小學(xué)奧數(shù)幾何五大模型燕尾模型共17頁

1、燕尾定理例題精講燕尾定理：在三角形中，相交于同一點(diǎn)，那么，上述定理給出了一個新的轉(zhuǎn)化面積比與線段比的手段，因?yàn)楹偷男螤詈芟笱嘧拥奈舶?，所以這個定理被稱為燕尾定理該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運(yùn)用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一個三角形之中，為三角形中的三角形面積對應(yīng)底邊之間提供互相聯(lián)系的途徑.通過一道例題 證明燕尾定理： 如右圖，是上任意一點(diǎn)，請你說明：【解析】 三角形與三角形同高，分別以、為底，所以有；三角形與三角形同高，；三角形與三角形同高，所以；綜上可得， . 【例 1】 （2009年第七屆希望杯五年級一試試題）如圖，三角形的面積是，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，與交于點(diǎn)則四邊形的面積等

2、于 【解析】 方法一：連接，根據(jù)燕尾定理，, 設(shè)份，則份，份，份，如圖所標(biāo)所以方法二：連接，由題目條件可得到，所以，而所以則四邊形的面積等于【鞏固】如圖，已知，三角形的面積是，求陰影部分面積.【解析】 題中條件只有三角形面積給出具體數(shù)值，其他條件給出的實(shí)際上是比例的關(guān)系，由此我們可以初步判斷這道題不應(yīng)該通過面積公式求面積. 又因?yàn)殛幱安糠质且粋€不規(guī)則四邊形，所以我們需要對它進(jìn)行改造，那么我們需要連一條輔助線，(法一)連接，因?yàn)椋切蔚拿娣e是30，所以，根據(jù)燕尾定理，, 所以，所以陰影部分面積是 (法二)連接，由題目條件可得到，所以， ， 而所以陰影部分的面積為【鞏固】如圖，三角形的面積是，

3、在上，點(diǎn)在上，且,，與 交于點(diǎn)則四邊形的面積等于 【解析】 連接，根據(jù)燕尾定理，, 設(shè)份，則份,份，份，份，所以【鞏固】如圖，已知，與相交于點(diǎn),則被分成的部分面積各占 面積的幾分之幾？【解析】 連接,設(shè)份，則其他部分的面積如圖所示，所以份，所以四部分按從小到大各占面積的【鞏固】(年香港圣公會數(shù)學(xué)競賽)如圖所示，在中，與相交于點(diǎn)，若的面積為，則的面積等于 【解析】 方法一：連接由于，所以，由蝴蝶定理知，所以方法二：連接設(shè)份，根據(jù)燕尾定理標(biāo)出其他部分面積，所以【鞏固】如圖，三角形的面積是，與相交于點(diǎn)，請寫出這部分的面積各是多少?【解析】 連接，設(shè)份，則其他幾部分面積可以有燕尾定理標(biāo)出如圖所示，所以

4、,【鞏固】如圖，在上，在上，且,，與交于點(diǎn)四邊形的面積等于，則三角形的面積 【解析】 連接,根據(jù)燕尾定理，, 設(shè)份，則份，份，份， 份,份,如圖所標(biāo),所以份,份所以【鞏固】三角形中，是直角，已知，那么三角形(陰影部分)的面積為多少？【解析】 連接的面積為根據(jù)燕尾定理，；同理設(shè)面積為1份，則的面積也是1份，所以的面積是份，而的面積就是份，也是4份，這樣的面積為份，所以的面積為【鞏固】如圖，長方形的面積是平方厘米，是的中點(diǎn)陰影部分的面積是多少平方厘米?【解析】 設(shè)份，則根據(jù)燕尾定理其他面積如圖所示平方厘米.【例 2】 如圖所示，在四邊形中，四邊形的面積是，那么平行四邊形的面積為_ 

5、60;     【解析】 連接,根據(jù)燕尾定理,設(shè),則其他圖形面積，如圖所標(biāo)，所以.【例 3】 是邊長為厘米的正方形，、分別是、邊的中點(diǎn)，與交于，則四邊形的面積是_平方厘米 【解析】 連接、，設(shè)份，根據(jù)燕尾定理得份，份，則份，份，所以【例 4】 如圖，正方形的面積是平方厘米，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，四邊形 的面積是_平方厘米 【解析】 連接,根據(jù)沙漏模型得,設(shè)份，根據(jù)燕尾定理份，份，因此份，所以(平方厘米).【例 5】 如圖所示，在中，是的中點(diǎn)，那么 【解析】 連接由于，所以，根據(jù)燕尾定理，【鞏固】在中， ，求？ 【解析】 連接因?yàn)?，根?jù)燕尾定理，即；又，所以

6、則，所以【鞏固】在中， ，求？【解析】 題目求的是邊的比值，一般來說可以通過分別求出每條邊的值再作比值，也可以通過三角形的面積比來做橋梁，但題目沒告訴我們邊的長度，所以應(yīng)該通過面積比而得到邊長的比本題的圖形一看就聯(lián)想到燕尾定理，但兩個燕尾似乎少了一個，因此應(yīng)該補(bǔ)全，所以第一步要連接連接因?yàn)?，根?jù)燕尾定理，即；又，所以則，所以【例 6】 （2009年清華附中入學(xué)測試題）如圖，四邊形是矩形，、分別是、上的點(diǎn)，且，與相交于，若矩形的面積為，則與的面積之和為 【解析】 (法1)如圖，過做的平行線交于，則，所以，即，所以且，故，則所以兩三角形面積之和為(法2)如上右圖，連接、根據(jù)燕尾定理，而，所以，則，

7、所以兩個三角形的面積之和為15【例 7】 如右圖，三角形中，求【解析】 根據(jù)燕尾定理得 （都有的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）所以【點(diǎn)評】本題關(guān)鍵是把的面積統(tǒng)一，這種找最小公倍數(shù)的方法，在我們用比例解題中屢見不鮮，如果能掌握它的轉(zhuǎn)化本質(zhì)，我們就能達(dá)到解奧數(shù)題四兩撥千斤的巨大力量！【鞏固】如右圖，三角形中，求.【解析】 根據(jù)燕尾定理得 （都有的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）所以【鞏固】如圖，,則 【解析】 根據(jù)燕尾定理有,所以【鞏固】如右圖，三角形中，求.【解析】 根據(jù)燕尾定理得 （都有的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）所以【點(diǎn)評】本題關(guān)鍵是把的面積統(tǒng)一，這種找最小公倍數(shù)的方法，在我們用比例解題中

8、屢見不鮮，如果能掌握它的轉(zhuǎn)化本質(zhì)，我們就能達(dá)到解奧數(shù)題四兩撥千斤的巨大力量！【例 8】 (2008年“學(xué)而思杯”六年級數(shù)學(xué)試題)如右圖，三角形中，且三角形的面積是，則三角形的面積為_，三角形的面積為_，三角形的面積為_ 【分析】 連接、由于，所以，故；根據(jù)燕尾定理，所以，則，；那么；同樣分析可得，則，所以，同樣分析可得，所以，【鞏固】 如右圖，三角形中，且三角形的面積是，求三角形的面積【解析】 連接bg，份根據(jù)燕尾定理，得(份)，(份)，則(份)，因此,同理連接ai、ch得,所以三角形ghi的面積是1，所以三角形abc的面積是19【鞏固】(2009年第七屆“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”初賽六年級)如圖

9、，中，那么的面積是陰影三角形面積的 倍 【分析】 如圖，連接根據(jù)燕尾定理，所以，那么，同理可知和的面積也都等于面積的，所以陰影三角形的面積等于面積的，所以的面積是陰影三角形面積的7倍【鞏固】如圖在中，,求的值【解析】 連接bg,設(shè)1份，根據(jù)燕尾定理,得(份)，(份),則(份)，因此,同理連接ai、ch得,所以【點(diǎn)評】如果任意一個三角形各邊被分成的比是相同的，那么在同樣的位置上的圖形，雖然形狀千變?nèi)f化，但面積是相等的，這在這講里面很多題目都是用“同理得到”的，即再重復(fù)一次解題思路，因此我們有對稱法作輔助線.【鞏固】如圖在中，,求的值【解析】 連接bg,設(shè)1份，根據(jù)燕尾定理,得(份)，(份),則(

10、份)，因此,同理連接ai、ch得,所以【鞏固】如右圖，三角形中，且三角形的面積是，求角形 的面積【解析】 連接bg，12份根據(jù)燕尾定理，得(份)，(份)，則(份)，因此,同理連接ai、ch得,所以三角形abc的面積是,所以三角形ghi的面積是【例 9】 兩條線段把三角形分為三個三角形和一個四邊形，如圖所示， 三個三角形的面積 分別是，則陰影四邊形的面積是多少？【解析】 方法一：遇到?jīng)]有標(biāo)注字母的圖形，我們第一步要做的就是給圖形各點(diǎn)標(biāo)注字母，方便后面的計(jì)算.再看這道題，出現(xiàn)兩個面積相等且共底的三角形設(shè)三角形為，和交于，則，再連結(jié)所以三角形的面積為3.設(shè)三角形的面積為，則，所以，四邊形的面積為方法

11、二：設(shè)，根據(jù)燕尾定理,得到，再根據(jù)向右下飛的燕子，有，解得四邊形的面積為【鞏固】右圖的大三角形被分成5個小三角形，其中4個的面積已經(jīng)標(biāo)在圖中，那么，陰影三角形的面積是 【解析】 方法一：整個題目讀完，我們沒有發(fā)現(xiàn)任何與邊長相關(guān)的條件，也沒有任何與高或者垂直有關(guān)系的字眼，由此，我們可以推斷，這道題不能依靠三角形面積公式求解.我們發(fā)現(xiàn)右圖三角形中存在一個比例關(guān)系：，解得.方法二：回顧下燕尾定理，有，解得.【例 10】 如圖，三角形被分成個三角形，已知其中個三角形的面積，問三角形的面積是多少?【解析】 設(shè)，由題意知根據(jù)燕尾定理,得,所以，再根據(jù)，列方程解得,所以所以三角形abc的面積是【例 11】

12、三角形abc的面積為15平方厘米，d為ab中點(diǎn)，e為ac中點(diǎn)，f為bc中點(diǎn)，求陰影部分的面積【解析】 令be與cd的交點(diǎn)為m，cd與ef的交點(diǎn)為n，連接am，bn在中，根據(jù)燕尾定理，,所以由于s，所以在中，根據(jù)燕尾定理，設(shè)(份)，則(份)，(份)，(份)，所以,，因?yàn)?f為bc中點(diǎn),所以,所以(平方厘米)【例 12】 如右圖，中，是的中點(diǎn)，、是邊上的四等分點(diǎn)，與交于，與交于，已知的面積比四邊形的面積大平方厘米，則的面積是多少平方厘米？【解析】 連接、根據(jù)燕尾定理，所以；再根據(jù)燕尾定理，所以，所以，那么，所以根據(jù)題意，有，可得(平方厘米)【鞏固】(2007年四中分班考試題)如圖，中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)

13、，點(diǎn)、是邊的三等分點(diǎn)，若的面積為1，那么四邊形的面積是_ 【解析】 由于點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)、是邊的三等分點(diǎn)，如果能求出、三段的比，那么所分成的六小塊的面積都可以求出來，其中當(dāng)然也包括四邊形的面積連接、根據(jù)燕尾定理，而，所以，那么，即那么，另解：得出后，可得，則【例 13】 如圖，三角形的面積是，三角形被分成部分，請寫出這部分的面積各是多少? 【解析】 設(shè)bg與ad交于點(diǎn)p，bg與ae交于點(diǎn)q，bf與ad交于點(diǎn)m，bf與ae交于點(diǎn)n連接cp，cq，cm，cn根據(jù)燕尾定理，設(shè)(份)，則(份)，所以同理可得，,而，所以，同理，,所以，,【鞏固】如圖，的面積為1，點(diǎn)、是邊的三等分點(diǎn)，點(diǎn)、是邊的三等分點(diǎn)，

14、那么四邊形的面積是多少？ 【解析】 連接、根據(jù)燕尾定理，所以，那么，類似分析可得又，可得那么，根據(jù)對稱性，可知四邊形的面積也為，那么四邊形周圍的圖形的面積之和為，所以四邊形的面積為【例 14】 如右圖，面積為的中，求陰影部分面積【解析】 設(shè)交于，交于，交于連接， ， ， ， 同理 ， ， ，又， ， 同理 ， 同理 個小陰影三角形的面積均為 陰影部分面積【例 15】 如圖，面積為l的三角形abc中，d、e、f、g、h、i分別是ab、bc、ca 的三等分點(diǎn),求陰影部分面積. 【解析】 三角形在開會，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令bi與cd的交點(diǎn)為m，af與cd的交點(diǎn)為n，bi

15、與af的交點(diǎn)為p,bi與ce的交點(diǎn)為q,連接am、bn、cp求：在中，根據(jù)燕尾定理，設(shè)(份)，則(份),(份),(份),所以，所以,所以,同理可得另外兩個頂點(diǎn)的四邊形面積也分別是面積的求：在中，根據(jù)燕尾定理,所以,同理在中，根據(jù)燕尾定理,所以所以同理另外兩個五邊形面積是面積的所以【例 16】 如圖，面積為l的三角形abc中，d、e、f、g、h、i分別是ab、bc、ca 的三等分點(diǎn),求中心六邊形面積.【解析】 設(shè)深黑色六個三角形的頂點(diǎn)分別為n、r、p、s、m、q，連接cr在中根據(jù)燕尾定理，,所以,同理,所以同理根據(jù)容斥原理，和上題結(jié)果【例 17】 （年數(shù)學(xué)解題能力大賽六年級初試試題）正六邊形，的面積是平方厘米，分別是正六邊形各邊的中點(diǎn)；那么圖中陰影六邊形的面積是 平方厘米【解析】 （方法一）因?yàn)榭瞻椎拿娣e等于面積的倍，所以關(guān)鍵求的面積，根據(jù)燕尾定理可得，但在用燕尾定理時，需要知道的長度比，連接,過作的平行線，交于，根據(jù)沙漏模型得,再根據(jù)金字塔模型得,因此,在中，設(shè)份，則份,份，所以，因此（平方厘米）（方法二）既然給的圖形是特殊的正六邊形，且陰