用叉乘求法向量

1、用叉乘求法向量平面法向量的求法及其應(yīng)用一、平面的法向量1、 定義：如果a，那么向量a叫做平面的法向量。平面的法向量共有兩大類（從方向上分），無數(shù)條。2、平面法向量的求法方法一（內(nèi)積法）：在給定的空間直角坐標(biāo)系中， 設(shè)平面的法向量 n （x, y,1）或 n （x,1,z），或 n （1,y,z）， 在平面 內(nèi)任找兩個不共線的向量a,b。由n ，得 na 0且nb °，由此得到關(guān)于x,y的方程組，解此方 程組即可得到n。方法二：任何一個x,y,z的一次次方程的圖形是平 面；反之，任何一個平面的方程是x,y,z的一次方程。Ax By Cz D 0 （A,B,C不同時為0），稱為平面的一般

2、 方程。其法向量n （AB,C）；若平面與3個坐標(biāo)軸的 交點(diǎn)為R（a,0,0）,P2（0,b,0）,P3（0,0,c）,如圖所示,則平面方程 為:| b f 1,稱此方程為平面的截距式方程，把它 化為一般式即可求出它的法向量。方法三（外積法）: 設(shè) 乩孑為空間中兩個不平行的非零向量，其外積a b為一長度等于|a|b|sin ，（0為兩者交角，且0），而與 ，-皆垂直的向量。通常我們采取右手定則，也就是右手四指由的方向轉(zhuǎn)為的方向時，大拇指所指的方向規(guī)定為a b的方向，a b b a。設(shè) a (Xi,yi,zjb (x2,y2,z2),則:a b(注：1、二階行列式:M 9cyi乙yz2yiy2a

3、d cb ； 2、適合右手定則。)例 1、已知，a (2,1,0), b (1,2,1)， 試求(1): a b; ( 2): b a.Key: (1) a b (1, 2,5) ；(2)b a ( 1,2,5)例2、如圖1-1,在棱長為2的正方體 ABCD 求平面 AEF的一個法向AF AE (1,2,2)二、平面法向量的應(yīng)用ABiGDi 中，r量n。1、 求空間角、求線面角：如圖2-1, 設(shè)n是平面的法向量， AB是平面的一條斜線， a ，則AB與平面 所成的角為：BIn/*A/a圖c圖 2-1-1：-n,AB圖 2-1-2： n，AB ?n ABarccos|n|AB| n AB| co

4、s n ,AB |2arccos|n|AB平面角為:m, narcco|m| |n|（圖 2-2）5m, narccosm n （圖 2-3）|m| |n|兩個平面的法向量方向選取合適，可使法向量夾 角就等于二面角的平面角。約定，在圖2-2中，m的方向?qū)ζ矫?而言向外，n的方向?qū)ζ矫?而 言向內(nèi)；在圖2-3中，m的方向?qū)ζ矫?而言向 內(nèi)，n的方向?qū)ζ矫?而言向內(nèi)。我們只要用兩個 向量的向量積（簡稱“外積”，滿足“右手定則”） 使得兩個半平面的法向量一個向內(nèi)一個向外，則這兩個半平面的法向量的夾角即為二面角l的平面角。2、 求空間距離（1 ）、異面直線之間距離：方法指導(dǎo)：如圖2-4,作直線a、b的

5、方向向量a、 b，a求a、b的法向量n:即此異面直線aB b 的公垂 線的方向向量；L AB ；a、b間 在直線a、b上各取一點(diǎn)A、B， 求向量AB在n上的射影d,則異面直線 的距離為d lAB?,其中 n a,n b, A a, B b |n|(2)、點(diǎn)到平面的距離： 方法指導(dǎo)：如圖2-5,若點(diǎn)B為平面A為平面a內(nèi)任一點(diǎn)，平面的法向量為n，則點(diǎn)P到平面a的距離公式為d回如nBNaA 外圖占占z 1 1 八、，八、naa圖|n|(3)、直線與平面間的距離： 方法指導(dǎo)：如圖2-6,直線a與平面n是平面的法向量B /uuu rAB n之間的距離:n肝，其中A ,B a。nma(4)、平面與平面間的

6、距離: 方法指導(dǎo)：如圖2-7,兩平行平面, 之間的距離：d礙，其中A ,B 。n是平面、|n|的法向量。3、證明(1)、證明線面垂直：在圖2-8中,m向m 是平面的法向量，a是直線a的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量共線（m a ） o（2）、證明線面平行：在圖2-9中,m向是平面 的 法向量，a是直線a的方向向量，證明平面的法 向量與直線所在向量垂直（m?a 0）o（3）、證明面面垂直：在圖2-10中，m是平面 的口圖法向量，n是平面的法向量，證明兩 平面的法向量垂直（m?n 0）mD圖C（4）、證明面面平行：在圖2-11中, m向是平面的法向量，n是平面的 法向量，證明兩平面的法向

7、量共線（三、高考真題新解1、（2005全國1, 18）（本大題滿分12分）已知如圖3-1,四棱錐P-ABCD 的底面為直角梯形，AB / DC ,DAB 90 ,PA 底面 ABCD，且PA=AD=DC= AB=1，M 是 PB 的中點(diǎn)（I）證明：面PAD丄面PCD ;（U）求AC與PB所成的角；（川）求面 AMC與面BMC所成二面角的大小解:以A點(diǎn)為原點(diǎn)，以分別以AD , AB , AP為x 軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系 A-xyz如 圖所示(I). AP (0,0,1)， AD (1,0,0)，設(shè)平面 PAD 的法向量為m AP AD (0, 1,0)又DC (0,1,0)， DP

8、( 1,0,1)，設(shè)平面PCD的法向量為n DC DP (1,0,1)m?n 0， m n，即平面PAD平面PCD。Ac? pb''10(II ). AC (1,1,0)，PB (0,2, 1)， AC, PB arcco: arcco''|AC|PB|5(III ). CM ( 1,0,2)， CA ( 1, 1,0)，設(shè)平在 AMC 的法向 量為 m CM CA (-2,).又CB ( 1,1,0),設(shè)平面PCD的法向量為1 1n CM CB ( , , 1)2 2m, narccos m?narccos( Z).|m|n|3與面BMC所成二面角的大小為ar

9、ccos23面AMC2 、 arccos().或32、(2006分12分)如圖3-2，在長方體ABCB ABCM是已知 AB= AA= a， BC= 2 a，Cio的中點(diǎn)年云南省第一次統(tǒng)測19題)(本題滿（I ）求證：AD/平面ABC （II）求證：平面AMC_平面ABD;(皿)求點(diǎn)A到平面AMC勺距離。解：以D點(diǎn)為原點(diǎn),分別以DA,DC,DD為x軸,y 軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz如圖所示.(I) . BC (、2a,0,0), BA (0, a,a),設(shè)平面 AlBC 的法向量為 n BC BA,(0, . 2a2, .2a2)又 AD ( ,2a,0,0) , n?AD 0,

10、AD n,即 AD/ 平面 AlBC.(II) . MC 22a)0,a), MA,(予耳0),設(shè)平面 AMC 的法向 量為:m MC MA, (a2-2a2, a2)2 2 '又 BD, ( .2a, a,a), BA, (0, a,a),設(shè)平面 ABD 的法向量為:n BD, BA,(0,辰2,血a2),m?n 0, m n,即平面 AMC 平面 A,BD,.(III ).設(shè)點(diǎn)a到平面A,MC的距離為d,2 J22 悩 22m MC MA, (a , a , a )是平面a,mc的法向量，2 2MA寧°0),A點(diǎn)到平面A,MC的距離為：d|m?MA|m|四、用空間向量解決立體幾何的“三步曲、建立空間直角坐標(biāo)系（利用現(xiàn)有三條兩兩垂直的直線，注意已