2.5平面向量應用舉例【很好】

1、1. 向量在幾何中的應用解決的問題：比如：距離、平行、三點共線、垂直、 夾角等幾何問題2. 向量在物理中的應用解決的問題：比如：力、速度等物理問題25f年曲花軻綸向量方該例1：平行四邊形是表示向量加法與減法的幾 何模型。如圖，你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形兩條對角 線的長度與兩條鄰邊的長度之間的關系嗎？一般化AC2 + DB2 =2(AB2+AD2)中，該關系 是否依然成 立？即證AC + DB2 AB + AD例1、證明平行四邊形四邊平方和等于兩對角線平方和已知：平行四邊形ABCDo 求證腦 + BC2 + CD2 + 加二 AC2 + BD2 分析：因m平彳疋邊形對邊平行且相 等，故設AB = a,A

2、D = b其它線段對應向 量用它們表示。解：設二二& ,貝lj BC = b,DA = a,AC = a + bDB =a-bAB2+BC2+CD2+DA2=2(a +b )AC2 +BD2-2 - 2-2 一 -2 -2 一 -2 (-2 -2、(>a=a +2ab + b +a -lab + b =2a +b=2J/J-2、+ b/ AB2 + BC2 + CD2 +DA2 = AC2 + BD2例2如圖，UaBCD中，點E、F分別 是AD、DC邊的中點，BE、BF分別 與AC交于R、T兩點，你能發(fā)現(xiàn)AR、 RT、TC之間的關系嗎？猜想：AR=RT=TC(271 ©

3、) s + gw H (g+豈蚩BL 7 L 7 0 (gT!sw/+:?= * M MH + =兇弋來囤m出(0+0)1/H皋輕抵*2Z嗎屈 t > I <7 + ©h opwd H Hvoq = aw© u m 居蟾解得:1n=m =3所以= jAC,同理疋=*疋,于是麗=| AC故 AT=RT=TC用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：(1) 建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問 題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量 問題；常設基底向量或建立向量坐標。(2) 通過向量運算，研究幾何元素之間的關系， 如距離、夾角等問題；(3) 把運算結果“翻譯”

4、成幾何元素。簡述：形到向量一 量的運算向量和數(shù)到形練習1、證明直徑所對的圓【周角是直角如圖所示，已知oo, AB為直徑，C 為。O上任意一點。求證ZACB=90° 分析:SffiZACB=90 ,只須證向 量花丄互弓卩垂兩二0。解：設 AO = a,OC = b(a o /BA則 AC = a + b,CB = a9-b(:+耳(一可由此可得AC CB =即 AC CB = O,得 ZACB=90°思考：能否用向量 坐標形式證明？f 2 f 2f 2-a -b - a - br2 r2 = 0me kibilC2.52向量在物鰹屮的惑用MI：同一平面內，互成120°

5、;的三個大小相等的共點 力的合力為零。證：如圖，用二b9 7表示這3個共點力, 且a, b： c直成120。，模相等，按照向 量的加法運算法則，有：a+b +c a+ (b +c) =a+OD又由三角形的知識龜 三角形OBD 為等邊三角形，故了與OD共線且模相等所以：od= 即有:a+ b+ c =0me kibilC例2：在生活中，你是否有這樣的經驗：兩個人共提一個旅行包，夾角越大越費力；在單杠上做引體向上運動，兩臂夾角越 小越省力！你能從數(shù)學的角度解釋這個現(xiàn)象嗎？分析：上述的問題跟如圖所示的是同個問題，抽象為數(shù)學模 型如下：F2用向量F” F2,表示兩個提力， 它們的合向量為F,物體的重力

6、 用向量G來表示，F(xiàn)p F2的夾 角為6如右圖所示，只要分清 F, g和e三者的關系，就得到 T問題得數(shù)學解釋！解：不妨設IF=|F2|,由向量的平行四邊形法則，力的平衡以及直角三角形的知識， 可以知道：|FJ =2cos|G|"eT(*)通過上面的式子，有：當e由o軍180。逐漸變 大時，尋由0。到90。逐漸變大,COS2的值由大逐 漸變小7因此：|叫由小逐漸變大，即F , F?之間的夾角越大越費力，夾角越小越省力!探究:9COS萬G 2（1）e為何值時，|f最小，最小值是多少？IG答：在（*）式中，當8=0。時，cos弓最大，IF最小且等于勺（2）|F|能等于|G|嗎？為什么？答

7、：在（*）中，當 cosy =y-即6=120。時，|F=|G|小結:(1) 、為了能用數(shù)學描述這個問題，我們要先把這一物 理問題轉化成數(shù)學問題。如上題目，只考慮繩子和物體的 受力平衡，畫出相關圖形！(2) 、由物理中的矢量問題化成數(shù)學中的向量問題, 用向量的有關法則解決問題！、用數(shù)學的結果解決物理問題，回答相關的物理現(xiàn)象。練習；(1)如圖所示，用兩條成120。的等長的繩子懸掛- 個燈具，已知燈具的重量為10N,則每根繩子的拉力是 10N如圖，今有一艘小船位于d = 60m寬的河邊P 處，從這里起，在下游/ =80m處河流有一處瀑 布，若河水的流速方向由上游指向下游(與河 岸平行)，水速大小為5m/s為了使小船能安全 過河，船的劃速不能小于多少？當劃速最小時, 劃速方向如何？60mI 二:I 分析：用向量來分別表示河流的水流速度、船速 和它們的合速度為W亠 船的實際速度為向臺水&合水其方向為臨界方向PQ,船只要朝著這個方向行 駛，它就不會掉下瀑布，如（右）圖所示：,由題意,提問:表示劃船速度的向量怎樣畫?從圖上看，哪個速度