羅必塔法則最新課件

1、編編微微積積分分 L Hospitals Rule經(jīng)經(jīng)濟濟數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)基基礎(chǔ)礎(chǔ)五、小結(jié)五、小結(jié) 思考題思考題三、其它未定式的極限三、其它未定式的極限四、羅必達法則失敗的情況四、羅必達法則失敗的情況二、未定式二、未定式 型和型和 型的極限型的極限0 00 0一、問題的提出一、問題的提出2/24.,)()(lim,)()(lim,)()(lim舉例說明舉例說明也不存在也不存在是否是否不存在不存在若若極限極限為未定型為未定型設(shè)設(shè)xgxfxgxfxgxf 三、其它未定式的極限三、其它未定式的極限3.13.1、分類及求解關(guān)鍵、分類及求解關(guān)鍵上一節(jié)內(nèi)容上一節(jié)內(nèi)容一、問題的提出一、問題的提出)00()( 2.4

2、2.4、三點注意事項、三點注意事項3.23.2、具體類型轉(zhuǎn)化方式、具體類型轉(zhuǎn)化方式四、法則失敗的情況四、法則失敗的情況五、小結(jié)五、小結(jié)思考題思考題下一節(jié)內(nèi)容下一節(jié)內(nèi)容二、羅必塔法則二、羅必塔法則2.12.1、羅必塔簡介、羅必塔簡介2.2、羅必塔法則、羅必塔法則 I2.32.3、羅必塔法則、羅必塔法則II3/241.11.1、對求極限的回顧、對求極限的回顧若若0)(lim, 0)(lim00 xgxfxxxx則則)(/ )(lim0 xgxfxx 00 )(lim,)(lim00 xgxfxxxx若若則則 )(/ )(lim0 xgxfxx 我們在第二章已經(jīng)學(xué)習(xí)了上述兩種未定式的極限，我們在第二

3、章已經(jīng)學(xué)習(xí)了上述兩種未定式的極限，那時介紹的方法能否解決各類問題呢？那時介紹的方法能否解決各類問題呢？)(sinlim0030 xxxx 等等價價無無窮窮小小代代換換連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)的的性性質(zhì)質(zhì)第第一一個個重重要要極極限限有有理理化化后后約約去去零零因因子子分分解解因因式式約約去去零零因因子子)(004/24發(fā)現(xiàn)，已經(jīng)學(xué)過的五種方法，對于此題是一籌莫展，發(fā)現(xiàn)，已經(jīng)學(xué)過的五種方法，對于此題是一籌莫展，因此必須找到新的方法，天將降大任于羅必塔因此必須找到新的方法，天將降大任于羅必塔. .羅必塔羅必塔( ) (1661-1704) 法國數(shù)學(xué)家法國數(shù)學(xué)家HospitalL 5/24型未定式型未定式00

4、點點可可導(dǎo)導(dǎo)，點點的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，假假設(shè)設(shè)在在在在考考察察函函數(shù)數(shù)aaxf)(axafxfafax )()(lim)(。分分子子分分母母同同時時趨趨向向于于時時，限限當(dāng)當(dāng)是是一一個個常常數(shù)數(shù)值值，上上述述極極0 )(axaf ,tanlim0 xxx)00(型型未未定定式式 ,sinlnsinlnlim0bxaxx)( ,2)2tan(lim2 xxx)00(,lnlimnxxx)( .,推推出出求求此此類類極極限限的的方方法法下下面面據(jù)據(jù)柯柯西西中中值值定定理理來來故故不不能能用用商商的的極極限限法法則則由由于于分分母母極極限限值值特特殊殊1.21.2、未定式極限、未定式極限6/242.12.

5、1、羅必塔簡介、羅必塔簡介 羅必塔羅必塔(G.F.A.de.LHospital, 1661-1704)，法國數(shù)學(xué)家，法國數(shù)學(xué)家， 1661年出生于法國貴族家庭，年出生于法國貴族家庭，1704年年2月月2日卒于巴黎。他受日卒于巴黎。他受襲侯爵銜，曾在軍隊中任騎兵軍官襲侯爵銜，曾在軍隊中任騎兵軍官, 因視力不佳退出因視力不佳退出, 轉(zhuǎn)向?qū)W轉(zhuǎn)向?qū)W術(shù)研究。在早年就顯出數(shù)學(xué)才能，術(shù)研究。在早年就顯出數(shù)學(xué)才能，15歲時解出歲時解出B.帕斯卡提出的帕斯卡提出的擺線難題擺線難題，引起人們的注意。以后又解出約翰第一，引起人們的注意。以后又解出約翰第一伯努利向伯努利向歐洲挑戰(zhàn)的歐洲挑戰(zhàn)的“最速降曲線最速降曲線”問

6、題。羅必塔最重要的著作是問題。羅必塔最重要的著作是無無窮小分析窮小分析(1969)， 這是第一本系統(tǒng)的微分學(xué)教科書，對傳播這是第一本系統(tǒng)的微分學(xué)教科書，對傳播新創(chuàng)建的微分學(xué)起了很大作用。該書的第九章有新創(chuàng)建的微分學(xué)起了很大作用。該書的第九章有“羅必塔法羅必塔法則則” (LHospitals Rule) ，即求一個分式當(dāng)分子分母都趨向零，即求一個分式當(dāng)分子分母都趨向零時的極限的方法。這法則實際上是約翰第一時的極限的方法。這法則實際上是約翰第一伯努利在伯努利在1694年年7月月22日寫信告訴羅必塔的，后者在日寫信告訴羅必塔的，后者在1691年前后曾向約翰第年前后曾向約翰第一一伯努利學(xué)習(xí)微積分。伯努

7、利學(xué)習(xí)微積分。 1704年羅必塔在巴黎過早地去世，留年羅必塔在巴黎過早地去世，留下關(guān)于圓錐曲線的書下關(guān)于圓錐曲線的書1720年才出版，計劃中的積分學(xué)教科書年才出版，計劃中的積分學(xué)教科書未能完成。未能完成。7/24.)()(lim)()(lim).()()(lim);0)()()(),();0)(lim)(lim)xFxfxFxfxFxfcxFxFxfaUbxFxfaaxaxaxaxax 那那么么或或且且都都及及內(nèi)內(nèi)在在設(shè)設(shè) 定理定理1定義定義 這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為求極限來確定未定式的值的方法稱為羅必塔法則羅

8、必塔法則。2.22.2、羅必塔法則、羅必塔法則 I)00(8/24證證定理定理1的證明的證明所以定義輔助函數(shù)所以定義輔助函數(shù), 0),()(1 axaxxfxf, 0),()(1 axaxxFxF,),(0 xaU內(nèi)內(nèi)任任取取一一點點在在 ,為為端端點點的的區(qū)區(qū)間間上上與與在在以以xa,)(),(11件件滿滿足足柯柯西西中中值值定定理理的的條條xFxf則有則有)()()()()()(aFxFafxfxFxf )()( Ff )(之間之間與與在在ax ,)()( )()()(無關(guān)無關(guān)及及的極限與的極限與agafaxxgxf,aax 時時當(dāng)當(dāng),)()(limAxFxfax ,)()(limAFfa

9、 .)()(lim)()(limAFfxFxfaax 9/24羅必塔法則可重復(fù)使用羅必塔法則可重復(fù)使用即即繼繼續(xù)續(xù)使使用用洛洛必必達達法法則則可可滿滿足足定定理理的的條條件件且且型型仍仍屬屬若若,)(),(,00)()(xFxfxFxf 羅必塔羅必塔:00,型型該該法法仍仍然然成成立立對對時時當(dāng)當(dāng) x.)()(lim)()(lim)()(lim xFxfxFxfxFxfaxaxax.)()(lim)()(limxFxfxFxfxx 類推類推例例1 1.tanlim0 xxx求求解解)()(tanlim0 xxx原原式式1seclim20 xx . 1 )00(10/24例例2 2解解.123l

10、im2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原原式式266lim1 xxx.23 )00(例例3 3.1arctan2limxxx 求求解解22111limxxx 原式原式221limxxx . 1 )00(11/24.)()(lim)()(lim).()()(lim); 0)()()(|);)(lim)(lim)xFxfxFxfxFxfcxFxFxfNxbxFxfaxxxxx 那那么么或或都都存存在在且且與與時時當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)定理定理2 22.32.3、羅必塔法則、羅必塔法則 II)( :,型型該該法法仍仍然然成成立立對對時時當(dāng)當(dāng) ax.)()(lim)()(limxFxfxFx

11、faxax 類推類推12/24例例4 4解解.sinlnsinlnlim0bxaxx求求axbxbbxaxaxsincossincoslim0 原原式式. 1 )( axbxxcoscoslim0 例例5.3tantanlim2xxx 求求解解xxx3sec3seclim222 原式原式xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 . 3 )( 13/24羅必塔法則是求未定式的一種有效方法，但與其羅必塔法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好。它求極限方

12、法結(jié)合使用，效果更好。 使用羅必塔法則必須驗證條件，不是使用羅必塔法則必須驗證條件，不是 未未 定式不定式不能用羅必塔法則；能用羅必塔法則；羅必塔法則可以連續(xù)應(yīng)用，必須步步化簡（盡可羅必塔法則可以連續(xù)應(yīng)用，必須步步化簡（盡可能地化簡）、步步驗證求未定式的極限能地化簡）、步步驗證求未定式的極限. .2.42.4、三點注意事項、三點注意事項例例6 6解解.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原式原式xxxx6tansec2lim20 22031seclimxxx xxxtanlim310 .31 14/24.,1 ,0 ,000型型型型型型型型型型 關(guān)鍵：關(guān)鍵：將其它

13、類型未定式化為洛必達法則可解將其它類型未定式化為洛必達法則可解決的類型決的類型 型。型。),00()( 3.13.1、分類及求解關(guān)鍵、分類及求解關(guān)鍵分類：分類：3.23.2、具體類型轉(zhuǎn)化方式、具體類型轉(zhuǎn)化方式例例7 7解解.lim2xxex 求求)0( xexx2lim 原原式式2limxxe . 型型 0) 1 (轉(zhuǎn)化方式轉(zhuǎn)化方式: :,10 .0100 或或15/24例例7 7)0( xxxlnlim0 解解: : 原極限原極限= =)/1/(lnlim0 xxx )( )/1/()/1(lim20 xxx 0)(lim0 xx型型 )2(0101 .0000 轉(zhuǎn)化方式轉(zhuǎn)化方式: :例例8

14、 8 求求 xxxxln11lim1解：解：原極限原極限 xxxxxxln)1(1lnlim1 xxxx/11ln1ln1lim12/1/1/1/1lim21 xxxx)( 16/24例例8 8解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( xxxxxsinsinlim0 原原式式xxxxxcossincos1lim0 . 0 例例8 8 求求 111lim0 xxex解解: :原極限原極限= )1(1lim0 xxxexxe)(00 xxxxxeee)1(1lim02/1lim0 xxxxxxeeee)( 17/24轉(zhuǎn)化方式轉(zhuǎn)化方式: :型型00,1 ,0)3( ln01ln0ln01000

15、取對數(shù)取對數(shù).0 例例9 9解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e . 1 xxxe1lnlim0 冪指函數(shù)未定式，借助對數(shù)恒冪指函數(shù)未定式，借助對數(shù)恒等式等式. .18/24例例9 9)0(0)0(0 xxx)(sinlim0 解解:原極限原極限= =xxxesinln0lim xxxesinlnlim0 xxxxxx/1sinlnlimsinlnlim00 20/1sin/coslimxxxx 0coslimsincoslim2020 xxxxxxxx原極限原極限=10 e例例10 xxx/20)1ln(1li

16、m )1( =解解: :因為因為2lim2)1ln(lim22)1ln(lim000 xxxxxxxxx所以原極限所以原極限2e 19/24例例1111解解.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例1212解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 ,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex 取取對對數(shù)數(shù)得得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原式原式20/24例例1212解解: :.coslimxxxx 求求1s

17、in1limxx 原式原式).sin1(limxx 極限不存在極限不存在羅必塔法則失效。羅必塔法則失效。)cos11(limxxx 原式原式01 注意：注意：羅必塔法則的使用條件。羅必塔法則的使用條件。例例1313解解: :.limxxxxxeeee 求求xxxxxeeee lim原原式式羅必塔法則失效。羅必塔法則失效。xxxee2211lim 原式原式. 10101 . 1 xxxxxeeee lim21/24求極限求極限是未定式嗎？是未定式嗎？N 極限運算法則極限運算法則無窮大與無窮小關(guān)系無窮大與無窮小關(guān)系無窮小乘有界變量為無窮小無窮小乘有界變量為無窮小.?)(),(00 YNY羅氏法則是否失效？羅氏法則是否失效？N用羅氏法則用羅氏法則Y用第二章中的方法用第二章中的方法 )(),(00 轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為)( 通分或者有理化通分或者有理化 )0( 除法來轉(zhuǎn)化除法來轉(zhuǎn)化冪指函數(shù)未定式冪指函數(shù)未定式借助對數(shù)恒等式借助對數(shù)恒等式),1 ,0(00 分解因式約分分解因式約分有