歐中整式的運算景

1、整式的運算一、知識梳理（一）考點總結：1、代數(shù)式 2、列代數(shù)式 3、代數(shù)式的值 4、整式的概念 5、整式的運算（二）考點講解考點一 代數(shù)式 定義：用運算符號（加、減、乘、除、乘方、開方等）把數(shù)與字母連接而成的式子叫代數(shù)式。注意：（l）單個數(shù)字與字母也是代數(shù)式；（2）代數(shù)式與公式、等式的區(qū)別是代數(shù)式中不含等號，而公式和等式中都含有等號；考點二 列代數(shù)式 1列代數(shù)式：用含有數(shù)、字母和運算符號的式子把問題中與數(shù)量有關的詞表示出來，就是列代數(shù)式。 2代數(shù)式的書寫要求 （1）代數(shù)式中出現(xiàn)的乘號通常用“·”表示或者省略不寫；數(shù)與字母相乘時，數(shù)應寫在字母前面；數(shù)與數(shù)相乘時，仍用“x”號。 （2）數(shù)

2、字與字母相乘、單項式與多項式相乘時，一般按照先寫數(shù)字，再寫單項式，最后寫多項式的書寫順序，如式子（a+b）·2·a應寫成2a（a+b）。 （3）帶分數(shù)與字母相乘時，應先把帶分數(shù)化成假分數(shù)后再與字母相乘。 （4）在代數(shù)式中出現(xiàn)除法運算時，按分數(shù)的寫法來寫 （5）在一些實際問題中，有時表示數(shù)量的代數(shù)式有單位名稱，如果代數(shù)式是積或商的形式，則單位直接寫在式子后面；如果代數(shù)式是和或差的形式，則必須先把代數(shù)式用括號括起來，再將單位名稱寫在式子的后面，如2a米，（2a-b）kg。 注意：列代數(shù)式的關鍵是找出問題中的數(shù)量關系及公式，如：路程=速度×時間。售價=標價×折

3、扣率；質量=密度×體積等等，另外要想正確列出代數(shù)式，必須正確理解問題中的關鍵詞語，如“和、差、積、商、大、小、多、少”等。 考點三 代數(shù)式的值 1代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式中的運算關系計算得出的結果，叫做代數(shù)式的值。2求代數(shù)式的值的基本步驟：（1）代入，一般情況下，先對代數(shù)式進行化簡，再將字母的數(shù)值代人；（2）計算時按代數(shù)式里的運算關系計算出結果。說明：代數(shù)式中的字母所取的值，要使代數(shù)式有意義； 一個代數(shù)式中的同一字母要用同一個數(shù)值去代替，且注意多個字母情形下的對應關系，切忌張冠李戴； 為了避免混淆，注意括號前原來省略乘號的地方要添上乘號，當代入的字母是負數(shù)時，

4、代入后應加上括號，另外字母是分數(shù)時，遇到乘方也要加括號。 考點四 整式的概念 1單項式：數(shù)與字母的積所表示的代數(shù)式叫做單項式，單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)；單項式中所有字母的指數(shù)的和叫做單項式的次數(shù)，特別地，單獨一個數(shù)或者一個字母也是單項式。 注意：（1）是個數(shù)，不能把它當成字母。如xy2的系數(shù)是，次數(shù)是3，不能錯寫成系數(shù)是1，次數(shù)是4。 （2）像a，0，2x3y2，-12等都是單項式。特別地，像（+13）也是單項式。 （3）單項式的次數(shù)應是字母的指數(shù)和，與系數(shù)沒有任何關系。如105x2y次數(shù)是2+1=3，而不是5+2+1=8。 2多項式：幾個單項式的和叫做多項式，在多項式中，每個單項式

5、叫做多項式的項，其中不含字母的項叫做常數(shù)項；在多項式里，次數(shù)最高項的次數(shù)就是這個多項式的次數(shù)。 注意：（1）像x+y3這樣的代數(shù)式也是多項式；（2）多項式的項數(shù)指的是合并完同類項后的項數(shù)。 3整式：單項式與多項式統(tǒng)稱為整式。 4升（降）冪排列：把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕衅饋恚凶霭讯囗検桨催@個字母升（降）冪排列。 5同類項：所含字母相同并且相同字母的指數(shù)相同的項叫做同類項， 考點五 整式的運算 1整式的加減 （1）合并同類項：把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項。合并法則：把同類項中的系數(shù)相加，所得結果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)保持不變。 （2）去括

6、號法則：括號前面是“+”號，把括號和它前面的“+”號去掉，括號里面的各項都不改變符號；括號前面是“-”號，把括號和它前面的“-”號去掉，括號里面的各項都改變符號，符號表示：+（a+b）=a+b；-（a+b）=-a-b。 （3）添括號法則：所添括號前面是“+”號，括到括號里面的各項都不改變符號；所添括號前面是“-”號，括到括號里面的各項都改變符號。符號表示：a+b=+（a+b）；-a-b=-（a+b）。 （4）整式加減的步驟：有括號先去括號；有同類項，先合并同類項。 說明：添括號法則在北師大版教材中沒有出現(xiàn)，但整式加減運算較多；去括號和添括號是互逆的。 2整式的乘法 （l）冪的運算性質：am&#

7、183;an=am+n，（am）n=amn，（ab）n=an·bn，am÷an=am-n。 （2）零指數(shù)冪和負指數(shù)冪：a0=1（a0）；a-p=1ap （3）單項式乘以單項式：將系數(shù)與同底數(shù)的冪分別相乘。 （4）單項式乘以多項式：用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。 （5）多項式乘以多項式：先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。 特殊的多項式乘以多項式 平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2 完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2 注意：要掌握以上兩種公式的結構特征。 3整式的除法 （1）單項式除以單項

8、式：將系數(shù)及同底數(shù)冪分別相除。對五只在被除式中出現(xiàn)的字母則連同它的指數(shù)保留在商中。 （2）多項式除以單項式：把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加。 4冪的運算（1）同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。即am·an=am+n（m、n都是正整數(shù)）。（2）冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即（am）n=amn（m、n都是正整數(shù)）。（3）積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘，即（ab）n=an·bn（n是正整數(shù)）。（4）同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即am÷an=am-n（a0，m、n都是正整數(shù)）。 （5）整式的混合運算：先乘方，后乘除，

9、最后加減，如有括號，就先算括號里面的，說明：要盡量使用公式或運算律時，使運算過程簡捷。（三）易混知識清單 知識歸納 易混點一 同類項的概念及運用。 1所含字母相同。 2相同字母的指數(shù)也分別相同。 易混點二 不能準確把握單項式、多項式、同類項及整式等的差異，從而導致判斷或運算錯誤。 易混點三 運用去括號與添括號法則。當去括號時，括號前是“-”號，把括號和它前面的“-”號去掉，括號里各項都改變符號；有多層括號時，依去括號法則，可以先去大括號，再去中括號，最后去小括號，由外及內，添括號時反之。 易混點四 由于混淆冪的四條運算性質而導致運算錯誤。 （1）同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。am·

10、;an=am+n（m，n為正整數(shù)）。 （2）同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。am÷an=am-n（m，n為正整數(shù)）。 （3）冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。（am）n=amn（m，n為正整數(shù)）。 （4）積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘。（ab）n=anbn（n為正整數(shù)）。 易混點五 （a-b）n與（b-a）n的關系 當n為奇數(shù)時兩者互為相反數(shù)，當n為偶數(shù)時，兩者相等。二、經典習題（一）方法篇方法一 分類討論法：根據(jù)同類項的概念；尋找同類項的過程就是把多項式的項按所含字母及字母的次數(shù)進行分類。在尋找中，如果幾個單項式所含的字母的順序不同，可以根據(jù)乘法的交換律把字

11、母按照一定的順序（如英文字母表順序）排列好，以便比較其字母是否相同，只有所含字母完全相同，而且相同字母的指數(shù)也分別相同的兩個單項式才是同類項。在多項式中，若有幾組同類項，要分類進行合并化簡。 例1 下列四組中的兩項是同類項的是 （ ）A,-15a2b與5ab2 B.0.5ab與13acC.-2x2y3與5y3x2 D.3a與2b 例2 已知a+b=m，ab=-4，化簡（a-2）（b-2）的結果是 （ ） A6 B2m-8 C2m D-2m 例3 觀察下面的點陣圖形和與之相對應的等式，探究其中的規(guī)律： （1）請你在和后面的橫線上分別寫出相對應的等式： · 4×0+1=4

12、15;1-3 4×1+1=4×2-3 4×2+1=4×3-3 _ _ （2）通過猜想，寫出與第n個圖形相對應的等式。 （二）精析篇例1 某公園一塊草坪的形狀如圖2-6所示（陰影部分），用代數(shù)式表示它的面積為_。 例2 如果代數(shù)式4y2-2y+5的值為7，那么代數(shù)式2y2-y+1的值等于 （ ） A2 B3 C-2 D4 例3 下列算式是一次式的是 （ ） A8 B4a+3b C.12ab D.5x 例4 下列各式中，與x2y是同類項的是 （ ）A.xy2 B.2xy C.-x2y D.3X2y2 例5 化簡m-n-（m+n）的結果是 （ ） A2m B-

13、2m C-2n D2n例6 下列運算正確的是 （ ）A.x9÷x3=x3 B.（-x4）3=-x12C.x2·x4=x8 D.（x2+x3）2=x4+x5+x6例7 計算2x2·（-3）x3的結果是 （ ）A.-6x5 B.6x5 C.-2x5 D.2x5 例8 已知x2+y2=25，x+y=7，且xy，則x-y的值為多少？（三）易錯篇易錯題一 為鼓勵節(jié)約用電，某地對居民用戶用電收費標準作如下規(guī)定：每戶每月用電如果不超過100度，那么每度電價按a元收費；如果超過100度，那么超過部分每度電價按b元收費。某戶居民在一個月內用電160度，他這個月應繳納電費是_元（用含

14、a、b的代數(shù)式表示）。 易錯題二 若9xa+bya-b與12xa-1y3是同類項，那么 （ ） Aa=-1，b=2 Ba=1，b=-2 Ca=-2，b=1 Da=2，b=-1易錯題三 （1）計算x2y3÷（xy）2的結果是 （ ） Axy Bx Cy Dxy2 （2）a3·a4÷a5=_。（3）下列計算正確的是 （ ）A.2x3·3x2=6x6 B.x3+x3=x6C.x10÷x5=x2 D.x4÷x5y=1xy（4）下列運算中，正確的是 （ ）A.2a+3b=5ab B.3a-2=13a2 C.（-x）5·（-x）3=-x

15、8 D.（-1）0=1 易錯題四 下列計算正確的是 （ ）A.（-4X）·（2x2+3x-1）=-8x3-12x2-4xB.（x+y）（x2+y2）=x3+y3C.（-4a-1）（4a-1）=1-16a2D.（x-2y）2=x2-2xy+4y2三、學生練習1買一個籃球需要m元，買一個排球需要n元，則買3個籃球和5個排球共需要_元。2數(shù)字解密：若第個數(shù)是3=2+1，第二個數(shù)是5=3+2，第三個數(shù)是9=5+4，第四個數(shù)是17=9+8，觀察并猜想第六個數(shù)應是_。3碳氫化合物的化學式：CH4、C2H6、C3H8、C4H10，觀察其化學式的變化規(guī)律，則第n個碳氫化合物的化學式為_。4按一定的規(guī)

16、律排列的一列數(shù)依次為：12，13，110，115，126，135，按此規(guī)律排列下去，這列數(shù)中的第7個數(shù)是_。5觀察下列各等式的數(shù)字特征：53-58=53×58，92-911=92×911，107-1017=107×1017，將你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用含字母a、b的等式表示出來：_。 6觀察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，通過觀察，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定22006的個位數(shù)字是_。 7在整式運算中，任意兩個一次二項式相乘后，將同類項合并后的項數(shù)可以是_項式。 8若（2-x）3=a0+a1x+a2x2+a3x3，則（a0+a

17、2）2-（a1+a3）2的值為_。 9觀察下列各式：0，x，x2，2x3，3x4，5x5，8x6，。按此規(guī)律寫出的第10個式子是_。 10計算:（-2xy2y）2=_。11下列運算正確的是 （ ）A.4=±2B.2-3=-6C.x2·x3=x6D.（-2x）4=16x412下列運算中，正確的是 （ ）A.a2+a2=2a4B. a2·a3=a6C. a6÷a3=a2D.（ab2）2=a2b413如圖2-1，邊長為a的大正方形剪去一個邊長為b的小正方形，小明將圖中的陰影部分拼成了一個矩形，如圖2-2這一過程可以驗證 （ ）A. a2+b2-2ab=(a-b

18、)2B. a2+b2+2ab=(a+b)2C. 2a2-3ab+b2=(2a-b)(a-b)D. a2-b2=(a+b)(a-b)14下列運算正確的是 （ ）A.2x5-3x3=-x2B.23+2=25C.（-x）5·（-x2）=-x10D.（3a6x3-9ax5）÷（-3ax3）=3x2-a5 15計算：（x-y）2-（x+y）（x-y）。 16化簡：2a（a-b）-2a2+3ab。 17如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“神秘數(shù)”。如：4=22-02，12=42-22，20=62-42因此4，12，20這三個數(shù)都是神秘數(shù)。 （1）28和201

19、2這兩個數(shù)是神秘數(shù)嗎？為什么？ （2）設兩個連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k（其中k取非負整數(shù)），由這兩個連續(xù)偶數(shù)構造的神秘數(shù)是4的倍數(shù)嗎？為什么？ （3）兩個連續(xù)奇數(shù)（取正整數(shù)）的平方差是神秘數(shù)嗎？為什么？18去括號：4（a-b）-14（-b2-a2）。 19填空：（1）a2m-1÷_=a3； （2）（x3y2）4÷（x3y）5=_。20單項式-13xa+bya-1與3x2y是同類項，則a-b的值為 （ ） A2 B0 C-2 D1 21已知m-n=3，求代數(shù)式3-m+n的值22如圖2-3，用黑白兩種顏色的正方形紙片按黑紙片數(shù)逐漸加1的規(guī)律拼成一列圖案： （1）第4個圖案中有白色

20、紙片_張； （2）第n個圖案中有白色紙片_張。23用火柴棒如圖2-4所示的方式擺圖形，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)擺下去，第4個圖形需要_根火柴棒，第n個圖形需要_根火柴棒（用含n的代數(shù)式表示）。24在很小的時候，我們用手指練習過數(shù)數(shù)。一個小朋友按如圖2-5所示的規(guī)則練習數(shù)數(shù)，數(shù)到2006時，對應的指頭是_（填出指頭的名稱，各指頭的名稱依次為大拇指、食指、中指、無名指、小指）。25如圖2-7所示的是小明用火柴棒搭的1條，2條，3條，“金魚”，則搭，n條“金魚”需要火柴棒_根。 26當x=-2時代數(shù)式（x+2）2-x（x+1）的值等于 （ ） A2 B-2 C4 D-4 27當a=-1時，代數(shù)式（a+1）

21、2+a（a-3）的值等于 （ ） A-4 B4 C-2 D228若單項式4xm與-x2yn-1的和是單項式，則m=_，n=_。29若2amb2m+3n與a2n-3b8的和仍是一個單項式，則m，n的值分別是 （ ） A12 B2，1 C1，l D1，330小馬虎在下面的計算中只做對了一道題，他做對的題目是 （ ）A.（a-b）2=a2-b2B.（-2a3）2=4a6C.a3+a2=2a5D.-（a-1）=-a-1 31觀察下列單項式：0，3x2，8x3，15x4，24x5，按此規(guī)律寫出第13個單項式是_。32下列各式正確的是 （ ）A.（x3）2=x5B.（a+b）（b-a）=a2-b2C.5x2y-3x2y=2D.x5·x=x6 33計算（-3a3）2÷a2的結果是 （ ） A -9a4 B6a4 C9a3 D9a4 34已知a-b=b-c=35，a2+b2+c2=1，則ab+bc+ca的值等于_。 35觀察下列各式：（x-1）（x+1）=x2-1、（x-1）（x2+x+1）=x3-1，（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1，根據(jù)前面的規(guī)律，得（x-1）（xn