電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律

1、第一章電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律1.根據(jù)算符的微分性與矢量性，推導(dǎo)下列公式：B)K)Bq(A B)= B (v A (B )A A d解：矢量性為a (b c) =b (c a) = c (a b)cx(a m，) = (b c)a (C a)bd 4 14 J d(a m，) Mc = (c a)b-(c b)a微商性 Idd/ daEdb(a b)=b + a dtdtdt 公d" dad-db (aMb)= Mb+aMdtdtdt由得1二 iBc x (Vx A)=$(Bc A)-(Bc V)A人父m B) = V(Ac B)-(Ac $)B+得景(5 A) R 0 B) (Bc A)

2、 r (Ac B) -|(Bc )A (Ac )B因?yàn)?, (A B) = '1 (Ac B)(K bJ)二上式得 d 一 (AB)=Bc 仆 A) Ac 仆 B) (BcK)A (Ac)B令B = A得'、A =2A (1' A)A) 2(A )AA 仆 A)"” A2 -(A )A2 .設(shè)W是空間坐標(biāo)x, v, z的函數(shù)，證明:df1k f (u)=-udu大A (U) = U d-duA(u) = 3 u d-du解：vf(u).-f(u)ex -yf(u)ey -f(u)ezdf(u)fu. df(u) du ；x Q：u df (u)一 eyezdu

3、 y du ；zdf(u)du.xdf(u)/Fu：u-(exeydu fxjynnn A(u)二AxAy一 Az；x；y；zdAx ：:u dAy fu dAz ：:u-I-du ；x du、.dA=% u du:ydu ；z'、A(u)=exex<Axey:yAyezczAz J=（達(dá)3用03號(hào)u dAx : u、.三一方可ezdA：:udAy：:u、一dAx：:udA:=(zy)ex( xz)eyxydu二ydu二zdu:zdu：x、dA=' u -du、一"r"2 'r"2 ''-2'"

4、9;_._3 .設(shè)r=J(x x) +(y y) +(z z)為源點(diǎn)x到場點(diǎn)x的距離，r的萬向規(guī)定為從源點(diǎn)指向場點(diǎn)。證明下列結(jié)果，并體會(huì)對源變數(shù)求微商（二 exw） jx；:y jz與對場變數(shù)求微商( = ex + ey + ez )；:x ；:y ；z的關(guān)系, r . 1,1 r . r -r , ' r 一. 一r - - - r ,3,3 = 0,3 =-'y=。,(r = 0)r r r r rr r(最后一式在r=0點(diǎn)不成立，見第二章第五節(jié))求/K F" *V)r,V(a ,，), Esin(k$及爐父E sin(kr),其中 a, k 及E 均為常矢量。解

5、：一：r : r .:r、r 二0 一 eyez :x cy czMx-x,片y-yex 2' 2' 2 ey 1 2' 2 2(x-x) (y-y) (z-z) (x-x) (y-y) (z-z)z -zx(x-x,)2 (y -y,)2 (z-z,)2r =q3r，'''、,Yx-x)-(y-y)-(z-z)二 e - e, ezx222 y222 z222(x -x) (y-y) (z-z)(x-x) (y-y) (z-z) (x-x) (y-y) (z-z)d r =I-ri 11 -： 1 -'' 一 二 一 (一)ex

6、 , (-)ey - (-)ezr -:r .,yez)二 zr二x rcy r cz r-1 / ：:r . :r (一 ex一 er二 xcyr(一)ex -r()ey -r ( )ez .x r y r ；z r-1 : r -.:r .:r =-2 (' ex' ey ' ez )r Fx 7；z1.-3,=f 0 r r r 34-3r d”一 r r r=0 r或這樣證明'、33r一r=0 （梯度的旋度恒為零）r於r rr。1 、r .r3 r 1=F (一 r)飛 r r r=0 (r=0)=rr 1 d(3r)一3 一r(7d 1r) - (-3

7、) rr _-、' =0(r=0) r二 -(X-X)一(y _yj (z-zj.x=3ex.:xx -xeyyy -yzz)r-(ax- ayjxIC , c 一az)r.y ；zrjrf r二 ax 一 ay az -:xcy:z一 一 = a*ex ayey azez二a（注！這里如果沒有引入張量?？梢圆捎梅至康姆椒ㄟM(jìn)行證明 第一項(xiàng)，如下）f rax 一 :x= ax - ex(x - x) ey(y - y) ez(z z) = a*ex同理,Fr - az =azG, 二 z故(a，)r =axex+ayey+azez =a(a r)d 4 d 4 d 4 d d =aG r

8、)(a)r r仆 a)(r、)a二，0 (a D：+0 0 L 二(a、)r.二a、ETsin(H):sin(r)盡 sin(mr)%, e'.,'.,'一小 sin(kx(x x) ky(y - y ) kz(z-z)=Eoxkxcoskx(x x ) ky(y -y) kz(z -z)EoykyCoskx(x-x) ky(y-y) kz(z-z)'''Eozkzcoskx(x - x ) ky(y-y) kz(z-z)二 (Eoxkx Eoyky E°zkz)coskx(x -x ) ky(y - y ) kz(z-z)= cos(

9、'、Eosin(k r) =. sin(k r) Eosin = kxcos(k r)ex kycos(k r)ey kzcos(k r)ez E。*" ex kyey kzez)=cos(l= cos(k r)(k E。)注，這個(gè)題出錯(cuò)率比較高，也可以這樣證明：，,但 sin(kJr)sin(k r) E sin(k r)%，E。由于1 E。=0, sin(k r)=. (k r)cos(k r),而,(k r)=k 4 .'、E°sin(k r) =k E°cos(k r)'、Eosin(k r) sin(k r) EE°si

10、n(k r)、(屋)由于 kE=0,sin(r)= (Frcos'、E°sin(k r) = k E°cos(k r)4.應(yīng)用高斯定理證明四七f =QdS f應(yīng)用斯托克斯（Stokes ）定理證明IdSdLSI1L解：用一非零任意常矢量 c點(diǎn)乘原式左邊，得c dv、 f dv（、 f） c,：V f xC)二(Vxf) .c-(Vxc)f=(q x M C(because '、 c = 0)所以上式右邊=7(f xc)dV應(yīng)用高斯定理得=口 (f c) dS s再利用三矢量混合積，得= c(dS f) s=c dS f s 1因?yàn)閏為任意非零常矢量，故,伽S

11、 f = V dVf注，這個(gè)題出不會(huì)證的同學(xué)比例較高，大家也可以試著這樣證明:等式左邊的x分量為eX1 dvi f = JdveX °f) vv4 J 利用 a b c = b c a c - c .ex t f f ex所以W dv % f = dv f ex vv再利用高斯定理，得exdv(V m f ) = ds (f Hex) vs=-ex ds f sJ r- 4-=ex 1 1 ds 父 fs可見，(dVxf的x分量與UsdSxf的x分量相等。 同理，可證y與z分量都如上所證相等。故(dV 父 f =|j1sds黑 f (證畢)7 dL® cL=7 eC dL,

12、L=( c) dS- ：(©=/ c) +c=，cSj L=c dSS=dSYS電dLe = fSdSxV*5.已知一個(gè)電荷系統(tǒng)的偶極矩定義為d' ,P(t) = J(x,t)xdV利用電荷守恒定律-J 火=0ft證明P的變化率為d P 山幣二 vJ(X，t)dV解：dPdt'''=；xdV - - J J(x,t)xdV tS'*'一:'.-'."'=-JJ (J x )dV + ( J V xdV t V (J x )= (V J)x +Jx, V x =I (單位張重)J 具 ，, ；= -QSJ

13、x dS + .V J (V x)dV= -QSJx dS + JV JdV取被積區(qū)域大于電荷系統(tǒng)的區(qū)域，即V的邊界S上的J = 0 ,則, ,Q JxdS =0.d P .+"dt = .VJ(x，t)dV dd6.若m是常矢量，證明除 R=0點(diǎn)以外矢量 慶=嗎艮的旋度等于標(biāo)量 中=旦£的梯 R3R3I度的負(fù)值，即 Vm A = -平(R=0),其中R為坐標(biāo)原點(diǎn)到場點(diǎn)的距離，方向由原點(diǎn)指向場點(diǎn)。解:一、(m 3)RR RR、/ ,、RR八、/ R、=m (3)(m )-33(m)(尸)mRRRR八 R、，、R=m (3) (m 3 )-3RR = 0R3二上式=(m )-

14、3R7.有一內(nèi)外半徑分別為r1和。的空心介質(zhì)球，介質(zhì)的電容率為名，使介質(zhì)內(nèi)均勻帶靜止自由電荷；f,求 空間各點(diǎn)的電場； 極化體電荷和極化面電荷分布。解：對空間I做高斯面，由：421 . 4343_4二 r EI = 一(r2一二 r1 ) ：, f；33EI(f3； r233-f(2 - rl )f HEI 二 -2 r3 r對空間n：做高斯面，由 |?D 'dS=1 PfdV4二 rb = C4 二 r3-4 二13)33：D二 ；EE = jgr3 ；r2對空間出：做高斯面，由2 一 一4&r Em = 0E Em =0D - 0E P3；r23 -ri3）：f；o（r3-

15、r；）：f3r2-（-；0 ） ； f3 ；-（- 0 ） Pf3 ；r =2時(shí)，由邊值條件：力- Pin - -；P（ P 由1指向2）3 2衛(wèi)）3r2%=Pn-P2n（；°）：f J； （一33“2 -r1）（ ； - ；o）3；r22337f二號(hào)（） %=PnBn31）（0）f - r1=0（r1 -3；r= 0（r = r1）8 .內(nèi)外半徑分別為ri和2的無窮長中空導(dǎo)體圓柱，沿軸向流有恒定均勻自由電流 體的磁導(dǎo)率為（1 ,求磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁化電流。解：由B dl =0I所以所以方向?yàn)閷^(qū)域n方向?yàn)?二rBi =%二 r； - r； JfBiBi對區(qū)域出有：(2)由J r?02r

16、2r22一 riJfr r2.2二rH j 二二 r2 -r12 JH = r1 1 2r22.-riJJ?BL±hh =2r2r222兀田皿=0，二 B m = 0旦-M 0.一000"r2_ ri2 JZ回H II+uR-hII n j xI LHJ f ( r = r2 )二 0(r = r)9 .證明均勻介質(zhì)內(nèi)部的體極化電荷密度Pp總是等于體自由電荷密度Pf的-（1-冬）倍。即：p-1）：f解：由均勻介質(zhì)有 .D=/E+PD =是Pp = #PpD = Pf9 D=Pf=9（%E+同 E+。P=9（D）+（ Pp 尸Pf PpI名，名名乙二H乙一。；p（但兩個(gè)電流i

17、o.證明兩個(gè)閉合的恒定電流圈之間的相互作用力大小相等，發(fā)向相反。 元之間的相互作用力一般并不服從牛頓第三定律）解：令兩個(gè)線圈中的電流分別為11和12。電流圈Li對另一個(gè)電流圈L2中的電流元12dl2的作用力為:其中BQ)=飛 11dli 父124n 也3ori2是電流圈Li在電流元I2處激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，是從Li中的電流元Ii到電流元I2dl：的矢徑。將式代入式，并對L2積分，利用斯托克斯定理，同時(shí)注意到當(dāng)=0, ri2即得到電流圈L1對L2的作用力:dAdl, ?蚓/.Fi2=A4nLl12d4L1ri2Iidli123ri2I i I 2dl 2 dl 112312iI 2 i4 n A

18、二L1rl 2did，；12),12，/)l,L2 UiIJ2J 4 dV(dl2 ri2)dli =ri2dli1112ri2 dl2li3 rI24兀 L Iidli 也ri2 叱dFi24 二-I112ri23口2(dl2 dli)同樣，電流圈L2對Li中的電流元11dli的作用力為：其中J . J dLzi =I1dl： B(：2i)(4)B(r;是電流圈L2在電流元Iidl：處激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度 ，：21是從電流元Izdf到電流元11dp的矢徑。L2對L1的作用力為0I 1 I 2L2一21-dl1 dl2(6)r 2i -門2注意到于是有F21 二一Fi211.平行板電容器內(nèi)有兩層介

19、質(zhì)，它們的厚度分別為和，電容率為 和，令在兩板接上電動(dòng)勢為 的電勢，求：電容器兩板上的自由電荷面密度介質(zhì)分界面上的自由電荷面 密度；若介質(zhì)是漏電的，電導(dǎo)率分別為和，當(dāng)電流達(dá)到恒定時(shí)，上述兩問題的結(jié)果如何？解：WfEL Ll cI? £232wfwfE1 二E2 二E1l1E2l2 二；1；2wfl1wfl2一二；一Wf =；T1,2l 1 l2 I £ £12n D2 -D1 = wf2wf =；1E1 一 ；2E2=0當(dāng)介質(zhì)漏電時(shí) 由J =cE同理J 一11 二 111l2wfE1 一1J一一 Wf1二 1 _； 2 - -1J 二-12l111 2Wf 2 二

20、二 2二 2ll 二小Wf2 = n E2 - E1仃 211 +仃 112=；1E2 - ；2E1仃 21 1 + 仃 112二 1 ；2 -；二 2 ；1；二 211"212 .證明： 當(dāng)兩種絕緣介質(zhì)的分界面上不帶自由電荷時(shí)，電場線的曲折滿足:tgutgu1'1其中鳥和分別為兩種介質(zhì)的介電常數(shù)，91和%分別為界面兩側(cè)電場線與法線的夾角。當(dāng)兩種導(dǎo)電介質(zhì)內(nèi)流有恒電流時(shí)，分界面上電場線曲折滿足蛆=屋，其中心和口tgM 二 1分別為兩種介質(zhì)的電導(dǎo)率。解：因?yàn)閮煞N絕緣介質(zhì)的分界面上不帶自由電荷仃f = 0 ,故邊值關(guān)系為E2t =&匕 D2n =Dm若兩種介質(zhì)都是線性均勻的

21、，即D2 = a2E2, D1=&E1,則E2 sin 12 =E1sin 1, ；2E2cos Z = ；1E1cos11tg 力二二tg u1；1當(dāng)電流恒定時(shí)，邊值關(guān)系為E2t = E1t， J2n = J1n '若兩種介質(zhì)都是線性均勻的，即J1 =<i1E1, J2 = c2E2,則E2 sin12 =E1sinu1, ；=2E2cos 2 =；1E1cos ztg二 113 .試用邊值關(guān)系證明：在絕緣介質(zhì)與導(dǎo)體的分界面上，在靜電情況下，導(dǎo)體外的電場 線總是垂直于導(dǎo)體表面；在恒定電流情況下，導(dǎo)體的電場線總是平行于導(dǎo)體表面。解：設(shè)導(dǎo)體為1介質(zhì)，介質(zhì)為2介質(zhì)。設(shè)導(dǎo)體表面

22、自由電荷面密度為 仃一靜電平衡條件下，導(dǎo)體內(nèi)電場為零，由邊值關(guān)系：nM(E2E1)=0,知E2t = E1t =0,即導(dǎo)體外表面處的電場的切向分量為零，電場線垂直于導(dǎo)體的表面。在恒定電流情況下：由穩(wěn)恒條件，J=0 ,在界面上有n(J2 - J1 )=0,又由于1J2 = 0, J1 =仃E1 ,代入上式，得4 .n E1 =0即導(dǎo)體內(nèi)表面處電場線總是平行于導(dǎo)體表面。14.內(nèi)外半徑分別為a和b的無限長圓柱形電容器，單位長度荷電為儲(chǔ)，極間填充電導(dǎo)率為仃的非磁性物質(zhì)。(1)證明在介質(zhì)中任何一點(diǎn)傳導(dǎo)電流與位移電流嚴(yán)格抵消，因此內(nèi)部無磁場。(2)求，隨時(shí)間的衰減規(guī)律(3)求與軸相距為r的地方的能量耗散功率密度(4)求長度為l的一段介質(zhì)總的能量耗散功率，并證明它等于這段的靜電能減少率。解：(1)證明：由電流的連續(xù)性