MATLAB輔助優(yōu)化設(shè)計(jì)ppt課件

1、第7章 MATLAB輔助優(yōu)化設(shè)計(jì) 7.1 輔助優(yōu)化設(shè)計(jì)輔助優(yōu)化設(shè)計(jì) 7.2 線性規(guī)劃線性規(guī)劃 7.3 無約束非線性規(guī)劃無約束非線性規(guī)劃 7.4 約束最優(yōu)化約束最優(yōu)化 7.5 方程求解方程求解7.1 輔助優(yōu)化設(shè)計(jì)輔助優(yōu)化設(shè)計(jì) 設(shè)x=(x1,x2,xn)T為n維歐氏空間En的一點(diǎn)，f(x)，gi(x)(i=1,2,m)，hi (x)(i=m+1,p)為給定的n元函數(shù)，那么普通最優(yōu)化問題的提法是在約束條件： gi(x)=0,i=1m和hi (x)=0,i=m+1p之下，求向量x使函數(shù)f(x)取最小值(或極大值)。這里f(x)稱為目的函數(shù)， gi(x)=0; 線性規(guī)劃的規(guī)范方式要求目的函數(shù)最小化，不符

2、合條件的線性模型首先轉(zhuǎn)換成規(guī)范方式。 在MATLAB工具箱中，可用linprog函數(shù)求解線性規(guī)劃問題 數(shù)學(xué)建模如下 min f(x) A*x=b Aeq*x=beq lb=x=ub 函數(shù)格式： x=linprog(f,A,b) 求解問題min f(x)，約束條件A*x=b x=linprog(f,A,b,Aeq,beq) 求解上面問題但添加了約束Aeq*x=beq，假設(shè)無不等式存在那么：A=,b= x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)定義x的上下界假設(shè)無等式存在那么：Aeq=,beq= x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)設(shè)置初始值x0。該

3、選項(xiàng)只適宜中型問題，大型算法將忽略初值。 x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)用options指定的優(yōu)化參數(shù)進(jìn)展最小化計(jì)算。x,fval=linprog()前往解x處的目的值x,lambda,exitflag=linprog()前往exitflag值，描畫函數(shù)計(jì)算退出的條件x,lambda,exitflag,output=linprog()前往包含優(yōu)化信息的輸出變量outputx,fval,exitflag,lambda=linprog()將解x處的拉格郎日乘子前往到lambda參數(shù)中 例求使函數(shù)f(x)=-5x1-4x2-6x3取最小的x值，且滿

4、足： x1-x2-x3=20 3x1+2x2+4x3=42 3x1+2x2=0f=-5,-4,-6;A=1,-1,1;3,2,4;3,2,0;b=20;42;30;lb=0,0,0;x,fval=linprog(f,A,b,lb) Optimization terminated successfully. x = 0.0000 15.0000 3.0000 fval = -78.0000 某人要用一筆資金投資，如今有四個(gè)工程，各工程的凈收益占投入資金的百分比如下所示： 由于特殊緣由用于A的投資不能大于其他各項(xiàng)投資之和，用于工程B和C的投資要大于工程D的投資。試確定該人收益的最大值。投資工程AB

5、CD收益% 1510812設(shè)x1,x2,x3,x4分別代表用于A、B、C、D的投資百分?jǐn)?shù)，那么根據(jù)提議那么可建立如下數(shù)學(xué)模型f(x)=0.15x1+0.1x2-0.08x3+0.12x4x1=x2+x3+x4x2+x3=x4x1+x2+x3+x4=1x1,x2,x3,x4=0f(x)=-(0.15x1+0.1x2-0.08x3+0.12x4)-x1+x2+x3+x4= 0-x2-x3+x4=0f= -0.15,-0.1,-0.08,-0.12;A=1,-1,-1,-1;0,-1,-1,1;b=0;0;Aeq=1 1 1 1;beq=1;lb =0,0,0,0;x,fval=linprog(f,

6、A,b,Aeq,beq,lb)Optimization terminated successfully.x = 0.5000 0.2500 0.0000 0.2500fval = -0.13007.3無約束非線性規(guī)劃 目的函數(shù)或約束條件中包含自變量的非線性函數(shù)，那么這類問題屬于非線性規(guī)劃。 求解無約束非線性規(guī)劃的常用方法為數(shù)值解法，數(shù)值解法中常用的是迭代法，它的根本思想是在給出極小點(diǎn)位置的一個(gè)初始估計(jì)x0后，計(jì)算一系列的xk(k=1,2,),希望點(diǎn)列xk的極限 x*就是f(x)的極小點(diǎn)。 迭代法 普通用 xk+1-xk=ckdk 其中dk為一個(gè)向量，ck為步長(zhǎng)。由dk可以獨(dú)一確定dk+1。從而

7、得到一個(gè)點(diǎn)列xk。假設(shè)這個(gè)點(diǎn)列逼近我們的極小點(diǎn)，便稱他為極小化序列。各種迭代方法的區(qū)別在于ck和dk的選取不同，特別是方向的產(chǎn)生起著關(guān)鍵作用。選取的方法很多，但不是隨機(jī)的，必需滿足序列對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是逐漸減小的。其次算法應(yīng)該收斂，即產(chǎn)生的序列具有收斂性，或者序列中的某一點(diǎn)本身就是f(x)的極小點(diǎn)，或者極限點(diǎn)就是極小點(diǎn)。這個(gè)要求是必需的，由于極小化序列不能收斂到極小點(diǎn)，那么我們構(gòu)造的序列與極小點(diǎn)無關(guān)也就失去了意義。 普通最優(yōu)化算法的迭代過程分四步 1選擇初始點(diǎn)x0各種方法、各類函數(shù)對(duì)初始點(diǎn)的要求不盡一樣，但越接近最優(yōu)解越好 2假設(shè)得到的迭代點(diǎn)xk不是最優(yōu)解那么要建立一套以產(chǎn)生方向dk使目的函數(shù)f(

8、x)從xk開場(chǎng)有所下降。 3選取步長(zhǎng)ck。在多數(shù)算法中， ck的選取使f(x)下降最多，即沿射線xk+ckdk求f(x)極小值，這是單變量c的函數(shù)極小點(diǎn)問題，稱為一維搜索。 4檢驗(yàn)新的迭代點(diǎn)能否為最優(yōu)解或其近似解，假設(shè)不是繼續(xù)迭代。 一維搜索方法 試探法：經(jīng)過一系列點(diǎn)的比較來確定極小點(diǎn) 函數(shù)逼近法：用簡(jiǎn)單的曲線來替代原來的曲線，用近似曲線的極小點(diǎn)來替代原來曲線的極小點(diǎn)。常用方法：牛頓法、拋物線法、三次插值法。 函數(shù)格式： fminsearch函數(shù) x=fminsearch(fun,x0) x,fval=fminsearch() fun 目的函數(shù) fval 前往目的函數(shù)在最優(yōu)解x點(diǎn)的函數(shù)值 例求

9、函數(shù)f(x)=sin(x)+3 f=inline(sin(x)+3); x0=2; x,fval=fminsearch(f,x0) x = 4.7124 fval = 2.0000 fminunc x=fminunc(fun,x0) x=fminunc(fun,x0,options) x,fval=fminunc() x,fval,exitflag=fminunc() x,fval,exitflag,output=fminunc() x,fval,exitflag,output,grad=fminunc() x,fval,exitflag,output,grad,hessian=fminunc

10、() fun 目的函數(shù) options 設(shè)置優(yōu)化選項(xiàng)參數(shù) fval 前往目的函數(shù)在最優(yōu)解x點(diǎn)的函數(shù)值 exitflag 前往算法中止標(biāo)志 output 前往優(yōu)化算法信息的一個(gè)數(shù)據(jù)構(gòu)造 grad 前往目的函數(shù)在最優(yōu)解x點(diǎn)的梯度 hessian前往目的函數(shù)在最優(yōu)解x點(diǎn)的hessian矩陣值 例f(x)=3x(1)2+4x(1)x(2)+x(2)2 f=inline(3*x(1)2+4*x(1)*x(2)+x(2)2); x0=1,1; x,val=fminunc(f,x0) x = 1.0e-008 * -0.7512 0.2479 fval = 1.3818e-0167.4約束最優(yōu)化 約束最優(yōu)化

11、的數(shù)學(xué)模型 c(x),ceq(x)為函數(shù),可以線性或非線性函數(shù)min( ( )( )0( )0*f xc xceq xA xbAeq xbeqlbxub求解約束最優(yōu)化的函數(shù)：fminbnd,fmincon,fseminf,quadprog,fminimax(1)fminbnd 知函數(shù)f(x)，fminbnd求解其在區(qū)間 內(nèi)的最小值，即 。其中 ， 均是標(biāo)量，f(x)前往一個(gè)標(biāo)量值。 x=fminbnd(fun,x1,x2)x=fminbnd(fun,x1,x2,options)x,val=fminbnd()fun 目的函數(shù)x1,x2 設(shè)置最優(yōu)化變量給定區(qū)間的上下界options 設(shè)置優(yōu)化選項(xiàng)參

12、數(shù) fval 前往目的函數(shù)在最優(yōu)解x點(diǎn)的函數(shù)值12xxxmin( )xf x1x2x 例求函數(shù) 在區(qū)間0，5的最小值 f=inline(x-3)2-1); x,val=fminbnd(f,0,5) x = 3 val = -12( )(3)1f xx fmincon函數(shù)格式： x=fmincon(f,x0,A,b) x=fmincon (f,x0,A,b,Aeq,beq) x= fmincon (f,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x,fval,exitflag=fmincon () x,fval,exitflag,output= fmincon() x,fval,exitflag

13、,output,grad= fmincon() 例： 取最小值的x值,設(shè)x0=10;10;10約束條件為 f=inline(-x(1)*x(2)*x(3); A=-1,-2,-2;1,2,2; b=0;72; x0=10;10;10; x,val=fmincon(f,x0,A,b); x = 24.0000 12.0000 12.0000 val = -3.4560e+003123( )f xx x x 12302272xxx7.7方程求解 線性方程和方程組 非線性方程 非線性方程組 非線性方程 函數(shù)格式:fzero求單變量延續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)。 x=fzero(fun,x0) fun目的函數(shù) x,fval=fzero() fval前往目的函數(shù)在最優(yōu)解x點(diǎn)的函數(shù)值 x,fval,exitflag=fzero() x,fval,exitflag,output=fzero() 例求 在x=2附近的零點(diǎn) y=inline(x.3-2*x-5); z=fzero(y,2) z = 2.09463( )25f xxx 非線性方程組 函數(shù)格式： x=fsolve(fun,x0); x=fsolve(fun,x0,options); x,fval=fsolve(); x,fval,exitflag=fsolve(); x,fva