矩陣的各種運算詳解

1、%十% + 如 JB+%n_.兩個同型矩陣的和，即為、矩陣的線性運算定義1設(shè)有兩個H；T矩陣八 二=和 -,矩陣上與王的和記作匸-三,規(guī)定為dssl +% + %）-注：只有兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行矩陣的加法運算 兩個矩陣對應(yīng)位置元素相加得到的矩陣mti/稱-二為矩陣上的負矩陣，顯然有小（-£） 0由此規(guī)定矩陣的減法為定義2數(shù)與矩陣A的乘積記作1；二或,規(guī)定為如1數(shù)與矩陣的乘積運算稱為數(shù)乘運算矩陣的加法與矩陣的數(shù)乘兩種運算統(tǒng)稱為矩陣的線性運算它滿足下列運算規(guī)律:設(shè)- 1<-'都是同型矩陣，L '是常數(shù)，則''r _ " 1&quo

2、t;'' 1（4）上；1 _n 爲一“（8）- J +'丄上 + -注：在數(shù)學中，把滿足上述八條規(guī)律的運算稱為線性運算、矩陣的相乘矩陣上與矩陣V的乘積記作二三,規(guī)定為其中鈿=嘰+陽如+環(huán)為=兀品Jfc-1記號 常讀作二左乘弓或三右乘二.注：只有當左邊矩陣的列數(shù)等于右邊矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能進行乘法運算若，則矩陣匸的元素V即為矩陣上的第'行元素與矩陣三的第列對應(yīng)元素乘積的和.即矩陣的乘法滿足下列運算規(guī)律（假定運算都是可行的）:(3) n：(4) ' J :,宀而注：矩陣的乘法一般不滿足交換律 ，即丿一一"邊從上例還可看出：兩個非零矩陣相乘，可

3、能是零矩陣，故不能從-=-必然推出-七=- 或三=flpfl0此外,矩陣乘法一般也不滿足消去律，即不能從<'"=弓必然推出弓 例如,設(shè)AC =則但二二三定義4如果兩矩陣相乘，有AS-BA,則稱矩陣A與矩陣B可交換.簡稱A與B可換. 注：對于單位矩陣己，容易證明比兒人為或簡寫成EA = AE=A可見單位矩陣 上在矩陣的乘法中的作用類似于數(shù)1.更進一步我們有_命題1設(shè)三是一個n階矩陣，則三是一個數(shù)量矩陣的充分必要條件是三與任何n階矩陣工可換。命題2設(shè)均為n階矩陣，則下列命題等價：（1）一 f -匕 2（2）I ' 一（3）- ： ，: , ;（4） '

4、9; I -： I三、線性方程組的矩陣表示 設(shè)有線性方程組尙函十場園4十細$工加 衍1叼+旳円+十務(wù)務(wù)=知若記F加島十+務(wù)辰耳.則利用矩陣的乘法,線性方程組（1）可表示為矩陣形式:AX=h其中矩陣上稱為線性方程組（1）的系數(shù)矩陣方程又稱為矩陣方程如果是方程組的解，記列矩陣-I、則這時也稱是矩陣方程（2）的解；反之，如果列矩陣:-是矩陣方程（2）的解，即有矩陣等式 丄丄j r成立，廠=記 即丄'也是線性方程組 的解.這樣,對線性方程組（1）的討論便等價于對矩陣方程 （2）的討論.特別地，齊次線性方程組可以表示為j4x = G.將線性方程組寫成矩陣方程的形式，不僅書寫方便，而且可以把線性方

5、程組的理論與矩陣理論聯(lián)系起來，這給線性方程組的討論帶來很大的便利四、矩陣的轉(zhuǎn)置，稱為二的轉(zhuǎn)置矩陣，記作一廠（或定義6把矩陣二的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣 止）.即若說口 電昭眄1宓%旳 1-才=如釧軸!丿矩陣的轉(zhuǎn)置滿足以下運算規(guī)律（假設(shè)運算都是可行的）：'''：五、方陣的幕定義5設(shè)方陣宀,規(guī)定 = S, A=AA-A,眈自然敎.稱為上的次幕.方陣的幕滿足以下運算規(guī)律（假設(shè)運算都是可行的）：注：一般地,n 1 y為自然數(shù)命題3設(shè)丄-均為n階矩陣，1 I則有八 廠 “！為自然數(shù)，反之不成 立。六、方陣的行列式定義7由 階方陣二的元素所構(gòu)成的行列式（各元素的位置不變），稱為

6、方陣二的行列式， 記作丨"或力：二注：方陣與行列式是兩個不同的概念，二階方陣是！個數(shù)按一定方式排成的數(shù)表，而“階行列式則是這些數(shù)按一定的運算法則所確定的一個數(shù)值（實數(shù)或復數(shù)）方陣上的行列式 宀滿足以下運算規(guī)律（設(shè)丄為匚階方陣，1 -為常數(shù)）：（2）； I ''（3）-進一步 Jl'l- "'1-'七、對稱矩陣定義8設(shè)一4為階方陣，如果即蝕=呦 魚j =則稱上為對稱矩陣.顯然，對稱矩陣-4的元素關(guān)于主對角線對稱例如毬o rr0 -T6 0 0廠1j ci 5均為對稱矩陣如果丄 -L則稱上為反對稱矩陣八、共軛矩陣定義9設(shè)亠 為復（數(shù)）矩陣

7、，記Z兩其中x表示*的共軛復數(shù),稱J為a的共軛矩陣.共軛矩陣滿足以下運算規(guī)律 （設(shè)廠為復矩陣/為復數(shù),且運算都是可行的）: -''1 - 亠 1（2） - 亠、例題選講:注：n階數(shù)量矩陣2(2例3 （講義例3）-211-22-1-3求二三J123132A =03-21,B=5-30例1 （講義例1)已知03&1-5-12 “-2羊A =157 9>B=5Jg1例2 （講義例2)已知46 £2-1矩陣的線性運算1°J ,求期-2E且'' ''求了8= 1例4設(shè)/。A是一個L 1矩陣， B 是3<1 矩陣，因此

8、AB有意義，BA也有意義；但A£ =(X (X 4)1 =lxl+Oxl+4xO=l,Qxl 1x0 lx"Z1 0驢BA =1(1, 0, 4)=lxl 1x0 U4二1 0 4Oxl 0x0 0x4衛(wèi)0巧匕，Ah2A =1例5設(shè)< %,B=ILLZ(2)(3)例6匕十辱'+S +心2¥叭I弧十虬亦n、川、w（講義例4）某地區(qū)有四個工廠I、,生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品,矩陣A（這種記法表示主對角線以外沒有注明的元素均為零），則表示一年中各工廠生產(chǎn)各種產(chǎn)品的數(shù)量，矩陣B表示各種產(chǎn)品的單位價格 （元）及單位利潤（元）,矩陣C表示各工廠的總收入及總利潤甲乙丙

9、<cli單位價恪單位利潤總收入戰(zhàn)利潤其中,八1一-.,是第：個工廠生產(chǎn)第1:種產(chǎn)品的數(shù)量是第咗種產(chǎn)品的單位價格及單位利潤，；丄及分別是第個工廠生產(chǎn)三種產(chǎn)品的 總收入及總利潤則矩陣，'的元素之間有下列關(guān)系角血H-碼必2 +牝血1碼1血十旳坦+旳為J召口 cli旳*1】+的2切1 + 3531 aAj +勺沱22 +衍少處cai faa3111 + 3221 +理51吐1% +血姐+吐曲2315主<4111十晳蟲21十婦1 呵如+蠲也2十蠲松打總收入總利潤其中缽二帥切+知如*剛?cè)?3 U.3.4J =，即C = AB.例7 （講義例例8 （講義例5)6)巾1 0 00I1C&#

10、163; =0U01Cl求與矩陣證明:如果- -則有=B), AB)C = C(AB).1 D可交換的一切矩陣1-12、2-1205T014A =-11-3例10 （1）設(shè)25-3，則4bJC=M為二階矩陣例9 （講義例解矩陣方程7)031小A =04 1例12（講義例9)設(shè)0 勺求啟<10-7 1小A =2 1 0B 03 1例13設(shè)J 2 -L?< 0 0 2>例11 （講義例8）已知6仃7£= 4 2t2 0，則r-2 1 - P-2 1 -2AB =-4 51應(yīng)卜-4 516 9 °-6 9 D?又二 241 0 -1a = 2 1 0 =-23 2