣幾個問題讓其貫穿推導過程以將難點分解：（5） 回顧橢圓標準方程的推導步驟及方法；（6） 類比橢圓試著推導雙曲線的標準方程；（7） 換元處理與橢圓有沒有區(qū)別？（8） 雙曲線焦點在x軸和 y軸上的標準方程的異同。然后讓學生獨立完成推導過程。遇到問題時則可小組內解決。雙曲線的標準方程推導過程與橢圓十分類似，學生有能力獨立完成。但在由于化簡根式時運算量較大，處理起來很可能出現一些運算錯誤。另外，變形時絕大多數學生會想到先移項再平方，少部分學生會直接平方。若直接平方，就會出現4次方，較為復雜此時我讓大家參與分析討論，看看哪種做法更為簡便。

15、以讓學生認識到今后在變形前要考慮清楚不要盲目去做。3、方程的對比判斷下列雙曲線的焦點位置：學生對剛才的方程推導過程理解的還是比較好的，大多數學生回答的都比較準確。此時提問學生“你是怎么判斷的，判斷雙曲線的焦點位置的一般方法是什么？”此時學生類比橢圓焦點位置的判斷方法得出雙曲線焦點位置的一般判斷方法“焦點位置看符號，位置隨著正的跑”，反應積極，參與性高。（四） 知識應用-例題與鞏固練習1、例題：已知雙曲線焦點的坐標為 ，雙曲線上一點p到 的距離的差的絕對值等于6，求（1）雙曲線的標準方程（2）雙曲線上一點， 若,求。學生思考回答，結合剛學的定義，方程很快的得出本題的正確答案，效果還算不錯3 鞏固

16、練習（1）.已知動圓圓m與圓c： 內切，且過點a（2,0）求動圓圓心m的軌跡方程（2）已知雙曲線的焦距為6,且經過點（4,-5），焦點在y軸上，求其雙曲線的標準方程。在第一題的解題過程中，學生遇到了麻煩，很多同學忘記了圓與圓的位置關系可以用哪些關系去刻畫，從而使此題無從下手，不知所措。此時我又簡單的復習了圓與圓的位置關系，學生明白之后，接下的問題對這節(jié)課而言，他們很快得出了自己的答案。但是學生的答案仍然不完整，考慮不全面，想不到其實本題的軌跡只是雙曲線的一支。第二題學生則完成的相對較好。而且學生給出了不同的解題方法。第一種方法是利用焦點在y軸的標準方程去解。第二種方法是采用定義式去解，即雙曲線

17、上一點到兩定點的距離之差的絕對值等于常數的方法去解，兩種方法各有各的好處，都非常好，學生理解的都很好。（四）知識小結-歸納知識 1、知識總結： （1）雙曲線的定義 （2）標準方程 （兩種形式）（3）焦點位置的判斷（4）a 、b、 c的關系2 課堂感悟 本節(jié)課你收獲了什么？學到了哪些數學思想和方法，還想探究什么？學生回憶本節(jié)重要知識點，思考，回答。在談到數學思想和方法時，則回答的也很豐富，全面，如從數學來源于生活，生活中處處有數學的存在，還有數形結合法，還有在考慮具體的問題過程中要面面俱到，還有一題多解的思想，遇到問題我們可以有很多種方法去解決，等等（五）布置作業(yè)教材第80頁練習 第1題，第2題

18、預習下一節(jié)教學內涵不局限于課堂，為了幫助學生課下能夠繼續(xù)探索和研究，以幫助學生鞏固對定義和標準方程的理解，激發(fā)他們的能動性。雙曲線定義及其標準方程教學反思近期，我參加了亳州市“一師一優(yōu)課”活動，課題是雙曲線定義及其標準方程，上課的對象是高二年級理科班的學生，本節(jié)我在40分鐘內完成了規(guī)定的教學任務，但是并沒有達到我的預期課堂效果。上完這節(jié)課后我認真進行了反思，具體內容如下：一教學過程回顧依據“以學生發(fā)展為本，新型的師生關系，新型的教學目標，新型的教學方式，新型的呈現方式”的心得教學理念和教學目標設計教學過程。1導入新課：簡單回顧前兩節(jié)所學圓錐曲線。2進入新課：（1）讓學生觀察幾組圖片，歸納總結出

19、這幾張圖片外形的共同特征。 （2）學生對比教材所給作圖方法，自己動手，小組合作畫出這樣的曲線雙曲線。 （3）在畫圖過程中，觀察圖形總結其規(guī)律，類比橢圓給出其雙曲線定義。 （4）探究定義中的限制條件02a2c的軌跡。（5）類比橢圓的標準方程的求法，一步步推導出雙曲線的標準方程，類比原理的應用大大節(jié)省了學生的思考過程，使本節(jié)重難點不攻自破。（6）講解例題，鞏固基礎知識，提高自身素質。（7）課堂練習檢驗學生新知掌握情況，學生交流思考，上臺展示。二成功之處教學方法上：結合本節(jié)課的具體內容，確立啟發(fā)探究式教學，互動式教學法進行教學這兩種教學方法，體現了認知心理學的基本理論。學習的主體上：課堂上不再成為“

20、一言堂”，學生也不再是教師注入知識的“容量瓶”，課堂上為學生的諸多參與提供充分的時間和空間，讓不同程度的學生勇于發(fā)表自己的各種觀點（無論對錯）。真正做到了：凡是學生能夠自己學習的，觀察的，講的（口頭表達），思考探究的，合作交流的，動手操作的，盡量都放手讓給學生去做，去活動，去完成，這樣可以調動學生學習積極性，拉近師生距離，提高知識的可接受度，讓學生體會到他們是學習的主體。進而完成知識的轉化，變書本的知識，老師的知識為成為自己的知識。學生參與度上：課堂教學真正面向全體學生，讓每個學生都享受到發(fā)展的權利。在啟發(fā)鼓勵下，讓學生充分參與進來，練習鞏固時，每個學生都經過獨立思考，進行了交流討論，共同進步?！叭S”課程目標的實現上：既關注掌握知識技能的過程與方法，又關注在這過程中情感態(tài)度價值觀形成的情形。呈現方式具有新異性，能激發(fā)學習興趣，激發(fā)學生將所學知識應用于實際的求知欲，體會數學的系統(tǒng)性，嚴密性。多媒體運用上：利用多媒體形象動態(tài)的演示功能提高教學的直觀性和趣味性，以提高課堂效益。老師學生在黑板上板書，向學生呈現出可操作性強的思維和解題過程。對雙曲線形成過程，采用圖象呈現，對學生感觀產生刺激，可以極大提高學習興趣，變抽象為直觀，加大一堂課的信息容量。學法指導上：采用激發(fā)興趣，主動參與，積極體驗，自主探究的講解討論相結合，交流