()全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案

1、2003年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案  2003年“TRULY®信利杯”全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題  參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)     一、選擇題（每小題6分，滿分30分）  1D  ì4x-3y-6z=0,ìx=3z,由í 解得í 代入即得. x+2y-7z=0,y=2z.îî  2D  因?yàn)?0×3<72.5<20×4，所以根據(jù)題意，可知需付郵

2、費(fèi)0.8×4=3.2（元）. 3C  如圖所示，B+BMN+E+G=360°，F(xiàn)NM+F+A+C=360°， 而B(niǎo)MN +FNM =D180°，所以  A+B+C+D+E+F+G=540°.  A G   A  B  D  C O F M C   N B     4D 顯然AB是四條線段中最長(zhǎng)的，故AB=9或AB=x。  （1）

3、若AB=9，當(dāng)CD=x時(shí)，92=x2+(1+5)2，x=35；  當(dāng)CD=5時(shí)，92=52+(x+1)2，x=2-1；  當(dāng)CD=1時(shí)，92=12+(x+5)2，x=45-5.  （2）若AB=x，當(dāng)CD=9時(shí)，x2=92+(1+5)2，x=3；  當(dāng)CD=5時(shí)，x2=52+(1+9)2，x=55；  當(dāng)CD=1時(shí)，x2=12+(5+9)2，x=.  故x可取值的個(gè)數(shù)為6個(gè).  5B  設(shè)最后一排有k個(gè)人，共有n排，那么從后往前各排的人

4、數(shù)分別為k，k+1，k+2，k+（n1），由題意可知kn+  n(n-1)21 =100，即n2k+(n-1)=200.  因?yàn)閗，n都是正整數(shù)，且n3，所以n<2k+（n1），且n與2k+（n1）的奇偶性不同. 將200分解質(zhì)因數(shù)，可知n=5或n=8. 當(dāng)n=5時(shí)，k=18；當(dāng)n=8時(shí)，k=9. 共有兩種不同方案.  6-  321x+2  .  +  1x-4  2  -  1x-2&#

5、160; =  -4x-4  2  +  1x-4  2  =  -3x-4  2    (1+  -33)-4  2  =-  32  。  77  1y  11-  1z  zz-1&#

6、160; 373-1x1x-1  =x+  7x-34x-3  因?yàn)?=x+  =x+=x+=x+  ，  所以 4(4x-3)=x(4x-3)+7x-3， 解得 x=從而 z=  3273  .  -321x´=2573´-5323=53  ，y=1-  1z  =1-  35  =&#

7、160; 25  .  于是 xyz=  8.  =1.  根據(jù)圖中、的規(guī)律，可知圖中三角形的個(gè)數(shù)為 1+4+3×4+32´4+33´4=1+4+12+36+108=161（個(gè)）. 962.  如圖，延長(zhǎng)AD交地面于E，過(guò)D作DFCE于F.  因?yàn)镈CF=45°，A=60°，CD=4m，所以CF=DF=22m， EF=DFtan60°=26（m）. 因?yàn)?#160; ABBE&

8、#160; =tan30  o     =  33  ，所以AB=BE´  33  =62  （m）.  10.4.     2  由于二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)A（1，4），點(diǎn)B（2，1），所以í  ìb=-a-1,  îc=3-2a.ìa-b+c=4,î

9、4a+2b+c=1, 解得 í  因?yàn)槎魏瘮?shù)圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以D=b2-4ac>0，  即(9a-1)(a-1)>0，由于(-a-1)-4a(3-2a)>0，2a是正整數(shù)，故a>1，  所以a2. 又因?yàn)閎+c=3a+24，且當(dāng)a=2，b=3，c=1時(shí)，滿足 題意，故b+c的最大值為4.  三、解答題（共4題，每小題15分，滿分60分）  11如圖所示，已知AB是O的直徑，BC  是O的切線，OC平行于弦AD，過(guò)點(diǎn)D作

10、0; DEAB于點(diǎn)E，連結(jié)AC，與DE交于點(diǎn)P.  問(wèn)EP與PD是否相等？證明你的結(jié)論.  解：DP=PE. 證明如下：  因?yàn)锳B是O的直徑，BC是切線，  所以ABBC.  由RtAEPRtABC，得  EP  BC=AE  AB   . （6分）  又ADOC，所以DAE=COB，于是RtAEDRtOBC. 故ED  BC=AE  OB=AE

11、  1  2AB=2AEAB （12分）  由，得 ED=2EP.  所以 DP=PE. （15分）  12某人租用一輛汽車由A城前往B城，沿途可能經(jīng)過(guò)的城市以及通過(guò)兩城市之間所需的時(shí)間（單位：小時(shí)）如圖所示. 若汽車行駛的平均速度為80千米/小時(shí)，而汽車每行駛1千米需要的平均費(fèi)用為1.2元. 試指出此人從A城出發(fā)到B城的最短路線（要有推理過(guò)程），并求出所需費(fèi)用最少為多少元？  解：從A城出發(fā)到達(dá)B城的路線分成如下兩類：  3  （1）

12、從A城出發(fā)到達(dá)B城，經(jīng)過(guò)O城. 因?yàn)閺腁城到O城所需最短時(shí)間為26小時(shí)，從O城到B城所需最短時(shí)間為22小時(shí). 所以，此類路線所需 最短時(shí)間為26+22=48（小時(shí)）. （5分）  （2）從A城出發(fā)到達(dá)B城，不經(jīng)過(guò)O城. 這時(shí)從A城到達(dá)B城，必定經(jīng)過(guò)C，D，E城或F，G，H城，所需時(shí)間至少為49小時(shí). （10分）  綜上，從A城到達(dá)B城所需的最短時(shí)間為48 小時(shí)，所走的路線為： AFOEB. （12分） 所需的費(fèi)用最少為：  80×48×1.2=4608（元）（14分） 答：此人從A城到B城最短路線是AFOEB，所需

13、的費(fèi)用最少為4608元 （15分）  13B如圖所示，在ABC中，ACB=90°.  （1）當(dāng)點(diǎn)D在斜邊AB內(nèi)部時(shí)，求證：  CD  2  2     -BD  2  BC  =  AD-BDAB  .  （2）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，第（1）小題中的等式是否存在？請(qǐng)說(shuō)明理由. （3）當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，第（1）小題中的等式是

14、否存在？請(qǐng)說(shuō)明理由.  解：（1）作DEBC，垂足為E. 由勾股定理得  CD  2     E  C-BD  2  2  =(CE  2  2  +DE)-(BE  22  +DE)  2  =CE-BE  2  =(CE-BE)BC.&

15、#160; 2     B  D  A  所以  CD-BD  2  BC  =  CE-BEBC  CEBC  =  =  ADAB  CEBC  ,  -  BEBC  =  . .&#

16、160; 因?yàn)镈EAC，所以 故  BEBC  BDAB  CD  2  -BD  2  2  BC  =  ADAB  -  BDAB  =  AD-BDAB  . （10分）  （2）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，第（1）小題中的等式仍然成立。此時(shí)有  A

17、D=0，CD=AC，BD=AB.  所以  CD  2  -BD  2  2  BC  =  AC  2  -AB  2  2  BC  =  =  -BCBC  2  2  =-1， &#

18、160;AD-BDAB  -ABAB  =-1.  從而第（1）小題中的等式成立. （13分） （3）當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，第（1）小題中的等式不成立. 作DEBC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則  CD  2     -BD  2  2  BC=-  =  CE  2  -BE  2 &#

19、160;2  E  BC  CE+BEBC  =  =-1-  -ABAB  2  2CEBC     ,  B而  AD-BDAB  =-1,  A     所以  CD  2  -BD  2

20、60; BC  ¹  AD-BDAB  . （15分）  說(shuō)明第（3）小題只要回答等式不成立即可（不成立的理由表述不甚清 者不扣分）.  14B已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足：a+b+c=2，abc=4.  （1）求a，b，c中的最大者的最小值； （2）求a+b+c的最小值.  解：（1）不妨設(shè)a是a，b，c中的最大者，即ab，ac，由題設(shè)知a>0， 且b+c=2-a，bc=  4a  . 

21、; 4a=0  于是b，c是一元二次方程x2-(2-a)x+  D=(2-a)-4´  2  的兩實(shí)根，  4a  0，  a-4a+4a-16  32  2  (a+4)(a-4)0. 所以a4. 0，（8分）  又當(dāng)a=4，b=c=-1時(shí)，滿足題意.  故a，b，c中最大者的最小值為4. （10分）  （2）因?yàn)閍

22、bc>0，所以a，b，c為全大于0或一正二負(fù).  1）若a，b，c均大于0，則由（1）知，a，b，c中的最大者不小于4，這  與a+b+c=2矛盾.  2）若a，b，c為或一正二負(fù)，設(shè)a>0，b<0，c<0，則  a+b+c=a-b-c=a-(2-a)=2a-2，  由（1）知a4，故2a-26，當(dāng)a=4，b=c=-1時(shí)，滿足題設(shè)條件且使得不等式等號(hào)成立。故a+b+c的最小值為6. （15分）  13A如圖所示，O的直徑的長(zhǎng)是關(guān)于x的二次方程x2+2(

23、k-2)x+k=0（k是整數(shù)）的最大整數(shù)根. P是O外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作O的切線PA和割線PBC，其中A為切點(diǎn)，點(diǎn)B，C是直線PBC與O的交點(diǎn). 若PA，PB，PC的長(zhǎng)都是正整數(shù)，且PB的長(zhǎng)不是合數(shù)，求  PA+PB+PC  2  2  2  的值.     P   x1+x2=4-2k， x1x2=k.   由題設(shè)及知，x1，x2都是整數(shù). 從，消去k，得  2x1x2+x1+x2=4， (2x1+

24、1)(2x2+1)=9.  由上式知，x2£4，且當(dāng)k=0時(shí)，x2=4，故最大的整數(shù)根為4. 于是O的直徑為4，所以BC4.  因?yàn)锽C=PCPB為正整數(shù)，所以BC=1，2，3或4. （6分） 連結(jié)AB，AC，因?yàn)镻AB=PCA，所以PABPCA，  PAPB  =  PCPA  。  故 PA2=PB(PB+BC) （10分） （1）當(dāng)BC=1時(shí)，由得，PA2=PB2+PB，于是  PB  2 

25、 <PA  2  <(PB+1)  2  ，矛盾！  （2）當(dāng)BC=2時(shí)，由得，PA2=PB2+2PB，于是  PB  2  <PA  2  <(PB+1)  2  ，矛盾！  （3）當(dāng)BC=3時(shí)，由得，PA2=PB2+3PB，于是  (PA-PB)(PA+PB)=3PB &

26、#160;，  由于PB不是合數(shù)，結(jié)合PA-PB<PA+PB，故只可能  ìPA-PB=1,ìPA-PB=3,ìPA-PB=PB,  í íí  PA+PB=3PB,PA+PB=PB,PA+PB=3,îîî  解得 í  ìPA=2,îPB=1.     此時(shí) PA2+PB2+PC2=21.  （4）當(dāng)BC=4，由得，PA2=PB2+4PB，于是  (PB+1)<PB  2  2  +4PB=PA  2  <(PB+2)  2  ，矛盾.  綜上所述  PA+PB  2