自動控制原理完整版課后習題答案

1、1 請解釋下列名字術語：自動控制系統(tǒng)、受控對象、擾動、給定值、參考輸入、反饋。解：自動控制系統(tǒng)：能夠實現(xiàn)自動控制任務的系統(tǒng)，由控制裝置與被控對象組成；受控對象：要求實現(xiàn)自動控制的機器、設備或生產(chǎn)過程擾動：擾動是一種對系統(tǒng)的輸出產(chǎn)生不利影響的信號。如果擾動產(chǎn)生在系統(tǒng)內(nèi)部稱為內(nèi)擾；擾動產(chǎn)生在系統(tǒng)外部，則稱為外擾。外擾是系統(tǒng)的輸入量。給定值：受控對象的物理量在控制系統(tǒng)中應保持的期望值參考輸入即為給定值。反饋：將系統(tǒng)的輸出量饋送到參考輸入端，并與參考輸入進行比較的過程。2 請說明自動控制系統(tǒng)的基本組成部分。解： 作為一個完整的控制系統(tǒng)，應該由如下幾個部分組成： 被控對象： 所謂被控對象就是整個控制系統(tǒng)

2、的控制對象； 執(zhí)行部件： 根據(jù)所接收到的相關信號，使得被控對象產(chǎn)生相應的動作；常用的執(zhí)行元件有閥、電動機、液壓馬達等。 給定元件： 給定元件的職能就是給出與期望的被控量相對應的系統(tǒng)輸入量（即參考量）； 比較元件： 把測量元件檢測到的被控量的實際值與給定元件給出的參考值進行比較，求出它們之間的偏差。常用的比較元件有差動放大器、機械差動裝置和電橋等。 測量反饋元件：該元部件的職能就是測量被控制的物理量，如果這個物理量是非電量，一般需要將其轉換成為電量。常用的測量元部件有測速發(fā)電機、熱電偶、各種傳感器等； 放大元件： 將比較元件給出的偏差進行放大，用來推動執(zhí)行元件去控制被控對象。如電壓偏差信號，可用

3、電子管、晶體管、集成電路、晶閘管等組成的電壓放大器和功率放大級加以放大。 校正元件： 亦稱補償元件，它是結構或參數(shù)便于調(diào)整的元件，用串聯(lián)或反饋的方式連接在系統(tǒng)中，用以改善系統(tǒng)的性能。常用的校正元件有電阻、電容組成的無源或有源網(wǎng)絡，它們與原系統(tǒng)串聯(lián)或與原系統(tǒng)構成一個內(nèi)反饋系統(tǒng)。3 請說出什么是反饋控制系統(tǒng)，開環(huán)控制系統(tǒng)和閉環(huán)控制系統(tǒng)各有什么優(yōu)缺點？解：反饋控制系統(tǒng)即閉環(huán)控制系統(tǒng)，在一個控制系統(tǒng)，將系統(tǒng)的輸出量通過某測量機構對其進行實時測量，并將該測量值與輸入量進行比較，形成一個反饋通道，從而形成一個封閉的控制系統(tǒng)；開環(huán)系統(tǒng)優(yōu)點：結構簡單，缺點：控制的精度較差；閉環(huán)控制系統(tǒng)優(yōu)點：控制精度高，缺點：

4、結構復雜、設計分析麻煩，制造成本高。4 請說明自動控制系統(tǒng)的基本性能要求。解：（1）穩(wěn)定性：對恒值系統(tǒng)而言，要求當系統(tǒng)受到擾動后，經(jīng)過一定時間的調(diào)整能夠回到原來的期望值。而對隨動系統(tǒng)而言，被控制量始終跟蹤參考量的變化。穩(wěn)定性通常由系統(tǒng)的結構決定的，與外界因素無關，系統(tǒng)的穩(wěn)定性是對系統(tǒng)的基本要求，不穩(wěn)定的系統(tǒng)不能實現(xiàn)預定任務。 （2）準確性：控制系統(tǒng)的準確性一般用穩(wěn)態(tài)誤差來表示。即系統(tǒng)在參考輸入信號作用下，系統(tǒng)的輸出達到穩(wěn)態(tài)后的輸出與參考輸入所要求的期望輸出之差叫做給定穩(wěn)態(tài)誤差。顯然，這種誤差越小，表示系統(tǒng)的輸出跟隨參考輸入的精度越高。（3）快速性：對過渡過程的形式和快慢的要求，一般稱為控制系統(tǒng)

5、的動態(tài)性能。系統(tǒng)的快速性主要反映系統(tǒng)對輸入信號的變化而作出相應的快慢程度，如穩(wěn)定高射炮射角隨動系統(tǒng)，雖然炮身最終能跟蹤目標，但如果目標變動迅速，而炮身行動遲緩，仍然抓不住目標。圖2-1 習題2-1 質量彈簧摩擦系統(tǒng)示意圖2-1 設質量-彈簧-摩擦系統(tǒng)如圖2-1所示，途中為黏性摩擦系數(shù)，為彈簧系數(shù)，系統(tǒng)的輸入量為力，系統(tǒng)的輸出量為質量的位移。試列出系統(tǒng)的輸入輸出微分方程。解：顯然，系統(tǒng)的摩擦力為，彈簧力為，根據(jù)牛頓第二運動定律有移項整理，得系統(tǒng)的微分方程為圖2-2 習題2-2 機械系統(tǒng)示意圖2-2 試列寫圖2-2所示機械系統(tǒng)的運動微分方程。解：由牛頓第二運動定律，不計重力時，得整理得2-3 求下

6、列函數(shù)的拉氏變換。（1）（2）（3）解：（1）（2）（3）2-4 求下列函數(shù)的拉氏反變換（1）（2）（3）解：（1）（2）（3）2-5 試分別列寫圖2-3中各無源網(wǎng)絡的微分方程（設電容上的電壓為，電容上的電壓為，以此類推）。 圖2-3 習題2-5 無源網(wǎng)絡示意圖解：（a）設電容上電壓為，由基爾霍夫定律可寫出回路方程為整理得輸入輸出關系的微分方程為（b）設電容、上電壓為，由基爾霍夫定律可寫出回路方程為整理得輸入輸出關系的微分方程為（c）設電阻上電壓為，兩電容上電壓為，由基爾霍夫定律可寫出回路方程為 （1） （2） （3） （4）（2）代入（4）并整理得 （5）（1）、（2）代入（3）并整理得兩端

7、取微分，并將（5）代入，整理得輸入輸出關系的微分方程為2-6 求圖2-4中各無源網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)。 圖2-4 習題2-6示意圖解：（a）由圖得 （1） （2）（2）代入（1），整理得傳遞函數(shù)為（b）由圖得 （1） （2） 整理得傳遞函數(shù)為（c）由圖得 （1） （2） （3） （4）整理得傳遞函數(shù)為圖2-5 習題2-7 無源網(wǎng)絡示意圖2-7 求圖2-5中無源網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)。解：由圖得整理得2-8 試簡化圖2-6中所示系統(tǒng)結構圖，并求傳遞函數(shù)和。解：（a）求傳遞函數(shù)，按下列步驟簡化結構圖：圖2-6 習題2-8 系統(tǒng)結構圖示意圖 令，利用反饋運算簡化如圖2-8a所示圖2-8a 串聯(lián)等效如圖2-8b所示

8、 圖2-8b根據(jù)反饋運算可得傳遞函數(shù)求傳遞函數(shù)，按下列步驟簡化結構圖：令，重畫系統(tǒng)結構圖如圖2-8c所示 圖2-8c 將輸出端的端子前移，并將反饋運算合并如圖2-8d所示 圖2-9d和串聯(lián)合并，并將單位比較點前移如圖2-8e所示 圖2-8e串并聯(lián)合并如圖2-8f所示圖2-8f根據(jù)反饋和串聯(lián)運算，得傳遞函數(shù)（b）求傳遞函數(shù)，按下列步驟簡化結構圖：將的引出端前移如圖2-8g所示 圖2-8g合并反饋、串聯(lián)如圖2-8h所示 圖2-8h 將的引出端前移如圖2-8i所示 圖2-8i 合并反饋及串聯(lián)如圖2-8j所示 圖2-8j根據(jù)反饋運算得傳遞函數(shù)圖2-7 習題2-9 系統(tǒng)結構圖示意圖習題2-4 無源網(wǎng)絡示

9、意圖2-9 試簡化圖2-7中所示系統(tǒng)結構圖，并求傳遞函數(shù)。解：求傳遞函數(shù)，按下列步驟簡化結構圖： 將的引出端前移如圖2-9a所示 圖2-9a 合并反饋及串聯(lián)如圖2-9b所示 圖2-9b 合并反饋、串聯(lián)如圖2-9c所示 圖2-9c根據(jù)反饋運算，得傳遞函數(shù)2-10 根據(jù)圖2-6給出的系統(tǒng)結構圖，畫出該系統(tǒng)的信號流圖，并用梅森公式求系統(tǒng)傳遞函數(shù)和。解：（a）根據(jù)結構圖與信號流圖的對應關系，用節(jié)點代替結構圖中信號線上傳遞的信號，用標有傳遞函數(shù)的之路代替結構圖中的方框，可以繪出系統(tǒng)對應的信號流圖。如圖2-10a所示。 圖2-10a（1）令，求系統(tǒng)傳遞函數(shù) 由信號流圖2-10a可見，從源節(jié)點到阱節(jié)點之間，

10、有一條前向通路，其增益為有三個相互接觸的單獨回路，其回路增益分別為，與互不接觸流圖特征式由于前向通路與所有單獨回路都接觸，所以余因子式根據(jù)梅森增益公式，得系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為（2）令，求系統(tǒng)傳遞函數(shù)由信號流圖2-10a可見，從源節(jié)點到阱節(jié)點之間，有兩條前向通路，其增益為，有兩個相互接觸的單獨回路，其回路增益分別為，沒有互不接觸的回路，所以流圖特征式為由于前向通路與所有單獨回路都接觸，所以余因子式，根據(jù)梅森增益公式，得系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為（b）根據(jù)結構圖與信號流圖的對應關系，用節(jié)點代替結構圖中信號線上傳遞的信號，用標有傳遞函數(shù)的之路代替結構圖中的方框，可以繪出系統(tǒng)對應的信號流圖。如圖2-10b所示。

11、 圖2-10b求系統(tǒng)傳遞函數(shù)由信號流圖2-10b可見，從源節(jié)點到阱節(jié)點之間，有一條前向通路，其增益為有三個相互接觸的單獨回路，其回路增益分別為，與互不接觸流圖特征式為由于前向通路與所有單獨回路都接觸，所以余因子式 根據(jù)梅森增益公式，得系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為2-11 根據(jù)圖2-7給出的系統(tǒng)結構圖，畫出該系統(tǒng)的信號流圖，并用梅森公式求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。解：根據(jù)結構圖與信號流圖的對應關系，用節(jié)點代替結構圖中信號線上傳遞的信號，用標有傳遞函數(shù)的之路代替結構圖中的方框，可以繪出系統(tǒng)對應的信號流圖。如圖2-11a所示 圖2-11a由信號流圖2-11a可見，從源節(jié)點到阱節(jié)點之間，有一條前向通路，其增益為有三個相互接

12、觸的單獨回路，其回路增益分別為，沒有互不接觸回路。因此，流圖特征式由于前向通路與所有單獨回路都接觸，所以余因子式根據(jù)梅森增益公式，得系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為3-1 設某高階系統(tǒng)可用下列一階微分方程近似描述：，其中。試證明系統(tǒng)的動態(tài)性能指標為，解： 由系統(tǒng)的微分方程可得其傳遞函數(shù)，在單位階躍輸入作用下，由于，所以有 當時，顯然有解之得由于為從上升到這個過程所需要得時間，所以有 其中 由上式易解出 則 ，當時，顯然有 解之得 3-2 已知各系統(tǒng)得脈沖響應，試求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：（1）；（2）；（3）。 解：（1）（2） （3）3-3 已知二階系統(tǒng)的單位階躍響應為，試求系統(tǒng)的超調(diào)量，峰值時間和調(diào)節(jié)時間。

13、解： 由上式可知，此二階系統(tǒng)的放大系數(shù)是10，但放大系數(shù)并不影響系統(tǒng)的動態(tài)性能指標。由于標準的二階系統(tǒng)單位階躍響應表達式為所以有 解上述方程組，得所以，此系統(tǒng)為欠阻尼二階系統(tǒng)，其動態(tài)性能指標如下 超調(diào)量 峰值時間 調(diào)節(jié)時間 3-4 設單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試求系統(tǒng)在單位階躍輸入下的動態(tài)性能。解題過程：由題意可得系統(tǒng)得閉環(huán)傳遞函數(shù)為其中。這是一個比例微分控制二階系統(tǒng)。 比例微分控制二階系統(tǒng)的單位階躍響應為 故顯然有 此系統(tǒng)得動態(tài)性能指標為 峰值時間 超調(diào)量 調(diào)節(jié)時間 3-5 已知控制系統(tǒng)的單位階躍響應為，試確定系統(tǒng)的阻尼比和自然頻率。解： 系統(tǒng)的單位脈沖響應為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為自然頻

14、率 阻尼比 3-6 已知系統(tǒng)特征方程為，試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)和赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：先用勞斯穩(wěn)定判據(jù)來判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，列出勞斯表如下顯然，由于表中第一列元素得符號有兩次改變，所以該系統(tǒng)在右半平面有兩個閉環(huán)極點。因此，該系統(tǒng)不穩(wěn)定。再用赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)來判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。顯然，特征方程的各項系數(shù)均為正，則 顯然，此系統(tǒng)不穩(wěn)定。3-7 設單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試應用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定義為多大值時，特使系統(tǒng)振蕩，并求出振蕩頻率。解： 由題得，特征方程是列勞斯表由題意，令所在行為零得由行得 解之得 ，所以振蕩角頻率為 3-8 已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時的

15、值范圍。解：由題可知系統(tǒng)的特征方程為列勞斯表如下 由勞斯穩(wěn)定判據(jù)可得解上述方程組可得 3-9系統(tǒng)結構如圖3-1所示，定義誤差，(1) 若希望圖a中，系統(tǒng)所有的特征根位于平面上的左側，且阻尼比為0.5，求滿足條件的的取值范圍。(2) 求圖a系統(tǒng)的單位斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差。(3) 為了使穩(wěn)態(tài)誤差為零，讓斜坡輸入先通過一個比例微分環(huán)節(jié)，如圖b所示，試求出合適的值。 (a) (b)圖3-1 習題3-9 示意圖 解：（1）閉環(huán)傳遞函數(shù)為 即，代入上式得，列出勞斯表， (2) ，系統(tǒng)為i型系統(tǒng) (3)并沒有改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性。3-10 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)： （1）；（2）試求輸入分別為和時，系統(tǒng)

16、的穩(wěn)態(tài)誤差。解：（1）由上式可知，該系統(tǒng)是型系統(tǒng)，且。型系統(tǒng)在信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差分別為：。根據(jù)線性疊加原理有該系統(tǒng)在輸入為時的穩(wěn)態(tài)誤差為，該系統(tǒng)在輸入為時的穩(wěn)態(tài)誤差為 （2） 由上式可知，該系統(tǒng)是型系統(tǒng)，且。型系統(tǒng)在信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差分別為：。根據(jù)線性疊加原理有該系統(tǒng)在輸入為時的穩(wěn)態(tài)誤差為，該系統(tǒng)在輸入為時的穩(wěn)態(tài)誤差為3-11已知閉環(huán)傳遞函數(shù)的一般形式為誤差定義為。試證，（1） 系統(tǒng)在階躍信號輸入下，穩(wěn)態(tài)誤差為零的充分條件為（2）系統(tǒng)在斜坡信號輸入下，穩(wěn)態(tài)誤差為零的充分條件為（3）推導系統(tǒng)在斜坡信號輸入下穩(wěn)態(tài)誤差為零的充分條件 （4）求出系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)與系統(tǒng)型別之間的關系解：（1） 滿足

17、終值定理的條件， 即證 （2） 滿足終值定理的條件， 即證(3) 對于加速度輸入，穩(wěn)態(tài)誤差為零的必要條件為同理可證（4）系統(tǒng)型別比閉環(huán)函數(shù)分子最高次冪大1次。3-12 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：（1）；（2）；（3）試求位置誤差系數(shù)，速度誤差系數(shù)，加速度誤差系數(shù)。解：（1） 此系統(tǒng)是一個型系統(tǒng)，且。故查表可得，（2） 根據(jù)誤差系數(shù)的定義式可得 （3） 根據(jù)誤差系數(shù)的定義式可得3-13設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 輸入信號為 其中, , , i, , 均為正數(shù)，a和b為已知正常數(shù)。如果要求閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差, 其中, 試求系統(tǒng)各參數(shù)滿足的條件。解：首先系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的，系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程

18、為式中，,為系統(tǒng)的開環(huán)增益，各參數(shù)滿足： , 即穩(wěn)定條件為 由于本例是i型系統(tǒng)，其, ,故在作用下，其穩(wěn)態(tài)誤差 必有 于是，即能保證系統(tǒng)穩(wěn)定，又滿足對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差要求的各參數(shù)之間的條件為 3-14 設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為。試用動態(tài)誤差系數(shù)法求出當輸入信號分別為時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 解：系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為所以有對上式進行拉氏反變換可得 （1）當時，顯然有 將上述三式代入（1）式，可得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 3-15 假設可用傳送函數(shù)描述溫度計的特性，現(xiàn)在用溫度計測量盛在容器內(nèi)的水溫，需要一分鐘時間才能指出實際水溫的的數(shù)值。如果給容器加熱，使水溫依的速度線性變化，問溫度計的穩(wěn)態(tài)誤差有多大?解：

19、由題意，該一階系統(tǒng)得調(diào)整時間，但，所以。系統(tǒng)輸入為，可推得因此可得 的穩(wěn)態(tài)分量為穩(wěn)態(tài)誤差為 所以，穩(wěn)態(tài)誤差為3-16如圖3-2所示的控制系統(tǒng)結構圖，誤差在輸入端定義，擾動輸入.(1) 試求時，系統(tǒng)在擾動輸入下的穩(wěn)態(tài)輸出和穩(wěn)態(tài)誤差。(2) 若, 其結果又如何？(3) 在擾動作用點之前的前向通道中引入積分環(huán)節(jié)，對其結果有何影響？在擾動作用點之后的前向通道中引入積分環(huán)節(jié)，對其結果又有何影響？ 圖3-2 習題 3-16 示意圖解：令 ，則 代入 得 令，得擾動作用下的輸出表達式： 此時的誤差表達式為：若在s 右半平面上解析，則有 在擾動輸入下的穩(wěn)態(tài)輸出為 代入的表達式，可得 （1） 當時，（2） 當時

20、， 可見，開環(huán)增益的減小將導致擾動作用下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出的增大，且穩(wěn)態(tài)誤差的絕對值也增大。（3） 若加在擾動之前，則 得 若加在擾動之后，則 可見在擾動作用點之前的前向通路中加入積分環(huán)節(jié)，可以消除階躍輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差。3-17 設隨動系統(tǒng)的微分方程為： 其中，為系統(tǒng)輸出量，為系統(tǒng)輸入量，為電動機機電時間常數(shù)，為電動機電磁時間常數(shù)，為系統(tǒng)開環(huán)增益。初始條件全部為零，試討論：（1） 、與之間關系對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響（2） 當, , 時，可否忽略的影響？在什么影響下的影響可以忽略？解：（1）對系統(tǒng)微分方程在零初始條件下進行拉氏變換，得閉環(huán)系統(tǒng)特征方程 當 均為正值時，且有 即 時 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。（2）由

21、于，因此只有當 閉環(huán)系統(tǒng)才穩(wěn)定，顯然，對于, 閉環(huán)不穩(wěn)定。此時若略去, 閉環(huán)特征方程為 上式中各項系數(shù)為正，從而得到得出閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的錯誤結論。如果 。如果，則略去不會影響閉環(huán)穩(wěn)定性。 對于本例，當時，不能忽略對穩(wěn)定性的影響，否則可以忽略。3-18 設計題飛機的自動控制，是一個需要多變量反饋方式的例子。在該系統(tǒng)中，飛機的飛行姿態(tài)由三組翼面決定，分別是：升降舵，方向舵和副翼，如附圖3-3(a)所示。飛行員通過操縱這三組翼面，可以使飛機按照既定的路線飛行。這里所要討論的自動駕駛儀是一個自動控制系統(tǒng)，它通過調(diào)節(jié)副翼表面來控制傾角，只要使副翼表面產(chǎn)生一個的變形，氣壓在這些表面上會產(chǎn)生一個扭矩，使飛機產(chǎn)

22、生側滾。圖3-3（a） 飛機副翼模型圖飛機副翼是由液壓操縱桿來控制的，后者的傳遞函數(shù)為。測量實際的傾角，并與輸入設定值進行比較，其差值被用來驅動液壓操縱桿，而液壓操縱桿則反過來又會引起副翼表面產(chǎn)生變形。為簡單化起見，這里假定飛機的側滾運動與其他運動無關，其結構圖如圖3-3(b)所示，又假定，且角速率由速率陀螺將其值進行反饋，期望的階躍響應的超調(diào)量，調(diào)節(jié)時間(以的標準)，試選擇合適的和值。圖3-3（b） 飛機控制傾角結構圖解：由于過阻尼響應緩慢，故通常不希望采用過阻尼系統(tǒng)，在本題中欠阻尼因此，計算可得又因，由題計算可得，故圖4-1 習題4-1系統(tǒng)零極點分布圖4-1 已知系統(tǒng)開環(huán)零極點分布如圖4-

23、1所示，試繪制相應的根軌跡圖。解：圖4-1a根軌跡圖（a）根軌跡的漸近線條數(shù)為（b）根軌跡的漸近線條數(shù)為（c）根軌跡的漸近線條數(shù)為，漸近線的傾斜角為，（d）根軌跡的漸近線條數(shù)為（e）根軌跡的漸近線條數(shù)為（f）根軌跡的漸近線條數(shù)為，漸近線的傾斜角為4-2 已知單位反饋控制系統(tǒng)的前向通道傳遞函數(shù)為：(1) (2) (3) (4) ，畫出各系統(tǒng)的根軌跡圖。解：（1）按下列步驟繪制根軌跡： 系統(tǒng)開環(huán)有限零點為；開環(huán)有限極點為實軸上的根軌跡區(qū)間為根軌跡的漸近線條數(shù)為，漸近線的傾角為，漸近線與實軸的交點為閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡如下圖4-2a所示 圖4-2a 閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡圖（2）按下列步驟繪制根軌跡：系統(tǒng)沒有開環(huán)

24、有限零點；開環(huán)有限極點為實軸上的根軌跡區(qū)間為根軌跡的漸近線條數(shù)為，漸近線的傾角為，漸近線與實軸的交點為分離點方程為解得分離點閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡如下圖4-2b所示 圖4-2b（3）按下列步驟繪制根軌跡：系統(tǒng)沒有開環(huán)有限零點；開環(huán)有限極點為 實軸上根軌跡區(qū)間為 根軌跡的漸近線條數(shù)為，根軌跡的起始角：復數(shù)開環(huán)有限極點處，分離點方程為解得分離點檢查時，時，皆為閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的分離點。確定根軌跡與虛軸的交點：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為列寫勞斯表當時，勞斯表出現(xiàn)全零行，輔助方程為解得根軌跡與虛軸交點為。根軌跡如下圖4-2c所示： 圖4-2c（4）按下列步驟繪制根軌跡：系統(tǒng)開環(huán)有限零點為；開環(huán)有限極點為，實軸上根軌跡區(qū)

25、間為根軌跡的漸近線條數(shù)為，分離點方程為解得分離點根軌跡如下圖4-2d所示： 圖4-2d圖4-2 習題4-3系統(tǒng)零極點分布圖4-3 給定系統(tǒng)如圖4-2所示，試畫出系統(tǒng)的根軌跡，并分析增益對系統(tǒng)阻尼特性的影響。解：（1）作系統(tǒng)的根軌跡。開環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)極點為和，開環(huán)零點為和。所以實軸上的根軌跡區(qū)間為和。分離點方程得分離點檢查時，時，可得到根軌跡如下圖4-3a所示 圖4-3a（2）分析增益對阻尼特性的影響。從根軌跡圖可以看出，對于任意，閉環(huán)系統(tǒng)都是穩(wěn)定的，但阻尼狀況不同。增益較小時（）系統(tǒng)過阻尼；增益很大時（），系統(tǒng)過阻尼；增益中等時（），系統(tǒng)欠阻尼。圖4-3 習題4-4系統(tǒng)結構圖4-4 給定控制

26、系統(tǒng)如圖4-3所示， ，試用系統(tǒng)的根軌跡圖確定，速度反饋增益為何值時能使閉環(huán)系統(tǒng)極點阻尼比等于。解：（1）求系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程并劃成標準形式。通過方塊圖變換或代數(shù)運算可以求得單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)因為可變參數(shù)不是分子多項式的相乘因子，所以先求系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程改寫為即，上述閉環(huán)特征方程也相當于開環(huán)傳遞函數(shù)為的系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程。（2）根據(jù)作出根軌跡圖。有兩個極點，一個零點，所以負實軸是根軌跡，而且其上有分離點。將閉環(huán)特征方程改寫為由可以求得，其中在根軌跡上，對應增益為，故是實軸上的分離點。根軌跡如圖4-4a所示。 圖4-4a（3）求反饋增益。首先要確定閉環(huán)極點。設途中虛線代表，則閉環(huán)極點為

27、根軌跡和該虛線的交點，由可得。設列出該點對應的輻角條件經(jīng)整理得兩邊同取正切，整理得解得，。所以該閉環(huán)極點為。再由得速度反饋增益為。4-5 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：。要求系統(tǒng)的閉環(huán)極點有一對共軛復數(shù)極點，其阻尼比為。試確定開環(huán)增益，并近似分析系統(tǒng)的時域性能。解：根據(jù)繪制常規(guī)根軌跡的基本法則，作系統(tǒng)的概略根軌跡如圖4-5a所示。 圖4-5a欲確定，需先確定共軛復極點。設復極點為根據(jù)阻尼比的要求，應保證在圖上作的阻尼線，并得到初始試探點的橫坐標，由此求得縱坐標。在處檢查相角條件不滿足相角條件；修正，則，點處的相角為；再取，則，點處的相角為。因此共軛復極點。由模值條件求得運用綜合除法求得另一

28、閉環(huán)極點為。共軛復極點的實部與實極點的實部之比為，因此可視共軛復極點為系統(tǒng)的主導極點，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可近似表示為并可近似地用典型二階系統(tǒng)估算系統(tǒng)的時域性能4-6 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試畫出系統(tǒng)的根軌跡圖，并分析系統(tǒng)的穩(wěn)定時k的取值范圍。解：由題得開環(huán)極點：和開環(huán)零點：分離、會合點：從平面的零點、極點分布可知在區(qū)間內(nèi)可能有分離、會合點。記由，可得經(jīng)整理后得到用試探法或程序算得區(qū)間內(nèi)的一個根為，它就是實軸上的分離點。根軌跡自復數(shù)極點的出射角：根軌跡趨向復數(shù)零點的入射角：根軌跡與虛軸的交點：閉環(huán)特征方程為令，可得由第二式得，代入第一式，得 解得根據(jù)以上數(shù)據(jù)畫根軌跡圖，如圖4-6a所

29、示。 圖4-6a 根軌跡圖再分析系統(tǒng)得穩(wěn)定情況：根軌跡與虛軸第一個交點的頻率為 ，利用幅值條件可以計算出對應的增益同樣可以算得與和對應的增益參看根軌跡圖可知：系統(tǒng)穩(wěn)定時的取值范圍為：或4-7 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：的變化范圍是，試畫出系統(tǒng)的根軌跡圖。解：按下列步驟繪制根軌跡：系統(tǒng)沒有開環(huán)有限零點；開環(huán)有限極點為實軸上的根軌跡區(qū)間為根軌跡的漸近線條數(shù)為，漸近線的傾角為，漸近線與實軸的交點為 分離點方程為 解得分離點閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡如下圖4-7a所示 圖4-7a4-8 已知反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試畫出和同時變化的根軌跡簇。解：（1）列寫閉環(huán)特征方程。閉環(huán)特征方程為（2）畫，從到的

30、根軌跡。時閉環(huán)特征方程為。這相當于一個開環(huán)傳遞函數(shù)為的系統(tǒng)。它的根軌跡是與虛軸重合的直線。見圖4-8a中由圓圈構成的根軌跡。（3）畫為常數(shù)，從到的根軌跡。給定，則閉環(huán)特征方程為它相當于一個開環(huán)傳遞函數(shù)為的系統(tǒng)，該系統(tǒng)的開環(huán)極點為，開環(huán)零點為。圖4-8a中不帶圓圈的根軌跡是時的根軌跡。 圖4-8a4-9 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：的變化范圍是，試畫出系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡。解：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為 即有等效開環(huán)傳遞函數(shù)為，變化范圍為按照繪制常規(guī)根軌跡的基本法則確定根軌跡的各項參數(shù)：（1）等效系統(tǒng)無開環(huán)有限零點；開環(huán)有限極點為：（2）實軸上的根軌跡區(qū)間為（3）根軌跡有3條漸近線，且（4）根軌跡的分

31、離點：由分離點方程 解得（5）根軌跡與虛軸的交點：根據(jù)閉環(huán)特征方程列寫勞斯表如下： 當時，勞斯表的行元素全為零，輔助方程為解得繪制系統(tǒng)參數(shù)根軌跡如圖4-9a所示 圖4-9a4-10 已知反饋控制系統(tǒng)中，其開環(huán)傳遞函數(shù)為：(1) 繪制時的閉環(huán)根軌跡概略圖；(2) 繪制時的閉環(huán)根軌跡概略圖；(3) 比較開環(huán)零點變化對根軌跡形狀的影響。解：（1）開環(huán)傳遞函數(shù)按下列步驟繪制根軌跡：系統(tǒng)開環(huán)有限零點為；開環(huán)有限極點為，實軸上的根軌跡區(qū)間為根軌跡的漸近線條數(shù)為，漸近線的傾角為，漸近線與實軸的交點為閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡如下圖4-10a所示 圖4-10a根軌跡圖（2）開環(huán)傳遞函數(shù)按下列步驟繪制根軌跡：系統(tǒng)開環(huán)有限零

32、點為，；開環(huán)有限極點為，實軸上的根軌跡區(qū)間為 和 根軌跡的漸近線條數(shù)為，漸近線的傾角為，漸近線與實軸的交點為閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡如下圖4-10b所示 圖4-10b根軌跡圖4-11 給定控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試作出以為參變量的根軌跡，并利用根軌跡分取何值時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。解：（1）求系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程并化成標準的形式。因為可變參數(shù)不是分子多項式的相乘因子，所以先求系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程可改寫為則開環(huán)傳遞函數(shù)為（2）根據(jù)作系統(tǒng)的根軌跡。中的增益為負值，所以要作系統(tǒng)的補根軌跡。開環(huán)極點為和，開環(huán)零點為。按照補根軌跡的作圖規(guī)則，實軸上的根軌跡區(qū)間為和。在 區(qū)間有會合點，在有分離點。為求分離、會合點，將閉環(huán)特征

33、方程改寫為由，得，解得，分別對應的增益為和，所以是分離、會合點。可以證明，不在實軸上的根軌跡是一個圓，圓心在，半徑為。以為參變量的根軌跡如圖4-11a所示， 圖4-11a圖中箭頭表示從到的方向，也即從到的方向。（3）求使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的取值范圍。首先求根軌跡與虛軸的交點。由閉環(huán)特征方程可知，時系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，這相當于，所以使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的范圍為。4-12 實系參數(shù)多項式函數(shù)為：欲使的根均為實數(shù)，試確定參數(shù)的范圍。解：對作等效變換得等效開環(huán)函數(shù)為當時，需繪制常規(guī)根軌跡：系統(tǒng)開環(huán)有限零點為；開環(huán)有限極點為，實軸上的根軌跡區(qū)間為和根軌跡有2條漸近線，且；由分離點方程在實軸區(qū)間內(nèi)用試探法求得。繪制

34、根軌跡圖，如圖4-12a所示。當時，需繪制零度根軌跡。實軸上，零度根軌跡區(qū)間為(-,-3，-2,-1和0,+。作零度根軌跡圖，如圖4-12b所示。當多項式有根時，根據(jù)模值條件得根據(jù)常規(guī)根軌跡圖，知當時，多項式的根皆為實數(shù)；根據(jù)零度根軌跡圖，知當時，多項式的根亦全為實數(shù)。因此所求參數(shù)的范圍為。 圖4-12a 常規(guī)根軌跡 圖4-12b 零度根軌跡4-13 設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：(1) 大致畫出系統(tǒng)的根軌跡圖；(2) 用文字說明當時，如何求系統(tǒng)單位階躍響應的超調(diào)量，峰值時間及調(diào)節(jié)時間。解：（1）繪根軌跡圖漸近線：分離點：由，得相應的根軌跡增益根軌跡與虛軸交點：閉環(huán)特征方程列勞斯表當時，勞斯表出現(xiàn)全零

35、行，由輔助方程得根軌跡與虛軸交點處為根軌跡圖如下圖4-13a所示： 圖4-13a（2）求動態(tài)性能指標當時，系統(tǒng)，閉環(huán)有兩個實主導極點和，且，因此求得調(diào)節(jié)時間如下：當時，閉環(huán)系統(tǒng)有一對共軛復極點，則由于因此 4-14 設單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試畫出系統(tǒng)根軌跡圖，并求出系統(tǒng)具有最小阻尼比時的閉環(huán)極點和對應的增益。解：系統(tǒng)在實軸上的根軌跡區(qū)域為和在這兩段區(qū)域內(nèi)，均存在分離點。為了求出分離點，令求出 因而復數(shù)根軌跡是以為圓心，為半徑的一個圓，如圖4-14a所示 圖4-14a在圖上，過原點作圓得切線，得最小阻尼比線。由根軌跡圖知，對于等腰直角三角形，必有，故最小阻尼比響應的閉環(huán)極點由根軌跡模值

36、條件，可求出相應的增益為4-15 已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試按照步驟作出時的根軌跡圖。解：開環(huán)極點：根軌跡在實軸上的區(qū)間根軌跡的漸近線分離點： 即 整理得 為了求取分離點方程的根，將上式表示為令等效開環(huán)傳遞函數(shù)為其中。若令從變到，其根軌跡如圖4-15a所示。圖中，漸近線圖4-15a；分離點。在圖上，試探，檢驗模值條件 故符合要求，故為分離點方程的一個根。利用綜合除法，有求得分離點分離角為根軌跡的起始角根軌跡與虛軸的交點：閉環(huán)特征方程為列勞斯表顯然，當時，根軌跡和虛軸相交，由輔助方程 求得交點處根據(jù)以上步驟，繪制系統(tǒng)根軌跡圖4-15b 圖4-15b 根軌跡圖4-16 設某單位負反饋系

37、統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：(1) 繪制從時系統(tǒng)的根軌跡圖；(2) 求系統(tǒng)階躍響應中含有時的值范圍，其中；(3) 求系統(tǒng)有一個閉環(huán)極點為時的閉環(huán)傳遞函數(shù)。解：繪制根軌跡圖閉環(huán)特征方程為 寫成根軌跡方程形式為： 令等效開環(huán)傳遞函數(shù)為實軸上根軌跡：分離點：由求得與虛軸交點：列勞斯表顯然，當時系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定，由輔助方程并代入，解出交點處分離點處根軌跡增益：由模值條件得：繪出系統(tǒng)根軌跡如圖4-16a所示 圖4-16a（2）求值范圍當系統(tǒng)階躍響應含有分量時，系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)，系統(tǒng)有一對具有負實部的共軛極點，值范圍為（3）求閉環(huán)傳遞函數(shù)當系統(tǒng)具有閉環(huán)極點時，由模值條件，其對應的值為于是 閉環(huán)傳遞函數(shù)為 5-1

38、 設系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，閉環(huán)傳遞函數(shù)為，試根據(jù)頻率特性的定義證明，輸入為余弦函數(shù)時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為解：由題目可得對等式兩邊同時進行拉氏變換可得由于系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，所以不存在正實部的極點。假設可表示為如下表達式由以上分析可得，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為對上述閉環(huán)傳遞函數(shù)作如下分解對上式等式兩邊進行拉氏反變換可得由系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出的定義可得利用留數(shù)法確定待定的系數(shù)所以可得 5-2 若系統(tǒng)階躍響應為：試確定系統(tǒng)頻率特性解：單位階躍輸入信號的拉氏變換為系統(tǒng)單位階躍響應的拉氏變換為 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為將代入傳遞函數(shù)可得 5-3 設系統(tǒng)結構圖如圖5-1所示，試確定輸入信號圖5-1 習題5-3控制系統(tǒng)結構圖作用下，系統(tǒng)的

39、穩(wěn)態(tài)誤差。解：如圖5-1所示，系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為其幅頻特性和相頻特性分別為當時 5-4已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)； 試分析并繪制和情況下的概略幅相曲線。解：由題可知，系統(tǒng)的頻率特性如下 由于系統(tǒng)，所以開環(huán)幅相曲線要用虛線補畫的半徑為無窮大的圓弧 當時， 當時，又由于，所以有當時，開環(huán)幅相曲線始終處于第三象限，如圖5-4a所示；當時，開環(huán)幅相曲線始終處于第二象限，如圖5-4b所示。 圖5-4a開環(huán)幅相曲線 圖5-4b開環(huán)幅相曲線 5-5 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試分別繪制時系統(tǒng)的概略開環(huán)幅相曲線。解：由題目可知，系統(tǒng)的頻率特性如下 當時，開環(huán)幅相曲線要用虛線補畫的半徑為無窮大的圓弧。若，則若，則由以上分

40、析可知，系統(tǒng)概略開環(huán)幅相曲線如圖5-5a所示。當時，開環(huán)幅相曲線要用虛線補畫的半徑為無窮大的圓弧。若，則若，則由以上分析可知，系統(tǒng)概略開環(huán)幅相曲線如圖5-5a所示。當時，開環(huán)幅相曲線要用虛線補畫的半徑為無窮大的圓弧。若，則若，則由以上分析可知，系統(tǒng)概略開環(huán)幅相曲線如圖5-5a所示。當時，開環(huán)幅相曲線要用虛線補畫的半徑為無窮大的圓弧。若，則若，則由以上分析可知，系統(tǒng)概略開環(huán)幅相曲線如圖5-5a所示。圖5-5a系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線5-6已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試分別計算和時，開環(huán)頻率特性的幅值和相位。解：系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性表達式如下當時此時當時此時5-7 繪制下列傳遞函數(shù)的對數(shù)幅頻漸進特性曲線a 圖2-7

41、a對數(shù)幅頻漸進特性曲線b 圖2-7b對數(shù)幅頻漸進特性曲線對數(shù)幅頻漸進特性曲線 c 圖2-7c對數(shù)幅頻漸進特性曲線對數(shù)幅頻漸進特性曲線d 圖2-7d對數(shù)幅頻漸進特性曲線5-8 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試繪制的對數(shù)頻率特性曲線，并算出截止頻率。解：由題可得則 因此 對數(shù)頻率特性曲線如圖5-8a所示 圖5-8a 對數(shù)頻率特性曲線又，可得，即計算可得5-9 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：a計算截止頻率。b確定對數(shù)幅頻漸進特性曲線的低頻漸進線的斜率。c繪制對數(shù)幅頻特性曲線。解： 計算可得當時，斜率為；當時，斜率為；當時，斜率為；當時，斜率為；繪制對數(shù)幅頻特性曲線，如圖5-9a所示。 圖5-9a 對數(shù)幅頻特性曲線5

42、-10 利用奈氏判據(jù)分別判斷題5-4，5-5系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。解：(1) 對于題5-4的系統(tǒng)，分和的兩種情況來討論系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。當時，系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線如圖5-4a所示，由圖可知，系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線不包圍，根據(jù)奈奎斯特判據(jù)可得又由系統(tǒng)得開環(huán)傳遞函數(shù)可知即，閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面無極點，時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。當時，系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線如圖5-4b所示，由圖可知，又由系統(tǒng)得開環(huán)傳遞函數(shù)可知即，閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面有2個極點，時閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。(2) 對于題5-5的系統(tǒng)，其開環(huán)幅相曲線如圖所示，由圖5-5a可知當時，又由系統(tǒng)得開環(huán)傳遞函數(shù)可知即，閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面無極點，時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。當時，又由系統(tǒng)得開環(huán)傳

43、遞函數(shù)可知即，閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面有2個極點，時閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。5-11 用勞斯判斷據(jù)驗證題5-10的結果。解：（1）對于題5-4的系統(tǒng)，由題得閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為列勞斯表則當時，即第一列各值為正，即閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；當時，即第一列各值不全為正，即閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。（2）對于題5-5的系統(tǒng)，由題得閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為，即當時，列勞斯表第一列各值為正，即閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；當時，列勞斯表第一列各值不全為正，即閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；當時，情況與相同，即閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。5-12 已知三個系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，又知它們的奈奎斯特曲線如圖5-2(a)(b)(c)所示。找出各個傳遞函數(shù)分別對應的奈奎斯特曲線，并判斷單位反饋下閉環(huán)

44、系統(tǒng)的穩(wěn)定性圖5-2 習題5-12控制系統(tǒng)乃奎斯特曲線圖解：三個傳遞函數(shù)對應的奈奎斯特曲線分別為對式，則，故系統(tǒng)穩(wěn)定；對式，則，故系統(tǒng)穩(wěn)定；對式，則，故系統(tǒng)穩(wěn)定；5-13 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)； 試根據(jù)奈氏判據(jù)，確定其閉環(huán)穩(wěn)定條件：a時，值的范圍；b時，值的范圍；c，值的范圍。解：由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可知，系統(tǒng)的開環(huán)曲線圖如圖5-13a所示圖5-13a 系統(tǒng)開環(huán)曲線 由于，故想要閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，必有，即幅相曲線不包圍點。系統(tǒng)的頻率特性表達式如下、時，對于開環(huán)幅相曲線與實軸的交點有 由上式可得，則交點的實軸坐標為由上式可得 、時，對于開環(huán)幅相曲線與實軸的交點有 由上式可得，則交點的實軸坐標為由上式

45、可得 、對于開環(huán)幅相曲線與實軸的交點有 由上式可得，則交點的實軸坐標為由上式可得 5-14 某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為要求畫出以下4種情況下的奈奎斯特曲線，并判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性：a；b；c；d。解：a 當時，其開環(huán)幅相曲線如圖5-14a所示，則，故在平面右半平面有2個閉環(huán)極點，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；b當時，若，則若，則其開環(huán)幅相曲線如圖5-14b所示，則，故系統(tǒng)不穩(wěn)定；c 當時，若，則若，則其開環(huán)幅相曲線如圖5-14c所示，則，故系統(tǒng)不穩(wěn)定；d當時，由可得,故可得其開環(huán)幅相曲線如圖5-14d所示， 圖5-14a 開環(huán)幅相曲線 圖5-14b 開環(huán)幅相曲線則，故系統(tǒng)穩(wěn)定。 圖5-14c 開環(huán)幅相曲線 圖5-14d開環(huán)幅相曲線 5-15 已知反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，如果閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，閉環(huán)傳遞函數(shù)會有幾個極點在復數(shù)平面的右半平面？解：當時，當時，由于系統(tǒng)不穩(wěn)定，故可得其開環(huán)幅相曲線如圖5-15a所示由圖可得，則，故閉環(huán)傳遞函數(shù)有2個極點在復數(shù)平面的右半平面。 圖5-15a 開環(huán)幅相曲線5-16 設控制系統(tǒng)的結構圖如圖5-3所示。a求出開環(huán)傳遞函數(shù)；b畫出對數(shù)相頻特性曲線；c求出臨界開環(huán)比例和截止頻率