(完整版)初一數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)(第18講)

1、第十八講 加法原理與乘法原理加法原理和乘法原理是計(jì)數(shù)研究中最常用、也是最基本的兩個(gè)原 理所謂計(jì)數(shù)，就是數(shù)數(shù)，把一些對象的具體數(shù)目數(shù)出來當(dāng)然，情況簡 單時(shí)可以一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù) 如果數(shù)目較大時(shí)， 一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)是不可行的， 利 用加法原理和乘法原理，可以幫助我們計(jì)數(shù)加法原理 完成一件工作有 n 種方式，用第 1 種方式完成有 m1種方法， 用第 2 種方式完成有 m 種方法，用第 n 種方式完成有 m 種方法，那 么，完成這件工作總共有m+m+m種方法例如，從 A 城到 B 城有三種交通工具：火車、汽車、飛機(jī)坐火車每 天有 2 個(gè)班次；坐汽車每天有 3 個(gè)班次；乘飛機(jī)每天只有 1 個(gè)班次，那么， 從A

2、城到 B 城的方法共有 2+3+1=6 種.乘法原理完成一件工作共需 n 個(gè)步驟：完成第 1 個(gè)步驟有 m 種方法, 完成第 2 個(gè)步驟有 m 種方法，完成第 n 個(gè)步驟有 m 種方法，那么， 完成這一件工作共有m m. m種方法例如，從 A 城到 B 城中間必須經(jīng)過 C 城，從 A 城到 C 城共有 3 條路線 (設(shè)為 a，b，c)，從 C 城到 B 城共有 2 條路線(設(shè)為 m，t),那么，從 A 城到 B 城共有 3X2=6 條路線，它們是：am， at ， bm， bt ， cm， ct 下面我們通過一些例子來說明這兩個(gè)原理在計(jì)數(shù)中的應(yīng)用例 1 利用數(shù)字 1， 2， 3， 4， 5 共

3、可組成(1) 多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)？(2) 多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的三位偶數(shù)？(3) 多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的偶數(shù)？解(1)百位數(shù)有 5 種選擇；十位數(shù)有 4 種選擇；個(gè)位數(shù)有 3 種選擇所 以共有5X40X3=60個(gè)數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)(2) 先選個(gè)位數(shù)，共有兩種選擇： 2 或 4在個(gè)位數(shù)選定后，十位數(shù)還 有4 種選擇；百位數(shù)有 3 種選擇所以共有2X4X3=24 個(gè)數(shù)字不重復(fù)的三位偶數(shù)(3) 分為 5 種情況：一位偶數(shù)，只有兩個(gè)： 2 和 4二位偶數(shù)，共有 8 個(gè)： 12，32，42，52，14，24，34，54三位偶數(shù)由上述 (2) 中求得為 24 個(gè)四位偶數(shù)共有 2X(4X3X2)=48 個(gè)括號

4、外面的 2 表示個(gè)位數(shù)有 2 種選擇(2 或 4)五位偶數(shù)共有 2X(4X3X2X1)=48 個(gè) 由加法原理，偶數(shù)的個(gè)數(shù)共有2+8+24+48+48=130例 2 從 1 到 300 的自然數(shù)中，完全不含有數(shù)字 3 的有多少個(gè)？解法 1 將符合要求的自然數(shù)分為以下三類：(1) 一位數(shù)，有 1，2，4，5，6，7，8，9 共 8 個(gè)(2) 二位數(shù)，在十位上出現(xiàn)的數(shù)字有 1，2，4，5，6，7，8，98 種情 形，在個(gè)位上出現(xiàn)的數(shù)字除以上八個(gè)數(shù)字外還有 0，共 9 種情形，故二位 數(shù)有 8X9=72 個(gè).(3) 三位數(shù)，在百位上出現(xiàn)的數(shù)字有 1，2 兩種情形，在十位、個(gè)位上 出現(xiàn)的數(shù)字則有 0，1

5、， 2， 4，5，6，7，8，9 九種情形，故三位數(shù)有2X9X9=162 個(gè).因此，從 1 到 300 的自然數(shù)中完全不含數(shù)字 3 的共有8+72+162=242 個(gè).解法 2 將 0 到 299 的整數(shù)都看成三位數(shù)，其中數(shù)字 3不出現(xiàn)的，百位數(shù)字可以是 0，1 或 2 三種情況.十位數(shù)字與個(gè)位數(shù) 字均有九種，因此除去 0 共有3X9X9-1=242(個(gè)).例 3 在小于 10000 的自然數(shù)中，含有數(shù)字 1 的數(shù)有多少個(gè)？解 不妨將 1 至 9999 的自然數(shù)均看作四位數(shù)，凡位數(shù)不到四位的自然 數(shù)在前面補(bǔ) 0.使之成為四位數(shù).先求不含數(shù)字 1 的這樣的四位數(shù)共有幾個(gè)，即有 0, 2, 3,

6、4, 5, 6, 7,8,9這九個(gè)數(shù)字所組成的四位數(shù)的個(gè)數(shù).由于每一位都可有 9 種寫法，所以，根據(jù)乘法原理，由這九個(gè)數(shù)字組成的四位數(shù)個(gè)數(shù)為9X9X9X9=6561,其中包括了一個(gè) 0000,它不是自然數(shù)，所以比 10000 小的不含數(shù)字 1 的自然數(shù)的個(gè)數(shù)是 6560,于是，小于 10000 且含有數(shù)字 1 的自然數(shù)共有9999-6560=3439 個(gè).例 4 求正整數(shù) 1400 的正因數(shù)的個(gè)數(shù).解因?yàn)槿魏我粋€(gè)正整數(shù)的任何一個(gè)正因數(shù)(除 1 外)都是這個(gè)數(shù)的一 些質(zhì)因數(shù)的積，因此，我們先把 1400 分解成質(zhì)因數(shù)的連乘積1400=23527所以這個(gè)數(shù)的任何一個(gè)正因數(shù)都是由 2,5,7 中的

7、n 個(gè)相乘而得到(有 的可重復(fù)).于是取 1400 的一個(gè)正因數(shù)，這件事情是分如下三個(gè)步驟完成 的：(1) 取 23的正因數(shù)是 20, 21, 22, 33,共 3+1 種；取 52的正因數(shù)是 50, 51, 52,共 2+1 種；(3)取 7 的正因數(shù)是 70, 71，共 1+1 種.所以 1400 的正因數(shù)個(gè)數(shù)為(3+1)X(2+1)X(1+1)=24.說明 利用本題的方法，可得如下結(jié)果：若 pi是質(zhì)數(shù)，a 是正整數(shù)(i=1 , 2,，r)，則數(shù)M匚P莎片誦的不同的正因數(shù)的個(gè)數(shù)是(a1+1)(a2+1)(ar+1).例 5 求五位數(shù)中至少出現(xiàn)一個(gè) 6,而被 3 整除的數(shù)的個(gè)數(shù).解因?yàn)槲逦粩?shù)

8、頑石忑被 3 整除的充要條件是町十引十屯+% +亦能被 3 整除，于是分別討論如下:從左向右計(jì)，如果最后一個(gè) 6 出現(xiàn)在第 5 位，即 a5=6,那么 a2, a3, a4可以是 0，1, 2, 3, 4, 5, 6，7，8, 9 這十個(gè)數(shù)字之一，但 ai不能 是任意的，它是由 a2+a3+a4+a5被 3 除后的余數(shù)所決定.因此， 為了保證 ai+Q+Q+aq+as能被3 整除，ai只有 3 種可能，根據(jù)乘法原理，5 位數(shù)中最 后一位是 6,而被 3 整除的數(shù)有3X10X10X10=3000（個(gè)）.最后一個(gè) 6 出現(xiàn)在第四位，即 a4=6,于是 a5 只有 9 種可能（因?yàn)?a5不能等于 6

9、） , a2, a3 各有 10 種可能，為了保證 ai+a+as+Q+as被 3 整 除，ai有 3 種可能.根據(jù)乘法原理，屬于這一類的 5 位數(shù)有3Xi0Xi0X9=2700（個(gè)）.（3）最后一個(gè) 6 出現(xiàn)在第 3 位，即 a3=6,被 3 整除的數(shù)應(yīng)有3Xi0X9X9=2430（個(gè)）.最后一個(gè) 6 出現(xiàn)在第 2 位，即 a2=6,被 3 整除的數(shù)應(yīng)有3X9X9X9=2i87（個(gè)）.（5）ai=6,被 3 整除的數(shù)應(yīng)有3X9X9X9=2i87（個(gè)）.根據(jù)加法原理，5 位數(shù)中至少出現(xiàn)一個(gè) 6 而被 3 整除的數(shù)應(yīng)有3000+2700+2430+2i87+2i87=i2504 個(gè)）.例 6 如

10、圖 i 63, A, B, C, D, E 五個(gè)區(qū)域分別用紅、藍(lán)、黃、白、 綠五種顏色中的某一種著色.如果使相鄰的區(qū)域著不同的顏色， 問有多少 種不同的著色方式？解 對這五個(gè)區(qū)域，我們分五步依次給予著色：（i）區(qū)域 A 共有 5 種著色方式；區(qū)域 B 因不能與區(qū)域 A 同色，故共有 4 種著色方式；區(qū)域 C 因不能與區(qū)域 A, B 同色，故共有 3 種著色方式;區(qū)域 D 因不能與區(qū)域 A, C 同色，故共有 3 種著色方式；(5)區(qū)域 E 因不能與區(qū)域 A, C, D 同色，故共有 2 種著色方式.于是，根據(jù)乘法原理共有5X4X3X3X2=360種不同的著色方式.例 7 在 6X6 的棋盤上剪

11、下一個(gè)由四個(gè)小方格組成的凸字形，如圖164,有多少種不同的剪法？解 我們把凸字形上面那個(gè)小方格稱為它的頭，每個(gè)凸字形有并且只 有一個(gè)頭.凸字形可以分為兩類：第一類凸字形的頭在棋盤的邊框，但是棋盤的 四個(gè)角是不能充當(dāng)凸字形的頭的.于是， 邊框上(不是角)的小方格共有 4X4=16 個(gè)，每一個(gè)都是一個(gè)凸字形的頭，所以，這類凸字形有 16 個(gè).第二類凸字形的頭在棋盤的內(nèi)部，棋盤內(nèi)部的每一個(gè)小方格可以作為 4 個(gè)凸字形的頭(即頭朝上，頭朝下，頭朝左，頭朝右)，所以，這類凸字 形有4X(4X4)=64(個(gè)).由加法原理知，有 16+64=80 種不同的凸字形剪法.練習(xí)十八1. 把數(shù)、理、化、語、英 5 本參考書，排成一行放在書架上.(1) 化學(xué)不放在第 1 位，共有多少種不同排法？(2) 語文與數(shù)學(xué)必須相鄰，共有多少種不同排法？(3) 物理與化學(xué)不得相鄰，共有多少種不同排法？(4) 文科書與理科書交叉排放，共有多少種不同排法？2. 在一個(gè)圓周上有 10個(gè)點(diǎn)， 把它們兩兩相連， 問共有多少條不同的 線段？3用 1，2，3，4，5，6，7 這七個(gè)數(shù)，(1) 可以組成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的五位奇數(shù)？(2) 可以組成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的五位奇數(shù)，但 1 不在百位上？4從 1，2，3，4，5 這五個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)數(shù)組成一個(gè)三位數(shù)，問 共可得到