北師大版八年級上冊實(shí)數(shù)全章復(fù)習(xí)經(jīng)典講義知識點(diǎn)與例題

1、第二章實(shí)數(shù)【知識網(wǎng)絡(luò)】【知識梳理 】一數(shù)的開方主要知識點(diǎn)：【平方根】 如果一個(gè)數(shù)x 的平方等于a，那么，這個(gè)數(shù)x 就叫做a 的平方根；也即，當(dāng)x2a(a0) 時(shí)，我們稱x 是a 的平方根，記做：xa( a0) 。因此：1.當(dāng) a=0 時(shí)，它的平方根只有一個(gè)，也就是0 本身；2. 當(dāng) a 0 時(shí)，也就是a 為正數(shù)時(shí)，它有兩個(gè)平方根，且它們是互為相反數(shù)，通常記做：xa。3. 當(dāng) a 0 時(shí)，也即 a 為負(fù)數(shù)時(shí)，它不存在平方根。例 1.（ 1）的平方是 64 ，所以64 的平方根是；（ 2）的平方根是它本身。（ 3）若x 的平方根是 ±2，則 x=； 16 的平方根是（ 4）當(dāng) x時(shí)，32

2、x 有意義。（ 5 ）一個(gè)正數(shù)的平方根分別是m 和 m-4 ，則 m 的值是多少？這個(gè)正數(shù)是多少？【 算術(shù)平方根】：（1）如果一個(gè)正數(shù) x 的平方等于 a，即 x 2a ，那么，這個(gè)正數(shù) x 就叫做 a 的算術(shù)平方根，記為：“ a ”，讀作，“根號 a ”，其中， a 稱為被開方數(shù)。特別規(guī)定：0 的算術(shù)平方根仍然為 0 。（2）算術(shù)平方根的性質(zhì)：具有雙重非負(fù)性，即：a 0(a 0) 。（3）算術(shù)平方根與平方根的關(guān)系：算術(shù)平方根是平方根中正的一個(gè)值，它與它的相反數(shù)共同構(gòu)成了平方根。因此，算術(shù)平方根只有一個(gè)值， 并且是非負(fù)數(shù)， 它只表示為： a ；而平方根具有兩個(gè)互為相反數(shù)的值，表示為：a 。例

3、2.（ 1）下列說法正確的是（）A1的立方根是1；B42；（ ）、81 的平方根是3；（D）、0沒有平方根；C（ 2）下列各式正確的是（）A、819、3.143.14、279 3D、 532BC（3） (3) 2的算術(shù)平方根是。（ 4）若xx 有意義，則x 1_。（ 5）已知 ABC 的三邊分別是a, b, c,且 a,b 滿足 a3(b 4)20 ，求 c 的取值范圍。（ 6）已知： A= x y xy 3 是 x y3 的算術(shù)平方根， B= x 2 y 3 x2y 是 x2 y 的立方根。求A B 的平方根。（ 7 ）（提高題）如果x 、y 分別是 4 3的整數(shù)部分和小數(shù)部分。求x y 的

4、值 .【立方根】（ 1 ）如果 x 的立方等于 a，那么，就稱x 是 a 的立方根，或者三次方根。記做：3 a ，讀作， 3 次根號 a。注意：這里的 3 表示的是根指數(shù)。一般的，平方根可以省寫根指數(shù)，但是，當(dāng)根指數(shù)在兩次以上的時(shí)候，則不能省略。（ 2 ）平方根與立方根：每個(gè)數(shù)都有立方根,并且一個(gè)數(shù)只有一個(gè)立方根；但是，并不是每個(gè)數(shù)都有平方根，只有非負(fù)數(shù)才能有平方根。例 3.（ 1） 64 的立方根是（ 2）若 3 a2.89, 3ab 28 .9 ，則 b 等于（）A. 1000000B. 1000C. 10D. 10000（ 3）下列說法中：3都是 27的立方根，3 y 3y ， 64的立

5、方根是2， 38 24 。其中正確的有（）A、1個(gè)B、2 個(gè)C、3 個(gè)D、4 個(gè)【無理數(shù)】（ 1）無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)；它必須滿足“無限 ”以及 “不循環(huán) ”這兩個(gè)條件。在初中階段，無理數(shù)的表現(xiàn)形式主要包含下列幾種： （ 1）特殊意義的數(shù)，如：圓周率以及含有的一些數(shù)，如： 2-， 3等；（2 ）開方開不盡的數(shù)，如 : 2,5, 3 9 等；（ 3）特殊結(jié)構(gòu)的數(shù)：如：2.010 010 001 000 01（兩個(gè) 1 之間依次多 1 個(gè) 0 ）等。應(yīng)當(dāng)要注意的是：帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)，如：9 等；無理數(shù)也不一定帶根號，如：（ 2 ） 有理數(shù)與無理數(shù)的區(qū)別： （ 1）有理數(shù)指的是有限小數(shù)和

6、無限循環(huán)小數(shù)，而無理數(shù)則是無限不循環(huán)小數(shù)；（ 2 ）所有的有理數(shù)都能寫成分?jǐn)?shù)的形式（整數(shù)可以看成是分母為1 的分?jǐn)?shù)），而無理數(shù)則不能寫成分?jǐn)?shù)形式。例 4. （ 1）下列各數(shù)： 3.141、 0.33333 、 57 、 、2.25、2、 0.30300030000033（相鄰兩個(gè)3 之間 0 的個(gè)數(shù)逐次增加 2 ）、其中是有理數(shù)的有；是無理數(shù)的有。 （填序號）（ 2 ）有五個(gè)數(shù) :0.125125 ,0.1010010001 ,- ,4 , 32 其中無理數(shù)有()個(gè)A2B3C4D5【實(shí)數(shù)】（ 1）有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。在實(shí)數(shù)中，沒有最大的實(shí)數(shù)，也沒有最小的實(shí)數(shù)；絕對值最小的實(shí)數(shù)是0 ，最大

7、的負(fù)整數(shù)是 -1 ，最小的正整數(shù)是 1.（ 2）實(shí)數(shù)的性質(zhì)：實(shí)數(shù) a 的相反數(shù)是 -a ；實(shí)數(shù) a 的倒數(shù)是1 （ a0）；實(shí)數(shù) a 的絕對值 |a|=a(a0)，它的幾何意aa(a0)義是：在數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。（ 3 ）實(shí)數(shù)的大小比較法則：實(shí)數(shù)的大小比較的法則跟有理數(shù)的大小比較法則相同：即正數(shù)大于0 ，0大于負(fù)數(shù)；正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個(gè)正數(shù)，絕對值大的就大，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小。（在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總是大于左邊的數(shù)）。對于一些帶根號的無理數(shù)，我們可以通過比較它們的平方或者立方的大小。（ 4）實(shí)數(shù)的運(yùn)算：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方、開方六種運(yùn)算。運(yùn)算法則和運(yùn)算順序與有理

8、數(shù)的一致。例 5.（ 1）下列說法正確的是（）；A 、任何有理數(shù)均可用分?jǐn)?shù)形式表示；B、數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)一一對應(yīng)；C、 1 和 2 之間的無理數(shù)只有2 ；D 、不帶根號的數(shù)都是有理數(shù)。（ 2） a， b 在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列各式有意義的是()a0bA 、 a bB、 abC、 abD 、 b a（ 2012 山東省聊城， 10，3 分）如右圖所示的數(shù)軸上，點(diǎn) B 與點(diǎn) C 關(guān)于點(diǎn) A 對稱， A 、B 兩點(diǎn)對應(yīng)的實(shí)數(shù)是3 和-1，則點(diǎn) C 所對應(yīng)的實(shí)數(shù)是（）A. 1+3B. 2+3C. 23 -1D.2 3+1（ 2012·湖南省張家界市·6 題· 3

9、 分） 實(shí)數(shù) a 、 b 在軸上的位置如圖所示，且a b ，則化簡 a 2ab 的結(jié)果為（）obaA 2a bB. 2a bC . bD. 2a b（ 3）比較大小 ( 填 “>或”“<”).310 ，3320，7 6_6_ 7，5 11 ，22（ 4）將下列各數(shù)：2, 38,3,15 ，用 “ ”連接起來； _。（ 5）若 a3, b2 ，且ab0，則： ab =。（ 6）計(jì)算：11 81120.523130.12533427168（ 7）已知：x7 2121, y 1 30.064 ，求代數(shù)式x 2x10 y3 245y 的值。例 6 .（提高題）觀察下列等式：回答問題： 11

10、11 11111 11111211 112221122232216 111113111，32423112（ 1）根據(jù)上面三個(gè)等式的信息，請猜想111的結(jié)果；4252（ 2）請按照上式反應(yīng)的規(guī)律，試寫出用n 表示的等式，并加以驗(yàn)證?！境Ｒ婎}型訓(xùn)練 】：一、易考題：11 的相反數(shù)的倒數(shù)是2 已知 a+3|+b+1 0 ，則實(shí)數(shù)（ a+b）的相反數(shù)3 數(shù) 3 14 與的大小關(guān)系是4 和數(shù)軸上的點(diǎn)成一一對應(yīng)關(guān)系的是5 和數(shù)軸上表示數(shù) 3 的點(diǎn) A 距離等于 2 5 的 B 所表示的數(shù)是6 在實(shí)數(shù)中2,5 ,0,3 ,314,4 無理數(shù)有（）（A）1個(gè)（B）2 個(gè)（C）3 個(gè)（D）4 個(gè)7一個(gè)數(shù)的絕對值

11、等于這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，這樣的數(shù)是（）（A ）非負(fù)數(shù)（B）非正數(shù)（C）負(fù)數(shù)（D）正數(shù)8若 x 3，則 x 3等于（）（A ）x 3（B） x 3（ C） x 3（ D）x 39下列說法正確是（）（ A ） 有理數(shù)都是實(shí)數(shù)（B）實(shí)數(shù)都是有理數(shù)（ B） 帶根號的數(shù)都是無理數(shù)（D）無理數(shù)都是開方開不盡的數(shù)10實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖，比較下列每組數(shù)的大?。海?） c-b 和 d-a（2 ） bc 和 ad二、考點(diǎn)訓(xùn)練：*1 判斷題：（1）如果 a 為實(shí)數(shù)，那么 a 一定是負(fù)數(shù)；（）（2 ）對于任何實(shí)數(shù) a 與 b,|a b|=|b a| 恒成立；（）（3 ）兩個(gè)無理數(shù)之和一定是無理數(shù)； （）（4

12、）兩個(gè)無理數(shù)之積不一定是無理數(shù)； （）（5 ）任何有理數(shù)都有倒數(shù)； （）（ 6）最小的負(fù)數(shù)是1；（）（7 ）a 的相反數(shù)的絕對值是它本身； （）（8 ）若 |a|=2,|b|=3 且 ab>0，則 ab=1；（）2把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合里 | 3| ，213 ， 1 234 ，22,0 ，9 ,3 1, , 8,( 2 3)0，32，8721.2121121112中無理數(shù)集合負(fù)分?jǐn)?shù)集合整數(shù)集合非負(fù)數(shù)集合*3 已知 1<x<2，則 |x 3|+(1-x) 2等于（）（A ） 2x （B）2（ C） 2x（D） 24下列各數(shù)中，哪些互為相反數(shù)？哪些互為倒數(shù)？哪些互為負(fù)倒數(shù)？

13、3,2 1， 3， 03，3 11， 1+2， 33互為相反數(shù)：；互為倒數(shù)：互為負(fù)倒數(shù)：*5 已知、是實(shí)數(shù)，且（X 2 ）2 和 2 互為相反數(shù)，求， y 的值|a+b|6.若 ,b 互為相反數(shù)， c,d 互為倒數(shù)， m 的絕對值是 2，則 2m 2+1 +4m-3cd=。*7 已知（ 3 ） 2 2 4 0 ，則 =。a+2三、解題指導(dǎo)：1下列語句正確的是（）（ A ）無盡小數(shù)都是無理數(shù)（ B）無理數(shù)都是無盡小數(shù)（C）帶拫號的數(shù)都是無理數(shù)（D）不帶拫號的數(shù)一定不是無理數(shù)。2和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)的數(shù)是（）（A ）整數(shù)（B）有理數(shù)（ C）無理數(shù)（ D）實(shí)數(shù)3零是（）（A ） 最小的有理數(shù)（B）絕

14、對值最小的實(shí)數(shù)（C）最小的自然數(shù)（ D）最小的整數(shù)4.如果 a 是實(shí)數(shù)，下列四種說法：（1） 2 和都是正數(shù)；（ 2），那么一定是負(fù)數(shù)，1（3 ）的倒數(shù)是 a ；（4 ）和的兩個(gè)分別在原點(diǎn)的兩側(cè)，幾個(gè)是正確的（）（A）0（B）1（C）2（D） 334311*5 比較下列各組數(shù)的大?。?（1）45(2) 2312 (3)a<b<0 時(shí),ab|4-a 2|+ a+b2a+3b6若 a,b 滿足a+2=0,則a的值是*7 實(shí)數(shù) a,b,c在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如圖，其中O 是原點(diǎn)，且 |a|=|c|（1） 判定 a+b,a+c,c-b 的符號（2 ） 化簡 |a|-|a+b|+|a+c|+|c

15、-b|*8 數(shù)軸上點(diǎn) A 表示數(shù) 1，若 AB 3 ，則點(diǎn) B 所表示的數(shù)為9已知 x<0,y>0，且 y<|x| ，用 "<"連結(jié) x ， x ， |y| ，y 。10最大負(fù)整數(shù)、最小的正整數(shù)、最小的自然數(shù)、絕對值最小的實(shí)數(shù)各是什么？11 201193分）對于實(shí)數(shù) a 、b，給出以下三個(gè)判斷：（廣東茂名， ，若 ab ，則ab 若 ab ，則ab 若 ab ，則 (a)2b2 其中正確的判斷的個(gè)數(shù)是（）A 3B 2C 1D 012（ 2012 江蘇省淮安市，16，3 分）若5 的值在兩個(gè)整數(shù)a 與 a+1 之間，則 a=*13. 數(shù)軸上作出表示2，

16、 3，5的點(diǎn)。四獨(dú)立訓(xùn)練：10 的相反數(shù)是，3 的相反數(shù)是，3 8的相反數(shù)是； 的絕對值是，0的絕對值是，23的倒數(shù)是2數(shù)軸上表示 3 2 的點(diǎn)它離開原點(diǎn)的距離是。11A 表示的數(shù)是 2，且 AB 3 ，則點(diǎn) B 表示的數(shù)是。322133, ,(1 2)o , 7 ,0 1313 ,2cos60 o , 3,1101001000(兩 1 之間依次多一個(gè)0), 中無理數(shù)有，整數(shù)有，負(fù)數(shù)有。4.若 a 的相反數(shù)是 27 ，則 a| ；5 若 |a| 2，則 a=5若實(shí)數(shù) x ，y 滿足等式（ x 3） 2 4 y 0 ，則 x y 的值是6實(shí)數(shù)可分為（）（A ）正數(shù)和零（ B）有理數(shù)和無理數(shù)（ C）負(fù)數(shù)和零 （D）正數(shù)和負(fù)數(shù)*7 若 2a 與 1a 互為相反數(shù)，則 a 等于（）（A）1（B） 111（C）（D）238當(dāng) a 為實(shí)數(shù)時(shí)，a