華南農(nóng)大高數(shù)第2章中值定理及導數(shù)的應用(3)課件

1、 第二節(jié)洛必達法則洛必達法則 洛必達法則計算極限洛必達法則計算極限學習重點學習重點(1) ( )( )xaf xg x當時，及都趨于零；洛必達法則洛必達法則 (2)( )( ),( )0afxg xg x在點 的某去心鄰域內(nèi)及都存在 且；( )lim()( )xafxg x(3)存在 或為( )( )limlim( )( )xaxaf xfxg xg x則則 或或同為同為 即在定理的條件下，未即在定理的條件下，未定式定式 的極限定值，可轉化的極限定值，可轉化為其導函數(shù)之商的極限。為其導函數(shù)之商的極限。00說明說明： （1）當）當 時的情形，洛必達法則也成立；時的情形，洛必達法則也成立；x （2

2、）若）若 ，即，即 類的極限定值，也有類的極限定值，也有 洛必達法則；洛必達法則；lim( )lim ( )f xg x （3）法則只能解決）法則只能解決 存在時，未定式存在時，未定式 的定值問題。的定值問題。 即如果即如果 不存在不存在，也不是也不是 ，則，則法則失效法則失效。( )lim( )fxg x0,0( )lim( )fxg x例例1 1 求下列極限求下列極限01(1)limxxex21ln(2)lim1xxx01ln 1(3) limcotxxx00型型型型00型型解解 原式原式0lim1xxe111lim21xxx 解解 原式原式解解 原式原式220111 1limcscxxx

3、x 220sinlim1xxxxx011lim21xx x20sinlimsinxxxxx例例2 2 求極限求極限00解解 這是這是 型的未定式，且當型的未定式，且當 時，時，0 x sinxx所以，原式所以，原式30sinlimxxxx201 coslim3xxx0sinlim6xxx16適當使用等價無窮適當使用等價無窮小替換，再使用洛小替換，再使用洛必達法則，可簡化必達法則，可簡化極限運算。極限運算。30tanlimsinxxxx30tanlimxxxx2201 seclim3xxx13 練習練習例例3 3 證明極限證明極限 存在，但不能使用洛必達法則。存在，但不能使用洛必達法則。sinl

4、imxxxx證明證明sinlimxxxxsinlim 1xxx1但使用洛必達法則有但使用洛必達法則有sinlimxxxx1 coslim1xx不存在不存在所以極限所以極限 的確定不能用洛必達法則。的確定不能用洛必達法則。sinlimxxxx（1 1）形如）形如 的未定式的未定式0其它形式的未定式的定值其它形式的未定式的定值000,0 ,1 , 解題方法：解題方法：將未定式變形將未定式變形1000001 例例4 4 求極限求極限1lim 1tan2xxx解解 原式原式11limcot2xxx211limcsc22xx212lim sin2xx2（2 2）形如）形如 的未定式的未定式其它形式的未定

5、式的定值其它形式的未定式的定值解題方法解題方法：將未定式變形：將未定式變形110000 通分合并例例5 5 求極限求極限111limln1xxx解解 原式原式11 lnlimln1xxxx x 111lim1lnxxxxx11limln1xxxxx11lim1 ln1xx12（3 3）形如）形如 的未定式的未定式000 ,1 ,其它形式的未定式的定值其它形式的未定式的定值 解題方法解題方法：將未定式先取自然對數(shù)、變形，：將未定式先取自然對數(shù)、變形，再按情形（再按情形（1）處理）處理0000 ln01ln100 ln 取對數(shù)取對數(shù)取對數(shù)100001 例例5 5 求極限求極限sin0limxxx解

6、解 令令sinxyx則則lnsinlnyxx0lnlimcscxxx01limcsccotxxxx20sinlimcosxxxx0所以所以sin00lim1xxxe00lim lnlim sinlnxxyxx而而00例例6 6 求極限求極限10lim (0,0)2xxxxabab解解 令令12xxxaby則則1lnln2xxabyx而而00ln2limlnlimxxxxabyx0lnln2limxxxabx0lnlnlimxxxxxaabbabln()ln2abab1ln0lim2xxxabxabeab所以所以1解解 令令例例7 7 求極限求極限sin01limxxxsin1xyx則則1lnsinlnsinlnyxxxx 01limcsccotxxxx20sinlimcosxxxx0sinsinlim0cosxxxxx00lnlim lnlimcscxxxyx所以所以sin001lim1xxex所以所以0求下列極限求下列極限210sin