第三講動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題

1、中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專題講座第三講動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題智康劉豪【前言】第一講和第二講我們探討了有關(guān)中考幾何綜合題的靜態(tài)問(wèn)題，相信很多同學(xué)已經(jīng)有所掌握 了。但是靜態(tài)問(wèn)題的難度最多也就是中等偏上，真正讓人抓狂的永遠(yuǎn)是動(dòng)態(tài)問(wèn)題。從歷年中考來(lái)看, 動(dòng)態(tài)問(wèn)題經(jīng)常作為壓軸題目出現(xiàn)，得分率也是最低的。動(dòng)態(tài)問(wèn)題一般分兩類，一類是代數(shù)綜合方面, 在坐標(biāo)系中有動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)直線，一般是利用多種函數(shù)交叉求解。另一類就是幾何綜合題，在梯形，矩 形，三角形中設(shè)立動(dòng)點(diǎn)、線以及整體平移翻轉(zhuǎn)，對(duì)考生的綜合分析能力進(jìn)行考察。所以說(shuō)，動(dòng)態(tài)問(wèn) 題是中考數(shù)學(xué)當(dāng)中的重中之重，只有完全掌握，才有機(jī)會(huì)拼高分。在這一講，我們著重研究一下動(dòng) 態(tài)幾何問(wèn)題的解法，代

2、數(shù)方面的動(dòng)態(tài)問(wèn)題我們將在第七，第八講來(lái)解決。由于有些題目比較難和繁 瑣，建議大家靜下心來(lái)慢慢研究，在這些題上花越多時(shí)間，中考中遇到類似題目就會(huì)省下越多的時(shí) 間。第一部分真題精講【例1】（2010,密云，一模）如圖，在梯形abcdv，ad/ bc , ad = 3, dc = 5 , bc = 10,梯形的高為4.動(dòng)點(diǎn)m從b點(diǎn)、 出發(fā)沿線段以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)c運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)n同時(shí)從c點(diǎn)出發(fā)沿線段cd以每 秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)d運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f （秒）.（1）當(dāng)mn / ab時(shí)，求/的值；（2）試探究：/為何值時(shí)，amnc為等腰三角形.【思路分析本題作為密云卷壓軸題，自然有一定

3、難度，題目中出現(xiàn)了兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，很多同學(xué)看到 可能就會(huì)無(wú)從下手。但是解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，首先就是要找誰(shuí)在動(dòng)，誰(shuí)沒(méi)在動(dòng)，通過(guò)分析動(dòng)態(tài)條件和靜 態(tài)條件之間的關(guān)系求解。對(duì)于大多數(shù)題目來(lái)說(shuō)，都有一個(gè)由動(dòng)轉(zhuǎn)靜的瞬間，就本題而言，m, n是 在動(dòng)，意味著bm,mc以及dn,nc都是變化的。但是我們發(fā)現(xiàn)，和這些動(dòng)態(tài)的條件密切相關(guān)的條件 dc,bc長(zhǎng)度都是給定的，而且動(dòng)態(tài)條件之間也是有關(guān)系的。所以當(dāng)題中設(shè)定mn/ab時(shí)，就變成了 一個(gè)靜止問(wèn)題。由此，從這些條件出發(fā)，列出方程，自然得出結(jié)果?！窘馕觥拷猓海?）由題意知，當(dāng)m、n運(yùn)動(dòng)到/秒時(shí)，如圖，過(guò)d作de/ ab艾bc于e點(diǎn)、,則四邊形abed 是平行四邊形.emv a

4、b/ de . ab / mn .de / mn .（根據(jù)第一講我們說(shuō)梯形內(nèi)輔助線的常用做法，成功將mn放在三角形內(nèi)，將動(dòng)態(tài)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平行時(shí)候的靜態(tài)問(wèn)題）.mc _ nc9ectd（這個(gè)比例關(guān)系就是將靜態(tài)與動(dòng)態(tài)聯(lián)系起來(lái)的關(guān)鍵）10-2/ _ r10-3 5解得唧【思路分析2】第二問(wèn)失分也是最嚴(yán)重的，很多同學(xué)看到等腰三角形，理所當(dāng)然以為是mn二nc即可, 于是就漏掉了 mn=mc, mc=cn這兩種情況。在中考中如果在動(dòng)態(tài)問(wèn)題當(dāng)中碰見(jiàn)等腰三角形，一定不要 忘記分類討論的思想，兩腰一底一個(gè)都不能少。具體分類以后，就成為了較為簡(jiǎn)單的解三角形問(wèn)題, 于是可以輕松求解【解析】（2 ）分三種情況討論： 當(dāng)

5、mn = nc時(shí)，如圖作nf丄交3c于f ,則有mc = 2fc即.（利用等腰三角形底邊高 也是底邊中線的性質(zhì)）cd/ cos zc =、5 10-2r = 2x,5解得 當(dāng)mn =mc時(shí)，如圖，過(guò)m作丄cq于h. 則 cn = 2ch ,f = 2(10 2/)x =. 60 =.17 當(dāng)mc = cn時(shí)， 則 10-2r = r.10t = 3綜上所述，當(dāng)r =.聖或巴時(shí)，mnc為等腰三角形.8173【例2】（2010,崇文，一模）在aabc中，zacb=452.點(diǎn)d（與點(diǎn)b、c不重合）為射線bc上一動(dòng)點(diǎn)，連接ad,以ad為一邊 且在ad的右側(cè)作正方形adef.（1）如果ab=ac.如圖，

6、且點(diǎn)d在線段bc上運(yùn)動(dòng).試判斷線段cf與bd之間的位置關(guān)系，并 證明你的結(jié)論.（2）如果abhac,如圖，且點(diǎn)d在線段bc上運(yùn)動(dòng).（1）中結(jié)論是否成立，為什么？（3）若正方形adef的邊de所在直線與線段cf所在直線相交于點(diǎn)p,設(shè)ac= 42 , bc = 3,cd=x,求線段cp的長(zhǎng).（用含兀的式了表示）圖圉【思路分析門(mén)本題和上題有所不同，上一題會(huì)給出一個(gè)條件使得動(dòng)點(diǎn)靜止，而本題并未給出那個(gè) “靜止點(diǎn)”，所以需要我們?nèi)シ治鲇蒬運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的變化圖形當(dāng)中，什么條件是不動(dòng)的。由題我們發(fā) 現(xiàn)，正方形中四條邊的垂直關(guān)系是不動(dòng)的，于是利用角度的互余關(guān)系進(jìn)行傳遞，就可以得解?！窘馕觯?）結(jié)論：cf與bd位置

7、關(guān)系是垂直；證明如下：tab二ac , zacb=452, .zabc=452.由正方形 adef 得 ad=af , vzdaf=zbac =90?, zdab=zfac,*. adabafac , zacf=zabd.a zbcf=zacb+zacf= 90.即 cf±bd.【思路分析2】這一問(wèn)是典型的從特殊到一般的問(wèn)法，那么思路很簡(jiǎn)單，就是從一般中構(gòu)筑一個(gè)特 殊的條件就行，于是我們和上題一樣找ac的垂線，就可以變成第一問(wèn)的條件，然后一樣求解。（2） cf丄bd. （1）中結(jié)論成立.a理由是：過(guò)點(diǎn)a作ag丄ac交bc于點(diǎn)g,ac=ag/f可證：agadacaf zacf=zagd

8、=455/zbcf=zacb+zacf= 90.即 cf丄bd cd kj l）e【思路分析3】這一問(wèn)有點(diǎn)棘手，d在bc之間運(yùn)動(dòng)和它在bc延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)的位置薜一樣的， 所以已給的線段長(zhǎng)度就需要分情況去考慮到底是4+x還是4-xo分類討論之后利用相似三角形的比 例關(guān)系即可求出cp.（3）過(guò)點(diǎn)a作aq丄bc交cb的延長(zhǎng)線于點(diǎn)q,點(diǎn)d在線段bc上運(yùn)動(dòng)時(shí)，vzbca=452,可求出 aq二 cq=4.dq=4-x,*易證 aqdadcp, :、cp cd ,.cp x 9dq aq4 一兀 4x2. cp =+ x 4q b d£點(diǎn)d在線段bc延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)吋， z bca=455,可求出

9、aq= cq=4, .idq 二 4+x.過(guò)a作4g丄ac交cb延長(zhǎng)線于點(diǎn)g,則 agd = mcf . cf 丄 bd,aaqdadcp,.cp cd =dq aq cp x' 4 + x 4【例3 (2010,懷柔，一模)己知如圖，在梯形abcd中，ad / bc, ad = 2, bc = 4,點(diǎn)m是ad的中點(diǎn)，hmbc是等 邊三角形.(1) 求證：梯形abcd是等腰梯形；(2) 動(dòng)點(diǎn)p、。分別在線段和mc上運(yùn)動(dòng)，hzmpq = 60°保持不變.設(shè)pc = x, mq = y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(3) 在(2)中，當(dāng)y取最小值時(shí)，判斷 pqc的形狀，并說(shuō)明理由.“【

10、思路分析1】本題有一點(diǎn)綜合題的意味，但是對(duì)二次函數(shù)要求不算太高，重點(diǎn)還是在考察幾何方 面。第一問(wèn)純靜態(tài)問(wèn)題，自不必說(shuō)，只要證兩邊的三角形全等就可以了。第二問(wèn)和例1 一樣是雙動(dòng) 點(diǎn)問(wèn)題，所以就需要研究在p,q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中什么東西是不變的。題目給定zmpq=60° ,這個(gè)度數(shù) 的意義在哪里？其實(shí)就是將靜態(tài)的那個(gè)等邊三角形與動(dòng)態(tài)條件聯(lián)系了起來(lái)因?yàn)樽罱K求兩條線段的 關(guān)系，所以我們很自然想到要通過(guò)相似三角形找比例關(guān)系怎么證相似三角形呢？當(dāng)然是利用角度咯. 于是就有了思路.【解析】(1) 證明：是等邊三角形 mb = mc, zmbc = zmcb = 60°m是ad中點(diǎn)am = mda

11、d / bc:.zamb = zmbc = 60°,zdmc = zmcb = 60°:.zmbu'dmc:.ab = dc梯形abcd是等腰梯形.(2) 解：在等邊 mbc 中，mb = mc= bc = 4, zmbc = zmcb = 60°,zmpq = 60°zbmp + zbpm = zbpm+zqpc = 120° (這個(gè)角度傳遞非常重要，大家要仔細(xì)揣摩)zbmp = zqpc ； /bmps/cqp pc =cqv pc = x, mq = y :. bp = 4-x, qc = 4-y.x 4 - y1 9 = y =

12、兀_ x + 44 4-兀4（設(shè)元以后得出比例關(guān)系,輕松化成二次函數(shù)的樣子）【思路分析2】第三問(wèn)的條件又回歸了當(dāng)動(dòng)點(diǎn)靜止時(shí)的問(wèn)題。由第二問(wèn)所得的二次函數(shù)，很輕易就 可以求出當(dāng)x取對(duì)稱軸的值時(shí)y有最小值。接下來(lái)就變成了 “給定pc=2,求形狀”的問(wèn)題 to由已知的bc=4,自然看出p是中點(diǎn)，于是問(wèn)題輕松求解。（3）解：'fqc為直角三角形廠扣-2+3當(dāng)y取最小值時(shí)，x = pc = 2:.p 是 bc 的中點(diǎn)，mp 丄 bc,而 zmpq = 60°,zcpq = 30。，zpqc = 90。以上三類題目都是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，這一類問(wèn)題的關(guān)鍵就在于當(dāng)動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)中出現(xiàn)特殊條件，例如某邊相等

13、, 某角固定時(shí)，將動(dòng)態(tài)問(wèn)題化為靜態(tài)問(wèn)題去求解。如果沒(méi)有特殊條件，那么就需要研究在動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)中 哪些條件是保持不變的。當(dāng)動(dòng)的不是點(diǎn)，而是一些具體的圖形時(shí)，思路是不是一樣呢?接下來(lái)我們 看另外兩道題.【例4】2010,門(mén)頭溝,一模已知正方形e為對(duì)角線上一點(diǎn)，過(guò)e點(diǎn)作ef丄交bc于f ,連接df , g為df 中點(diǎn)，連接eg,cg .（1）直接寫(xiě)出線段eg與cg的數(shù)量關(guān)系；（2）將圖1中abef繞b點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。,如圖2所示,取df中點(diǎn)、g ,連接eg,cg,你在（2）小得到的結(jié)論是否發(fā)牛變化？寫(xiě)出你的猜想并加以證明.（3）將圖1 111 bef繞b點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度,如圖3所示，再連接相應(yīng)的線段，問(wèn)

14、（1）屮的結(jié)論是否仍然成立？（不要求證明）【思路分析1】這一題是一道典型的從特殊到一般的圖形旋轉(zhuǎn)題。從旋轉(zhuǎn)45°到旋轉(zhuǎn)任意角度，要 求考生討論其中的不動(dòng)關(guān)系。第一問(wèn)自不必說(shuō)，兩個(gè)共斜邊的直角三角形的斜邊中線自然相等。第 二問(wèn)將abef旋轉(zhuǎn)45°之后，很多考生就想不到思路了。事實(shí)上，本題的核心條件就是g是中點(diǎn), 中點(diǎn)往往意味著一大票的全等關(guān)系，如何構(gòu)建一對(duì)我們想要的全等三角形就成為了分析的關(guān)鍵所 在。連接ag之后，拋開(kāi)其他條件，單看g點(diǎn)所在的四邊形adfe,我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)梯形，于 是根據(jù)我們?cè)诘谝恢v專題中所討論的方法，自然想到過(guò)g點(diǎn)做ad,ef的垂線。于是兩個(gè)全等的三角

15、形出現(xiàn)了。(1) cg = eg(2)( 1)中結(jié)論沒(méi)有發(fā)生變化，即cg = eg.證明：連接ag ,過(guò)g點(diǎn)作mn丄ad于m,與ef的延長(zhǎng)線交于n點(diǎn).在dag與dcg中， ad = cd, zadg =乙cdg, dg = dg , dag 竺 dcg .ag = cg.在dmg與nfng中， zdgm =乙fgn, fg = dg, zmdg = znfg , 4dmg 9 'fng .mg = ng在矩形aenm中，am =en在 rtamg 與 rtbeng 中， am = en, mg = ng ,mmg竺'eng . ag = eg.:.eg = cg【思路分析2】第

16、三問(wèn)純粹送分，不要求證明的話幾乎所有人都會(huì)答出仍然成立。但是我們不 應(yīng)該止步于此。將這道題放在動(dòng)態(tài)問(wèn)題專題中也是出于此原因，如果abef任意旋轉(zhuǎn)，哪些量在變 化，哪些量不變呢？如果題目要求證明，應(yīng)該如何思考。建議有余力的同學(xué)自己研究一下，筆者在 這里提供一個(gè)思路供參考：在abef的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，始終不變的依然是g點(diǎn)是fd的中點(diǎn)?？梢匝?長(zhǎng)一倍eg到h,從而構(gòu)造一個(gè)和efg全等的三角形，利用be二ef這一條件將全等過(guò)渡。要想辦法 證明三角形ech是一個(gè)等腰直角三角形，就需要證明三角形ebc和三角形cgh全等，利用角度變換 關(guān)系就可以得證了。（3）（1）中的結(jié)論仍然成立.【例5】（2010,朝陽(yáng)，一

17、模）已知止方形abcd的邊長(zhǎng)為6cm,點(diǎn)e是射線bc上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接ae交射線dc于點(diǎn)f,將 abe沿直線ae翻折，點(diǎn)b落在點(diǎn)b'處.rf（1）當(dāng)=1 吋，cf= cm,cere（2）當(dāng)=2 時(shí)，求 sinzdab'的值；cebe（3）當(dāng)=x時(shí)（點(diǎn)c與點(diǎn)e不重合）,請(qǐng)寫(xiě)ii1aabe翻折后與止方形abcd公共部分的而ce積y與x的關(guān)系式，（只耍寫(xiě)出結(jié)論，不耍解題過(guò)程）.a bdc【思路分析】動(dòng)態(tài)問(wèn)題未必只有點(diǎn)的平移，圖形的旋轉(zhuǎn)，翻折（就是軸對(duì)稱）也是一大熱點(diǎn)。這一 題是朝陽(yáng)卷的壓軸題，第一問(wèn)給出比例為1,第二問(wèn)比例為2,第三問(wèn)比例任意，所以也是一道很 明顯的從一般到特殊的遞進(jìn)

18、式題目。同學(xué)們需要仔細(xì)把握翻折過(guò)程中哪些條件發(fā)生了變化，哪些條 件沒(méi)有發(fā)生變化。一般說(shuō)來(lái)，翻折中，角，邊都是不變的，所以軸對(duì)稱圖形也意味著大量全等或者 相似關(guān)系，所以要利用這些來(lái)獲得線段之間的比例關(guān)系。尤其注意的是，本題中給定的比例都是有 兩重情況的，e在bc上和e在延長(zhǎng)線上都是可能的，所以需要大家分類討論，不要遺漏?！窘馕觥浚?） cf= 6 cm；（延長(zhǎng)之后一眼看出，eazy） （2）如圖1,當(dāng)點(diǎn)e在bc上時(shí)，延長(zhǎng)ab'交dc于點(diǎn)m,t abcf,wwbe ab翌2,ce cf=3.j abcf, azbae=zf.又zbae=zbz ae, zb ae=zf. z. ma=mf.

19、圖1設(shè) ma=mf=k,則 mc=k-3, dm=9«k.在rtaadm »|>,由勾股定理得：k2二(9 k)2+62, 解得 k=ma= 2dm號(hào)（設(shè)元求解是這類題型中比較重要的方法） sin zdab'dm _ 5am l3圖2如圖2,當(dāng)點(diǎn)e在bc延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)ad交b e于點(diǎn)n, 同可得na=ne.設(shè) na二ne二m,貝lb' n=12-m.在rtaab, n屮，由勾股定理，得159m2=（12-m）2+62, 解得 m=an=./ b' n=.22 / z b9n 3 sin zdab 二=.an 5（3）當(dāng)點(diǎn)e在bc上時(shí)，y二也；

20、x + 1（所求厶2 e的面積即為aabe的面積，再由相似表示出邊長(zhǎng)）當(dāng)點(diǎn)e在bc延長(zhǎng)線上時(shí)，y=18x18.x【總結(jié)】通過(guò)以上五道例題，我們研究了動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題當(dāng)中點(diǎn)動(dòng)，線動(dòng)，乃至整體圖形動(dòng)這么 幾種可能的方式。動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題往往作為壓軸題來(lái)出，所以難度不言而喻，但是希望考生拿到題以后 不要慌張,因?yàn)闊o(wú)論是題目以哪種形態(tài)出現(xiàn)，始終把握的都是在變化過(guò)程中那些不變的量。只要條 分縷析，一個(gè)個(gè)將條件抽出來(lái),將大問(wèn)題化成若干個(gè)小問(wèn)題去解決，就很輕松了為更好的幫助考生, 筆者總結(jié)這種問(wèn)題的一般思路如下：第一、仔細(xì)讀題，分析給定條件中那些量是運(yùn)動(dòng)的，哪些量是不動(dòng)的。針對(duì)運(yùn)動(dòng)的量，要分析它 是如何運(yùn)動(dòng)的，運(yùn)動(dòng)

21、過(guò)程是否需要分段考慮，分類討論。針對(duì)不動(dòng)的量，要分析它們和動(dòng)量之間可 能有什么關(guān)系，如何建立這種關(guān)系。第二、畫(huà)出圖形，進(jìn)行分析，尤其在于找準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中靜止的那一瞬間題目間各個(gè)變量的關(guān)系。 如果沒(méi)有靜止?fàn)顟B(tài)，通過(guò)比例，相等等關(guān)系建立變量間的函數(shù)關(guān)系來(lái)研究。第三、做題過(guò)程中時(shí)刻注意分類討論，不同的情況下題目是否有不同的表現(xiàn)，很多同學(xué)丟分就丟 在沒(méi)有討論，只是想當(dāng)然看出了題目所給的那一種圖示方式，沒(méi)有想到另外的方式，如本講例5 當(dāng)中的比例關(guān)系意味著兩種不一樣的狀況，是否能想到就成了關(guān)鍵。第二部分發(fā)散思考【思考1】2009,石景山，一模已知：如圖（1）,射線am ii射線bn, ab是它們的公垂線，點(diǎn)

22、d、c分別在am、bn上運(yùn) 動(dòng)（點(diǎn)q與點(diǎn)a不重合、點(diǎn)c與點(diǎn)b不垂合），e是ab邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)e與a、b不重合），在 運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持de丄ec,且ad-de = ab = a.（1）求證：mde s 隨ec ；（2）如圖（2）,當(dāng)點(diǎn)e為4b邊的中點(diǎn)時(shí)，求證：ad + bc = cd；（3）設(shè)ae = m，請(qǐng)?zhí)骄浚篴bec的周長(zhǎng)是否與加值有關(guān)？若有關(guān)，請(qǐng)用含有加的代數(shù)式表 示bec的周長(zhǎng)；若無(wú)關(guān)，請(qǐng)說(shuō)明理由.a d mbc n第25題（1）a d mbc n第25題(2)思考較為不易，但是圖【思路分析】本題動(dòng)點(diǎn)較多，并且是以和的形式給出長(zhǎng)度。中有多個(gè)直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的線

23、段、角關(guān)系去分析。第三問(wèn)計(jì)算周長(zhǎng)，要將周長(zhǎng)的三條線段分別轉(zhuǎn)化在一類關(guān)系當(dāng)中，看是否為定值，如果是關(guān)于m的函數(shù)，那么就是有關(guān)，如果是一個(gè)定值，那么就無(wú)關(guān)，于是就可以 得出結(jié)論了?！舅伎?】2009,西城，二模/xabc是等邊三角形，p為平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，bp = ba ,若0° < zpbc<180°, 且zpbc平分線上的一點(diǎn)d滿足db二da,（1）當(dāng)bp與弘重合時(shí)（如圖1）, zbpd二 ° ；（2）當(dāng)bp在zabc的內(nèi)部時(shí)（如圖2）,求zbpd的度數(shù)；（3）當(dāng)bp在zabc的外部時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)iwzbpd的度數(shù),并畫(huà)出相應(yīng)的圖形.cc【思路分析】本

24、題中，和動(dòng)點(diǎn)p相關(guān)的動(dòng)量有zpbc,以及d點(diǎn)的位置，但是不動(dòng)的量就是bd是平分線并且db=da,從這幾條出發(fā)，可以利用角度相等來(lái)找出相似、全等三角形。事實(shí)上p點(diǎn)的軌跡就是以b為心，ba為半徑的一個(gè)圓，那d點(diǎn)是什么呢？留給大家思考一下【思考3】2009,懷柔，二模3 如圖：已知，四邊形 abcd 中,ad/bc, dc1bc,已知 ab=5, bc=6, cosb=-.點(diǎn)0為bc邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)od,以0為圓心，bo為半徑的o0分別交邊ab于點(diǎn)p,交線段od于點(diǎn)m,交射線bc于點(diǎn)n,連結(jié)mn.（1）當(dāng)bo=ad時(shí)，求bp的長(zhǎng)：（2）點(diǎn)0運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在bp=mn的情況？若存在，請(qǐng)求出當(dāng)

25、bo為多長(zhǎng)時(shí)bp=mn；若 不存在，請(qǐng)說(shuō)明理曲；（3）在點(diǎn)0運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，以點(diǎn)c為圓心，cn為半徑作oc,請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)oc存在時(shí)，與oc的位直關(guān)系，以及相應(yīng)的。c半徑cn的取值范圍?！舅悸贩治觥窟@道題和其他題目不同點(diǎn)在于本題牽扯到了有關(guān)圓的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題。在和 圓有關(guān)的問(wèn)題當(dāng)中，時(shí)刻不要忘記的就是圓的半徑始終相等這一個(gè)隱藏的靜態(tài)條 件。本題第一問(wèn)比較簡(jiǎn)單，等腰梯形中的計(jì)算問(wèn)題。第二問(wèn)則需要用設(shè)元的方法表 示出mn和bp,從而討論他們的數(shù)量關(guān)系。第三問(wèn)的猜想一定要記得分類分情況討 論?！舅伎?】2009,北京在 abcd中，過(guò)點(diǎn)c作ce±cd交ad于點(diǎn)e,將線段ec繞點(diǎn)e逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90“得到

26、線段ef（如圖1）（1）在圖1中畫(huà)圖探究：當(dāng)p為射線cd ±任意一點(diǎn)（pi不與c重合）時(shí)，連結(jié)ep繞點(diǎn)e逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線 段ec】.判斷直線fc】與直線cd的位置關(guān)系，并加以證明；當(dāng)p2為線段dc的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)時(shí)，連結(jié)ep2,將線段ep2繞點(diǎn)e逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段ec?.判斷直線c】c2與直線cd的位置關(guān)系，畫(huà)出圖形并直接寫(xiě)出你的結(jié)論.c第25題【思路分析】本題是去年中考原題，雖不是壓軸，但動(dòng)點(diǎn)動(dòng)線一起考出來(lái)，難倒了 不少同學(xué)。事實(shí)上就在于如何把握這個(gè)旋轉(zhuǎn)90。的條件。旋轉(zhuǎn)90°自然就是垂直 關(guān)系，于是又出現(xiàn)了一堆直角三角形，于是證角，證線就手到擒來(lái)

27、了。第二問(wèn)一樣 是利用平行關(guān)系建立函數(shù)式，但是實(shí)際過(guò)程中很多同學(xué)依然忘記分類討論的思想， 漏掉了很多種情況，失分非?？上?。建議大家仔細(xì)研究這道中考原題，按照上面總 結(jié)的一般思路去拆分條件，步步為營(yíng)的去解答。第三部分思考題解析【思考1解析】(1)證明：de丄ec ,zd ec = 90° .zaed + zbec = 90° . 乂 za = zb = 90°, zaed + zeda = 90° . zbec = zeda . :. ade s bec .(2)證明：如圖，過(guò)點(diǎn)e作ef bc ,交cd于點(diǎn)f , a d me是ab的中點(diǎn)，容易證明=在rt

28、adec中，df = cf ,:(ad + bc)=cd.2 2ad + bc = cd .(3)解：的周長(zhǎng)=ae +ad += a+ 加，be = a - m .設(shè) ad = x,則 de = a-x. za = 90° , de2 =ae2+ad2.即a2-2ax + x2 =m2 +x2.a2 -m22a由（1）知/vide s,2 2ct -m.zde的周長(zhǎng) _ ad _ 2a _加 abec的周長(zhǎng)莎a_m 2d 'bec的周長(zhǎng)= ade的周長(zhǎng)=2o.a + m:.bec的周長(zhǎng)與加值無(wú)關(guān).【思考2答案】解： zbpd= 30° ；(2)如圖8,連結(jié)cd.解一

29、：丁點(diǎn)d在zpbc的平分線上,z1=z2.abc是等邊三角形，圖8ba二buac, zacb= 60° .bp=ba,bp=bc.bd= bd,pbd 竺cbd.zbpd二z3. 3 分db=da, bc二ac, cd二cd,bcd 竺/acd.z3 = z4 =丄zac 30。.2zbpd =30°.解二abc是等邊三和形，ba =bc=ac.db=da,cd垂直平分z3 = z4 =丄zac 30。.2bp 二 ba,bp=bc.點(diǎn)d在zpbc的平分線上，pbd與acbd關(guān)于bd所在直線對(duì)稱.zbpd=z3. zbpd =30°.(3) zbpd= 30° 或 150°圖形見(jiàn)圖9、圖10.圖9【思考3解析】解：(1)過(guò)點(diǎn)a作ae丄bc,在rtaabe中,3由 ab=5, cosb=得 be二3.5tcd丄 bc, ad/bc, bc=6, .ad=ec=bc-be=3 當(dāng)bo=ad=3時(shí)， 在o0中，過(guò)點(diǎn)o作oh丄ab,則bh二hp bh3 9 =cosbh = 3 x =.bo5 5 18.bp=.5(2)不存在bp=mn的情況假設(shè)bp=mn成立，vbp和mn為00的弦,則必有zbop=zdoc.過(guò)p作pq丄bc,過(guò)點(diǎn)0作0h丄ab,tcd丄 bc,則有 pq