數(shù)值計(jì)算方法第1章

1、數(shù)值計(jì)算方法主講 劉玲南京大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系第1章 緒論n隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，科學(xué)計(jì)算愈來愈顯示出其重要性?？茖W(xué)計(jì)算的應(yīng)用之廣已遍及各行各業(yè)，例如：氣象資料的分析圖像，飛機(jī)、汽車及輪船的外形設(shè)計(jì)，高科技研究等都離不開科學(xué)計(jì)算。因此，作為科學(xué)計(jì)算的數(shù)學(xué)工具數(shù)值計(jì)算方法已成為各高等院校數(shù)學(xué)、物理和計(jì)算機(jī)應(yīng)用專業(yè)等理工科本科生的專業(yè)基礎(chǔ)課,也是工科碩士研究生的學(xué)位必修課。n數(shù)值分析或數(shù)值計(jì)算方法主要是研究如何運(yùn)用計(jì)算機(jī)去獲得數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解的理論和方法.對那些在經(jīng)典數(shù)學(xué)中,用解析方法在理論上已作出解的存在,但要求出他的解析解又十分困難,甚至是不可能的這類數(shù)學(xué)問題,數(shù)值解法就顯得不可缺少,同時(shí)

2、有十分有效.n計(jì)算機(jī)解決科學(xué)計(jì)算問題時(shí)經(jīng)歷的幾個(gè)過程n實(shí)際問題數(shù)學(xué)模型數(shù)值計(jì)算方法程序設(shè)計(jì)上機(jī)運(yùn)行求出解n實(shí)際問題數(shù)學(xué)模型：由實(shí)際問題應(yīng)用科學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)理論建立數(shù)學(xué)模型的過程，是應(yīng)用數(shù)學(xué)的任務(wù)。n數(shù)值計(jì)算方法程序設(shè)計(jì)計(jì)算結(jié)果：根據(jù)數(shù)學(xué)模型提出求解的數(shù)值計(jì)算方法，直到編出程序上機(jī)算出解，是計(jì)算數(shù)學(xué)的任務(wù)。n數(shù)值計(jì)算方法重點(diǎn)研究：求解的數(shù)值方法及與此有關(guān)的理論n包括：方法的收斂性，穩(wěn)定性，誤差分析，計(jì)算時(shí)間的最小（也就是計(jì)算費(fèi)用）,占用內(nèi)存空間少.n有的方法在理論上雖不夠嚴(yán)格，但通過實(shí)際計(jì)算，對比分析等手段，被證明是行之有效的方法，也可以采用。因此，數(shù)值分析既有純數(shù)學(xué)高度抽象性與嚴(yán)密科學(xué)性的特點(diǎn)，

3、又有應(yīng)用的廣泛性與實(shí)驗(yàn)的高度技術(shù)性特點(diǎn)，是一門與使用計(jì)算機(jī)密切結(jié)合的實(shí)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)課程。1.1數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解法例示n例1.1.1試求函數(shù)方程x=cosx在區(qū)間 內(nèi)的一個(gè)根。解 )2, 0(.)2, 0(, 0sin1)(.)2, 0(0)(,02*) 1()2()0(,2, 0)(,cos)(知上述零點(diǎn)唯一又由內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)在方程由零點(diǎn)定理知且上是連續(xù)函數(shù)在易知令xxxfxfffxfxxxf1.1數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解法例示.4.,cos.,.*附近大致位于看出從圖中可以為所求方程的解的橫坐標(biāo)取兩曲線交點(diǎn)作圖像可大致判定此零點(diǎn)位置法若用圖解困難本題用解析法求解較為xxpxyxy公式有的復(fù)化被積

4、函數(shù)擇數(shù)值方法有多種，如選萊布尼茲公式）由牛頓解：（）（計(jì)算定積分例simpsonxxfhnxidxeidxxx2101101022114)(,21, 20arctan41arctan4|arctan41)2(14i 12. 1 . 12。行數(shù)值求解有公式進(jìn)的復(fù)化法求解。仍選擇數(shù)值方公式無法求解，僅可用由無原函數(shù)，因此，由于）（746855379. 0,21, 2leibniznewtone)(,e2141568627. 3)1 ()43(4)21(2)41(4)0(62102122isimpsonhnxxfdxifffffhi-x:121)0(23 .1 .12方法我們選擇經(jīng)典的四階如。本題

5、數(shù)值方法很多，解析解解得方程，令該方程是解求解初值問題例krxyyubernoulliyyxydxdy 為步長。；這里hyxyyxfkyhthfkkyhthfkkyhthfkythfkkkkkyynnnnnnnnnn2),(,),()2,2()2,2(),()22(61342312143211現(xiàn)取h=0.05,其結(jié)果見下表:xnynyxnyny01.00000 1.00000 1.21.84931 1.849310.21.18322 1.18322 1.41.94396 1.943960.41.34164 1.34164 1.62.04939 2.049390.61.48324 1.48324

6、 1.82.14476 2.144760.81.61245 1.61245 2.02.23607 2.236071.01.73205 1.73205 1.2誤差概念和有效數(shù)n在任何科學(xué)計(jì)算中其解的精確性總是相對的,而誤差則是絕對的.我們從下面這個(gè)例子就可以了解誤差產(chǎn)生的原因.例1.2.1 試求擺長為l的單擺運(yùn)動(dòng)周期. 22sing:gl2tdtdmlmamgfml牛頓定律的質(zhì)量。如圖所示：由是質(zhì)點(diǎn)為自由落體加速度；為擺長；其中擺周期在物理學(xué)中我們知道單0,sin,0sinsin22222222dtdlglgdtdmgdtdml則有令很小時(shí)當(dāng)即所以：期求解過程的誤差情況現(xiàn)在我們來分析單擺周因此，

7、故有解微分方程得，glttcctctc22)sin(.sincos22212121開方：舍入誤差長度秒米觀察誤差：展式：由截?cái)嗾`差：點(diǎn)處的摩擦力忽略忽略空氣阻力模型誤差/,*,.4,/8 . 93.! 5! 3sintaglorsin2o10205300lg誤差的分類n模型誤差模型誤差 從實(shí)際問題建立的數(shù)學(xué)模型往往都忽略了許多次要的因素,因此產(chǎn)生的誤差稱為模型誤差.n觀測誤差觀測誤差 一般數(shù)學(xué)問題包含若干參數(shù),他們是通過觀測得到的,受觀測方式、儀器精度以及外部觀測條件等多種因素，不可能獲得精確值，由此而來產(chǎn)生的誤差稱為觀測誤差。n截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差 在求解過程中，往往以近似替代，化繁為簡，這樣產(chǎn)

8、生的誤差稱為截?cái)嗾`差。n舍入誤差舍入誤差 在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算時(shí)受機(jī)器字長的限制，一般必須進(jìn)行舍入，此時(shí)產(chǎn)生的誤差稱為舍入誤差。誤差和有效數(shù)字。的絕對誤差和相對誤差為近似數(shù)和稱的一個(gè)近似數(shù)為準(zhǔn)確數(shù)設(shè)定義*)0()()()(,2 . 2 . 1xxxxexexxxexxr精度的好壞更合理。衡量也稱百分比誤差而用相對誤差。但無法衡量精度的好壞比較直觀的精度高低絕對誤差是做為衡量稱為不足絕對誤差。時(shí)當(dāng)稱為過剩絕對誤差時(shí)當(dāng),0)(;,0)(*xxexe誤差估計(jì)n由于準(zhǔn)確值在一般情況下是未知的，因此絕對誤差和相對誤差常常是無法計(jì)算的，但有可能給出估計(jì)。誤差界就是用于誤差估計(jì)的。誤差估計(jì)差界。的絕對誤差界和相對

9、誤為近似數(shù)和則稱滿足和若有正數(shù)的一個(gè)近似數(shù)是精確數(shù)設(shè)定義*r*r*| )(| )(|:,2 . 2 . 1xxxxxexxxexxrr有效數(shù)字n在工程上，誤差的概念就轉(zhuǎn)化為有效數(shù)字。似數(shù)。具有五位有效數(shù)字的近稱則的近似數(shù)例如3.14161021.00000734. 0.14159265. 31416. 3)(1416. 3.14159265. 3*4*e在計(jì)算機(jī)中表示為：均為有效數(shù)。為有效數(shù)字，且則若設(shè)121321.,1021.,. 010nnnmnmaaaaaaaaxmfa1a2 an位有效數(shù)的近似數(shù)。的具有為則稱的絕對誤差滿足。如果是整數(shù)且和其中有規(guī)格化形式設(shè)近似數(shù)定義nxxxxxexaa

10、niamaaaaxxnmiinm*1321*1021| )(|90 , 0,.),.,2 , 1(.0103 .2 .1n絕對誤差，相對誤差，有效數(shù)是度量近似數(shù)精度的常用三種。實(shí)際計(jì)算時(shí)最終結(jié)果均以有效數(shù)給出。同時(shí)也就隱含了絕對誤差和相對誤差界。4*10215, 1,4142. 1,2的絕對誤差界則如xnmxx554*1041044142.11021|)(|rrxxe即而相對誤差界估計(jì)為函數(shù)值的誤差估計(jì)n引入微分符號*ln)()(xdxdxxxxxedxxxxer)()(lnln)ln(ln)ln()()()()()(,*2*1*2*1*2*1*2*1*2*1*2*1*2*1*2*1*2*1*

11、2*121xexexdxdxxdxxdxxexexedxdxxxdxxexxxxrrr，則的近似數(shù)設(shè)2*2*2*1*1*2*2*1*2*1*2*1*2*1*1*2*2*1*2*1*2*1*2*1*2*1)()()()()()()()()()()()()(xxexxexxxexexexxexexxexxexexxxxexxxxerrrrrrrr同理得故：)()()()()()()()()()()()(),(*xexfxfxfexexfxxxfxdfxfxffexfxxxfyrr或時(shí)，則誤差為計(jì)算函數(shù)值則代替用近似數(shù)當(dāng)設(shè)函數(shù)定的。是可以控制的，或是穩(wěn)時(shí)，函數(shù)值的誤差這表明當(dāng)時(shí)有當(dāng)若記1, 1)()

12、()()(1, 1|,)()(|,)(|*rrrrrccxefexefeccxfxfxcxfc為病態(tài)。稱當(dāng)為良態(tài)；稱當(dāng)。和相對意義下的條件數(shù)在絕對意義下為一般分別稱)(1)(1)(,xfcxfcxfccr例題在正根附近是病態(tài)的即正根為解得由解在正根附近的性態(tài)。討論函數(shù)例)(1201| 12| )100(|100100,1010)(10100)(2 . 2 . 110021*xfxfxxxxfxxxfx。變化，函數(shù)值變化極大也就是自變量發(fā)生微小則取則如：取09.20)9 .99()(, 9 .99200)99()(,99*1*1*1*1fxfxfxfx多元函數(shù)誤差估計(jì))()()()(),.,()

13、,.,()(),.,(),.,(),.,(*1*1*1*21*2*121*2*1*21iniiniiiniiiinntntnnxexffexexfxxxfxxxfxxxffexxxxxxxxxxxfy因此絕對誤差界為其絕對誤差為代替用對于多元函數(shù)| )(|)()(| )(|)()()(1*1*niiriirniiriirxexfxxxffexexfxxxffe相對誤差界（同理相對誤差為例題。的絕對誤差和相對誤差面積試估計(jì)觀測數(shù)據(jù)為設(shè)例sabc,)02.060(,)10.0120(,)10.0100(abc3 .1.2oamcmb2*57.1018002. 0cos211 . 0sin211 .

14、 0sin21)()()()(sin21macbabacaeascecsbebsseabcs則由解253*33*10211021| )(|10010. 01010.100:10035. 2sin2157.10|)(| )(|bebacbsseser則對誤差界。如出，則知道絕若數(shù)據(jù)以規(guī)格化形式給注意1.3算法的優(yōu)化n算法優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)n從截?cái)嗾`差觀點(diǎn)看,算法必須是截?cái)嗾`差小,收斂斂速要快。即運(yùn)算量小,機(jī)器用時(shí)少.n從舍入誤差觀點(diǎn)看,舍入誤差在計(jì)算過程中要能控制,即算法的數(shù)值要穩(wěn)定.n從實(shí)現(xiàn)算法的觀點(diǎn)看,算法的邏輯結(jié)構(gòu)不宜太復(fù)雜，便于程序編制和上機(jī)實(shí)現(xiàn).n設(shè)計(jì)算法時(shí)應(yīng)遵循的原則n要有數(shù)值要穩(wěn)定性,即能

15、控制誤差的傳播.n避免大數(shù)吃小數(shù),即兩數(shù)相加時(shí),防止較小的數(shù)加不到較大的數(shù)上.n避免兩相近的數(shù)相減,以免有效數(shù)字的大量丟失.n避免分母很小(或乘法因子很大),以免產(chǎn)生溢出.例題.1)1(.312112ln1.)1(.32)1ln(解2ln例1.3.11132nxnxxxxxtaylornnn有令展式有算法一：由的值。計(jì)算慢。顯然項(xiàng)數(shù)大，收斂速度時(shí)，則若要收斂。所以且由級數(shù)判別，交錯(cuò)級數(shù)55102102111|2ln0limnnann得：并取則令則而由于算法二1031211.)12.531(211ln)1ln()1ln(.)1(.32)1ln(.32)1ln(:24213232nxxxnxxxx

16、xxxxnxxxxxnxxxxxnnnn差距很大。，計(jì)算精度及速度兩種算法，同樣計(jì)算其截?cái)嗾`差為2ln109123112191119123132.)9125191231(32)31(211.3151311 (322ln12101112112042t。則時(shí)同理若要算法一：由定積分解的值。計(jì)算圓周率例55110210,1021121|.121)1(.513111142 .3 .1nnndxxn141568627. 34785392156. 0)1 ()43(4)21(4)0(611)(,2122*22sffffhssimpsonxxfhn所以公式有的，算法二：取算法二表明,僅用不多的五次函數(shù)值的計(jì)

17、算,已獲得的具有五位有效數(shù)字的近似值。,.2 , 11|555,.)1 , 0(5例1.3.310101101110nnnxdxxdxxxxiindxxxinnnnnnnn解：由于計(jì)算定積分計(jì)算如下：得遞推公式18232155. 056ln,.2 , 15101inininnn innin0 0.1823215590.0170566241 0.088392216100.0147168762 0.058039818110.0173247103 0.04313874212-0.0032902194 0.03430628713-0.0933741725 0.02846856014-0.3954422906 0.024323864152.0438781007 0.02123782016-10.156890008 0.0188108971750.84327600錯(cuò)。的絕對值