一元二次不等式的解法

1、課前自主學(xué)案課前自主學(xué)案溫故夯基溫故夯基零點(diǎn)零點(diǎn)根根定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，叫一元二次不等式。250 xx 1一元二次不等式與相應(yīng)的一元二次函數(shù)及一元二一元二次不等式與相應(yīng)的一元二次函數(shù)及一元二 次方程的關(guān)系如下表：次方程的關(guān)系如下表：判別式判別式b24ac000二次函數(shù)二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象的圖象20axbxc 0bx c 2 ax0bx c 2 ax0 0 0 2yaxbxc12 |x xxx 12 |x xxxx或1 |x xxr無(wú)實(shí)數(shù)解12xx0a 函數(shù)函數(shù) 、方程、不等式之間的關(guān)系、方程、不等式之間的關(guān)系1212,xx xxxx且(y0)(

2、y0oyxy0oyx1x2xy0y0oyxx1x20 0 0 x1=x22200axbx caxbx c 的解的解1212xxxxxxx或20(0)axbxca一元二次方程0(0)(0)abxcaf xaxbxc a22一元二次不等式 x一元二次函數(shù) ( )=若有兩個(gè)不同的根若有兩個(gè)不同的根 ,用口訣用口訣：“大于取兩邊大于取兩邊,小于取中間小于取中間”12,x x1設(shè)集合設(shè)集合a ，bx|x21，則，則ab () ax|1x2b. cx|x2 dx|1x2解析：解析：由由x21得得1x1，bx|1x1，abx|1x0的解集為的解集為x|1x ， 則則 ab的值為的值為 () a6 b5 c6

3、 d5解析：解析：因因x1， 是方程是方程ax2bx10的兩根，的兩根， 又又1 ，a3，b2，ab6.答案：答案：c4不等式不等式2x22x8的解集是的解集是_解析：解析：原不等式等價(jià)于原不等式等價(jià)于由由x22x2，得，得x1 或或x1 ，由由x22x8，得，得2x4，原不等式的解集為原不等式的解集為x|2x1 ，或，或1 x4答案：答案：(2,1 1 ，4)5若若a0，則不等式，則不等式x22ax3a20的解集為的解集為_(kāi)解析：解析：令令x22ax3a20，則，則x13a，x2a，又又a0，3aa，不等式的解集為不等式的解集為x|3axa答案：答案：x|3ax0(a0)，ax2bxc0)；

4、(2)計(jì)算相應(yīng)的判別式；計(jì)算相應(yīng)的判別式；(3)當(dāng)當(dāng)0時(shí)，求出相應(yīng)的一元二次方程的兩根；時(shí)，求出相應(yīng)的一元二次方程的兩根；(4)根據(jù)對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的圖象，寫(xiě)出不等式的解集根據(jù)對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的圖象，寫(xiě)出不等式的解集2對(duì)于解含有參數(shù)的二次不等式，一般討論的順序是：對(duì)于解含有參數(shù)的二次不等式，一般討論的順序是：(1)討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為0，這決定此不等式是否為二，這決定此不等式是否為二 次不等式；次不等式；(2)當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為0時(shí)，討論判別式是否大于時(shí)，討論判別式是否大于0；(3)當(dāng)判別式大于當(dāng)判別式大于0時(shí)，討論二次項(xiàng)系數(shù)是否大于時(shí)，討論二次項(xiàng)系數(shù)是否大于0，這決

5、，這決 定所求不等式的不等號(hào)的方向；定所求不等式的不等號(hào)的方向；(4)判斷二次不等式兩根的大小判斷二次不等式兩根的大小解下列不等式：解下列不等式：(1)x22x 0；(2)ax2(a1)x10(ar)思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥 課堂筆記課堂筆記(1)兩邊都乘以兩邊都乘以3，得，得3x26x20，且方程，且方程3x26x20的解是的解是x11 ，x21 ，所以原不等式的解集是所以原不等式的解集是x|1 x1 (2)若若a0，則原不等式等價(jià)于，則原不等式等價(jià)于x11；若；若a0 x1；若若a0，則原不等式等價(jià)于，則原不等式等價(jià)于 (x1)1時(shí)，時(shí)， 1，所以，所以(*) x1；當(dāng)當(dāng)0a1，所以，所以(*)1

6、x .綜上所述：當(dāng)綜上所述：當(dāng)a1；當(dāng)當(dāng)0a1時(shí)，解集為時(shí)，解集為 .1.實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題是新課標(biāo)下考查的重點(diǎn)，突出了應(yīng)用能實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題是新課標(biāo)下考查的重點(diǎn)，突出了應(yīng)用能 力的考查，在不等式應(yīng)用題中常以函數(shù)模型出現(xiàn)，如力的考查，在不等式應(yīng)用題中常以函數(shù)模型出現(xiàn)，如 一元二次不等式應(yīng)用題常以二次函數(shù)為模型解題時(shí)一元二次不等式應(yīng)用題常以二次函數(shù)為模型解題時(shí) 要理清題意，準(zhǔn)確找出其中不等關(guān)系再利用不等式解要理清題意，準(zhǔn)確找出其中不等關(guān)系再利用不等式解 法求解法求解2不等式應(yīng)用題一般可按如下四步進(jìn)行：不等式應(yīng)用題一般可按如下四步進(jìn)行：(1)閱讀理解、認(rèn)真審題，把握問(wèn)題中的關(guān)鍵量，找準(zhǔn)不閱讀理解、認(rèn)真審題，

7、把握問(wèn)題中的關(guān)鍵量，找準(zhǔn)不 等關(guān)系等關(guān)系(2)引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，用不等式表示不等關(guān)系引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，用不等式表示不等關(guān)系(3)解不等式解不等式(4)回歸實(shí)際問(wèn)題回歸實(shí)際問(wèn)題 國(guó)家原計(jì)劃以國(guó)家原計(jì)劃以2 400元元/噸的價(jià)格收購(gòu)某種農(nóng)產(chǎn)噸的價(jià)格收購(gòu)某種農(nóng)產(chǎn)品品m噸，按規(guī)定，農(nóng)戶向國(guó)家納稅為：每收入噸，按規(guī)定，農(nóng)戶向國(guó)家納稅為：每收入100元納元納稅稅8元元(稱作稅率為稱作稅率為8個(gè)百分點(diǎn)，即個(gè)百分點(diǎn)，即8%)為了減輕農(nóng)民負(fù)為了減輕農(nóng)民負(fù)擔(dān)，決定降低稅率根據(jù)市場(chǎng)規(guī)律，稅率降低擔(dān)，決定降低稅率根據(jù)市場(chǎng)規(guī)律，稅率降低x個(gè)百分個(gè)百分點(diǎn)，收購(gòu)量能增加點(diǎn)，收購(gòu)量能增加2x個(gè)百分點(diǎn)試確定個(gè)百分點(diǎn)試確定x的范圍，使稅

8、的范圍，使稅率調(diào)低后，國(guó)家此項(xiàng)稅收總收入不低于原計(jì)劃的率調(diào)低后，國(guó)家此項(xiàng)稅收總收入不低于原計(jì)劃的78%.思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥課堂筆記課堂筆記設(shè)稅率調(diào)低后的稅收總收入為設(shè)稅率調(diào)低后的稅收總收入為y元，元，則則y2 400m(12x%)(8x)% m(x242x400)由題意知，由題意知，0 x8，要使稅收總收入不低于原計(jì)劃的要使稅收總收入不低于原計(jì)劃的78%，須須y2 400m8%78%，即即 m(x242x400)2 400m8%78%，整理，得整理，得x242x880，解得，解得44x2，又又0 x8，0 x2，所以，所以，x的取值范圍是的取值范圍是(0,2.1.解決恒成立問(wèn)題一定要搞清誰(shuí)是自變

9、量，誰(shuí)是參解決恒成立問(wèn)題一定要搞清誰(shuí)是自變量，誰(shuí)是參 數(shù)一般地，知道誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是變量，求誰(shuí)的范數(shù)一般地，知道誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是變量，求誰(shuí)的范 圍，誰(shuí)就是參數(shù)圍，誰(shuí)就是參數(shù)2對(duì)于二次不等式恒成立問(wèn)題，恒大于對(duì)于二次不等式恒成立問(wèn)題，恒大于0就是相應(yīng)的二就是相應(yīng)的二 次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于軸上方，恒小于 0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x 軸下方軸下方 已知不等式已知不等式mx2-2x-m+10. (1)若對(duì)所有的實(shí)數(shù)若對(duì)所有的實(shí)數(shù)x不等式恒成立，求不等式恒成立，求m的取值范圍的取

10、值范圍（2）設(shè)不等式對(duì)于滿足）設(shè)不等式對(duì)于滿足|m|2的一切的一切m的值都成立，的值都成立，求求x的取值范圍的取值范圍.思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥課堂筆記課堂筆記(1)不等式不等式mx22xm10恒成立，恒成立，即函數(shù)即函數(shù)f(x)mx22xm1的圖象全部在的圖象全部在x軸下方軸下方注意討論注意討論m0時(shí)的情況時(shí)的情況當(dāng)當(dāng)m0時(shí)，時(shí)，12x 時(shí)，不等式恒成立；時(shí)，不等式恒成立；當(dāng)當(dāng)m0時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)f(x)mx22xm1為二次函數(shù)，需滿為二次函數(shù)，需滿足開(kāi)口向下且方程足開(kāi)口向下且方程mx22xm10無(wú)解，無(wú)解，即即 ，則，則m無(wú)解無(wú)解綜上可知不存在這樣的綜上可知不存在這樣的m.(2)從形式上看，這是一

11、個(gè)關(guān)于從形式上看，這是一個(gè)關(guān)于x 的一元二次不等式，可的一元二次不等式，可以換個(gè)角度，把它看成關(guān)于以換個(gè)角度，把它看成關(guān)于m的一元一次不等式，并且的一元一次不等式，并且已知它的解集為已知它的解集為2,2，求參數(shù)，求參數(shù)x的范圍的范圍設(shè)設(shè)f(m)(x21)m(12x)，則其為一個(gè)以則其為一個(gè)以m為自變量的一次函數(shù)，其圖象是直線，為自變量的一次函數(shù)，其圖象是直線，由題意知該直線當(dāng)由題意知該直線當(dāng)2m2時(shí)線段在時(shí)線段在x軸下方，軸下方， ，即即解解，得，得x ，解解，得，得 x .由由，得，得 x .x的取值范圍為的取值范圍為 若若x1，)時(shí)，時(shí)，x22ax2a恒成立，試求恒成立，試求a的取值范圍的

12、取值范圍.解：法一：解：法一：令令f(x)x22ax2，x1，)f(x)(xa)22a2，此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為xa.(1)當(dāng)當(dāng)a(，1)時(shí)，結(jié)合圖象知，時(shí)，結(jié)合圖象知，f(x)在在1，)上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增，f(x)minf(1)2a3.要使要使f(x)a恒成立，只需恒成立，只需f(x)mina，即即2a3a，解得，解得3a1；(2)當(dāng)當(dāng)a1，)時(shí)，時(shí)，f(x)minf(a)2a2，由由2a2a，解得，解得2a1，1a1.綜上所述，所求綜上所述，所求a的取值范圍為的取值范圍為3a1.法二：法二：由已知得由已知得x22ax2a0在在1，)上恒成立，上恒成立，令令f

13、(x)x22ax2a，即即4a24(2a)0或或解得解得3a1. 以選擇題或填空題的形式直接考查一元二次不以選擇題或填空題的形式直接考查一元二次不等式的解法或以集合運(yùn)算為載體考查一元二次不等式等式的解法或以集合運(yùn)算為載體考查一元二次不等式的解法是高考對(duì)本節(jié)內(nèi)容的常規(guī)考法的解法是高考對(duì)本節(jié)內(nèi)容的常規(guī)考法.09年天津高考年天津高考則以含參不等式的解法為載體，考查了參數(shù)取值范圍則以含參不等式的解法為載體，考查了參數(shù)取值范圍的求解問(wèn)題，是高考一個(gè)新的考查方向的求解問(wèn)題，是高考一個(gè)新的考查方向. 考題印證考題印證 (文文)(2009天津高考天津高考)若關(guān)于若關(guān)于x的不等式的不等式(2x1)2ax2的的解

14、集中的整數(shù)恰有解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，則實(shí)數(shù)個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是的取值范圍是_【解析】【解析】不等式可化為不等式可化為(4a)x24x10，由，由于原不等式的解集中的整數(shù)恰有于原不等式的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，所以個(gè)，所以 ，即，即0a4，故由，故由得得 x 又又 ，所以解集中的，所以解集中的3個(gè)整數(shù)個(gè)整數(shù)必為必為1,2,3，所以，所以3 4，解得，解得 a .【答案】【答案】( (理理)(2009天津高考天津高考)設(shè)設(shè)0b(ax)2的解集中的整數(shù)恰有的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，則個(gè)，則 () a1a0 b0a1 c1a3 d3a0.(1)a1，結(jié)合不等式解集形式知不符合題意，結(jié)合不等式解集形式知不符合題意(2)a1.此時(shí)此時(shí) x ，由題意由題意0 1，要使原不等式解集中的整數(shù)解恰有要使原不等式解集中的整數(shù)解恰有3個(gè)個(gè)知知3 2.整理得：整理得：2a2b3a3.結(jié)合題意結(jié)合題意b1a，有，有2a21a.a3，從而有，從而有1amx的解集是的解集是x|0 xmx可化為可化為x2(2m4)x0，由于，由于其解集為