湖南大學(xué)微積分30-第30講一元微積分應(yīng)用課件

1、高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程腳本編寫：劉楚中第六章 一元微積分的應(yīng)用本章學(xué)習(xí)要求：熟練掌握求函數(shù)的極值、最大最小值、判斷函數(shù)的單調(diào)性、判斷函數(shù)的凸凹性以及求函數(shù)拐點(diǎn)的方法。能運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性、凸凹性證明不等式。掌握建立與導(dǎo)數(shù)和微分有關(guān)的數(shù)學(xué)模型的方法。能熟練求解相關(guān)變化率和最大、最小值的應(yīng)用問題。知道平面曲線的弧微分、曲率和曲率半徑的概念，并能計算平面曲線的弧微分、曲率、曲率半徑和曲率中心。掌握建立與定積分有關(guān)的數(shù)學(xué)模型的方法。熟練掌握“微分元素法”，能熟練運(yùn)用定積分表達(dá)和計算一些幾何量與物理量：平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積、平行截面面積為已知的幾何體的體積、平面曲線的弧長、變力作功、液體

2、的壓力等。能利用定積分定義式計算一些極限。一、冪級數(shù)的解析運(yùn)算三、函數(shù)展開為冪級數(shù)四、函數(shù)展開為冪級數(shù)應(yīng)用舉例第六章 一元微積分的應(yīng)用第四節(jié) 函數(shù)展開為冪級數(shù)二、泰勒級數(shù)1冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)具有內(nèi)閉一致收斂性.該性質(zhì)的證明與阿貝爾定理的證明類似.將函數(shù)項級數(shù)與構(gòu)造的一個常數(shù)項級數(shù)進(jìn)行比較即可.該定理歸功于數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯.魏爾斯特拉斯Weierstrass, K. W 1815 1897 數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯1815年10月31日出生于德國的奧斯登費(fèi)爾特；1897年2月19日卒于柏林。 魏爾斯特拉斯的父親威廉是一名受過高等教育的政府官員，頗具才智，但對子女相當(dāng)專橫。魏爾斯特拉斯11歲喪母，翌

3、年其父再婚。他有一個弟弟和兩個終身未嫁的妹妹，她們一直在生活上照顧終身未娶的魏爾斯特拉斯。1834年其父將他送往波恩大學(xué)攻讀財務(wù)與管理，使其學(xué)到充分的法律、經(jīng)濟(jì)和管理知識，為謀取政府高級職位創(chuàng)造條件。 魏爾斯特拉斯不喜歡父親所選專業(yè)，并令人驚訝地放棄了即將獲得的法學(xué)博士學(xué)位，離開了波恩大學(xué)。在其父親的一位朋友的建議下，再一次被送到一所神學(xué)院學(xué)習(xí)。后來參加并通過了中學(xué)教師資格國家考試，在一所任教。在此期間他撰寫了 4 篇直到他的全集刊印時才問世的數(shù)學(xué)論文。這些論文實際上已顯示了他建立函數(shù)論的基本思想和基本結(jié)構(gòu)。1853年夏他在父親家中度假時,研究阿貝爾和雅可比留下的難題，精心撰寫“阿貝爾函數(shù)”的

4、論文，并于1854年發(fā)表于克雷爾雜志上。這篇出自一個名不見經(jīng)傳的中學(xué)體育教師的杰作，引起了數(shù)學(xué)界的矚目。 1855年秋，魏爾斯特拉斯被提升為高級教師，并享受一年的研究假期。1856 年6 月14日柏林皇家綜合科學(xué)校任命他為數(shù)學(xué)教授，他欣然地接受了聘書。同年的11月19日他當(dāng)選為柏林科學(xué)院院士。1864年成為柏林大學(xué)教授，在此期間魏爾斯特拉斯著手系統(tǒng)地建立數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)，進(jìn)一步研究橢圓函數(shù)論與阿貝爾函數(shù)論。這些工作主要是通過他在該校講授大量的課程完成的。短短幾年他就聞名遐爾,成為德國以至全歐洲知名度最高的教授。1873年他出任柏林大學(xué)校長，從此他成為一個大忙人。繁雜的公務(wù)幾乎占去了他的全部時間，緊

5、張的工作影響了他的健康，使他疲憊不堪，但他的智力未見衰退，研究工作仍繼續(xù)進(jìn)行。 1897年初，魏爾斯特拉斯染上流行性感冒，引發(fā)肺炎,醫(yī)治無效，于1897年2月19日與世長辭，享年 82 歲。 除柏林科學(xué)院外，魏爾斯特拉斯還是格丁根皇家科學(xué)學(xué)會會員（1856年）、巴黎科學(xué)院院士（1868年）、英國皇家學(xué)會會員（1881年）。在某種意義上魏爾斯特拉斯被人們視為德意志的民族英雄。 魏爾斯特拉斯是數(shù)學(xué)分析算術(shù)化的完成者、解析函數(shù)論的奠基人，是無與倫比的大學(xué)數(shù)學(xué)教師。2冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的) ,()(0RRCxfxannn在收斂區(qū)間端點(diǎn)處是指和函數(shù)的左、右連續(xù)性. , ) 1 , 1(

6、0其和為：內(nèi)收斂在 nnx)1 , 1( 11)(Cxxf3冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)具有逐項可積性 dd)(00 0 0 nxnnxnnnttatta在冪級數(shù)的收斂區(qū)間內(nèi), 其和函數(shù)連續(xù), 故冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可積, 當(dāng)然,冪級數(shù)也在其收斂區(qū)間內(nèi)可積.逐項積分得到的新冪級數(shù)與原冪級數(shù)具有相同的收斂半徑, 但端點(diǎn)處的斂散性可能改變. . )1 | ( , 11xxnnn求 , nan由于, 11lim|lim1nnaannnn . ) 1 , 1( 11內(nèi)可逐項積分在故nnxn d d) (0 10 111xnxnnnxxnxxn . 11xxxnn首項為 x , 公比為 x .例1解 d)

7、 (dd 0 1111 xnnnnxxnxxn從而xxx 1dd . ) 1 | ( , )1 (12xx . 1 R即111 212212 xnnnnnxnn1211 212212 xnnnnnxnn12211 212212 xnnnnnxnn 符合積分要求了分析 . 212 1之值求nnn例2 . )2 , 2( 212122的收斂區(qū)間為nnnxn , )2 , 2( 中在 10 220 122d 212 d) 212(nxnnxnnnxxnxxn1122nnnx122 1nnxx22xx 等比級數(shù) . 212 1之值求nnn例2解21222 dd 212 xxxxnnnn故222)2(2

8、xx , 1 得取x . 3 )2(221212221xnnxxn4冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)具有逐項可導(dǎo)性 . )(dddd00nnnnnnxaxxax逐項求導(dǎo)得到的新冪級數(shù)與原冪級數(shù)具有相同的收斂半徑, 但要注意：由于常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零, 故有些冪級數(shù)在求導(dǎo)后要改變下標(biāo)的起始值 .112022)(dd nnnnxnxx例如 , ) 1 |(| 5312 53112之和求xxxxnxnn. ) 12(21 1的值并由此求nnn ,12)( ,12則由令這是缺項的冪級數(shù)nxxunn , 1212lim| )(| )(|lim 221xxnnxuxunnnn . , 1 | ,原級數(shù)絕對收斂時得x例3解由

9、冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的逐項可導(dǎo)性, 得1121121212nnnnnxnx022nnx , 111242xxxxnnxxnx0 2112d1112 故xxxxd1111 210 . ) 1 | ( , 11ln 21xxx ) 12(21 1？的值如何求nnn ) 1 |(| 11ln 2112 112xxxnxnn已知11 12 21 ) 12(21 nnnnnn 12 )2(112nnn112 12 21 21nnn . 1)2ln( 21 21 x取 請自己完成例4分析在收斂區(qū)間內(nèi)對冪級數(shù)逐項求導(dǎo)、逐項積分后, 得到一個新的冪級數(shù), 且它與原冪級數(shù)具有相同的收斂半徑 . 如有必要,可對它

10、連續(xù)進(jìn)行逐項求導(dǎo)和逐項積分.就是說, 在收斂區(qū)間內(nèi)冪級數(shù)的和函數(shù)具有任意階的導(dǎo)數(shù)及任意次的可積性. 冪級數(shù)的性質(zhì)多好啊 ！ 如何將函數(shù)表示為冪級數(shù)?怎么做？怎么做？ ,將函數(shù)表示為我們在前面已經(jīng)遇到過實際上 泰勒公式：多項式的情形200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf . )o()(! )(000)(nnnxxxxnxf 馬克勞林公式： . )o( ! )0( ! 2)0( )0()0()()(2nnnxxnfxfxffxf 嗎？還記得公式的推導(dǎo)過程 將函數(shù)展開為冪級數(shù)得的問題是否就是將函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的問題?一個冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)代表一個函數(shù), 即它的和函數(shù):)

11、,( )(0RRxxSxannn任意一個函數(shù)能否在某一個區(qū)間內(nèi)表示為某一個冪級數(shù)的形式呢 ? 即是否有 ? ) )( ( )()(00 xfxxaxfnnn ? 如何確定系數(shù)na? )( 的關(guān)系如何與xfan工程需要泰勒公式問題回憶泰勒中值定理的構(gòu)建過程 , )U( 0內(nèi)具有足夠階的導(dǎo)數(shù)時當(dāng)函數(shù)在x)o()(! )()(0000)(nnkkkxxxxkxfxf)o()(! )()(101000)(nnkkkxxxxkxfxf按照上面的方法不斷地做下去, 是否有下面的結(jié)論:000)()( )()(nnnxxnxfxf！ 200000)(! 2)()()(xxxfxxxfxf! )(0)(nxfn

12、 等號成立嗎？ 該級數(shù)收斂嗎？ 即算級數(shù)收斂, 其和函數(shù)等于 f (x) 嗎？ )( )U( )( 000即的和函數(shù)，內(nèi)為冪級數(shù)在若nnnxxaxxf)U( ,)()( 000 xxxxaxfnnn . ), 2, 1, 0( ! )( 0)(nnxfann則定理證證由定理的條件可知, , )U( 0內(nèi)冪級數(shù)收斂在x, )U( 0內(nèi)可對其進(jìn)行逐項求導(dǎo)故在x且其和函數(shù). )U( )(0內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)在xxf于是有nnxxaxxaxxaaxf)()()()(020201010203021)()(3)(2)(nnxxnaxxaxxaaxf 204032)(34)(232)(xxaxxaaxf20)

13、() 1(nnxxann)( 23) 1() 1(! )(01)(xxannnanxfnnn則有代入上述各式以 , 0 xx , )(00 xfa , )(01xfa, ! )(0)(nxfann由數(shù)學(xué)歸納法, 得), 2 , 1 , 0( )(0)(nnxfann！該定理說明, 內(nèi)為某個在如果 )U( )( 0 xxf000)()(! )(nnnxxnxf冪級數(shù)的和函數(shù), 則該冪級數(shù)一定是下列形式: )( 0則稱有任意階導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)設(shè)xxf000)()(! )(nnnxxnxf . )( 0處的泰勒級數(shù)在點(diǎn)為xxf 定理和定義給我們提供了什么信息 ?定理和定義告訴我們：0 )( xxf在點(diǎn)如果

14、處有任意階導(dǎo)數(shù), 則它就有一個相應(yīng)的泰勒級數(shù)存在. 但此泰勒級數(shù)不一定收斂, 即算收斂, 其和函數(shù)也不一定等于. )(xf就是說,函數(shù)與它的泰勒級數(shù)間劃等號是條件的.)U( )( 0 xxf在如果內(nèi)可表示為冪級數(shù)的形式, 則該冪級數(shù)一定是函數(shù) f ( x ) 的泰勒級數(shù).問問 題題 ,在什么條件下 ? )U( )(0數(shù)呢內(nèi)可以展開為一個冪級在xxf )( , )(呢？且和函數(shù)等于的泰勒級數(shù)收斂xfxf ,在什么條件下回憶泰勒中值定理的構(gòu)建過程 , ) 1( )U( )( 0則階的導(dǎo)數(shù)內(nèi)有直到在設(shè)nxxf , )()(! )()(000)(xRxxkxfxfnnkkk . )(! ) 1()()

15、( 10)1(為拉格朗日余項其中nnnxxnfxR由級數(shù)的部分和及收斂性質(zhì)看出一點(diǎn)什么沒有 ?定理 , )U( )( 0內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)在設(shè)xxf內(nèi)處的泰勒級數(shù)在在點(diǎn)則 )U( )( 00 xxxf的充要條件是收斂于 )( xf0)(limxRnn )( )( ,0處泰勒公式的拉在為其中xxfxRn. 格朗日余項證 )(! )( 000)(的部分和為級數(shù)nnnxxnxf )(! )()(000)(knkknxxkxfxS )( 的泰勒公式為函數(shù)xf )()(! )()(000)(xRxxnxfxfnknkk)()()( xSxfxRnn故 余下的工作由學(xué)生自己完成.10)1()(! ) 1()

16、()(nnnxxnfxR) , 2 , 1 , 0( | )(| )(nMxfn若推 論, 0 ), 2, 1, (0, | )(| )U( )(0為常數(shù)內(nèi)若在MMxfxn )U( )( 0內(nèi)可展開為泰勒級數(shù)在則xxf. )U( ,)(! )()(0000)(xxxxnxfxfnnn證（提示） )(! ) 1()( | )(| 010)1(nnnxxnfxR)( 0! ) 1(1nnMn . ) (為鄰域半徑 . )( 0! lim ,Ranann此外自己做!0)( ! )0(nnnxnf 2! 2)0()0()0(xfxffnnxnf ! )0()( , 0 0級數(shù)即得到常用的馬克勞林在泰勒

17、級數(shù)中取x , )( 0處具有任意階導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)只要函數(shù)xxf就可寫出它的泰勒級數(shù). 但它的泰勒級數(shù)不一定收斂,. )(xf只有當(dāng)拉格朗日余項 0)()(nxRn時, 泰勒級數(shù)才收斂于 . )(xf一個函數(shù)如果能夠展開為冪級數(shù)形式, 則該冪級數(shù)一定是它的泰勒級數(shù), 且這種展開是唯一的. )(也不一定等于xS即使收斂,其和函數(shù)函數(shù)展開為冪級數(shù)直接展開法間接展開法該方法是先求出函數(shù) , )( )()(xfxfn的導(dǎo)數(shù)寫出它的泰勒級數(shù),然后, 判斷泰勒公式中的拉格朗日余項是否滿足, 0)(limxRnn確定級數(shù)的收斂區(qū)間. )( 為馬克勞林級數(shù)展開xexf) , 2 , 1 , 0( 1)0(0)(ne

18、fxxn 的馬克勞林級數(shù)為xe0! nnnx! 1nxxn 011lim|lim 1naannnn由于 . ,R該級數(shù)的收斂半徑為所以例4解解 ! ) 1(| |! ) 1()( | | )(| 0 1| | 1)1(nxexnfxRnxnnn而 ) 0 (之間與在x , )( 0! lim Ranann因為 ) ) ,( 0! ) 1(|lim 1| xnxenxn所以 , 0)(lim 故所求馬克勞林級數(shù)為即xRnn . ) ,( , ! 0 xnxennx . sin)( 展開為馬克勞林級數(shù)將xxf , )2sin()( )(nxxfn因為)( 12 ,) 1( 2 , 0 )0( ,)(Zkknknfkn所以 sin 的馬克勞林級數(shù)為故x1121 ) 12() 1(nnnnx！! 5! 353xxx例5解解 , ! ) 12() 1()( 121nxxunnn記