剛體力學-習題庫(共13頁)

1、第四章 剛體力學一、計算題1.如圖所示，一個質(zhì)量為m的物體與繞在定滑輪上的繩子相聯(lián)，繩子質(zhì)量可以忽略，它與定滑輪之間無滑動假設定滑輪質(zhì)量為M、半徑為R，其轉(zhuǎn)動慣量為，滑輪軸光滑試求該物體由靜止開始下落的過程中，下落速度與時間的關系 解：根據(jù)牛頓運動定律和轉(zhuǎn)動定律列方程 對物體： mgT ma 2分對滑輪： TR = Jb 2分運動學關系： aRb 1分將、式聯(lián)立得 amg / (mM) 1分 v00， vatmgt / (mM) 2分 2.如圖所示，轉(zhuǎn)輪A、B可分別獨立地繞光滑的固定軸O轉(zhuǎn)動，它們的質(zhì)量分別為mA10 kg和mB20 kg，半徑分別為rA和rB現(xiàn)用力fA和fB分別向下拉繞在輪上

2、的細繩且使繩與輪之間無滑動為使A、B輪邊緣處的切向加速度相同，相應的拉力fA、fB之比應為多少？(其中A、B輪繞O軸轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)動慣量分別為和) 解：根據(jù)轉(zhuǎn)動定律 fArA = JAbA 1分其中，且 fBrB = JBbB 1分其中要使A、B輪邊上的切向加速度相同，應有 a = rAbA = rBbB 1分由、式，有 由式有 bA / bB = rB / rA 將上式代入式，得 fA / fB = mA / mB = 2分3.一質(zhì)量為m的物體懸于一條輕繩的一端，繩另一端繞在一輪軸的軸上，如圖所示軸水平且垂直于輪軸面，其半徑為r，整個裝置架在光滑的固定軸承之上當物體從靜止釋放后，在時間t內(nèi)下降了

3、一段距離S試求整個輪軸的轉(zhuǎn)動慣量(用m、r、t和S表示) 解：設繩子對物體(或繩子對輪軸)的拉力為T，則根據(jù)牛頓運動定律和轉(zhuǎn)動定律得： mg­Tma 2分 T rJb 2分由運動學關系有： a = rb 2分由、式解得： Jm( ga) r2 / a 又根據(jù)已知條件 v00 S， a2S / t2 2分將式代入式得：Jmr2(1) 2分 4.質(zhì)量為5 kg的一桶水懸于繞在轆轤上的輕繩的下端，轆轤可視為一質(zhì)量為10 kg的圓柱體桶從井口由靜止釋放，求桶下落過程中繩中的張力轆轤繞軸轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)動慣量為，其中M和R分別為轆轤的質(zhì)量和半徑，軸上摩擦忽略不計解：對水桶和圓柱形轆轤分別用牛頓運動定

4、律和轉(zhuǎn)動定律列方程 mgT ma 1分 TRJb 1分 aRb 1分由此可得 Tm(ga)m那么 將 J =MR2代入上式，得 24.5 N 2分5.一長為1 m的均勻直棒可繞過其一端且與棒垂直的水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動抬起另一端使棒向上與水平面成60°，然后無初轉(zhuǎn)速地將棒釋放已知棒對軸的轉(zhuǎn)動慣量為，其中m和l分別為棒的質(zhì)量和長度求： (1) 放手時棒的角加速度； (2) 棒轉(zhuǎn)到水平位置時的角加速度 解：設棒的質(zhì)量為m，當棒與水平面成60°角并開始下落時，根據(jù)轉(zhuǎn)動定律 M = Jb 1分其中 1分于是 1分當棒轉(zhuǎn)動到水平位置時， M =mgl 1分那么 1分6.一軸承光滑的定滑輪

5、，質(zhì)量為M2.00 kg，半徑為R0.100 m，一根不能伸長的輕繩，一端固定在定滑輪上，另一端系有一質(zhì)量為m5.00 kg的物體，如圖所示已知定滑輪的轉(zhuǎn)動慣量為J，其初角速度 w010.0 rad/s，方向垂直紙面向里求： (1) 定滑輪的角加速度的大小和方向； (2) 定滑輪的角速度變化到w0時，物體上升的高度； (3) 當物體回到原來位置時，定滑輪的角速度的大小和方向 解：(1) mgTma 1分 TRJb 2分 aRb 1分 b = mgR / (mR2J) 81.7 rad/s2 1分方向垂直紙面向外 1分 (2) 當w0 時， 物體上升的高度h = Rq = 6.12×1

6、0-2 m 2分 (3) 10.0 rad/s 方向垂直紙面向外. 2分7.一質(zhì)量為M15 kg、半徑為R0.30 m的圓柱體，可繞與其幾何軸重合的水平固定軸轉(zhuǎn)動(轉(zhuǎn)動慣量J)現(xiàn)以一不能伸長的輕繩繞于柱面，而在繩的下端懸一質(zhì)量m8.0 kg的物體不計圓柱體與軸之間的摩擦，求： (1) 物體自靜止下落， 5 s內(nèi)下降的距離； (2) 繩中的張力 解： J0.675 kg·m2 mgTma 1分 TRJb 2分 aRb 1分 amgR2 / (mR2 + J)5.06 m / s2 1分因此(1)下落距離 h63.3 m 2分 (2) 張力 T m(ga)37.9 N 1分8.一半徑為2

7、5 cm的圓柱體，可繞與其中心軸線重合的光滑固定軸轉(zhuǎn)動圓柱體上繞上繩子圓柱體初角速度為零，現(xiàn)拉繩的端點，使其以1 m/s2的加速度運動繩與圓柱表面無相對滑動試計算在t = 5 s時 (1) 圓柱體的角加速度， (2) 圓柱體的角速度， (3) 如果圓柱體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為2 kg·m2，那么要保持上述角加速度不變,應加的拉力為多少？解：(1) 圓柱體的角加速度 b ba / r4 rad / s2 2分 (2) 根據(jù)，此題中w 0 = 0 ，則有 wt = bt那么圓柱體的角速度 20 rad/s 1分 (3) 根據(jù)轉(zhuǎn)動定律 fr = Jb則 f = Jb / r = 32 N 2分

8、 9.一軸承光滑的定滑輪，質(zhì)量為M2.00 kg，半徑為R0.100 m，一根不能伸長的輕繩，一端固定在定滑輪上，另一端系有一質(zhì)量為m5.00 kg的物體，如圖所示已知定滑輪的轉(zhuǎn)動慣量為J，其初角速度 w010.0 rad/s，方向垂直紙面向里求： (1) 定滑輪的角加速度的大小和方向； (2) 定滑輪的角速度變化到w0時，物體上升的高度； (3) 當物體回到原來位置時，定滑輪的角速度的大小和方向 解：(1) mgTma 1分 TRJb 2分 aRb 1分 b = mgR / (mR2J) 81.7 rad/s2 1分方向垂直紙面向外 1分 (2) 當w0 時， 物體上升的高度h = Rq =

9、 6.12×10-2 m 2分 (3) 10.0 rad/s 方向垂直紙面向外. 2分10.一質(zhì)量為M15 kg、半徑為R0.30 m的圓柱體，可繞與其幾何軸重合的水平固定軸轉(zhuǎn)動(轉(zhuǎn)動慣量J)現(xiàn)以一不能伸長的輕繩繞于柱面，而在繩的下端懸一質(zhì)量m8.0 kg的物體不計圓柱體與軸之間的摩擦，求： (1) 物體自靜止下落， 5 s內(nèi)下降的距離； (2) 繩中的張力 解： J0.675 kg·m2 mgTma 1分 TRJb 2分 aRb 1分 amgR2 / (mR2 + J)5.06 m / s2 1分因此(1)下落距離 h63.3 m 2分 (2) 張力 T m(ga)37.

10、9 N 1分11.一半徑為25 cm的圓柱體，可繞與其中心軸線重合的光滑固定軸轉(zhuǎn)動圓柱體上繞上繩子圓柱體初角速度為零，現(xiàn)拉繩的端點，使其以1 m/s2的加速度運動繩與圓柱表面無相對滑動試計算在t = 5 s時 (1) 圓柱體的角加速度， (2) 圓柱體的角速度， (3) 如果圓柱體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為2 kg·m2，那么要保持上述角加速度不變,應加的拉力為多少？解：(1) 圓柱體的角加速度 b ba / r4 rad / s2 2分 (2) 根據(jù)，此題中w 0 = 0 ，則有 wt = bt那么圓柱體的角速度 20 rad/s 1分 (3) 根據(jù)轉(zhuǎn)動定律 fr = Jb則 f = Jb

11、 / r = 32 N 2分12.長為L的梯子斜靠在光滑的墻上高為h的地方，梯子和地面間的靜摩擦系數(shù)為m，若梯子的重量忽略，試問人爬到離地面多高的地方，梯子就會滑倒下來？ 解：當人爬到離地面x高度處梯子剛要滑下，此時梯子與地面間為最大靜摩擦，仍處于平衡狀態(tài) (不穩(wěn)定的) 1分 N1f 0， N2P 0 1分 N1hPx·ctgq 0 1分 fmN2 1分解得 1分13.一轉(zhuǎn)動慣量為J的圓盤繞一固定軸轉(zhuǎn)動，起初角速度為w0設它所受阻力矩與轉(zhuǎn)動角速度成正比，即Mkw (k為正的常數(shù))，求圓盤的角速度從w0變?yōu)闀r所需的時間 解：根據(jù)轉(zhuǎn)動定律： Jdw / dt = -kw 2分兩邊積分：

12、得 ln2 = kt / J t(J ln2) / k 3分14.一圓柱體截面半徑為r，重為P，放置如圖所示它與墻面和地面之間的靜摩擦系數(shù)均為若對圓柱體施以向下的力F2P可使它剛好要反時針轉(zhuǎn)動，求 (1) 作用于A點的正壓力和摩擦力，(2) 力與之間的垂直距離d解：設正壓力NA、NB，摩擦力fA，fB 如圖根據(jù)力的平衡，有fANB = F+P = 3P 1分NA =fB1分根據(jù)力矩平衡，有 Fd = ( fA+ fB ) r 2分剛要轉(zhuǎn)動有 1分(1) 把及、代入可求得 NA =0.9P ， fA =0.3P 2分(2) 由可求得 d = 0.6 r 1分 15.一輕繩跨過兩個質(zhì)量均為m、半徑

13、均為r的均勻圓盤狀定滑輪，繩的兩端分別掛著質(zhì)量為m和2m的重物，如圖所示繩與滑輪間無相對滑動，滑輪軸光滑兩個定滑輪的轉(zhuǎn)動慣量均為將由兩個定滑輪以及質(zhì)量為m和2m的重物組成的系統(tǒng)從靜止釋放，求兩滑輪之間繩內(nèi)的張力 解：受力分析如圖所示 2分 2mgT12ma 1分T2mgma 1分 T1 rT r 1分 T rT2 r 1分 arb 2分解上述5個聯(lián)立方程得： T11mg / 8 2分 16.質(zhì)量分別為m和2m、半徑分別為r和2r的兩個均勻圓盤，同軸地粘在一起，可以繞通過盤心且垂直盤面的水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動，對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為9mr2 / 2，大小圓盤邊緣都繞有繩子，繩子下端都掛一質(zhì)量為m的重物，

14、如圖所示求盤的角加速度的大小 解：受力分析如圖 2分 mgT2 = ma2 1分 T1mg = ma1 1分 T2 (2r)T1r = 9mr2b / 2 2分 2rb = a2 1分 rb = a1 1分解上述5個聯(lián)立方程，得： 2分 17.質(zhì)量m1.1 kg的勻質(zhì)圓盤，可以繞通過其中心且垂直盤面的水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動，對軸的轉(zhuǎn)動慣量J(r為盤的半徑)圓盤邊緣繞有繩子，繩子下端掛一質(zhì)量m11.0 kg的物體，如圖所示起初在圓盤上加一恒力矩使物體以速率v00.6 m/s勻速上升，如撤去所加力矩，問經(jīng)歷多少時間圓盤開始作反方向轉(zhuǎn)動 解：撤去外加力矩后受力分析如圖所示 2分 m1gT = m1a 1

15、分 TrJb 1分 arb 1分 a = m1gr / ( m1r + J / r) 代入J , a = 6.32 ms-2 2分 v 0at0 2分 tv 0 / a0.095 s 1分18.一輕繩繞過一定滑輪，滑輪軸光滑，滑輪的半徑為R,質(zhì)量為M / 4，均勻分布在其邊緣上繩子的A端有一質(zhì)量為M的人抓住了繩端，而在繩的另一端B系了一質(zhì)量為M的重物，如圖設人從靜止開始相對于繩勻速向上爬時，繩與滑輪間無相對滑動，求B端重物上升的加速度？(已知滑輪對通過滑輪中心且垂直于輪面的軸的轉(zhuǎn)動慣量JMR2 / 4 ) 解：受力分析如圖所示 設重物的對地加速度為a，向上.則繩的A端對地有加速度a向下，人相對

16、于繩雖為勻速向上，但相對于地其加速度仍為a向下. 2分 根據(jù)牛頓第二定律可得： 對人： MgT2Ma 2分對重物： T1MgMa 2分 根據(jù)轉(zhuǎn)動定律，對滑輪有 (T2T1)RJbMR2b / 4 2分因繩與滑輪無相對滑動， abR 1分、四式聯(lián)立解得 a2g / 7 1分 19.如圖所示，設兩重物的質(zhì)量分別為m1和m2，且m1m2，定滑輪的半徑為r，對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J，輕繩與滑輪間無滑動，滑輪軸上摩擦不計設開始時系統(tǒng)靜止，試求t時刻滑輪的角速度 解：作示力圖兩重物加速度大小a相同，方向如圖. 示力圖 2分 m1gT1m1a 1分 T2m2gm2a 1分設滑輪的角加速度為b，則 (T1T2)r

17、Jb 2分且有 arb 1分由以上四式消去T1，T2得： 2分開始時系統(tǒng)靜止，故t時刻滑輪的角速度 分20.質(zhì)量為M124 kg的圓輪，可繞水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動，一輕繩纏繞于輪上，另一端通過質(zhì)量為M25 kg的圓盤形定滑輪懸有m10 kg的物體求當重物由靜止開始下降了h0.5 m時，(1) 物體的速度； (2) 繩中張力 (設繩與定滑輪間無相對滑動，圓輪、定滑輪繞通過輪心且垂直于橫截面的水平光滑軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為，) 解：各物體的受力情況如圖所示 圖2分由轉(zhuǎn)動定律、牛頓第二定律及運動學方程，可列出以下聯(lián)立方程： T1RJ1b1 方程各1分共5分 T2rT1rJ2b2 mgT2ma , aRb1r

18、b2 , v 22ah求解聯(lián)立方程，得 m/s2 =2 m/s 1分 T2m(ga)58 N 1分 T148 N 1分21.兩個勻質(zhì)圓盤，一大一小，同軸地粘結(jié)在一起，構(gòu)成一個組合輪小圓盤的半徑為r，質(zhì)量為m；大圓盤的半徑2r，質(zhì)量 2m組合輪可繞通過其中心且垂直于盤面的光滑水平固定軸O轉(zhuǎn)動，對O軸的轉(zhuǎn)動慣量J9mr2 / 2兩圓盤邊緣上分別繞有輕質(zhì)細繩，細繩下端各懸掛質(zhì)量為m的物體A和B，如圖所示這一系統(tǒng)從靜止開始運動，繩與盤無相對滑動，繩的長度不變已知r = 10 cm求： (1) 組合輪的角加速度b； (2) 當物體A上升h40 cm時，組合輪的角速度w 解：(1) 各物體受力情況如圖 圖

19、2分 Tmgma 1分 mgm 1分 (2r)Tr9mr2b / 2 1分 arb 1分 (2r)b 1分由上述方程組解得： b2g / (19r)10.3 rad·s-2 1分 (2) 設q為組合輪轉(zhuǎn)過的角度，則 qh / r w22bq所以， w = (2bh / r)1/29.08 rad·s-1 2分 22.物體A和B疊放在水平桌面上，由跨過定滑輪的輕質(zhì)細繩相互連接，如圖所示今用大小為F的水平力拉A設A、B和滑輪的質(zhì)量都為m，滑輪的半徑為R，對軸的轉(zhuǎn)動慣量JAB之間、A與桌面之間、滑輪與其軸之間的摩擦都可以忽略不計，繩與滑輪之間無相對的滑動且繩不可伸長已知F10 N

20、，m8.0 kg，R0.050 m求： (1) 滑輪的角加速度； (2) 物體A與滑輪之間的繩中的張力； (3) 物體B與滑輪之間的繩中的張力 解：各物體受力情況如圖 圖2分 FTma 1分 ma 1分 ()R 1分 aRb 1分由上述方程組解得： b 2F / (5mR)10 rad·s-2 2分 T3F / 56.0 N 1分 2F / 54.0 N 1分23.兩個大小不同、具有水平光滑軸的定滑輪，頂點在同一水平線上小滑輪的質(zhì)量為m¢，半徑為r¢，對軸的轉(zhuǎn)動慣量J大滑輪的質(zhì)量m2m，半徑r2r，對軸的轉(zhuǎn)動慣量一根不可伸長的輕質(zhì)細繩跨過這兩個定滑輪，繩的兩端分別

21、掛著物體A和BA的質(zhì)量為m，B的質(zhì)量 2m這一系統(tǒng)由靜止開始轉(zhuǎn)動已知m6.0 kg，r5.0 cm求兩滑輪的角加速度和它們之間繩中的張力 解：各物體受力情況如圖 2分 TAmgma 1分 (2m)gTA(2m)a 1分 (TTA)r 1分 (TBT)(2r)(2m)(2r)2 1分 arb(2r) 1分由上述方程組解得： b2g / (9r)43.6 rad·s-2 1分 21.8 rad·s-2 1分 T(4/3)mg78.4 N 1分24.一質(zhì)量m = 6.00 kg、長l = 1.00 m的勻質(zhì)棒，放在水平桌面上，可繞通過其中心的豎直固定軸轉(zhuǎn)動，對軸的轉(zhuǎn)動慣量J =

22、ml 2 / 12t = 0時棒的角速度w0 = 10.0 rad·s-1由于受到恒定的阻力矩的作用，t = 20 s時，棒停止運動求： (1) 棒的角加速度的大?。?(2) 棒所受阻力矩的大?。?(3) 從t = 0到t = 10 s時間內(nèi)棒轉(zhuǎn)過的角度 解：(1) 0w 0b t bw 0 / t0.50 rad·s-2 2分 (2) Mr ml 2b / 120.25 N·m 2分 (3) q10w 0tb t275 rad 1分25.如圖所示的阿特伍德機裝置中，滑輪和繩子間沒有滑動且繩子不可以伸長，軸與輪間有阻力矩，求滑輪兩邊繩子中的張力已知m120 kg，

23、m210 kg滑輪質(zhì)量為m35 kg滑輪半徑為r0.2 m滑輪可視為均勻圓盤，阻力矩Mf6.6 N·m，已知圓盤對過其中心且與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量為 解：對兩物體分別應用牛頓第二定律(見圖)，則有 m1gT1 = m1a T2 m2g = m2a 2分對滑輪應用轉(zhuǎn)動定律，則有 2分對輪緣上任一點，有 a = b r 1分 又： = T1， = T2 則聯(lián)立上面五個式子可以解出 2 m/s2 2分 T1m1gm1a156 N T2m2gm2 a118N 3分 26.如圖所示，一半徑為R的勻質(zhì)小木球固結(jié)在一長度為l的勻質(zhì)細棒的下端，且可繞水平光滑固定軸O轉(zhuǎn)動今有一質(zhì)量為m，速度為的子彈

24、，沿著與水平面成a角的方向射向球心，且嵌于球心已知小木球、細棒對通過O的水平軸的轉(zhuǎn)動慣量的總和為J求子彈嵌入球心后系統(tǒng)的共同角速度 解：選子彈、細棒、小木球為系統(tǒng)子彈射入時，系統(tǒng)所受合外力矩為零，系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的角動量守恒 2分 mv 0 (R + l)cosa = J + m (R + l)2 w 2分 1分27.如圖所示，一半徑為R，質(zhì)量為m的水平圓臺，正以角速度w0繞通過其中心的豎直固定光滑軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動慣量J臺上原站有2人，質(zhì)量各等于轉(zhuǎn)臺質(zhì)量的一半，一人站于臺邊A處，另一人站于距臺中心的B處今A處的人相對于圓臺以速率v順著圓臺轉(zhuǎn)向沿圓周走動，同時B處的人相對于圓臺以速率2v逆圓臺轉(zhuǎn)向沿圓周走動求圓臺這時的角速度w 解：以轉(zhuǎn)臺和二人為研究對象，