導(dǎo)數(shù)題型歸類(lèi)第四講：構(gòu)造證明的根

1、2015版導(dǎo)數(shù)題型歸類(lèi)第四講 構(gòu)造證明不等式一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解常見(jiàn)的構(gòu)造類(lèi)型：移項(xiàng)構(gòu)造、變型構(gòu)造、替換構(gòu)造等。2.掌握常見(jiàn)的替換構(gòu)造的根。二、重難點(diǎn) 重點(diǎn)：替換的根 難點(diǎn)：怎么看出替換的根三、引入構(gòu)造除了常見(jiàn)的移項(xiàng)和變形構(gòu)造以外，還有一類(lèi)構(gòu)造需要替換字母或是式子轉(zhuǎn)換為基本 的不等關(guān)系，那么這類(lèi)構(gòu)造的根在哪里？四、過(guò)程【知識(shí)點(diǎn)】構(gòu)造替換的常用根 ：ex x 1,當(dāng)且僅當(dāng) x=0 時(shí)，取等號(hào)。變形：A組1)x e1x2)x ln( x1)3)x1lnxB組4)ln 11xx15)ln x1x6)xlnx1例題 1.( 2011年湖北高考)已知函數(shù) f (x) ln x x 1, x (0, )

2、，1)求函數(shù) f(x) 的最大值2)若數(shù)列an , bn 都是正項(xiàng)數(shù)列，且 a1b1 a2b2 , , , , , anb n b1 b2 , , , bn 求證b1b2a3 , , , , , an 1a11a22鞏固練習(xí)】1.( 2010 年全國(guó))已知函數(shù) f(x) (x 1)ln x x 1 '21)若 xf '(x) x2 ax 1恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍2)證明：( x-1)f(x) 0【知識(shí)二】常見(jiàn)的構(gòu)造方式： 不等式的構(gòu)造靈活多變， 技巧性特別強(qiáng)， 有些證明又特別復(fù)雜， 是同學(xué)們最頭疼的問(wèn)題， 往往不知道從何處入手，苦苦冥想也找不到突破口。1，直接構(gòu)造：就是

3、把證明的不等式，直接處理為一個(gè)函數(shù)，然后通過(guò)求極值最值等等明。2例題. 設(shè) a 0證明： ,當(dāng) x>0 時(shí)， ln2x 2aln x x 1 0恒成立2，等價(jià)構(gòu)造：對(duì)待證不等式進(jìn)行重組整合，適當(dāng)變形，找到其等價(jià)的不等式，觀察其結(jié)構(gòu)， 根據(jù)結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)。例題.求證： ln x12xe ex3，特征構(gòu)造：根據(jù)所證不等式的特征，展開(kāi)聯(lián)想，適當(dāng)構(gòu)造。例題.(2010遼寧)已知函數(shù) f (x) (a 1)lnx ax2 11)當(dāng) a1 時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性 (修改過(guò))2)設(shè) a2，證明：對(duì)任意的 x1,x2 (0, ), f (x1) f (x2) 4x1 x24，變更構(gòu)造：觀察不等式結(jié)構(gòu)，采用換

4、元等手段，變形構(gòu)造例題.(2007年山東)設(shè)函數(shù) f(x) x2 bln(x 1),其中 b 01)求函數(shù)的極值點(diǎn)11 12)證明對(duì)任意的正整數(shù) n,不等式： ln( 1) 2 3 都成立。 nn n5，減元構(gòu)造：多變量不等式 ，一般處理策略為消元或是把一個(gè)看作變量其他看作常量； 當(dāng) 都不能處理的時(shí)候，通過(guò)變形，再換元產(chǎn)生一個(gè)新變量，從而構(gòu)造新變量的函數(shù)。1 2 x例題.已知函數(shù) f(x)x2 2x,g(x) log ax, (a 0,a 1)，若 h(x) f(x) g(x)，且 h'(x) 存在零點(diǎn)1)求實(shí)數(shù) a 的值2)設(shè) A(x1, y1), B( x2 , y2 ), ( x

5、1 x2)是函數(shù) y g(x) 的圖像上的兩點(diǎn)， g'(x) y2 y1x2 x1求證： x1 x0 x26，聯(lián)想構(gòu)造：根據(jù)條件特征，積極展開(kāi)聯(lián)想 借助和差求導(dǎo)，積商求導(dǎo)，直線斜率與導(dǎo)數(shù)關(guān)系等，恰當(dāng)?shù)臉?gòu)造所需的函數(shù)。例題.已知函數(shù) f (x)為(0, )上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)， 且xf'(x) f(x) 0 ，對(duì)任意的正數(shù) a,b, 且 a<b，都有()A.af(a) f(b) B.bf(b) f(a)C.af(b) bf(a)D.bf(a) af(b)后記：導(dǎo)數(shù)作為壓軸題，構(gòu)造是最基本的考點(diǎn)考法。不同的題有不同的構(gòu)造方法，法無(wú)定法。 常見(jiàn)的思路和方法僅僅為我們提供一種積累，考

6、試的時(shí)候本質(zhì)還是在觀察，分析，大膽實(shí)踐和嘗試。靈感也許就在你不停的嘗試中閃現(xiàn)！五課堂鞏固1，當(dāng) 0 x 時(shí)，求證： tanx23xx32，( 2014年北京崇文區(qū)一摸)已知曲線 C: y eax.()若曲線 C 在點(diǎn) (0,1) 處的切線為 y 2x m ，求實(shí)數(shù) a和 m的值； ()對(duì)任意實(shí)數(shù) a，曲線 C總在直線 l: y ax b的上方，求實(shí)數(shù) b的取值范圍六課后作業(yè)1.已知定義在 R 上的函數(shù) f(x),g(x)滿(mǎn)足 f(x) ax，且 f'(x)g(x) f(x)g'(x) ， g(x)f (1)f( 1)5 ，若有窮數(shù)列f (n),n N 的前 n 項(xiàng)和為 127，則 n= ()g(1)g( 1)2g(n) 128ax b2.已知函數(shù) f (x)2 在點(diǎn)( -1， f(-1) )處的切線為