中考數(shù)學(xué)中的最值問(wèn)題解法

1、.中考數(shù)學(xué)幾何最值問(wèn)題解法在平面幾何的動(dòng)態(tài)問(wèn)題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件變動(dòng)時(shí)，求某幾何量（如線段的長(zhǎng)度、圖形的周長(zhǎng)或面積、角的度數(shù)以及它們的和與差）的最大值或最小值問(wèn)題，稱為最值問(wèn)題。解決平面幾何最值問(wèn)題的常用的方法有：（1）應(yīng)用兩點(diǎn)間線段最短的公理（含應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系）求最值；（2）應(yīng)用垂線段最短的性質(zhì)求最值；（3）應(yīng)用軸對(duì)稱的性質(zhì)求最值；（4）應(yīng)用二次函數(shù)求最值；（5）應(yīng)用其它知識(shí)求最值。下面通過(guò)近年全國(guó)各地中考的實(shí)例探討其解法。應(yīng)用兩點(diǎn)間線段最短的公理（含應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系）求最值典型例題：例1. （2012山東濟(jì)南3分）如圖，MON=90°，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分

2、別在邊OM，ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離為【 】ABC5D【答案】A?！究键c(diǎn)】矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，勾股定理。【分析】如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接OE、DE、OD，ODOE+DE，當(dāng)O、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)D到點(diǎn)O的距離最大，此時(shí)，AB=2，BC=1，OE=AE=AB=1。DE=，OD的最大值為：。故選A。例2.（2012湖北鄂州3分）在銳角三角形ABC中，BC=，ABC=45°，BD平分ABC，M、N分別是BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小

3、值是 ?！敬鸢浮??！究键c(diǎn)】最短路線問(wèn)題，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，垂直線段的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥咳鐖D，在BA上截取BE=BN，連接EM。ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，EBM=NBM。在AME與AMN中，BE=BN ，EBM=NBM，BM=BM，BMEBMN（SAS）。ME=MN。CM+MN=CM+MECE。又CM+MN有最小值，當(dāng)CE是點(diǎn)C到直線AB的距離時(shí)，CE取最小值。BC=，ABC=45°，CE的最小值為sin450=4。CM+MN的最小值是4。例3.（2011四川涼山5分）如圖，圓柱底面半徑為，高為，點(diǎn)A、B分別是圓柱兩底面圓周上

4、的點(diǎn)，且A、B在同一母線上，用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B，求棉線最短為 ?！敬鸢浮??！究键c(diǎn)】圓柱的展開(kāi)，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)?！痉治觥咳鐖D，圓柱展開(kāi)后可見(jiàn)，棉線最短是三條斜線，第一條斜線與底面圓周長(zhǎng)、高組成直角三角形。由周長(zhǎng)公式，底面圓周長(zhǎng)為，高為，根據(jù)勾股定理，得斜線長(zhǎng)為，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，棉線最短為。例4. （2012四川眉山3分）在ABC中，AB5，AC3，AD是BC邊上的中線，則AD的取值范圍是 【答案】1AD4?！究键c(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系?！痉治觥垦娱L(zhǎng)AD至E，使DE=AD，連接CE根據(jù)SAS證明ABDECD，得CE=AB，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即

5、可求解：延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，連接CE。BD=CD，ADB=EDC，AD=DE，ABDECD（SAS）。CE=AB。在ACE中，CEACAECEAC，即22AD8。1AD4。練習(xí)題：1. （2011湖北荊門(mén)3分）如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為2和4，高為5.若一只螞蟻從P點(diǎn)開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá)Q點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)為【 】A.13cm B.12cm C.10cm D.8cm2.（2011四川廣安3分）如圖，圓柱的底面周長(zhǎng)為6cm，AC是底面圓的直徑，高BC=6cm，點(diǎn)P是母線BC上一點(diǎn)，且PC=BC一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)P的最短距離是【 】 A、 B、5c

6、m C、 D、7cm3.（2011廣西貴港2分）如圖所示，在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP、GP，則BPG的周長(zhǎng)的最小值是 _ 二、應(yīng)用垂線段最短的性質(zhì)求最值：典型例題：例1. （2012山東萊蕪4分）在ABC中，ABAC5，BC6若點(diǎn)P在邊AC上移動(dòng)，則BP的最小值是 【答案】?！究键c(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，垂直線段的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥咳鐖D，根據(jù)垂直線段最短的性質(zhì)，當(dāng)BPAC時(shí)，BP取得最小值。 設(shè)AP=x，則由ABAC5得CP=5x， 又BC6，在RtAB P和RtCBP中應(yīng)用勾股定理，得 。，即，解得。，即BP的最小值是。

7、例2.（2012浙江臺(tái)州4分）如圖，菱形ABCD中，AB=2，A=120°，點(diǎn)P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點(diǎn)，則PK+QK的最小值為【 】A1 B C 2 D1【答案】B?！究键c(diǎn)】菱形的性質(zhì)，線段中垂線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，垂直線段的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。【分析】分兩步分析： （1）若點(diǎn)P，Q固定，此時(shí)點(diǎn)K的位置：如圖，作點(diǎn)P關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)P1，連接P1Q，交BD于點(diǎn)K1。 由線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等的性質(zhì)，得 P1K1 = P K1，P1K=PK。 由三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，得P1KQKP1Q= P1K

8、1Q K1= P K1Q K1。 此時(shí)的K1就是使PK+QK最小的位置。 （2）點(diǎn)P，Q變動(dòng)，根據(jù)菱形的性質(zhì)，點(diǎn)P關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)P1在AB上，即不論點(diǎn)P在BC上任一點(diǎn)，點(diǎn)P1總在AB上。 因此，根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線的所有連線中垂直線段最短的性質(zhì)，得，當(dāng)P1QAB時(shí)P1Q最短。 過(guò)點(diǎn)A作AQ1DC于點(diǎn)Q1。 A=120°，DA Q1=30°。 又AD=AB=2，P1Q=AQ1=AD·cos300=。 綜上所述，PK+QK的最小值為。故選B。例3.（2012江蘇連云港12分）已知梯形ABCD，ADBC，ABBC，AD1，AB2，BC3，問(wèn)題1：如圖1，P為AB邊上的

9、一點(diǎn)，以PD，PC為邊作平行四邊形PCQD，請(qǐng)問(wèn)對(duì)角線PQ，DC的長(zhǎng)能否相等，為什么？問(wèn)題2：如圖2，若P為AB邊上一點(diǎn)，以PD，PC為邊作平行四邊形PCQD，請(qǐng)問(wèn)對(duì)角線PQ的長(zhǎng)是否存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出最小值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由問(wèn)題3：若P為AB邊上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)PD到E，使DEPD，再以PE，PC為邊作平行四邊形PCQE，請(qǐng)?zhí)骄繉?duì)角線PQ的長(zhǎng)是否也存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出最小值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由問(wèn)題4：如圖3，若P為DC邊上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)PA到E，使AEnPA(n為常數(shù))，以PE、PB為邊作平行四邊形PBQE，請(qǐng)?zhí)骄繉?duì)角線PQ的長(zhǎng)是否也存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出最小值

10、，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】解：?jiǎn)栴}1：對(duì)角線PQ與DC不可能相等。理由如下： 四邊形PCQD是平行四邊形，若對(duì)角線PQ、DC相等，則四邊形PCQD是矩形，DPC90°。AD1，AB2，BC3，DC2。設(shè)PBx，則AP2x，在RtDPC中，PD2PC2DC2，即x232(2x)2128，化簡(jiǎn)得x22x30，(2)24×1×380，方程無(wú)解。不存在PBx，使DPC90°。對(duì)角線PQ與DC不可能相等。問(wèn)題2：存在。理由如下：如圖2，在平行四邊形PCQD中，設(shè)對(duì)角線PQ與DC相交于點(diǎn)G，則G是DC的中點(diǎn)。過(guò)點(diǎn)Q作QHBC，交BC的延長(zhǎng)線于H。ADBC，AD

11、CDCH，即ADPPDGDCQQCH。PDCQ，PDCDCQ。ADPQCH。又PDCQ，RtADPRtHCQ（AAS）。ADHC。AD1，BC3，BH4，當(dāng)PQAB時(shí)，PQ的長(zhǎng)最小，即為4。問(wèn)題3：存在。理由如下：如圖3，設(shè)PQ與DC相交于點(diǎn)G，PECQ，PDDE，。G是DC上一定點(diǎn)。作QHBC，交BC的延長(zhǎng)線于H，同理可證ADPQCH，RtADPRtHCQ。AD1，CH2。BHBGCH325。當(dāng)PQAB時(shí)，PQ的長(zhǎng)最小，即為5。問(wèn)題4：如圖3，設(shè)PQ與AB相交于點(diǎn)G，PEBQ，AEnPA，。G是DC上一定點(diǎn)。作QHPE，交CB的延長(zhǎng)線于H，過(guò)點(diǎn)C作CKCD，交QH的延長(zhǎng)線于K。ADBC，AB

12、BC，DQHC，DAPPAGQBHQBG90°PAGQBG，QBHPAD。ADPBHQ，AD1，BHn1。CHBHBC3n1n4。過(guò)點(diǎn)D作DMBC于M，則四邊形ABND是矩形。BMAD1，DMAB2。CMBCBM312DM。DCM45°。KCH45°。CKCHcos45° (n4)，當(dāng)PQCD時(shí)，PQ的長(zhǎng)最小，最小值為 (n4)?！究键c(diǎn)】反證法，相似三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程根的判別式，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形、矩形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥繂?wèn)題1：四邊形PCQD是平行四邊形，若對(duì)角線PQ、DC相等，則四

13、邊形PCQD是矩形，然后利用矩形的性質(zhì)，設(shè)PBx，可得方程x232(2x)218，由判別式0，可知此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，即對(duì)角線PQ，DC的長(zhǎng)不可能相等。 問(wèn)題2：在平行四邊形PCQD中，設(shè)對(duì)角線PQ與DC相交于點(diǎn)G，可得G是DC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作QHBC，交BC的延長(zhǎng)線于H，易證得RtADPRtHCQ，即可求得BH4，則可得當(dāng)PQAB時(shí)，PQ的長(zhǎng)最小，即為4。問(wèn)題3：設(shè)PQ與DC相交于點(diǎn)G，PECQ，PDDE，可得，易證得RtADPRtHCQ，繼而求得BH的長(zhǎng)，即可求得答案。問(wèn)題4：作QHPE，交CB的延長(zhǎng)線于H，過(guò)點(diǎn)C作CKCD，交QH的延長(zhǎng)線于K，易證得與ADPBHQ，又由DCB45°

14、，可得CKH是等腰直角三角形，繼而可求得CK的值，即可求得答案。例4.（2012四川廣元3分） 如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AB最短時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為【 】A.（0，0） B.（，） C.（，） D.（，）例5.（2012四川樂(lè)山3分）如圖，在ABC中，C=90°，AC=BC=4，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，有下列結(jié)論：DFE是等腰直角三角形；四邊形CEDF不可能為正方形；四邊形CEDF的面積隨點(diǎn)E位置的改變而發(fā)生變化；點(diǎn)C到線段EF的最大距離為其中正確

15、結(jié)論的個(gè)數(shù)是【 】A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)【答案】B。【考點(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形，三角形中位線定理，勾股定理。【分析】連接CD（如圖1）。ABC是等腰直角三角形，DCB=A=45°，CD=AD=DB。AE=CF，ADECDF（SAS）。ED=DF，CDF=EDA。ADE+EDC=90°，EDC+CDF=EDF=90°。DFE是等腰直角三角形。故此結(jié)論正確。當(dāng)E、F分別為AC、BC中點(diǎn)時(shí)，由三角形中位線定理，DE平行且等于BC。四邊形CEDF是平行四邊形。又E、F分別為AC、BC中點(diǎn)，AC=BC，四邊形CEDF是菱形。又C=90°，四邊

16、形CEDF是正方形。故此結(jié)論錯(cuò)誤。 如圖2，分別過(guò)點(diǎn)D，作DMAC，DNBC，于點(diǎn)M，N， 由，知四邊形CMDN是正方形，DM=DN。 由，知DFE是等腰直角三角形，DE=DF。 RtADERtCDF（HL）。 由割補(bǔ)法可知四邊形CEDF的面積等于正方形CMDN面積。 四邊形CEDF的面積不隨點(diǎn)E位置的改變而發(fā)生變化。 故此結(jié)論錯(cuò)誤。由，DEF是等腰直角三角形，DE=EF。當(dāng)DF與BC垂直，即DF最小時(shí)， EF取最小值2。此時(shí)點(diǎn)C到線段EF的最大距離為。故此結(jié)論正確。故正確的有2個(gè)：。故選B。例6.（2012四川成都4分）如圖，長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步驟進(jìn)行裁

17、剪和拼圖： 第一步：如圖，在線段AD上任意取一點(diǎn)E，沿EB，EC剪下一個(gè)三角形紙片EBC(余下部分不再使用)； 第二步：如圖，沿三角形EBC的中位線GH將紙片剪成兩部分，并在線段GH上任意取一點(diǎn)M，線段BC上任意取一點(diǎn)N，沿MN將梯形紙片GBCH剪成兩部分； 第三步：如圖，將MN左側(cè)紙片繞G點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180°，使線段GB與GE重合，將MN右側(cè)紙片繞H點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180°，使線段HC與HE重合，拼成一個(gè)與三角形紙片EBC面積相等的四邊形紙片 (注：裁剪和拼圖過(guò)程均無(wú)縫且不重疊) 則拼成的這個(gè)四邊形紙片的周長(zhǎng)的最小值為 cm，最大值為 cm【答案】20；12+?！?/p>

18、考點(diǎn)】圖形的剪拼，矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形中位線定理?！痉治觥慨?huà)出第三步剪拼之后的四邊形M1N1N2M2的示意圖，如答圖1所示。 圖中，N1N2=EN1+EN2=NB+NC=BC，M1M2=M1G+GM+MH+M2H=2（GM+MH）=2GH=BC（三角形中位線定理）。又M1M2N1N2，四邊形M1N1N2M2是一個(gè)平行四邊形，其周長(zhǎng)為2N1N2+2M1N1=2BC+2MN。BC=6為定值，四邊形的周長(zhǎng)取決于MN的大小。如答圖2所示，是剪拼之前的完整示意圖。過(guò)G、H點(diǎn)作BC邊的平行線，分別交AB、CD于P點(diǎn)、Q點(diǎn)，則四邊形PBCQ是一個(gè)矩形，這個(gè)矩形是矩形ABCD的一半。M是線段PQ上的

19、任意一點(diǎn)，N是線段BC上的任意一點(diǎn)，根據(jù)垂線段最短，得到MN的最小值為PQ與BC平行線之間的距離，即MN最小值為4；而MN的最大值等于矩形對(duì)角線的長(zhǎng)度，即。四邊形M1N1N2M2的周長(zhǎng)=2BC+2MN=12+2MN，四邊形M1N1N2M2周長(zhǎng)的最小值為12+2×4=20；最大值為12+2×=12+。例7. （2012四川樂(lè)山3分）如圖，在ABC中，C=90°，AC=BC=4，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，有下列結(jié)論：DFE是等腰直角三角形；四邊形CEDF不可能為

20、正方形；四邊形CEDF的面積隨點(diǎn)E位置的改變而發(fā)生變化；點(diǎn)C到線段EF的最大距離為其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是【 】A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)【答案】B?！究键c(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形，三角形中位線定理，勾股定理?！痉治觥窟B接CD（如圖1）。ABC是等腰直角三角形，DCB=A=45°，CD=AD=DB。AE=CF，ADECDF（SAS）。ED=DF，CDF=EDA。ADE+EDC=90°，EDC+CDF=EDF=90°。DFE是等腰直角三角形。故此結(jié)論正確。當(dāng)E、F分別為AC、BC中點(diǎn)時(shí)，由三角形中位線定理，DE平行且等于BC。四邊形CEDF是平行四邊形。又

21、E、F分別為AC、BC中點(diǎn)，AC=BC，四邊形CEDF是菱形。又C=90°，四邊形CEDF是正方形。故此結(jié)論錯(cuò)誤。 如圖2，分別過(guò)點(diǎn)D，作DMAC，DNBC，于點(diǎn)M，N， 由，知四邊形CMDN是正方形，DM=DN。 由，知DFE是等腰直角三角形，DE=DF。 RtADERtCDF（HL）。 由割補(bǔ)法可知四邊形CEDF的面積等于正方形CMDN面積。 四邊形CEDF的面積不隨點(diǎn)E位置的改變而發(fā)生變化。 故此結(jié)論錯(cuò)誤。由，DEF是等腰直角三角形，DE=EF。當(dāng)DF與BC垂直，即DF最小時(shí)， EF取最小值2。此時(shí)點(diǎn)C到線段EF的最大距離為。故此結(jié)論正確。故正確的有2個(gè)：。故選B。例8. （2

22、012浙江寧波3分）如圖，ABC中，BAC=60°，ABC=45°，AB=2，D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑畫(huà)O分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連接EF，則線段EF長(zhǎng)度的最小值為 【答案】?！究键c(diǎn)】垂線段的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥坑纱咕€段的性質(zhì)可知，當(dāng)AD為ABC的邊BC上的高時(shí)，直徑AD最短，此時(shí)線段EF=2EH=20EsinEOH=20Esin60°，當(dāng)半徑OE最短時(shí)，EF最短。如圖，連接OE，OF，過(guò)O點(diǎn)作OHEF，垂足為H。 在RtADB中，ABC=45°，AB=2，AD=BD=2

23、，即此時(shí)圓的直徑為2。由圓周角定理可知EOH=EOF=BAC=60°，在RtEOH中，EH=OEsinEOH=1×。由垂徑定理可知EF=2EH=。例9. （2012四川自貢12分）如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120°，AEF為正三角形，點(diǎn)E、F分別在菱形的邊BCCD上滑動(dòng)，且E、F不與BCD重合（1）證明不論E、F在BCCD上如何滑動(dòng)，總有BE=CF；（2）當(dāng)點(diǎn)E、F在BCCD上滑動(dòng)時(shí)，分別探討四邊形AECF和CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個(gè)定值；如果變化，求出最大（或最小）值【答案】解：（1）證明：如圖，連接AC四邊形ABCD為菱形

24、，BAD=120°，BAE+EAC=60°，F(xiàn)AC+EAC=60°，BAE=FAC。BAD=120°，ABF=60°。ABC和ACD為等邊三角形。ACF=60°，AC=AB。ABE=AFC。在ABE和ACF中，BAE=FAC，AB=AC，ABE=AFC，ABEACF（ASA）。BE=CF。（2）四邊形AECF的面積不變，CEF的面積發(fā)生變化。理由如下：由（1）得ABEACF，則SABE=SACF。S四邊形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值。作AHBC于H點(diǎn)，則BH=2，。由“垂線段最短”可知：當(dāng)正三角形

25、AEF的邊AE與BC垂直時(shí)，邊AE最短故AEF的面積會(huì)隨著AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時(shí)，正三角形AEF的面積會(huì)最小，又SCEF=S四邊形AECFSAEF，則此時(shí)CEF的面積就會(huì)最大SCEF=S四邊形AECFSAEF。CEF的面積的最大值是。【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，垂直線段的性質(zhì)。【分析】（1）先求證AB=AC，進(jìn)而求證ABC、ACD為等邊三角形，得ACF =60°，AC=AB，從而求證ABEACF，即可求得BE=CF。（2）由ABEACF可得SABE=SACF，故根據(jù)S四邊形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=S

26、ABC即可得四邊形AECF的面積是定值。當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時(shí)，邊AE最短AEF的面積會(huì)隨著AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時(shí)，正三角形AEF的面積會(huì)最小，根據(jù)SCEF=S四邊形AECFSAEF，則CEF的面積就會(huì)最大。例10.（2012浙江義烏10分）在銳角ABC中，AB=4，BC=5，ACB=45°，將ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到A1BC1（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C1在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求CC1A1的度數(shù)；（2）如圖2，連接AA1，CC1若ABA1的面積為4，求CBC1的面積；（3）如圖3，點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，在ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)

27、過(guò)程中，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P1，求線段EP1長(zhǎng)度的最大值與最小值【答案】解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：A1C1B=ACB=45°，BC=BC1， CC1B=C1CB=45°。CC1A1=CC1B+A1C1B=45°+45°=90°。（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：ABCA1BC1，BA=BA1，BC=BC1，ABC=A1BC1。，ABC+ABC1=A1BC1+ABC1。ABA1=CBC1。ABA1CBC1。SABA1=4，SCBC1=。（3）過(guò)點(diǎn)B作BDAC，D為垂足，ABC為銳角三角形，點(diǎn)D在線段AC上。在RtBCD中，BD=BC×sin45&

28、#176;=。如圖1，當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至垂足點(diǎn)D，ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB上時(shí)，EP1最小。最小值為：EP1=BP1BE=BDBE=2。如圖2，當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，EP1最大。最大值為：EP1=BC+BE=5+2=7?！究键c(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：A1C1B=ACB=45°，BC=BC1，又由等腰三角形的性質(zhì)，即可求得CC1A1的度數(shù)。（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：ABCA1BC1，易證得ABA1CBC1，利用相似三角

29、形的面積比等于相似比的平方，即可求得CBC1的面積。（3）由當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至垂足點(diǎn)D，ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB上時(shí)，EP1最??；當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，EP1最大，即可求得線段EP1長(zhǎng)度的最大值與最小值。例11. （2012福建南平14分）如圖，在ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，連接AD、DE，且1=B=C（1）由題設(shè)條件，請(qǐng)寫(xiě)出三個(gè)正確結(jié)論：（要求不再添加其他字母和輔助線，找結(jié)論過(guò)程中添加的字母和輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中，不必證明）答：結(jié)論一： ；結(jié)論二： ；結(jié)論三： （2）若B=45°，BC

30、=2，當(dāng)點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)D不與B、C重合），求CE的最大值；若ADE是等腰三角形，求此時(shí)BD的長(zhǎng)（注意：在第（2）的求解過(guò)程中，若有運(yùn)用（1）中得出的結(jié)論，須加以證明）【答案】解：（1）AB=AC；AED=ADC；ADEACD。（2）B=C，B=45°，ACB為等腰直角三角形。1=C，DAE=CAD，ADEACD。AD：AC=AE：AD， 。當(dāng)AD最小時(shí)，AE最小，此時(shí)ADBC，AD=BC=1。AE的最小值為 。CE的最大值= 。當(dāng)AD=AE時(shí)，1=AED=45°，DAE=90°。點(diǎn)D與B重合，不合題意舍去。當(dāng)EA=ED時(shí)，如圖1，EAD=1=45°

31、;。AD平分BAC，AD垂直平分BC。BD=1。當(dāng)DA=DE時(shí)，如圖2，ADEACD，DA：AC=DE：DC。DC=CA=。BD=BCDC=2。綜上所述，當(dāng)ADE是等腰三角形時(shí)，BD的長(zhǎng)的長(zhǎng)為1或2。【考點(diǎn)】相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰（直角）三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）由B=C，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AB=AC；由1=C，AED=EDC+C得到AED=ADC；又由DAE=CAD，根據(jù)相似三角形的判定可得到ADEACD。（2）由B=C，B=45°可得ACB為等腰直角三角形，則，由1=C，DAE=CAD，根據(jù)相似三角形的判定可得ADEACD，則有AD：AC=AE：AD

32、，即，當(dāng)ADBC，AD最小，此時(shí)AE最小，從而由CE=ACAE得到CE的最大值。分當(dāng)AD=AE，EA=ED，DA=DE三種情況討論即可。練習(xí)題：1. （2011浙江衢州3分）如圖，OP平分MON，PAON于點(diǎn)A，點(diǎn)Q是射線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若PA=2，則PQ的最小值為【 】A、1B、2 C、3D、42.（2011四川南充8分）如圖，等腰梯形ABCD中，ADBC，AD=AB=CD=2，C=60°，M是BC的中點(diǎn)（1）求證：MDC是等邊三角形；（2）將MDC繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，當(dāng)MD（即MD）與AB交于一點(diǎn)E，MC（即MC）同時(shí)與AD交于一點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)和點(diǎn)A構(gòu)成AEF試探究AEF的周長(zhǎng)是否存

33、在最小值如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果存在，請(qǐng)計(jì)算出AEF周長(zhǎng)的最小值3.（2011浙江臺(tái)州4分）如圖，O的半徑為2，點(diǎn)O到直線l的距離為3，點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PQ切O于點(diǎn)Q，則PQ的最小值為【 】A B C3 D24.（2011河南省3分）如圖，在四邊形ABCD中，A=90°，AD=4，連接BD，BDCD，ADB=C若P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，則DP長(zhǎng)的最小值為 5.（2011云南昆明12分）如圖，在RtABC中，C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BCA方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s

34、，當(dāng)一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)（1）求AC、BC的長(zhǎng)；（2）設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（秒），PBQ的面積為y（cm2），當(dāng)PBQ存在時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；（3）當(dāng)點(diǎn)Q在CA上運(yùn)動(dòng)，使PQAB時(shí)，以點(diǎn)B、P、Q為定點(diǎn)的三角形與ABC是否相似，請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）當(dāng)x=5秒時(shí)，在直線PQ上是否存在一點(diǎn)M，使BCM得周長(zhǎng)最小，若存在，求出最小周長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由三、應(yīng)用軸對(duì)稱的性質(zhì)求最值：典型例題：例1. （2012山東青島3分）如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長(zhǎng)為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯

35、上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為 cm【答案】15?！究键c(diǎn)】圓柱的展開(kāi)，矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，勾股定理?！痉治觥咳鐖D，圓柱形玻璃杯展開(kāi)（沿點(diǎn)A豎直剖開(kāi)）后側(cè)面是一個(gè)長(zhǎng)18寬12的矩形，作點(diǎn)A關(guān)于杯上沿MN的對(duì)稱點(diǎn)B，連接BC交MN于點(diǎn)P，連接BM，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線交剖開(kāi)線MA于點(diǎn)D。 由軸對(duì)稱的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系知APPC為螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離，且AP=BP。 由已知和矩形的性質(zhì)，得DC=9，BD=12。 在RtBCD中，由勾股定理得。 APPC=BPPC=BC=15，即螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為15cm。例2. （2012甘肅蘭州4分）如圖，四

36、邊形ABCD中，BAD120°，BD90°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，使AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，則AMNANM的度數(shù)為【 】A130° B120° C110° D100°【答案】B?！究键c(diǎn)】軸對(duì)稱（最短路線問(wèn)題），三角形三邊關(guān)系，三角形外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)?！痉治觥扛鶕?jù)要使AMN的周長(zhǎng)最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和ED的對(duì)稱點(diǎn)A，A，即可得出AAMAHAA60°，進(jìn)而得出AMNANM2(AAMA)即可得出答案：如圖，作A關(guān)于BC和ED的對(duì)稱點(diǎn)A，A，連接AA，交BC于M，交CD于N，

37、則AA即為AMN的周長(zhǎng)最小值。作DA延長(zhǎng)線AH。BAD120°，HAA60°。AAMAHAA60°。MAAMAA，NADA，且MAAMAAAMN，NADAANM，AMNANMMAAMAANADA2(AAMA)2×60°120°。故選B。例3. （2012福建莆田4分）點(diǎn)A、均在由面積為1的相同小矩形組成的網(wǎng)格的格點(diǎn)上，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示若P是x軸上使得的值最大的點(diǎn)，Q是y軸上使得QA十QB的值最小的點(diǎn)，則【答案】5?！究键c(diǎn)】軸對(duì)稱（最短路線問(wèn)題），坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，待定系數(shù)法，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系?！痉治觥?/p>

38、連接AB并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)P，作A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A連接AB交y軸于點(diǎn)Q，求出點(diǎn)Q與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可得出結(jié)論：連接AB并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)P，由三角形的三邊關(guān)系可知，點(diǎn)P即為x軸上使得|PAPB|的值最大的點(diǎn)。點(diǎn)B是正方形ADPC的中點(diǎn)，P（3，0）即OP=3。作A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A連接AB交y軸于點(diǎn)Q，則AB即為QA+QB的最小值。A（-1，2），B（2，1），設(shè)過(guò)AB的直線為：y=kx+b，則 ，解得 。Q（0， ），即OQ=。OPOQ=3×=5。例4. （2012四川攀枝花4分）如圖，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB的最小值為

39、【答案】。【考點(diǎn)】軸對(duì)稱（最短路線問(wèn)題），正方形的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥窟B接DE，交BD于點(diǎn)P，連接BD。點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，DE的長(zhǎng)即為PE+PB的最小值。AB=4，E是BC的中點(diǎn)，CE=2。在RtCDE中，。例5. （2012廣西貴港2分）如圖，MN為O的直徑，A、B是O上的兩點(diǎn)，過(guò)A作ACMN于點(diǎn)C，過(guò)B作BDMN于點(diǎn)D，P為DC上的任意一點(diǎn)，若MN20，AC8，BD6，則PAPB的最小值是?！敬鸢浮?4?！究键c(diǎn)】軸對(duì)稱（最短路線問(wèn)題），勾股定理，垂徑定理?！痉治觥縈N20，O的半徑10。連接OA、OB，在RtOBD中，OB10，BD6，OD8。同理，在RtAOC中，OA10，AC

40、8，OC6。CD8614。作點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)B，連接AB，則AB即為PAPB的最小值，BDBD6，過(guò)點(diǎn)B作AC的垂線，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。在RtABE中，AEACCE8614，BECD14，AB14。例6. （2012湖北十堰6分）閱讀材料：例：說(shuō)明代數(shù)式 的幾何意義，并求它的最小值解： ，如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P（x，0）是x軸上一點(diǎn)，則可以看成點(diǎn)P與點(diǎn)A（0，1）的距離，可以看成點(diǎn)P與點(diǎn)B（3，2）的距離，所以原代數(shù)式的值可以看成線段PA與PB長(zhǎng)度之和，它的最小值就是PAPB的最小值設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A，則PA=PA，因此，求PAPB的最小值，只需求PAPB的最小值，而點(diǎn)

41、A、B間的直線段距離最短，所以PAPB的最小值為線段AB的長(zhǎng)度為此，構(gòu)造直角三角形ACB，因?yàn)锳C=3，CB=3，所以AB=3，即原式的最小值為3。根據(jù)以上閱讀材料，解答下列問(wèn)題：（1）代數(shù)式的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P（x，0）與點(diǎn)A（1，1）、點(diǎn)B 的距離之和（填寫(xiě)點(diǎn)B的坐標(biāo)）（2）代數(shù)式 的最小值為 【答案】解：（1）（2，3）。 （2）10。【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，軸對(duì)稱（最短路線問(wèn)題）?！痉治觥浚?）原式化為的形式，代數(shù)式的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P（x，0）與點(diǎn)A（1，1）、點(diǎn)B（2，3）的距離之和。（2）原式化為的形式，所求代數(shù)式的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P（x，0）

42、與點(diǎn)A（0，7）、點(diǎn)B（6，1）的距離之和。如圖所示：設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A，則PA=PA，求PAPB的最小值，只需求PAPB的最小值，而點(diǎn)A、B間的直線段距離最短。 PAPB的最小值為線段AB的長(zhǎng)度。A（0，7），B（6，1），A（0，7），AC=6，BC=8。例7. （2012四川涼山8分）在學(xué)習(xí)軸對(duì)稱的時(shí)候，老師讓同學(xué)們思考課本中的探究題。如圖（1），要在燃?xì)夤艿纋上修建一個(gè)泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？你可以在l上找?guī)讉€(gè)點(diǎn)試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？你可以在上找?guī)讉€(gè)點(diǎn)試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？聰明的小華通過(guò)獨(dú)立思考，很快得出了解決這個(gè)問(wèn)題的正確

43、辦法他把管道l看成一條直線（圖（2），問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為，要在直線l上找一點(diǎn)P，使AP與BP的和最小他的做法是這樣的：作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B連接AB交直線l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求請(qǐng)你參考小華的做法解決下列問(wèn)題如圖在ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，BC=6，BC邊上的高為4，請(qǐng)你在BC邊上確定一點(diǎn)P，使PDE得周長(zhǎng)最?。?）在圖中作出點(diǎn)P（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）（2）請(qǐng)直接寫(xiě)出PDE周長(zhǎng)的最小值： 【答案】解：（1）作D點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)D，連接DE，與BC交于點(diǎn)P，P點(diǎn)即為所求。（2）8【考點(diǎn)】軸對(duì)稱（最短路線問(wèn)題），三角形三邊關(guān)系，三角形中位線定理，勾股定理。【分析】（1）根據(jù)提供

44、材料DE不變，只要求出DP+PE的最小值即可，作D點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)D，連接DE，與BC交于點(diǎn)P，P點(diǎn)即為所求。（2）利用中位線性質(zhì)以及勾股定理得出DE的值，即可得出答案：點(diǎn)D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，DE為ABC中位線。BC=6，BC邊上的高為4，DE=3，DD=4。PDE周長(zhǎng)的最小值為：DE+DE=35=8。練習(xí)題：1. （2011黑龍江大慶3分）如圖，已知點(diǎn)A(1，1)、B(3，2)，且P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，則ABP的周長(zhǎng)的最小值為 2. （2011遼寧營(yíng)口3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有A(1，2)，B(3，3)兩點(diǎn)，現(xiàn)另取一點(diǎn)C(a，1)，當(dāng)a 時(shí)，ACBC的值最小3.（2011山

45、東濟(jì)寧8分）去冬今春，濟(jì)寧市遭遇了200年不遇的大旱，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了解決抗旱問(wèn)題，要在某河道建一座水泵站，分別向河的同一側(cè)張村A和李村B送水。經(jīng)實(shí)地勘查后，工程人員設(shè)計(jì)圖紙時(shí)，以河道上的大橋O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以河道所在的直線為軸建立直角坐標(biāo)系（如圖）。兩村的坐標(biāo)分別為A（2，3），B（12，7）。(1) 若從節(jié)約經(jīng)費(fèi)考慮，水泵站建在距離大橋O多遠(yuǎn)的地方可使所用輸水管道最短？(2) 水泵站建在距離大橋O多遠(yuǎn)的地方，可使它到張村、李村的距離相等？4.（2011遼寧本溪3分）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，DAC的平分線交DC于點(diǎn)E，若點(diǎn)P、Q分別是AD和AE上的動(dòng)點(diǎn)，則DQ+PQ的最小值【 】 A、2 B

46、、4 C、 D、5.（2011遼寧阜新3分）如圖，在矩形ABCD中，AB6，BC8，點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，點(diǎn)F是邊CD上的任意一點(diǎn)，當(dāng)AEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，則DF的長(zhǎng)為【 】A1B2C3D46.（2011貴州六盤(pán)水3分）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC=6，BD=8，點(diǎn)E、F分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在PE+PF的最小值，則這個(gè)最小值是 【 】A3 B4 C5 D67.（2011甘肅天水4分）如圖，在梯形ABCD中，ABCD，BAD=90°，AB=6，對(duì)角線AC平分BAD，點(diǎn)E在AB上，且AE=2（AEAD），點(diǎn)P是AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB的最小值是 四

47、、應(yīng)用二次函數(shù)求最值：典型例題：例1. （2012四川自貢4分）正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1cm，M、N分別是BCCD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終保持AMMN，當(dāng)BM= cm時(shí)，四邊形ABCN的面積最大，最大面積為 cm2【答案】，。【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值?！痉治觥吭O(shè)BM=xcm，則MC=1xcm，AMN=90°，AMB+NMC=90°，NMC+MNC=90°，AMB=90°NMC=MNC。ABMMCN，即，解得CN=x（1x）。0，當(dāng)x=cm時(shí)，S四邊形ABCN最大，最大值是cm2。例2.（2012江蘇揚(yáng)州3分）如圖，線段AB的

48、長(zhǎng)為2，C為AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作兩個(gè)等腰直角三角形ACD和BCE，那么DE長(zhǎng)的最小值是【答案】1?！究键c(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，等腰直角三角形的性質(zhì)，平角定義，勾股定理，二次函數(shù)的最值。【分析】設(shè)ACx，則BC2x，ACD和BCE都是等腰直角三角形，DCA45°，ECB45°，DC，CE 。DCE90°。DE2DC2CE2（）22x22x2(x1)21。當(dāng)x1時(shí)，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值為1。例3.（2012寧夏區(qū)10分）在矩形ABCD中，AB=2，AD=3,P是BC上的任意一點(diǎn)（P與B、C不重合），過(guò)點(diǎn)P作APPE，垂足為P

49、，PE交CD于點(diǎn)E.(1)連接AE，當(dāng)APE與ADE全等時(shí)，求BP的長(zhǎng)；(2)若設(shè)BP為x，CE為y，試確定y與x的函數(shù)關(guān)系式。當(dāng)x取何值時(shí)，y的值最大？最大值是多少？(3)若PEBD，試求出此時(shí)BP的長(zhǎng).【答案】解：（1）APEADE，AP=AD=3。在RtABP中，AB=2，BP=。（2）APPE，RtABPRtPCE。 ，即。 當(dāng)時(shí)，y的值最大，最大值是。（2）設(shè)BP=x, 由（2）得。PEBD，CPECBD。， 即，化簡(jiǎn)得。解得或（不合題意，舍去）。當(dāng)BP= 時(shí)， PEBD?！究键c(diǎn)】矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，平行的性質(zhì)，解一元二次方

50、程?！痉治觥浚?）由APEADE可得AP=AD=3，在RtABP中，應(yīng)用勾股定理即可求得BP的長(zhǎng)。（2）由APPE，得RtABPRtPCE，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可列式得y與x的函數(shù)關(guān)系式。化為頂點(diǎn)式即可求得當(dāng)時(shí)，y的值最大，最大值是。（3）由PEBD，得CPECBD，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可列式可求得BP的長(zhǎng)。例4.（2012廣東廣州14分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=10，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，CEAB于E，設(shè)ABC=（60°90°）（1）當(dāng)=60°時(shí)，求CE的長(zhǎng)；（2）當(dāng)60°90°時(shí)，是否存在正整數(shù)k，使得EFD

51、=kAEF？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由連接CF，當(dāng)CE2CF2取最大值時(shí)，求tanDCF的值【答案】解：（1）=60°，BC=10，sin=，即sin60°=，解得CE=。（2）存在k=3，使得EFD=kAEF。理由如下：連接CF并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，AF=FD。在平行四邊形ABCD中，ABCD，G=DCF。在AFG和CFD中，G=DCF， G=DCF，AF=FD，AFGCFD（AAS）。CF=GF，AG=CD。CEAB，EF=GF。AEF=G。AB=5，BC=10，點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，AG=5，AF=AD=BC=5。AG=AF。AFG=G。在AFG中，EFC=AEF+G=2AEF，又CFD=AFG，CFD=AEF。EFD=EFC+CFD=2AEF+AEF=3AEF，因此，存在正整數(shù)k=3，使得EFD=3AEF。設(shè)BE=x，AG=CD=AB=5，EG=AE+AG=5x+5=10x，在RtBCE中，CE2=BC2BE2=100x2。在RtCEG中，CG2=EG2+CE2=（10x）2+100x2=20020x。