2020高中數(shù)學(xué)圓和圓的位置關(guān)系導(dǎo)學(xué)案北師大版必修2通用

1、第11課時圓和圓的位置關(guān)系1.理解圓與圓的位置的種類.2.利用平面直角坐標(biāo)系中兩點間的距離公式求兩圓的連心線長(圓心距).3.會用連心線長判斷兩圓的位置關(guān)系.古時候,人們不懂得月食發(fā)生的科學(xué)道理,像害怕日食一樣,對月食也心懷恐懼.外國有人傳說,16世紀初,哥倫布航海到了南美洲的牙買加,與當(dāng)?shù)氐耐林税l(fā)生了沖突.哥倫布和他的水手被困在一個墻角,斷糧斷水,情況十分危急.懂點天文知識的哥倫布知道這天晚上要發(fā)生月全食,就向土著人大喊,“再不拿食物來,就不給你們月光!”到了晚上,哥倫布的話應(yīng)驗了,果然沒有了月光.土著人見狀誠惶誠恐,趕快和哥倫布化干戈為玉帛.你能否從月食過程歸納出圓與圓有哪幾種位置關(guān)系呢

2、?問題1:圓與圓的位置關(guān)系可分為五種:相離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含. 判斷圓與圓的位置關(guān)系常用方法:(1)幾何法:設(shè)兩圓圓心分別為o1、o2,半徑為r1、r2 (r1r2),則|o1o2|>r1+r2相離;|o1o2|=r1+r2外切;|r1-r2|<|o1o2|<r1+r2相交;|o1o2|=|r1-r2|內(nèi)切;0|o1o2|<|r1-r2|內(nèi)含. (2)代數(shù)法:設(shè)兩圓方程分別為x2+y2+d1x+e1y+f1=0和x2+y2+d2x+e2y+f2=0,聯(lián)立方程組,若方程組有兩組不同的實數(shù)解,則兩圓相交;若方程組有一組實數(shù)解,則兩圓相切 ;若方程組

3、無實數(shù)解,則兩圓相離或內(nèi)含.代數(shù)法無法判斷具體是哪種,因此一般不用. 問題2:如何判斷兩個圓公切線的條數(shù)?如何求公切線方程和長度?(1)兩個圓公切線條數(shù)和兩個圓位置關(guān)系的關(guān)系當(dāng)兩個圓外離時,有四條公切線:兩條外公切線,兩條內(nèi)公切線. 當(dāng)兩個圓外切時,有三條公切線:兩條外公切線,一條內(nèi)公切線. 當(dāng)兩個圓相交時,有兩條外公切線. 當(dāng)兩個圓內(nèi)切時,有一條外公切線. 當(dāng)兩個圓內(nèi)含時,無公切線.(2)公切線方程的求法根據(jù)條件用待定系數(shù)法設(shè)出方程,利用圓心到直線的距離d與半徑r,建立方程組求出待定系數(shù),從而得到切線方程,注意不要遺漏斜率不存在的情況.(3)

4、公切線長的求法(兩圓相離)利用兩個圓圓心距(d)、兩個圓半徑(r1、r2)和公切線長(l)組成的直角梯形或直角三角形來求解.外公切線長l=d2-(r1-r2)2.內(nèi)公切線長l=d2-(r1+r2)2.問題3:兩個圓相交時,如何求相交弦的方程?設(shè)圓c1:x2+y2+d1x+e1y+f1=0,c2:x2+y2+d2x+e2y+f2=0,聯(lián)立得方程組x2+y2+d1x+e1y+f1=0,x2+y2+d2x+e2y+f2=0,兩個圓的方程相減得(d1-d2)x+(e1-e2)y+(f1-f2)=0,即為兩個圓相交弦所在的直線方程.問題4:如何求經(jīng)過兩個圓交點的圓系方程?設(shè)圓c1:x2+y2+d1x+e

5、1y+f1=0,c2:x2+y2+d2x+e2y+f2=0,則經(jīng)過兩個圓交點的圓系方程可表示為x2+y2+d1x+e1y+f1+(x2+y2+d2x+e2y+f2)=0(-1).對該方程要注意兩點:一是該方程包含圓c1,不包含圓c2,具體應(yīng)用時要注意檢驗c2是不是問題的解;二是若已知兩個圓相切,則在圓系方程中的任何兩個圓一定相切.1.圓x2+y2-2x=0和圓x2+y2+4y=0的位置關(guān)系是().a.相離b.外切c.內(nèi)切d.相交2.圓c1:x2+y2+2x+2y-2=0與圓c2:x2+y2-4x-2y+1=0的公切線有且僅有(). a.1條b.2條c.3條d.4條3.若圓x2+y2=4與圓x2

6、+y2+2ay-6=0 (a > 0) 的公共弦的長為23,則a=. 4.求與已知圓x2+y2-7y+10=0相交,公共弦平行于直線2x-3y-1=0,且過點(-2,3)、(1,4)的圓的方程.圓和圓的位置關(guān)系的判定已知圓c1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圓c2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0.當(dāng)m為何值時,(1)圓c1與圓c2相外切;(2)圓c1與圓c2內(nèi)含.圓和圓的相交弦問題已知圓c1:x2+y2+2x-6y+1=0,圓c2:x2+y2-4x+2y-11=0,求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長.圓與圓相交的連心線問題已知圓c1:x2+y2-4x-2y

7、-5=0與圓c2:x2+y2-6x-y-9=0.(1)求證:這兩個圓相交.(2)求這兩個圓公共弦所在的直線方程.(3)在平面上找一點p,過p點引這兩個圓的切線并使它們的長都等于62.已知兩圓x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0.求:(1)m取何值時兩圓外切?(2)m取何值時兩圓內(nèi)切?(3)m=45時兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長.已知圓o1:x2+(y+1)2=4,圓o2的圓心坐標(biāo)為(2,1),且兩圓外切,求圓o2的方程,并求內(nèi)公切線的方程.求過圓c1:x2+y2+6x-4=0和圓c2:x2+y2+6y-28=0的交點,且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方

8、程.1.已知圓c1:x2+y2=4與圓c2:x2+y2-2ax+a2-1=0相內(nèi)切,則a等于().a.1b.-1c.±1d.02.圓c1:(x-1)2+y2=4與圓c2:(x+1)2+(y-3)2=9相交弦所在直線為l,則l被圓o:x2+y2=4截得弦長為().a.13b.4c.43913d.839133.點p在圓x2+y2-8x-4y+16=0上,點q在圓x2+y2+4x+2y-11=0上,則|pq|的最小值為. 4.已知點a(-1,1)和圓c:(x-5)2+(y-7)2=4,求一束光線從點a經(jīng)x軸反射到圓周c的最短距離.(2020年·重慶卷)已知圓c1:(x-

9、2)2+(y-3)2=1,圓c2:(x-3)2+(y-4)2=9,m,n分別是圓c1,c2上的動點,p為x軸上的動點,則|pm|+|pn|的最小值為().a.52-4b.17-1c.6-22d.17 考題變式(我來改編):第11課時圓和圓的位置關(guān)系知識體系梳理問題1:相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含(1)相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含(2)相交相切相離或內(nèi)含問題2:(1)兩兩兩一兩一基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流1.d兩圓化成標(biāo)準形式為(x-1)2+y2=1和x2+(y+2)2=4,兩圓圓心距|o1o2|=12+22=5.又1=|1-2|<5<1+2=3,兩圓相交,選d.2.b圓c1:(x+1)2+(y+1)2=4,圓c

10、2:(x-2)2+(y-1)2=4,|c1c2|=13<2+2,兩圓相交,公切線有2條,選b.3.1兩圓公共弦所在直線方程為(x2+y2+2ay-6)-(x2+y2-4)=0,即y=1a,圓心(0,0)到直線的距離為d=|1a|=22-(3)2=1,解得a=1或a=-1(舍去).4.解:公共弦所在直線斜率為23,已知圓的圓心為(0,72),兩圓圓心所在直線的方程為y-72=-32x,即3x+2y-7=0.設(shè)所求圓的方程為x2+y2+dx+ey+f=0,則(-2)2+32-2d+3e+f=0,12+42+d+4e+f=0,3(-d2)+2(-e2)-7=0,解得d=2,e=-10,f=21

11、, 所以所求圓的方程為x2+y2+2x-10y+21=0.重點難點探究探究一:【解析】 對于圓c1與圓c2的方程,經(jīng)配方后c1:(x-m)2+(y+2)2=9;c2:(x+1)2+(y-m)2=4.(1)如果c1與c2外切,則有(m+1)2+(-2-m)2=3+2,即(m+1)2+(m+2)2=25,即m2+3m-10=0,解得m=-5或m=2.(2)如果c1與c2內(nèi)含,則有(m+1)2+(m+2)2<3-2,即(m+1)2+(m+2)2<1,m2+3m+2<0,得-2<m<-1.所以,當(dāng)m=-5或m=2時,圓c1與圓c2外切;當(dāng)-2<m<-1時,圓c

12、1與圓c2內(nèi)含.【小結(jié)】圓和圓的位置關(guān)系,從交點個數(shù)也就是方程組解的個數(shù)來判斷,有時得不到確切的結(jié)論,通常還是從圓心距與兩圓半徑和、差的關(guān)系入手.探究二:【解析】設(shè)兩圓交點為a、b,則a、b兩點坐標(biāo)是方程組x2+y2+2x-6y+1=0,x2+y2-4x+2y-11=0 的解,兩式相減得:3x-4y+6=0.因為a、b兩點坐標(biāo)都滿足此方程,所以3x-4y+6=0即為兩圓公共弦所在的直線方程.因為圓c1的圓心為(-1,3),半徑為3,點c1到直線ab的距離為d=|-1×3-4×3+6|32+42=95,所以|ab|=2r2-d2=232-(95)2=245,所以兩圓的公共弦長

13、為245.【小結(jié)】求解圓與圓相交弦問題,可結(jié)合圖形,利用弦心距、半弦之間的關(guān)系,充分利用圓的幾何性質(zhì).探究三:【解析】(1)圓c1:(x-2)2+(y-1)2=10,圓c2:(x-3)2+(y-12)2=734.兩圓圓心距|c1c2|=(2-3)3+(1-12)2=52,且732-10<52<732+10,圓c1與圓c2相交.(2)聯(lián)立兩個圓的方程x2+y2-4x-2y-5=0,x2+y2-6x-y-9=0,相減即得這兩個圓公共弦所在直線方程為2x-y+4=0.(3)設(shè)p(x,y),依題意得2x-y+4=0,x2+y2-6x-y-9=(62)2,解方程組得點p(3,10)或(-23

14、5,-265).【小結(jié)】解決直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題時,一定要根據(jù)圖形進行適當(dāng)?shù)穆?lián)想,根據(jù)圖形間的關(guān)系來尋求數(shù)量間的關(guān)系,從而找到解題思路,這恰好也是新課標(biāo)所倡導(dǎo)的.本題有一定的綜合性,將位置關(guān)系的幾個問題綜合在一起,求解時要注意數(shù)形結(jié)合.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:兩圓的標(biāo)準方程分別為(x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m,圓心分別為m(1,3),n(5,6),半徑分別為11和61-m.(1)當(dāng)兩圓外切時,(5-12)+(6-32)=11+61-m.解得m=25+1011.(2)當(dāng)兩圓內(nèi)切時,因定圓的半徑11小于兩圓圓心間距離,故有61-m-11=5.解

15、得m=25-1011.(3)兩圓的公共弦所在直線的方程為(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0,即4x+3y-23=0.由圓的半徑、弦長、弦心距間的關(guān)系,得公共弦的長為2× (11)2-|4+3×3-23|42+322=27.應(yīng)用二:因為兩圓圓心坐標(biāo)分別為(0,-1)、 (2,1),由兩圓外切,得|o1o2|=r1+r2=22+(1+1)2=22,所以r2=22-2,所以圓o2的方程為(x-2)2+(y-1)2=4(2-1)2.兩圓方程相減,得x+y+1-22=0,即為兩圓內(nèi)公切線的方程.應(yīng)用三:(法一)兩個圓的圓心分別為(-3,0),(0

16、,-3),所以兩個圓的連心線所在直線的方程為x+y+3=0.由x-y-4=0,x+y+3=0,得圓心(12,-72).利用弦心距、弦長、半徑之間的關(guān)系可求得公共弦長d=50,兩個已知圓的公共弦所在的直線方程為x-y+4=0,所以圓半徑r2=(d2)2+|12-(-72)+4|22=892.故所求圓的方程為(x-12)2+(y+72)2=892,即x2+y2-x+7y-32=0.(法二)設(shè)所求圓的方程為x2+y2+6x-4+(x2+y2+6y-28)=0,即x2+y2+61+x+61+y-4+281+=0.故此圓的圓心為(-31+,-31+),它在直線x-y-4=0上,所以-31+-31+-4=0,解得=-7.故所求圓的方程為x2+y2-x+7y-32=0.基礎(chǔ)智能檢測1.c2.d由圓c1與圓c2的方程相減得l:2x-3y+2=0,圓心o(0,0)到l的距離d=21313,圓o的半徑r=2,所以截得弦長為2r2-d2=24-413=83913.3.35-6兩圓分別化為標(biāo)準方程為(x-4)2+(y-2)2=4,(x+2)2+(y+1)2=16,可知兩個圓相離,故|pq|的最小值等于圓心距減兩個圓的半徑,即