湖北高考數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)同步教材提能課件：2.12導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用與生活中的優(yōu)化問題舉例新人教A版

1、第十二節(jié)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用第十二節(jié)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用與生活中的優(yōu)化問題舉例與生活中的優(yōu)化問題舉例內(nèi)內(nèi) 容容 知識要求知識要求了解了解(a)(a)理解理解(b)(b)掌握掌握(c)(c)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性( (其其中多項式函數(shù)一般不超過三次中多項式函數(shù)一般不超過三次) ) 函數(shù)的極值、最值函數(shù)的極值、最值( (其中多項式其中多項式函數(shù)一般不超過三次函數(shù)一般不超過三次) )利用導(dǎo)數(shù)解決某些實際問題利用導(dǎo)數(shù)解決某些實際問題三年三年3131考考 高考指數(shù)高考指數(shù): :1.1.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求函數(shù)的利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的單調(diào)

2、區(qū)間、求函數(shù)的極值極值( (最值最值) )是考查重點；是考查重點；2.2.含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)區(qū)間與極值情況的討論是高考的重點和難含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)區(qū)間與極值情況的討論是高考的重點和難點；點；3.3.題型有選擇題和填空題，難度較小；與方程、不等式等知識題型有選擇題和填空題，難度較??；與方程、不等式等知識點交匯則以解答題為主，難度較大點交匯則以解答題為主，難度較大. .1.1.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系(1)(1)函數(shù)函數(shù)y=f(x)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)若若f(x)f(x)0 0，則，則f(x)f(x)在這個區(qū)間內(nèi)在這個區(qū)間內(nèi)_；若若f(x)f(x)0 0，則

3、，則f(x)f(x)在這個區(qū)間內(nèi)在這個區(qū)間內(nèi)_._.如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有f(x)=0f(x)=0，則，則f(x)f(x)為為_._.單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞減常數(shù)函數(shù)常數(shù)函數(shù)(2)(2)單調(diào)性的應(yīng)用單調(diào)性的應(yīng)用若函數(shù)若函數(shù)y=f(x)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)(a,b)上單調(diào)，則上單調(diào)，則y=f(x)y=f(x)在該區(qū)間上不在該區(qū)間上不變號變號. .【即時應(yīng)用即時應(yīng)用】(1)(1)函數(shù)函數(shù)f(x)=1+x-sinxf(x)=1+x-sinx在在(0,2)(0,2)上的單調(diào)情況是上的單調(diào)情況是_._.(2)(2)設(shè)設(shè)f(x)f(x)是函數(shù)是函數(shù)f(x)f(x)的

4、導(dǎo)函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)，y=f(x)y=f(x)的圖象如圖所示，的圖象如圖所示，則則y=f(x)y=f(x)的圖象最有可能是的圖象最有可能是_._.(3)(3)若函數(shù)若函數(shù)y=xy=x3 3+x+x2 2+mx+1+mx+1是是r r上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)m m的取值范圍的取值范圍是是_._.【解析解析】(1)(1)在在(0(0，2)2)上有上有f(x)=1-cosx0f(x)=1-cosx0，所以，所以f(x)f(x)在在(0,2)(0,2)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增. .(2)(2)由導(dǎo)函數(shù)圖象知，由導(dǎo)函數(shù)圖象知，f(x)f(x)在在(-,0)(-,0)上為正，在上為正，在(0,2)

5、(0,2)上為上為負，在負，在(2,+)(2,+)上為正，所以上為正，所以f(x)f(x)在在(-,0)(-,0)上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，在(0,2)(0,2)上是減函數(shù)，在上是減函數(shù)，在(2,+)(2,+)上是增函數(shù)，比較，只上是增函數(shù)，比較，只有符合有符合. .(3)(3)函數(shù)函數(shù)y=xy=x3 3+x+x2 2+mx+1+mx+1是是r r上的單調(diào)函數(shù)，只需上的單調(diào)函數(shù)，只需y=3xy=3x2 2+2x+m0+2x+m0恒成立，恒成立，即即=4-12m0=4-12m0，答案：答案：(1)(1)單調(diào)遞增單調(diào)遞增(2)(2)(3)(3)1m.31m32.2.函數(shù)極值的概念函數(shù)極值的概念(1

6、)(1)極值點與極值極值點與極值設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)f(x)在點在點x x0 0及附近有定義，且在及附近有定義，且在x x0 0兩側(cè)的單調(diào)性兩側(cè)的單調(diào)性_(_(或?qū)?shù)值異號或?qū)?shù)值異號) )，則，則x x0 0為函數(shù)為函數(shù)f(x)f(x)的極值點，的極值點，f(xf(x0 0) )為函為函數(shù)的極值數(shù)的極值. .(2)(2)極大值點與極小值點極大值點與極小值點若先增后減若先增后減( (導(dǎo)數(shù)值先正后負導(dǎo)數(shù)值先正后負) )，則，則x x0 0為為_點點. .若先減后增若先減后增( (導(dǎo)數(shù)值先負后正導(dǎo)數(shù)值先負后正) )，則，則x x0 0為為_點點. .相反相反極大值極大值極小值極小值【即時應(yīng)用即時應(yīng)

7、用】(1)(1)判斷下列結(jié)論的正誤判斷下列結(jié)論的正誤.(.(請在括號中填請在括號中填“”“”或或“”)”)導(dǎo)數(shù)為零的點一定是極值點導(dǎo)數(shù)為零的點一定是極值點( )( )函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)在點在點x x0 0及附近有定義，如果在及附近有定義，如果在x x0 0附近的左側(cè)附近的左側(cè)f(x)f(x)0 0，右側(cè)，右側(cè)f(x)f(x)0 0，那么，那么f(xf(x0 0) )是極大值是極大值( )( )函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)在點在點x x0 0及附近有定義，如果在及附近有定義，如果在x x0 0附近的左側(cè)附近的左側(cè)f(x)f(x)0 0，右側(cè)，右側(cè)f(x)f(x)0 0，那么，那么f(xf(x0

8、 0) )是極大值是極大值( )( )(2)(2)函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的定義域為開區(qū)間的定義域為開區(qū)間(a(a，b)b)，導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)f(x)f(x)在在(a(a，b)b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)f(x)在開區(qū)間在開區(qū)間(a(a，b)b)內(nèi)有極小值點內(nèi)有極小值點的個數(shù)為的個數(shù)為_._.(3)(3)函數(shù)函數(shù)f(x)=xf(x)=x3 3+3x+3x2 2-9x-9x的極值點為的極值點為_._.【解析解析】(1)(1)導(dǎo)數(shù)為零只是函數(shù)在該點取極值的必要條件，導(dǎo)數(shù)為零只是函數(shù)在該點取極值的必要條件，正確，正確，f(xf(x0 0) )為極小值，故錯誤為極小值，故

9、錯誤. .(2)(2)從從f(x)f(x)的圖象可知的圖象可知f(x)f(x)在在(a(a，b)b)內(nèi)從左到右的單調(diào)性依次為內(nèi)從左到右的單調(diào)性依次為增增減減增增減，所以減，所以f(x)f(x)在在(a(a，b)b)內(nèi)只有一個極小值點；內(nèi)只有一個極小值點；(3)(3)由由f(x)=3xf(x)=3x2 2+6x-9=0+6x-9=0得得x=1x=1或或x=-3,x=-3,當(dāng)當(dāng)x x-3-3時，時，f(x)f(x)0,0,當(dāng)當(dāng)-3-3x x1 1時，時，f(x)f(x)0,0,當(dāng)當(dāng)x x1 1時，時，f(x)f(x)0,0,x=1x=1和和x=-3x=-3都是都是f(x)f(x)的極值點的極值點.

10、 .答案：答案：(1)(1) (2)1(2)1(3)x=1,x=-3(3)x=1,x=-33.3.函數(shù)極值與最值的求法函數(shù)極值與最值的求法(1)(1)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)f(x)f(x)；求方程求方程f(x)=0f(x)=0的根；的根；列表，檢驗列表，檢驗f(x)f(x)在方程在方程f(x)=0f(x)=0的根左右兩側(cè)的符號的根左右兩側(cè)的符號( (判判斷斷y=f(x)y=f(x)在根左右兩側(cè)的單調(diào)性在根左右兩側(cè)的單調(diào)性) )，確定是否為極值，是極大，確定是否為極值，是極大值還是極小值值還是極小值. .(2)(2)求函數(shù)求函數(shù)y=f(x)y=f(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)

11、間a,ba,b上的最值可分兩步進行上的最值可分兩步進行求求y=f(x)y=f(x)在在(a,b)(a,b)內(nèi)的內(nèi)的_；將函數(shù)將函數(shù)y=f(x)y=f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)f(a)、f(b)f(b)比較，比較，其中最大的一個為其中最大的一個為_，最小的一個為，最小的一個為_._.極值極值最大值最大值最小值最小值【即時應(yīng)用即時應(yīng)用】(1)(1)思考：最值是否一定是極值？思考：最值是否一定是極值？提示：提示：不一定不一定. .如果最值在端點處取得就不是極值如果最值在端點處取得就不是極值. .(2)(2)函數(shù)函數(shù)f(x)=3x-4xf(x)=3x-4x3 3，x

12、0,1x0,1的最大值是的最大值是_._.【解析解析】由由f(x)=3-12xf(x)=3-12x2 2=0=0得得答案：答案：1 11x2 ， max1f 00f( )1 f 11f x1.2 q，(3)(3)已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=xf(x)=x3 3+ax+ax2 2+bx+a+bx+a2 2在在x=1x=1處取極值處取極值1010，則，則f(2)=_.f(2)=_.【解析解析】f(x)=3xf(x)=3x2 2+2ax+b+2ax+b，由題意，由題意即即得得a=4a=4或或a=-3.a=-3.但當(dāng)?shù)?dāng)a=-3a=-3時，時，b=3,f(x)=3xb=3,f(x)=3x2 2-6x+3

13、0-6x+30，故不存在極值，故不存在極值，a=4a=4，b=-11b=-11，f(2)=18.f(2)=18.答案：答案：1818 f 110,f 1021aba10,32ab0 4.4.導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在求利潤最大、用料最省、效導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在求利潤最大、用料最省、效率最高等問題中，解決這類問題的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型率最高等問題中，解決這類問題的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型( (函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系) )，再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和最值，再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和最值. .解題過程中要時解題過程中要時刻注意實際問題的意義刻注意實際問題的意義

14、. .【即時應(yīng)用即時應(yīng)用】(1)(1)已知某生產(chǎn)廠家的年利潤已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(y(單位：萬元單位：萬元) )與年產(chǎn)量與年產(chǎn)量x(x(單位：單位：萬件萬件) )的函數(shù)關(guān)系式為的函數(shù)關(guān)系式為 則使該生產(chǎn)廠家獲得則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為最大年利潤的年產(chǎn)量為_._.(2)(2)將邊長為將邊長為1 m1 m的正三角形薄片沿一條平行于某邊的直線剪成的正三角形薄片沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記兩塊，其中一塊是梯形，記則則s s的最小值是的最小值是_. . 31yx81x2343 ，2s,梯形的周長梯形的面積【解析解析】(1)y=-x(1)y=-x2 2+81,+81

15、,令令y=0y=0得得x=9x=9或或x=-9(x=-9(舍去舍去) )，當(dāng)當(dāng)x x9 9時時yy0 0；當(dāng)；當(dāng)x x9 9時時yy0 0，故當(dāng)，故當(dāng)x=9x=9時函數(shù)有極大值，時函數(shù)有極大值，也是最大值；也是最大值；即該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為即該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為9 9萬件萬件. .(2)(2)設(shè)剪成的小正三角形的邊長為設(shè)剪成的小正三角形的邊長為x x，則：則：23xs13(x1)(1x)22 22222222223x40 x 1 ,1x33x4s x,1x3(2x6) 1x3x( 2x)4s x31x2 3x1x34,31x 令令s(x)=0(0s(x)=0(0 x

16、 x1),1),得得當(dāng)當(dāng)x(0, )x(0, )時，時，s(x)s(x)0,s(x)0,s(x)遞減；遞減；當(dāng)當(dāng)x( ,1)x( ,1)時，時，s(x)s(x)0,s(x)0,s(x)遞增；遞增；故當(dāng)故當(dāng) 時，時，s s取得最小值取得最小值答案：答案：(1)9(1)9萬件萬件(2)(2)1x313131x332 3.332 33利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【方法點睛方法點睛】1.1.導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性方面的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性方面的應(yīng)用(1)(1)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)(3)已

17、知函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)的范圍已知函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)的范圍. .2.2.導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟第一步：求定義域：求函數(shù)第一步：求定義域：求函數(shù)y=f(x)y=f(x)的定義域的定義域第二步：求根：求方程第二步：求根：求方程f(x)=0f(x)=0在定義域內(nèi)的根在定義域內(nèi)的根第三步：劃分區(qū)間：用求得的方程的根劃分定義域所在的區(qū)間第三步：劃分區(qū)間：用求得的方程的根劃分定義域所在的區(qū)間第四步：定號：確定第四步：定號：確定f(x)f(x)在各個區(qū)間內(nèi)的符號在各個區(qū)間內(nèi)的符號第五步：結(jié)果：求得函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性，即得函數(shù)第五步：結(jié)果：求得函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性，

18、即得函數(shù)y=f(x)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間. .【提醒提醒】當(dāng)當(dāng)f(x)f(x)不含參數(shù)時，也可通過解不等式不含參數(shù)時，也可通過解不等式f(x)0(f(x)0(或或f(x)0)f(x)2x2時，時， 排除排除d.d.由由 得得 在滿足上式的在滿足上式的x x的區(qū)間內(nèi)，的區(qū)間內(nèi)，y y是是增函數(shù)增函數(shù). .由由 得得 在滿足上式的在滿足上式的x x的區(qū)間內(nèi)，的區(qū)間內(nèi)，y y是減是減函數(shù)函數(shù), ,由余弦函數(shù)的周期性知，函數(shù)的增減區(qū)間有無數(shù)多個由余弦函數(shù)的周期性知，函數(shù)的增減區(qū)間有無數(shù)多個, ,bb不正確，不正確，c c正確正確. .xy2sinx02 ，1y2cosx0,2 1cosx4

19、，1y2cosx0,2 1cosx,4(2) (2) 定義域為：定義域為：(-2,-1)(-1,+).(-2,-1)(-1,+).令令f(x)f(x)0 0，得單調(diào)增區(qū)間為，得單調(diào)增區(qū)間為(-2,- )(-2,- )和和( ,+)( ,+)令令f(x)f(x)0 0，得單調(diào)減區(qū)間為，得單調(diào)減區(qū)間為(- ,-1)(- ,-1)和和(-1, )(-1, ) 2xf xln x2x1 2222222 x12x112f xx2x2x1x1x12(x2)x3,x2x1x2x13333不等式不等式f(x+1)f(2x+1)-mf(x+1)f(2x+1)-m2 2+3am+4+3am+4化為：化為：ln(x

20、+1)ln(2x+1)-mln(x+1)ln(2x+1)-m2 2+3am+4+3am+4即即現(xiàn)在只需求現(xiàn)在只需求 的最大值和的最大值和y=3ma+4-my=3ma+4-m2 2(a-1,1)(a-1,1)的最小值的最小值. .因為因為 在在00，11上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減, ,所以所以 的最大值為的最大值為0,0,2x1ln3ma4m .2x1x1yln(x0,1)2x1x1112x122(2x1)x1yln(x0,1)2x1而而y=3ma+4-my=3ma+4-m2 2(a-1,1)(a-1,1)是關(guān)于是關(guān)于a a的一次函數(shù)，故其最小值只的一次函數(shù)，故其最小值只能在能在a=-1a=-1或或a

21、=1a=1處取得處取得, ,于是得到：于是得到：解得解得0m10m1或或-1m-1m0 0，所以所以m m的取值范圍是的取值范圍是-1-1，1.1.2203m4m03m4m,3m03m0 或【互動探究互動探究】若本例若本例(2)(2)第問中條件改為第問中條件改為“f(x)=f(x+2)-kxf(x)=f(x+2)-kx在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)”，則，則k k的取值范圍是的取值范圍是_._.【解析解析】由題意由題意 在在(-2,+)(-2,+)上恒成立，上恒成立， 恒成立，恒成立，k0.k0.答案：答案：k0k0 1f xk0 x21kx2【反思反思感悟感悟】1.1.求函

22、數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，切記定義域優(yōu)先的原求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，切記定義域優(yōu)先的原則，一定要注意先求定義域則，一定要注意先求定義域. .2.2.恒成立問題的處理，一般是采用恒成立問題的處理，一般是采用“分離參數(shù)，最值轉(zhuǎn)化分離參數(shù)，最值轉(zhuǎn)化”的的方法方法. .【變式備選變式備選】已知已知f(x)=ef(x)=ex x-ax-1.-ax-1.(1)(1)求求f(x)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)(2)是否存在是否存在a,a,使使f(x)f(x)在在(-(-，0 0上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在0 0，+)+)上單調(diào)遞增？若存在，求出上單調(diào)遞增？若存在，求出a a的值；若不存在，說明理由的值；若

23、不存在，說明理由. .【解析解析】f(x)=ef(x)=ex x-a.-a.(1)(1)若若a0a0，f(x)=ef(x)=ex x-a0-a0恒成立，即恒成立，即f(x)f(x)在在r r上遞增上遞增. .若若a0,a0,令令e ex x-a0,-a0,得得e ex xa,xlna.a,xlna.f(x)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為的單調(diào)遞增區(qū)間為(lna,+).(lna,+).(2)(2)方法一：由題意知方法一：由題意知e ex x-a0-a0在在(-(-，0 0上恒成立上恒成立. .aeaex x在在(-(-，0 0上恒成立上恒成立. .eex x在在(-(-，0 0上為增函數(shù)上為增函數(shù).

24、.當(dāng)當(dāng)x=0 x=0時，時，e ex x最大為最大為1.1.a1.a1.同理可知同理可知e ex x-a0-a0在在0 0，+)+)上恒成立上恒成立. .aeaex x在在0 0，+)+)上恒成立上恒成立.a1.a1，a=1.a=1.方法二：由題意知，方法二：由題意知，x=0 x=0為為f(x)f(x)的極小值點的極小值點. .f(0)=0,f(0)=0,即即e e0 0-a=0,a=1-a=0,a=1，驗證，驗證a=1a=1符合題意符合題意. .利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值( (最值最值) )【方法點睛方法點睛】 1.1.應(yīng)用函數(shù)極值應(yīng)注意的問題應(yīng)用函數(shù)極值應(yīng)注意的問題(1)

25、(1)注意極大值與極小值的判斷注意極大值與極小值的判斷. .(2)(2)已知極值求參數(shù)的值已知極值求參數(shù)的值: :注意注意f(xf(x0 0)=0)=0是可導(dǎo)函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)y=f(x)在在x x0 0處取得極值的必要不充分條件處取得極值的必要不充分條件. .2.2.數(shù)形結(jié)合求參數(shù)的范圍數(shù)形結(jié)合求參數(shù)的范圍利用導(dǎo)數(shù)研究了函數(shù)的單調(diào)性和極值后，可以畫出草圖，進行利用導(dǎo)數(shù)研究了函數(shù)的單調(diào)性和極值后，可以畫出草圖，進行觀察分析，確定滿足條件的參數(shù)范圍觀察分析，確定滿足條件的參數(shù)范圍. .【例例2 2】已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=xef(x)=xe-x-x(xr).(xr).(1)(1)求函數(shù)

26、求函數(shù)f(x)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)(2)已知函數(shù)已知函數(shù)y=g(x)y=g(x)的圖象與函數(shù)的圖象與函數(shù)y=f(x)y=f(x)的圖象關(guān)于直線的圖象關(guān)于直線x=1x=1對對稱稱. .證明當(dāng)證明當(dāng)x x1 1時，時，f(x)f(x)g(x).g(x).(3)(3)如果如果x x1 1xx2 2，且，且f(xf(x1 1)=f(x)=f(x2 2) )，證明，證明x x1 1+x+x2 22.2.【解題指南解題指南】由由f(x)=0f(x)=0得出可能的極值點，再列表判斷；利得出可能的極值點，再列表判斷；利用已知條件求出用已知條件求出y=g(x)y=g(x)的解析式，

27、構(gòu)造新函數(shù)進行證明；討論的解析式，構(gòu)造新函數(shù)進行證明；討論x x1 1,x,x2 2的可能取值，判斷其范圍，再利用的可能取值，判斷其范圍，再利用f(x)f(x)的單調(diào)性證明的單調(diào)性證明. .【規(guī)范解答規(guī)范解答】(1)f(x)=(1-x)e(1)f(x)=(1-x)e-x-x. .令令f(x)=(1-x)ef(x)=(1-x)e-x-x=0=0，得，得x=1.x=1.當(dāng)當(dāng)x x變化時，變化時，f(x),f(x)f(x),f(x)的變化情況如下表：的變化情況如下表：x x(-,1)(-,1)1 1(1,+)(1,+)f(x)f(x)+ +0 0- -f(x)f(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞減

28、1e所以所以f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間(-,1)(-,1)內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間(1,+)(1,+)內(nèi)是減函內(nèi)是減函數(shù)數(shù). .函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)在在x=1x=1處取得極大值處取得極大值f(1),f(1),且且 1f 1.e(2)(2)因為函數(shù)因為函數(shù)y=g(x)y=g(x)的圖象與函數(shù)的圖象與函數(shù)y=f(x)y=f(x)的圖象關(guān)于直線的圖象關(guān)于直線x=1x=1對對稱，稱，所以所以g(x)=f(2-x)g(x)=f(2-x)，于是，于是g(x)=(2-x)eg(x)=(2-x)ex-2x-2. .記記f(x)=f(x)-g(x)f(x)=f(x)-g(x)，則，則f(x)=

29、xef(x)=xe-x-x+(x-2)e+(x-2)ex-2x-2，f(x)=(x-1)(ef(x)=(x-1)(e2x-22x-2-1)e-1)e-x-x, ,當(dāng)當(dāng)x x1 1時，時，2x-22x-20 0，從而，從而e e2x-22x-2-1-10 0，又又e e-x-x0 0，所以，所以f(x)f(x)0 0，于是函數(shù)，于是函數(shù)f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間1,+)1,+)上是上是增函數(shù)增函數(shù). .因為因為f(1)=ef(1)=e-1-1-e-e-1-1=0=0，所以，所以，當(dāng)當(dāng)x x1 1時，時，f(x)f(x)f(1)=0.f(1)=0.因此因此f(x)f(x)g(x).g(x).(3

30、)(3)若若(x(x1 1-1)(x-1)(x2 2-1)=0-1)=0，由，由(1)(1)及及f(xf(x1 1)=f(x)=f(x2 2),),得得x x1 1=x=x2 2, ,與與x x1 1xx2 2矛盾；矛盾；若若(x(x1 1-1)(x-1)(x2 2-1)-1)0 0，由，由(1)(1)及及f(xf(x1 1)=f(x)=f(x2 2),),得得x x1 1=x=x2 2, ,與與x x1 1xx2 2矛盾；矛盾；根據(jù)，可得根據(jù)，可得(x(x1 1-1)(x-1)(x2 2-1)-1)0.0.不妨設(shè)不妨設(shè)x x1 11,x1,x2 21.1.由由(2)(2)可知可知f(xf(x

31、2 2) )g(xg(x2 2)=f(2-x)=f(2-x2 2) )，所以，所以f(xf(x1 1)=f(x)=f(x2 2) )g(xg(x2 2)=f(2-x)=f(2-x2 2).).因為因為x x2 21 1，所以，所以2-x2-x2 21 1，又，又x x1 11 1，由，由(1)(1)知知f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間(-,1)(-,1)內(nèi)是增函數(shù)，內(nèi)是增函數(shù)，所以所以x x1 12-x2-x2 2，即，即x x1 1+x+x2 22.2.【反思反思感悟感悟】1.1.求函數(shù)的極值時，極易弄混極大值、極小值求函數(shù)的極值時，極易弄混極大值、極小值. .2.2.利用導(dǎo)數(shù)研究了單調(diào)性和極值

32、，就可以大體知道函數(shù)的圖象，利用導(dǎo)數(shù)研究了單調(diào)性和極值，就可以大體知道函數(shù)的圖象，為數(shù)形結(jié)合解題提供了方便為數(shù)形結(jié)合解題提供了方便. .【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】(2011(2011北京高考北京高考) )已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=(x-k)ef(x)=(x-k)ex x. .(1)(1)求求f(x)f(x)的單調(diào)區(qū)間；的單調(diào)區(qū)間；(2)(2)求求f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間0,10,1上的最小值上的最小值. .【解析解析】(1)f(x)=(x-k+1)e(1)f(x)=(x-k+1)ex x. .令令f(x)=0,f(x)=0,得得x=k-1,f(x)x=k-1,f(x)與與f(x)f(x)的變化情

33、況如下：的變化情況如下：所以所以f(x)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是(-,k-1)(-,k-1)；單調(diào)遞增區(qū)間是單調(diào)遞增區(qū)間是(k-1,+).(k-1,+).x x(-,k-1)(-,k-1)k-1k-1(k-1,+)(k-1,+)f(x)f(x)- - 0 0+ +f(x)f(x)-e-ek-1k-1(2)(2)當(dāng)當(dāng)k-10k-10，即，即k1k1時，函數(shù)時，函數(shù)f(x)f(x)在在0,10,1上單調(diào)遞增，所以上單調(diào)遞增，所以f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間0,10,1上的最小值為上的最小值為f(0)=-kf(0)=-k；當(dāng)；當(dāng)0 0k-1k-11 1，即，即1 1k k2 2時，由

34、時，由(1)(1)知知f(x)f(x)在在0,k-1)0,k-1)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在(k-1,1(k-1,1上單上單調(diào)遞增，所以調(diào)遞增，所以f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間0,10,1上的最小值為上的最小值為f(k-1)=-ef(k-1)=-ek-1k-1. .當(dāng)當(dāng)k-11,k-11,即即k2k2時，函數(shù)時，函數(shù)f(x)f(x)在在0,10,1上單調(diào)遞減，所以上單調(diào)遞減，所以f(x)f(x)在在區(qū)間區(qū)間0,10,1上的最小值為上的最小值為f(1)=(1-k)e.f(1)=(1-k)e.綜上，當(dāng)綜上，當(dāng)k1k1時，時，f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間0,10,1上的最小值為上的最小值為-k-k

35、；當(dāng)當(dāng)1k21k3,c3,所以所以c-20,c-20,所以令所以令yy0 0得得: :令令yy0 0得得: :2160y16 r8 crr 328c2 r20,0r2.r320r; c23200r,c2 當(dāng)即當(dāng)即 時，函數(shù)時，函數(shù)y y在在(0(0，2 2上是單調(diào)遞減的，上是單調(diào)遞減的，故建造費用最小時故建造費用最小時r=2.r=2.當(dāng)即當(dāng)即 時，函數(shù)時，函數(shù)y y在在(0(0，2 2上是先減后增上是先減后增的，故建造費用最小時的，故建造費用最小時93c2，3202c29c2 ，32002c2320r.c2【反思反思感悟感悟】1.1.解決實際問題，數(shù)學(xué)建模是關(guān)鍵，恰當(dāng)變量解決實際問題，數(shù)學(xué)建模

36、是關(guān)鍵，恰當(dāng)變量的選擇，決定了解答過程的繁簡；函數(shù)模型的確定，決定了能的選擇，決定了解答過程的繁簡；函數(shù)模型的確定，決定了能否解決這個問題否解決這個問題. .2.2.解決實際問題必須考慮實際意義，忽視定義域是這類題目失解決實際問題必須考慮實際意義，忽視定義域是這類題目失分的主要原因分的主要原因. .【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量的耗油量y(y(升升) )關(guān)于行駛速度關(guān)于行駛速度x(x(千米千米/ /小時小時) )的函數(shù)解析式可以的函數(shù)解析式可以表示為：表示為： 已知甲、乙兩地相距已知甲、乙兩地相距100100千米

37、千米. .(1)(1)當(dāng)汽車以當(dāng)汽車以4040千米千米/ /小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？耗油多少升？(2)(2)當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？少？最少為多少升？313yxx8 0 x120 .128 00080【解析解析】(1)(1)當(dāng)當(dāng)x=40 x=40時，汽車從甲地到乙地行駛了時，汽車從甲地到乙地行駛了 小小時，要耗油時，要耗油 =17.5(=17.5(升升).).答：當(dāng)汽車以答：當(dāng)汽車以4040千米千米/ /小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地小時的速

38、度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油耗油17.517.5升升. .1002.540313(40408)2.5128 00080(2)(2)當(dāng)速度為當(dāng)速度為x x千米千米/ /小時時，汽車從甲地到乙地行駛了小時時，汽車從甲地到乙地行駛了 小時，小時，設(shè)耗油量為設(shè)耗油量為h(x)h(x)升，升，依題意得依題意得100 x 313100h x(xx8)128 00080 x 23322180015x0 x120 ,1 280 x4x800 x80h x0 x120 .640 x640 x令令h(x)=0,h(x)=0,得得x=80.x=80.當(dāng)當(dāng)x(0,80)x(0,80)時，時，h(x)h(x)0,h(

39、x)0,h(x)是減函數(shù)；是減函數(shù)；當(dāng)當(dāng)x(80,120 x(80,120時，時，h(x)h(x)0,h(x)0,h(x)是增函數(shù)是增函數(shù). .當(dāng)當(dāng)x=80 x=80時，時，h(x)h(x)取到極小值取到極小值h(80)=11.25.h(80)=11.25.因為因為h(x)h(x)在在(0,120(0,120上只有一個極值，所以它是最小值上只有一個極值，所以它是最小值. .答：當(dāng)汽車以答：當(dāng)汽車以8080千米千米/ /小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為耗油最少，最少為11.2511.25升升. .【變式備選變式備選】某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每

40、件產(chǎn)品的成本為某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3 3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a a元元(3a5)(3a5)的管理費，預(yù)的管理費，預(yù)計當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為計當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為x x元元(9x11)(9x11)時，一年的銷售量為時，一年的銷售量為(12-x)(12-x)2 2萬件萬件. .(1)(1)求分公司一年的利潤求分公司一年的利潤l(l(萬元萬元) )與每件產(chǎn)品的售價與每件產(chǎn)品的售價x x的函數(shù)關(guān)的函數(shù)關(guān)系式；系式；(2)(2)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為多少元時，分公司一年的利潤當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為多少元時，分公司一年的利潤l l最大，最大，并求出并求出l l的

41、最大值的最大值q(a).q(a).【解析解析】(1)(1)分公司一年的利潤分公司一年的利潤l(l(萬元萬元) )與售價與售價x x的函數(shù)關(guān)系式的函數(shù)關(guān)系式為：為：l=(x-3-a)(12-x)l=(x-3-a)(12-x)2 2,x,x9,119,11. .(2)l=(12-x)(2)l=(12-x)2 2-2(x-3-a)(12-x)-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).=(12-x)(18+2a-3x).令令l=0l=0得得 或或x=12(x=12(不合題意，舍去不合題意，舍去).).在在 兩側(cè)，由左向右兩側(cè)，由左向右ll的值由正變負的值由正變負. .2x6a3

42、2283a5,86a.33 q2x6a3所以當(dāng)所以當(dāng)86+ a86+ a9 9即即3a3a 時，時，l lmaxmax=l(9)=(9-3-a)(12-9)=l(9)=(9-3-a)(12-9)2 2=9(6-a).=9(6-a).當(dāng)當(dāng) 即即 a5a5時，時，239222896a33，9223max2221ll(6a)(6a3a) 12(6a)4(3a) .3333 399 6a3a2q a.194(3a)a532所以即：若即：若 則當(dāng)每件售價為則當(dāng)每件售價為9 9元時，分公司一年的利潤元時，分公司一年的利潤l l最最大，最大值大，最大值q(a)=9(6-a)(q(a)=9(6-a)(萬元萬元

43、) )；若；若 則當(dāng)每件售價為則當(dāng)每件售價為 元時，分公司一年的利潤元時，分公司一年的利潤l l最大，最大值最大，最大值 ( (萬元萬元).).93a2 ，9a52 ，2(6a)3 31q a4(3a)3【滿分指導(dǎo)滿分指導(dǎo)】函數(shù)綜合題的規(guī)范解答函數(shù)綜合題的規(guī)范解答【典例典例】(12(12分分)(2011)(2011湖南高考湖南高考) )設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) (1)(1)討論討論f(x)f(x)的單調(diào)性；的單調(diào)性；(2)(2)若若f(x)f(x)有兩個極值點有兩個極值點x x1 1和和x x2 2，記過，記過a(xa(x1 1,f(x,f(x1 1),b(x),b(x2 2,f(x,f(x2 2)的直的

44、直線的斜率為線的斜率為k k，問：是否存在，問：是否存在a a，使得，使得k=2-ak=2-a？若存在，求出？若存在，求出a a的值，的值，若不存在，請說明理由若不存在，請說明理由. . 1f xxalnx ar .x【解題指南解題指南】(1)(1)對對f(x)f(x)求導(dǎo)，就求導(dǎo)，就a a的取值分類討論；的取值分類討論；(2)(2)假設(shè)存在假設(shè)存在a a滿足條件，判斷條件是否滿足滿足條件，判斷條件是否滿足. .【規(guī)范解答規(guī)范解答】(1)f(x)(1)f(x)的定義域為的定義域為(0,+).(0,+). 2 2分分令令g(x)=xg(x)=x2 2-ax+1,-ax+1,其判別式其判別式=a=

45、a2 2-4.-4. 2221axax1fx1xxx 當(dāng)當(dāng)|a|2|a|2時，時，00，f(x)0,f(x)0,故故f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上單調(diào)遞上單調(diào)遞增增. .3 3分分當(dāng)當(dāng)a a-2-2時，時，0,g(x)=00,g(x)=0的兩根都小于的兩根都小于0 0，在，在(0,+)(0,+)上，上，f(x)f(x)0 0，故，故f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增. .4 4分分當(dāng)當(dāng)a a2 2時，時，0,g(x)=00,g(x)=0的兩根為的兩根為當(dāng)當(dāng)0 0 x xx x1 1時，時，f(x)f(x)0 0；當(dāng)；當(dāng)x x1 1x xx x2 2時，時，

46、f(x)f(x)0 0；當(dāng)；當(dāng)x xx x2 2時，時，f(x)f(x)0 0，故，故f(x)f(x)分別在分別在(0,x(0,x1 1),(x),(x2 2,+),+)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在(x(x1 1,x,x2 2) )上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減. . 6 6分分2212aa4aa4x,x22，(2)(2)由由(1)(1)知，知，a a2.2.因為因為所以所以8 8分分又由又由(1)(1)知，知，x x1 1x x2 2=1.=1.于是于是若存在若存在a a，使得，使得k=2-a,k=2-a,則則即即lnxlnx1 1-lnx-lnx2 2=x=x1 1-x-x2 2，亦即，亦即 ( (

47、) )1010分分1212121212xxf(x )f(x )(xx )a lnxlnxx x，1212121212f xf(x )lnxlnx1k1axxx xxx 1212lnxlnxk2a,xx 1212lnxlnx1,xx22221x2lnx0 x1x再由再由(1)(1)知，函數(shù)知，函數(shù) 在在(0,+)(0,+)上單調(diào)遞增，而上單調(diào)遞增，而x x2 21 1，所以，所以這與這與( (* *) )式矛盾式矛盾. .1111分分故不存在故不存在a a，使得，使得k=2-a. k=2-a. 1212分分 1h tt2lntt 22211x2lnx12ln10.x1【閱卷人點撥閱卷人點撥】通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以通過高考中的閱卷