電工與電子第2章備課筆記

1、第2章 正弦交流電路 本章的基本要求是：1 了解支路電流法、疊加定理、戴維南定理等內(nèi)容及其解題方法。2 理解支路電流法、疊加定理、戴維南定理的概念，以及電流和電壓的性質(zhì)。3 掌握用支路電流法、疊加定理、戴維南定理對電爐待求電流或電壓的求解。4 了解鐵磁性物質(zhì)的磁化以及磁化曲線、磁滯回線對其性能的影響。5 了解磁動勢和磁阻的概念、全電流定律和磁路中的歐姆定律。2.1 正弦交流電的基本概念 3.1.1 周期和頻率 隨時間變化的電壓和電流稱為時變的電壓和電流。 如果時變電壓和電流的每一個值經(jīng)過相等的時間后重復出現(xiàn)， 這種時變的電壓和電流便是周期性的， 稱為周期電壓和電流。 以電流為例， 周期電流應(yīng)該

2、是 i(t)=i(t+kT) (3-1)式中，k為任意正整數(shù)， 單位為秒（s）。 上式表明， 在時刻t和時刻(t+kT)的電流值是相等的， 于是我們將T稱為周期， 周期的倒數(shù)稱為頻率， 用符號f表示， 即 (3-2) 頻率表示了單位時間內(nèi)周期波形重復出現(xiàn)的次數(shù)。 頻率的單位為1/s， 有時稱為赫茲（Hz）。 我國工業(yè)和民用電的頻率是50 Hz， 稱為標準工業(yè)，頻率或稱工頻。 3.1.2 相位和相位差 1相位 如果周期電壓和周期電流的大小和方向都隨時間變化， 且在一個周期內(nèi)的平均值為零， 則稱其為交流電壓和交流電流。 隨時間按正弦規(guī)律變化的電壓和電流稱為正弦電壓和正弦電流， 也稱正弦量。 正弦電

3、流的數(shù)學表達式為 i(t)=Im sin(t+i) （1） (3-3) 式中的三個常數(shù)Im、i稱為正弦量的三要素。 Im為正弦電流的振幅， 它是正弦電流在整個變化過程中所能達到的最大值。稱為正弦電流i的角頻率， 正弦量隨時間變化的核心部分是(t+i)， 它反映了正弦量的變化進程， 稱為正弦量的相角或相位，就是相角隨時間變化的速度， 單位是rad/s，它是反映正弦量變化快慢的要素， 與正弦量的周期T和頻率f有如下關(guān)系： 或i稱為正弦電流i的初相角（初相）, 它是正弦量t=0時刻的相位角, 它的大小與計時起點的選擇有關(guān)。 初相角i在工程上用角度來度量， 一般總是取小于或等于的數(shù)值。 我們以正弦交流

4、電過零變正的時刻為一個周期的波形起始點， 如在t=0時， 正弦交流電正好處于波形起始點， 則認為初相角i=0； 如正弦交流電在t=0之前已經(jīng)到達波形起始點， 則認為i0； 如正弦交流電在t=0之后才到達波形起始點， 則認為i0。 用正弦交流電的三要素能完全地表征正弦交流電在任何瞬間的數(shù)值瞬時值。 圖3-1所示為正弦電流的瞬時值波形。 電壓或電流瞬時值常用小寫字母u(t)或i(t)來表示。 圖3-1 正弦電流的瞬時值波形 2相位差在正弦電流電路的分析中， 經(jīng)常要比較同頻率正弦量的相位差。 設(shè)任意兩個同頻率的正弦量  i1(t)=I1m sin(t+1) i2(t)=I2m sin(t+

5、2) 它們之間的相位之差稱為相位差， 用表示， 即 =(t+1)-(t+2)=1-2 (3-4)如圖3-2所示， 若0， 表明i1超前i2， 稱i1超前i2一個相位角， 或者說i2滯后i1一個相位角。 若=0， 表明i1與i2同時達到最大值， 則它們是同相位的， 簡稱同相。 若±180°， 則稱它們的相位相反， 簡稱反相。若0， 表明i1滯后i2一個相位角。 圖3-2 兩個同頻率正弦量之間的相位差 兩個同頻率的正弦量， 可能相位和初相角不同， 但它們之間的相位差不變。 在研究多個同頻率正弦量之間的關(guān)系時， 可以選取其中某一正弦量作為參考正弦量， 令其初相為零， 其他各正弦量

6、的初相即為該正弦量與參考正弦量的相位差。 例3-1 已知正弦電壓u和電流i1、 i2的瞬時值表達式為 u=310 sin(t-45°) V i1=14.1 sin(t-30°) A i2=28.2 sin(t+45°) A 試以電壓u為參考量重新寫出u和電流i1、 i2的瞬時值表達式。 解 以電壓u為參考量， 則電壓u的表達式為 u=310 sint V 由于i1與u的相位差為 1=i1-u=-30°-(-45°)=15°故電流i1的瞬時值表達式為  i1=14.1 sin(t+15°) A由于i2與u的

7、相位差為 2=i2-u=45°-(-45°)=90°故電流i2的瞬時值表達式為  i2=28.2 sin(t+90°) A3.1.3 有效值周期電壓和電流的瞬時值是隨時間變化的， 在實際工作中， 人們更關(guān)心它作功的實際效果。 要反映它的實際效果， 用最大值或平均值都不合適， 因為最大值是瞬時值， 而正弦波在一個周期內(nèi)平均值是零。 在電工技術(shù)中， 常用有效值來衡量周期電壓和電流的大小。 電流、 電壓的有效值分別用大寫字母I、 U表示。 交流電的有效值是根據(jù)電流的熱效應(yīng)原理來規(guī)定的。 在數(shù)值相同的電阻R上分別通以周期電流i和直流電流I。 當周期電流

8、流過電阻時， 該電阻在一個周期T內(nèi)所消耗的電能為當直流電流流過電阻R時， 在相同時間T內(nèi)所消耗的電能為 PT=I2RT 如果在周期電流一個周期T的時間內(nèi)， 這兩個電阻所消耗的電能相等， 也就是說， 就其作功平均能力來說， 這兩個電流是等效的， 則該直流電流I的數(shù)值可以表征周期電流i的大小， 于是， 把這一等效的直流電流I稱為交流電流i的有效值， 即 (3-5)由式（3-5）可知， 周期電流的有效值等于電流瞬時值的平方在一個周期內(nèi)的平均值再開方， 因此， 有效值又稱為均方根值。 同理可得周期電壓U的有效值為正弦交流電流i(t)=Im sin(t+i)的有效值為 (3-6) 同理可得正弦

9、交流電壓的有效值為 (3-7) 在工程上， 一般所說的正弦電壓、 電流的大小都是指有效值； 例如， 交流測量儀表所指示的讀數(shù)、 電氣設(shè)備銘牌上的額定值都是指有效值； 但各種器件和電氣設(shè)備的絕緣水平耐壓值則按最大值考慮。 2.2 正弦量的相量表示法 正弦交流電用三角函數(shù)式及其波形圖表示很直觀， 但不便于計算。 對電路進行分析與計算時經(jīng)常采用相量表示法， 即用復數(shù)式與相量圖來表示正弦交流電。 2.2.1 相量求解一個正弦量必須先求得它的三要素， 但在分析正弦交流電路時， 由于電路中所有的電壓、 電流都是同一頻率的正弦量， 而且它們的頻率與正弦電源的頻率相同， 因此我們只要分析另外兩個要素幅值（或有

10、效值）及初相位就可以了。 正弦量的相量表示就是用一個復數(shù)來表示正弦量， 這樣的復數(shù)稱為相量。 由歐拉公式可知 e j(t+)=cos(t+)+j sin(t+) (3-8) 式（3-8）把一個實變數(shù)的復指數(shù)函數(shù)和兩個實變數(shù)t的正弦函數(shù)聯(lián)系了起來。 cos(t+)=Ree j(t+) sin(t+)=Ime j(t+) 式中， “Re”表示對復數(shù)函數(shù)取實部， “Im”表示對復數(shù)函數(shù)取虛部。 這樣， 一個正弦電流i(t)=Im sin(t+i)可以寫為其中式中, 和 均為復數(shù)， 它能代表正弦電流的兩個要素（幅值和初相）。 這種能表示正弦量的復數(shù)稱為相量， 用大寫字母上加一點來表示， 以示與一般復數(shù)

11、的區(qū)別， 即相量不是一般的復數(shù)， 它對應(yīng)于某一正弦的時間函數(shù)。 稱為電流最大值相量， 稱為電流有效值相量。 同理， 也可以將電壓用相量表示為 式中， 稱為電壓最大值相量， 稱為電壓有效值相量。 相量在正弦穩(wěn)態(tài)電路分析和計算中起著重要作用。 在線 性電路中， 正弦激勵的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與激勵是同頻率的正弦量。 在分析正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時， 只要求出正弦量的振幅和初相就可以了， 而相量恰好反映了這兩個量。 因此， 引入相量后， 可以用比較簡便的復數(shù)運算來代替正弦量的三角運算。 相量表征正弦量常用符號“”來對應(yīng)表示， 但相量并不等于正弦量， 因為相量只反映了正弦量的兩個要素。 如電壓相量 3.2.2 相量圖相量在

12、復平面上可以用有向線段表示， 電壓相量如圖3-3所示。 相量在復平面上的幾何表示稱為相量圖。 相量圖也可以根據(jù)式（3-10）作出， 式中Ime j(t+i)也可以用有向線段表示， 但輻角(t+i)是隨時間增長而變化的。 可以看出， 這一有向線段是繞原點以逆時針方向旋轉(zhuǎn)的， 角速度就是。 因此Ime j(t+i)也稱為旋轉(zhuǎn)相量， e jt稱為旋轉(zhuǎn)因子， 稱為初始相量。 這樣， 旋轉(zhuǎn)相量在虛軸上的投影便是正弦電流， 如圖3-4所示。 采用相量圖可以方便直觀地表示正弦量。 在分析電路時， 常常利用相量圖上各相量之間的關(guān)系， 用幾何方法求出所需的結(jié)果。 圖3-3 電壓相量圖 圖2-4 旋轉(zhuǎn)相量及其在實

13、軸和虛軸上的投影 例3-2 已知 ， ，求總電流i=i1+i2的瞬時值。 解 方法一： i1、 i2的有效值相量分別為所以,總電流： 圖3-5 例3-2的圖 方法二： i1、 i2的相量圖如圖3-5所示， 用平行四邊行法則求得總電流：2.3 單一參數(shù)電路元件的交流電路 實際電路中有三種參數(shù)： 電阻、 電感和電容。 嚴格來說，只包含單一參數(shù)的理想電路元件是不存在的， 但當一個實際元件中只有一個參數(shù)起主要作用時， 可以近似地把它看成單一參數(shù)的理想電路元件。 實際電路可能比較復雜， 但一般來說， 除電源外， 其余部分都可以用單一參數(shù)電路元件組成電路模型。 本節(jié)將導出這三種基本元件電壓與電流之間關(guān)系的

14、相量形式。 3.3.1 電阻電路 1. 電壓電流關(guān)系 圖3-6（a）是一個線性電阻元件的交流電路。 電阻元件的電壓電流關(guān)系由歐姆定律確定， 在u、 i參考方向一致時， 兩者的關(guān)系為 u=Ri設(shè)電流為參考正弦量， 即 i=Im sint (3-11) 則 u=Ri=RIm sint=Um sint (3-12) 圖3-6 電阻元件的交流電路(a) 電路； (b) 波形圖； (c) 相量圖 由式（3-11）和（3-12）可見， u、 i為同頻率的正弦量， 可作出u、 i的波形圖和相量圖如圖3-6（b）、 (c)所示。 比較（3-11）和（3-12）可知， 電壓u和電流i有如下大小和相位關(guān)系： u、

15、 i的相位差為 =u-i=0 即電阻元件上電壓和電流同相。 u、 i的幅值關(guān)系為 Um=RIm u、 i的有效值關(guān)系為 U=RI 電壓電流的上述關(guān)系也可用相量形式表示。 若電流相量為 = Ii， 由于u、 i同相， 則u=i， 而電壓有效值U=RI, 所以電壓相量為 （3-13） 式（3-13）就是電阻元件電壓電流相量關(guān)系式。 由于電阻R為常數(shù)， 式（3-13）既表明相量 的u=i， 即電壓和電流同相位； 又通過兩邊的模相等U=RI表明了它們的有效值大小關(guān)系， 體現(xiàn)了相量形式的歐姆定律。 2 功率 電路任一瞬時所吸收的功率稱為瞬時功率， 用小寫字母p表示。 它等于該瞬時電壓u和電流i的乘積。

16、電阻電路所吸收的瞬時功率為 p=ui=UmIm sin2t=UI(1-cos2t) 由此可見， 電阻從電源吸收的瞬時功率是由兩部分組成的： 第一部分是恒定值UI； 第二部分是幅值為UI， 并以2的角頻率隨時間變化的交變量UI cos2t。 圖3-7 電阻元件的功率 功率的變化曲線如圖3-7所示， 從曲線可以看出， 電阻所吸收的功率在任一瞬時總是大于等于零的， 即電阻是耗能元件。 瞬時功率無實用意義， 通常計算一個周期內(nèi)吸收功率的平均值， 稱為平均功率或有功功率， 用大寫字母P表示。 電阻元件的平均功率等于電壓和電流的乘積， 由于電壓有效值U=RI， 所以電阻電路實際消耗的電能等于平均功率乘以通

17、電時間。 例3-3 已知一個白熾燈泡， 工作時的電阻為484 ， 其兩端的正弦電壓u=311 sin(314t-60°) V， 試求： （1）通過白熾燈的電流相量 及瞬時表達式i； （2）白熾燈工作時的平均功率。 解 （1） 電壓相量為 電流相量為 電流瞬時值表達式 (2) 平均功率 3.3.2 電感電路 1 電壓電流關(guān)系 電感電路如圖3-8（a）所示。 在關(guān)聯(lián)參考方向下， 電感元件的電壓電流關(guān)系為若設(shè)電流i為參考正弦量， 即 （3-14） 則 （3-15） 圖3-8 電感元件的交流電路(a) 電路； (b) 波形圖； (c) 相量圖 由式（3-14）、 （3-15）可見, 電壓、

18、電流同頻率， 其波形圖和相量圖如圖3-8（b）、 (c)所示。 比較這兩個式子， 可知電壓u和電流i有如下大小和相位關(guān)系： u、 i的相位差為 =u-i=90° 即電感元件上電流i比電壓u滯后90°。 u、 i的幅值關(guān)系為 Um=LIm u、 i的有效值關(guān)系為 U=LI=XLI式中XL稱為感抗， 單位為歐姆()， 且XL=L=2fL上式表明， 同一個電感線圈其電感值為定值， 它對不同頻率的正弦電流體現(xiàn)出不同的感抗， 頻率越高， 感抗越大。 因此， 電感元件對高頻電流有較大的阻礙作用。 在極端情況下f=0, 則XL=0， 因此電感在直流電下相當于短路線； 當f時， XL， 即

19、通入交流電的頻率越高， 電感所呈現(xiàn)的感抗越大。 u、 i的相量關(guān)系如下：若電流相量為 =ii， 根據(jù)前面的關(guān)系式可得電壓相量為即 (3-16) 式（3-16）既表明了u、 i的相位關(guān)系， 又表明了u、 i的有效值關(guān)系， 是歐姆定律對電感元件的相量表示形式。 2 功率電感電路所吸收的瞬時功率為  p=ui=Um sin(t+90°)×Im sint=UI sin2t 由此可見， 電感從電源吸收的瞬時功率是幅值為UI、 以2的角頻率隨時間變化的正弦量。 圖3-9 電感元件的功率 電感元件的功率變化曲線如圖3-9所示。 從功率曲線可以看出， 曲線所包圍的正、 負面積相等

20、， 故平均功率（有功功率）為這就說明純電感元件不消耗有功功率， 但是電感與電源之間存在著能量交換。 在第一個1/4周期內(nèi)， 隨著電感中電流的增長， 磁場建立， 電感從電源中吸取能量， 且此時電壓、 電流方向一致， 所以p大于0， 這一過程電感將電能轉(zhuǎn)換為磁場能； 在第二個1/4周期內(nèi)， 電感中電流減小， 磁場逐漸消失， 此時電感將儲存的能量釋放出來反饋給電源， 且電壓、 電流方向相反， 所以p小于0， 這一過程電感將磁場能轉(zhuǎn)換為電能； 在第三個1/4周期內(nèi)， 電感又有一個儲能過程； 在第四個1/4周期內(nèi)， 電感又有一個放能過程。 電感中的能量轉(zhuǎn)換就這樣交替進行， 在一個周期內(nèi)吸收和放出的能量相

21、等， 因而平均值為零。 這一事實說明， 電感不消耗能量， 是一種儲能元件， 它在電路中起著能量的“吞吐”作用。 電感雖然不消耗功率， 但與電源之間有能量的交換， 電源要給電感提供電流， 而實際電源的額定電流是有限的， 所以電感元件對電源來說仍是一種負載， 它要占用電源設(shè)備的容量。 電感與電源之間功率交換的最大值用QL表示， 有 (3-17) 式（3-17）與電阻電路中的P=UI=RI2=U2/R在形式上相似且有相同的量綱， 但在本質(zhì)上是有區(qū)別的。 P是電路中消耗的功率， 稱為有功功率， 其單位是瓦(W)； 而QL只反映電感中能量互換的速率， 不是消耗的功率， 為了與有功功率區(qū)別， 稱之為無功功

22、率， 單位是乏爾（var）， 簡稱乏。 2.3.3 電容電路 1 電壓電流關(guān)系 電容元件的交流電路如圖3-10所示。 圖3-10 電容元件的交流電路(a) 電路； (b) 波形圖； (c) 相量圖 在關(guān)聯(lián)參考方向下， 電容元件的電壓電流關(guān)系為在圖3-10（a）所示電路中， 設(shè)電壓為參考正弦量， 即 （3-18） （3-19）由此可知, 通過電容的電流i與它的端電壓u是同頻率的正弦量， 兩者的波形圖與相量圖分別如圖3-10（b）、 (c)所示。 比較（3-18）、 （3-19）可知, 電壓u和電流i有如下大小和相位關(guān)系： u、 i的相位差為 =u-i=-90°  即電容元件上

23、電流比電壓超前90°。 u、 i的幅值關(guān)系為 u、 i的有效值關(guān)系為 式中, XC稱為容抗， 單位為歐姆()， 且 （3-20） 式（3-20）表明， 對一定容量的電容器， 通入不同頻率的交流電時， 電容會表現(xiàn)出不同的容抗， 頻率越高， 容抗越小。 在極端情況下， 若f， 則XC0， 此時電容可視為短路； 若f=0（直流）， 則XC=， 此時電容可視為開路； 這說明了電容元件的“隔直通交”作用。 u、 i的相量關(guān)系如下： 由（3-19）、 （3-20）可知這是電容電路中歐姆定律的相量表示形式， 它既表達了純電容元件電壓電流有效值之間的關(guān)系， 又表達了它們的相位關(guān)系（u-i=-90&#

24、176;）。 2I2+RI=E2 將回路和回路的電壓方程分別記作式和式。 本例中共有三條支路， 相應(yīng)的有三個待求電流I1、 I2和I， 為了求解待求的支路電流， 需要三個獨立的方程。 聯(lián)立、 、 式， 代入數(shù)據(jù)， 解方程組， 求出支路電流。 -I1-I2+I=0 10I1-10I2=50-20 10I2+30I=20 解得 I1=2 A， I2=-1 A， I=1 A電壓源E1吸收的功率為 P1=-E1I1=-50×2=-100 W 電壓源E2吸收的功率為  P2=-E2I2=-20×(-1)=20 W由此可知, 電壓源E1發(fā)出100 W的功率， 電壓源E2吸收2

25、0 W的功率。 當兩個電動勢相差較大的電源并聯(lián)時， 其中一個電源不但不發(fā)出功率， 反而吸收功率成為負載。 在實際的供電系統(tǒng)中， 直流電源并聯(lián)時， 應(yīng)使兩電源的電動勢相等， 內(nèi)阻接近。 通過例2-1的求解過程可以總結(jié)出支路電流法的解題步驟如下： (1) 假定各支路電流的參考方向， 如果電路具有n個節(jié)點， 根據(jù)基爾霍夫電流定律列出（n-1）個獨立的節(jié)點電流方程。(2） 如果電路有b條支路， 根據(jù)基爾霍夫電壓定律列出（b-n+1）個獨立的回路電壓方程。 通常選擇網(wǎng)孔作為回路。（3） 解方程組， 求出n個支路電流。 如果電路中具有電流源， 應(yīng)將電流源的端電壓作為待求量計入回路電壓方程中， 為此， 應(yīng)先

26、選定電流源端電壓的參考方向。 此時， 電流源所在支路的電流為已知的電流源的電流， 方程組中待求量的數(shù)目仍然不變。 復習上節(jié)課的內(nèi)容：在正弦交流電情況下的單一元件的電壓電流和阻抗的關(guān)系交流電流為（1）純電阻電路R電壓與電流的關(guān)系 u=Ri=RIm sint=Um sint 電壓與電流同相功率（2）純電感電路 L 電感的電壓為交流電流為電壓與電流的關(guān)系：u、 i的相位差為 =u-i=90° 即電感元件上電流i比電壓u滯后90°。 XL稱為感抗， 單位為歐姆()， 且XL=L=2fL功率： 相量表示：（3）純電容電路C電容中的電流電流與電壓的關(guān)系u、 i的相位差為 =u-i=-9

27、0°  即電容元件上電流比電壓超前90°XC稱為容抗， 單位為歐姆()，u、 i的相量關(guān)系功率： Ql=I2XL2.4 RLC串聯(lián)交流電路與串聯(lián)諧振在分析實際電路時， 我們一般將復雜電路抽象為由若干理想電路元件串并聯(lián)組成的典型電路模型進行簡化處理。 本節(jié)討論的R、 L、 C串聯(lián)電路就是一種典型電路， 從中引出的一些概念與結(jié)論可用于各種復雜的交流電路， 而單一參數(shù)電路、 RL串聯(lián)電路、RC串聯(lián)電路則可看成是它的特例。 2.4.1 電壓與電流之間的關(guān)系 圖3-12所示為R、 L、 C串聯(lián)電路。 圖3-12 R、 L、 C串聯(lián)的交流電路 設(shè)有正弦電流i=Im sint通

28、過R、L、 C串聯(lián)電路， 根據(jù)上一節(jié)的分析， 該電流在電阻、 電感和電容上的電壓降分別為 uR=URm sint uL=ULm sin(t+90°) uC=UCm sin(t-90°) 根據(jù)基爾霍夫電壓定律， 總電壓為  u=uR+uL+uC用相量形式表示為 現(xiàn)用相量表示法討論u、 i的有效值關(guān)系及相位關(guān)系。 以 為參考相量， =I0°， 則作 的相量圖， 如圖3-12所示。 1 電壓有效值將 與 的相量和定義為 ， 由相量圖可知外接電壓相量 、 相量 與 構(gòu)成一個直角三角形， 稱為電壓三角形， 如圖3-13（a）所示圖3-13 電壓、 阻抗及功率三角形

29、（a） 電壓三角形； (b) 阻抗三角形； (c) 功率三角形將UR=RI， UL=XLI， UC=XCI代入式（3-23）， 得（3-24） 根式 具有阻礙電流的性質(zhì)， 稱為電路的阻抗， 用符號 | Z | 表示， 它的單位也是歐姆 （3-25） 2 電壓u與電流i有效值之間的關(guān)系 阻抗中的（XL-XC）被稱為電抗， 用符號X表示， 將X=XL-XC代入式（3-24）， 有  阻抗 | Z | 、R與X的關(guān)系也可用直角三角形表示， 稱為阻抗三角形， 如圖3-13（b）所示。 于是， 電壓電流有效值關(guān)系為  U= | Z | I3 電壓u與電流i的相位差由于以 為參考相量，

30、 i=0， 所以u、 i的相位差=u-i=u， 由電壓三角形可知可見， 當電源頻率一定時， 電壓u與電流i的相位關(guān)系和有效值關(guān)系都取決于電路參數(shù)R、 L、 C。 4 電壓u與電流i的相量關(guān)系 由單一參數(shù)電路的電壓關(guān)系可得式中R+j(XL-XC)稱為復阻抗， 用符號Z表示, 即式中 是復阻抗的輻角， 也稱阻抗角， 它決定了R、 L、 C串聯(lián)電路中u、 i的相位差。 復阻抗是一個復數(shù)， 具有大小和角度， 但它不是表示正弦量的相量， 所以其上方不加點。 有了復阻抗的概念， 則式（3-26）可寫成（3-27）式(3-27)與直流電路中的歐姆定律有相似的形式， 稱為歐姆定律的相量形式。 進一步展開推導，

31、 有可見， 式（3-27）既表達了電路中電壓與電流有效值之間的關(guān)系U=| Z| I， 又表達了電壓與電流之間的相位差。 若0， 說明電壓超前電流角， 這種電路稱為感性電路； 若0， 說明電壓滯后于電流角， 這種電路稱為容性電路； 若=0， 說明電壓與電流同相位， 這種電路稱為電阻性電路。 例3-6 已知一個R、 L串聯(lián)電路，, 求電流i。 解 方法一：分別確定i的初相i和有效值I。所以阻抗為電流為因此方法二：用相量 的關(guān)系求解電壓相量為 復數(shù)阻抗為 電流相量為 因此 2.4.2 電阻、 電感、 電容串聯(lián)電路的功率 在分析單一參數(shù)電路元件的交流電路時已經(jīng)知道， 電阻是消耗能量的， 而電感和電容是

32、不消耗能量的， 在R、 L、 C串聯(lián)電路中能量的交換情況是怎樣的, 電路的功率又是如何計算的, 這些便是下面要討論的問題。 1 平均功率（有功功率）在R、 L、 C串聯(lián)的正弦交流電路中， 若u、 i參考方向一致， 且設(shè)有正弦電流i=Im sint通過， 則電壓Um=sin(t+), 電路的瞬時功率為電路的平均功率為其中， 為電壓u與電流i的相位差，cos被稱為功率因數(shù)，這時又被稱為功率因數(shù)角。 由電壓三角形可知U cos=UR所以P=UI cos=URI=RI2 （3-29）式（3-29）說明R、 L、 C串聯(lián)的正弦交流電路的平均功率就是電阻元件消耗的平均功率， 因為電感元件和電容元件的平均功

33、率為零。 這為以后求解復雜電路的有功功率提供了理論根據(jù)。 2 無功功率在R、 L、 C串聯(lián)的正弦交流電路中， 電感元件的瞬時功率為pL=uLi， 電容元件的瞬時功率為pC=uCi。 由于電壓uL和uC反相， 因此當pL為正值時， pC為負值， 即電感元件取用能量時， 電容元件正放出能量； 反之， 當pL為負值時， pC為正值， 即電感元件放出能量時， 電容元件正取用能量， 因此R、 L、 C串聯(lián)的正弦交流電路中的無功功率為 Q=QL-QC由于QL=ULI， QC=UCI， 所以由電壓三角形可知 UX=U sin Q=UIsin （3-30）對于感性電路， XLXC， 則Q=QL-QC0； 對于

34、容性電路， XLXC， 則Q=QL-QC0。 為了計算的方便， 有時直接把容性電路的無功功率取為負值。 例如, 一個電容元件的無功功率為Q=-QC=-UCI。3 視在功率 在正弦交流電路中， 把電流電壓有效值的乘積定義為視在功率， 用S表示， 即 S=UI （3-31）為了與平均功率相區(qū)別， 視在功率不用瓦作單位， 而用伏安（VA）作單位。 由式（3-29）、 （3-30）、 （3-31）可以得到 （3-32）P、 Q、 S三者也構(gòu)成直角三角形， 稱為功率三角形， 如圖3-13（c）所示。 式（3-29）、 （3-30）、 （3-31）、 （3-32）還可以推廣到正弦交流電路中任一二端網(wǎng)絡(luò)的功

35、率計算。 圖3-14所示即為一二端網(wǎng)絡(luò)。 若二端網(wǎng)絡(luò)上電壓u和電流i的參考方向一致， 則二端網(wǎng)絡(luò)的平均功率和無功功率分別為 P=UI cos Q=UI sin其中, 為電壓u與電流i的相位差， 即=u-i。 圖3-14 二端網(wǎng)絡(luò) 另外， 計算正弦交流電路中任一二端網(wǎng)絡(luò)的功率時， 電路中總的有功功率等于各部分的有功功率之和， 總的無功功率也等于各部分的無功功率之和， 即   P=Pk Q=Qk 功率求和時應(yīng)注意兩個問題： 電容部分的無功功率應(yīng)取負值； 總的視在功率不等于各部分的視在功率之和。 例3-7 計算例3-6電路的平均功率、 無功功率及視在功率。 解 因為 U=220 V, I=

36、4.4 A, 所以視在功率為 S=UI=220×4.4=968 VA平均功率為 P=UI cos=220×4.4×cos53.1°=580.8 W無功功率為 Q=UI sin=220×4.4×sin53.1°=774.4 var或 P=RI2=30×4.42=580.8 W Q=XLI2=40×4.42=774.4 var2.4.3 串聯(lián)諧振 R、 L、 C串聯(lián)電路發(fā)生諧振的條件為ImZ(j)=X=0， 設(shè)發(fā)生諧振時激勵的頻率為0， 則  0為R、 L、 C串聯(lián)電路的諧振角頻率， 可解得由于0=

37、2f0， 所以有f0稱為串聯(lián)電路的諧振頻率， 它與電阻R無關(guān)， 反映了串聯(lián)電路一種固有的性質(zhì)， 對于每一個R、 L、 C串聯(lián)電路， 總有一個對應(yīng)的諧振頻率， 而且改變、 L或C都可使電路發(fā)生諧振或消除諧振。 因此， 在需要利用諧振電路時， 可以設(shè)計出多種調(diào)諧方式。 串聯(lián)諧振的特性如下：（1） 電流與電壓同相位， 電路呈電阻性。 （2） 電路的阻抗最小， 電流最大。 因諧振時電路復阻抗虛部為零， 阻抗為純電阻， 阻抗的模為最小值， 電路中的最大電流十分容易求出： Z=R+jX=R由R、 L、 C串聯(lián)電路的阻抗表達式可知, 如果電源輸入電壓不變， 當電源頻率ff0或ff0時， |Z | 都要增加，

38、 I都要下降。 |Z | 與I隨f變化的關(guān)系曲線 |Z | =f(f)、 I=f(f)分別稱為阻抗特性曲線與電流響應(yīng)曲線， 如圖3-18 所示(a)、 (b)所示。 圖3-18 阻抗特性曲線與電流響應(yīng)曲線 （3） 電感端電壓與電容端電壓大小相等， 相位相反; 電阻端電壓等于外加電壓。 諧振時， 電感端電壓與電容端電壓有效值相等， 相位相反， 相互完全抵消， 外施電壓全部加在電阻上， 電阻上電壓達到最大值， 即  （4） 電感和電容的端電壓有可能大大超過外加電壓。 諧振時， 電感或電容的端電壓與外加電壓的比值為Q稱為諧振回路的品質(zhì)因數(shù)或諧振系數(shù)。 當XL遠大于R時， Q值一般可達幾十至

39、幾百， 所以串聯(lián)諧振時電感和電容的端電壓有可能大大超過外加電壓。 在電子線路中， 當輸入端含有多種頻率成分的信號時， 通過調(diào)諧可調(diào)節(jié)電路的參數(shù)值， 從而在電容或電感上獲得所想要頻率的放大信號， 這種從多種頻率信號中挑選出所需信號的能力稱為“選擇性”。 電流響應(yīng)曲線越尖銳， 電路的選擇性越好。 電路的阻值越小， 電流響應(yīng)曲線就越尖銳， 如圖3-18（c）所示。 電路選擇性的好壞使用品質(zhì)因數(shù)來表示：Q值越大， 選擇性越好；Q值越小， 選擇性越差。 因為Q值遠大于1， 當電路在接近諧振時， 電感和電容上會出現(xiàn)超過外施電壓Q倍的高電壓。 在電力系統(tǒng)中， 出現(xiàn)這種高電壓是不允許的， 這將引起某些電氣設(shè)備

40、的損壞； 但在無線電技術(shù)中它是有用的。 例3-10 收音機的輸入回路可以用圖3-19所示的等效電路來表示， 設(shè)線圈的電阻為16 ， 電感為0.4 mH， 電容為600 pF。 試求： (1) 電路的諧振頻率、 總阻抗和品質(zhì)因數(shù)； (2) 當頻率高于諧振頻率20%時， 電路的總阻抗。 圖3-19 例3-10的圖 總阻抗為 |Z | =R=16 品質(zhì)因數(shù)為(2) 當頻率高于諧振頻率20%時， f=(1+0.2)f0， 則 感抗為 XL=2fL =2×3.14×325×10 3×(1+0.2)×0.4×10 -3=980 2.5并聯(lián)諧振2.

41、5.1 阻抗的并聯(lián)諧振也可以發(fā)生在并聯(lián)電路中， 下面以圖3-20所示的電感線圈與電容器并聯(lián)的電路為例來討論并聯(lián)諧振。 圖3-20 并聯(lián)諧振電路 在圖3-20所示電路中， 當電路參數(shù)選取適當時， 可使總電流I與外加電壓U同相位， 這時稱電路發(fā)生了并聯(lián)諧振。 此時R、 L支路中的電流電容C支路中的電流 總電流 若總電流 與外加電壓 同相位， 則上式虛部應(yīng)為零， 即即：在一般情況下， 線圈的電阻R很小， 故于是， 諧振角頻率 故諧振頻率 圖3-21 并聯(lián)諧振相量圖 這說明并聯(lián)諧振的條件與串聯(lián)諧振的條件基本相同。 并聯(lián)諧振相量圖如圖3-21所示。 并聯(lián)諧振有以下特征： (1) 電流與電壓同相位， 電路

42、呈電阻性。 (2) 電路的阻抗最大， 電流最小。 諧振時的電流 式中;(R相對很小)因電阻R很小， 故并聯(lián)諧振呈高阻抗特性。 若R0, 則Z,即電路不允許頻率為f0的電流通過。 因而并聯(lián)諧振電路也有選頻特性， 但要求流過并聯(lián)諧振電路的信號源為恒流源， 以便從高阻抗上取出高的輸出電壓。 當一個含有多個不同頻率信號的信號源與并聯(lián)電路連接時， 并聯(lián)電路如對其中某一個頻率的信號發(fā)生諧振， 對其呈現(xiàn)出最大的阻抗， 就可以在信號源兩端得到最高的電壓， 而對其他頻率的信號則呈現(xiàn)小阻抗， 電壓很低， 從而將所需頻率的信號放大取出， 將其他頻率的信號抑制掉， 達到選頻的目的。 （3） 電感電流與電容電流近乎大小

43、相等， 相位相反。 由于 與 同相， 且I的數(shù)值極小， 故 與 必然近乎大小相等， 相位相反。 （4） 電感或電容支路的電流有可能大大超過總電流。 并聯(lián)諧振的品質(zhì)因數(shù)為電感或電容支路的電流與總電流之比， 即即I1=IC=QI。 因為這兩支路的電流是電源供給電流的Q倍， 所以當電路的品質(zhì)因數(shù)Q較大時， 必然出現(xiàn)電感或電容支路的電流大大超過總電流的情況。 同串聯(lián)諧振一樣， 并聯(lián)諧振在電子線路設(shè)計中是十分有用的， 但在電力系統(tǒng)中應(yīng)避免出現(xiàn)并聯(lián)諧振， 以防因此帶來的電力系統(tǒng)過電流。 2.6 功率因數(shù)的提高 2.6.1 提高功率因數(shù)的意義1. 使電源設(shè)備得到充分利用電源設(shè)備的額定容量SN是指設(shè)備可能發(fā)出的最大功率， 實際運行中設(shè)備發(fā)出的功率P還要取決于cos， 功率因數(shù)越高， 發(fā)出的功率越接近于額定功率， 電源設(shè)備的能力就越能得到充分發(fā)揮。 2. 降低線路損耗和線路壓降輸電線上的損耗為Pl=I2Rl， 其中Rl為線路電阻， 線路壓降為Ul=RlI， 而線路電流I=P/（Ucos）， 由此可見， 當電源電壓U及輸出有功功率P一定時， 提高功率因數(shù)可以使線路電流減小， 從而降低傳輸線上的損耗， 提高供電質(zhì)量。 提高功率因數(shù)還可在相同線路損耗的情況下節(jié)約用銅， 因為功率因數(shù)提高， 電流減小， 在Pl一定時， 線路電阻可以增大， 故傳輸導線可以做細一些， 這樣就節(jié)約了銅