高中數(shù)學(xué)函數(shù)：題型分類

1、.高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)生常見問題以及函數(shù)常見題型、解法指導(dǎo)一、學(xué)生常見問題：（一）、認知層面的問題：這個問題是在高一學(xué)習(xí)函數(shù)時就一直在困擾學(xué)生的問題。我們要了解高一學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時產(chǎn)生困難的原因，首先要了解學(xué)生的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)。即學(xué)生在對數(shù)學(xué)對象、數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)經(jīng)驗感知和理解的基礎(chǔ)上形成的一種心理結(jié)構(gòu)。通俗地說：數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)就是人們按照自己的經(jīng)驗與理解，根據(jù)自己的感知、記憶、思維的特點，把數(shù)學(xué)知識在大腦中組合而成的具有內(nèi)部規(guī)律的整體結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)受個體認知特點的制約，具有濃厚的認知主體性與鮮明的個性色彩。高一新生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時的困難正是由于數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)的特點所決定。高一新生在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)時，碰到的困

2、難比如無法理解函數(shù)的概念，無法建立對應(yīng)的觀念，對集合的概念理解不夠透徹等問題，導(dǎo)致高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)存在很大的困難。（二）、基礎(chǔ)知識層面的問題：在進行高三復(fù)習(xí)的時候，同學(xué)們普遍的反映都不太好。原因在于，同學(xué)們感覺學(xué)校老師復(fù)習(xí)得很快。學(xué)校老師的講課思路是先大致的把知識點串講一遍，接著在課上做一些例題，課后給同學(xué)發(fā)一些卷子以做為練習(xí)，這些練習(xí)在做完之后老師也不一定會仔細的講解，知識點的落實也不太扎實。因此同學(xué)感覺老師的復(fù)習(xí)很快。（因此這里學(xué)生會出現(xiàn)的問題就是基礎(chǔ)知識不扎實）那么我們在具體的操作中，首先應(yīng)該了解學(xué)生復(fù)習(xí)的程度。在總復(fù)習(xí)的過程中側(cè)重于整體性，所以可以先了解一下學(xué)生是否有一個整體的框架。（框

3、架的作用是幫助PEC檢查學(xué)生的知識體系是否完善）函數(shù)被分成了兩塊：橫軸和縱軸。（參見策略庫函數(shù)基本概念第一部分）六大基礎(chǔ)函數(shù)抽象函數(shù)復(fù)合函數(shù)三要素性質(zhì)圖像接下來，就是要求學(xué)生能夠?qū)@個表格里的每個點都比較了解。（框架完善了，就要看基礎(chǔ)知識點是否真的落實）首先這六大基礎(chǔ)函數(shù)，學(xué)生是否都了解呢？包括：正比例函數(shù)，反比例函數(shù)，一次函數(shù)，二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)。只有指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)是在高中的時候新學(xué)的，其他函數(shù)都是以前的時候就學(xué)過的。但是在考試當中會結(jié)合到一起，尤其是二次函數(shù)。抽象函數(shù)就是在考察的時候只告訴函數(shù)的一些基本性質(zhì)，進行一些證明等等。復(fù)合函數(shù)就是這種形式的函數(shù)，因此在跟學(xué)生交流的時候

4、，如果學(xué)生沒有這樣一個整體知識框架，可以讓學(xué)生首先熟悉這一塊的內(nèi)容，因為這是屬于知識層面比較基礎(chǔ)的部分。函數(shù)性質(zhì)和圖像的內(nèi)容，同樣要看學(xué)生是否都知道，如果掌握的不是特別清楚，那么都屬于基礎(chǔ)知識層面的問題。（三）、（接下來）基本題型的問題可以按照表格中體現(xiàn)出的順序來考察學(xué)生基本題型的能力。（1）定義域相關(guān)的基本題型兩類：1.給定函數(shù)式，在函數(shù)式當中有些限定性的條件，如存在，以及對數(shù)要求大于零，以及存在分母（分母不能為零）等等基本的方式去求定義域。2.復(fù)合函數(shù)求定義域的問題。復(fù)合函數(shù)求定義域是很嚴格的。就是這樣一層一層的函數(shù)順序下來要求的。如，首先就要求其中必須符合的定義域的要求；其次我們才去看各

5、自要按照哪個函數(shù)要求去求定義域，需要符合函數(shù)的定義域要求，需要符合函數(shù)的定義域要求。其實就是兩點：首先，只要是同一函數(shù)對應(yīng)法則，括號內(nèi)的式子的范圍都是一樣的。第二點就是求定義域，是求最核心的自變量的范圍。（2）值域相關(guān)的基本題型（其實關(guān)鍵的就是幾種方法）1.二次函數(shù)的值域問題。而且這是最為關(guān)鍵的問題。簡單的二次函數(shù)，就可以通過頂點和最值等來求值域。困難的地方在于函數(shù)有參數(shù)的問題。帶有參數(shù)的二次函數(shù)值域的問題也被我們稱為限定性的二次函數(shù)求值域問題。也就是說，自變量的取值不是全體實數(shù)，而是在一定范圍之內(nèi)，如，求函數(shù)的值域的問題。解決的辦法只有一種，即分類討論。分類討論時需要注意的是，對稱軸是在a的

6、左端、在b的右端還是位于區(qū)間之內(nèi)，因此需要分類討論的就是分這三類。（這個問題只要反復(fù)的練是可以達到效果的）2.換元法（也是最常用的方法），轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)。這種題的特點是，題目中的自變量的次數(shù)關(guān)系是倍半關(guān)系，如，都可以利用換元的方法把題目轉(zhuǎn)換成上面第一類的問題。3.利用函數(shù)的單調(diào)性求值域。當前兩種辦法不能用的時候，都可以考慮函數(shù)的單調(diào)性。因此這里存在函數(shù)是否存在單調(diào)性的問題。有兩種方式，一種就是平時題目的積累；一種就是猜測，去試這個函數(shù)的單調(diào)性(因為知道單調(diào)性要去證明單調(diào)性并不是一個困難的問題)，單調(diào)性的利用其實也是在利用函數(shù)的圖像。4.運用均值不等式。但是均值不等式適用的范圍比較窄，且函數(shù)的形

7、式也是比較固定的。一般來說都是函數(shù)帶有分母的。如等這樣的形式可以利用均值不等式。5.數(shù)形結(jié)合。這種類型的題目也是比較特殊的。一般的形式如，兩個根號的和的形式。根號下的函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為點線的距離和兩點間的距離。6.反解法。這種方法也就是說這個函數(shù)的定義域是比較清晰的，就可以寫出反函數(shù)，利用反函數(shù)來求原函數(shù)的值域。這種方法要求原函數(shù)得存在反函數(shù)，即是一一對應(yīng)的。這樣反函數(shù)才存在，才可以反解。7.“”法。這種方法適用于這種形式的函數(shù)，“”法就是把分母乘到左邊去，然后整理成一個關(guān)于降冪排列的方程，然后利用來求的取值范圍。這些方法中，常用的就是1、2、3、7這幾種方法。其他的幾種就題型也是比較單一的。（3

8、）求解析式（方法比較少，考得也不多）1.配 和 湊利用它的形式，湊出這樣的形式，這要求學(xué)生做題目比較有感覺。2.待定系數(shù)法。即設(shè)，再利用已知條件把的取值確定。（4）單調(diào)性、周期性、奇偶性、對稱性1.首先，得知道這幾個性質(zhì)的概念各自的確定的含義。學(xué)生面臨的問題就是比較偏向于用一個特定的數(shù)代入函數(shù)，以此來判斷函數(shù)的單調(diào)性或者奇偶性等。其實核心在于他們對于恒成立這個概念的理解存在偏差，比較模糊。因為函數(shù)的性質(zhì)是對于定義域范圍內(nèi)任意的x都成立的。因此，在證明的過程中，不能用一些特定的數(shù)代入函數(shù)，因為這只是猜測函數(shù)的性質(zhì)的一種方法。2.各種性質(zhì)的代數(shù)形式。單調(diào)性：定義域內(nèi) 單調(diào)增奇偶性：定義域內(nèi) 為偶函

9、數(shù) 為奇函數(shù)周期性：定義域內(nèi) a為周期對稱性：包括關(guān)于軸對稱，關(guān)于點對稱， 如關(guān)于函數(shù)關(guān)于對稱，則這個可以讓學(xué)生去歸納。3.解題時，題目基本都是抽其中的一條性質(zhì)或者兩條性質(zhì)結(jié)合起來考查。如 說到奇偶性 如周期性 在三角函數(shù)里運用的比較多 另外就對稱性就跟剛才需要學(xué)生去總結(jié)的內(nèi)容相同。二、解決學(xué)生認知障礙的策略：（1）在高一新學(xué)期開始之時，做好如下幾件事：一是要對學(xué)生進行高中數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)特點和知識系統(tǒng)構(gòu)成的講解，使其盡快進入角色，盡快適應(yīng)高中數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的要求。二是要幫助學(xué)生盡快調(diào)整相關(guān)心理結(jié)構(gòu)，以盡快適應(yīng)高中數(shù)學(xué)的認知結(jié)構(gòu)?？梢詮恼J知方法、認知結(jié)構(gòu)及認知層次等方面，給學(xué)生講清初中與高中的認知差

10、異及調(diào)整方法，從而幫助學(xué)生及早做好心理上的準備。三是要從高中與初中數(shù)學(xué)的思想方法和學(xué)習(xí)方法等方面給學(xué)生講清二者之間的差異，讓學(xué)生了解高中數(shù)學(xué)的思想方法和學(xué)習(xí)方法，為學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)知識作好思想和方法上的準備。具體可以從初、高中的教材教法、思想方法和學(xué)習(xí)方法的差異入手進行調(diào)整，與高中比較，初中明顯存在著時間多、形象記憶多、強化訓(xùn)練多，教材內(nèi)容少、抽象思維少、靈活應(yīng)用少；讓學(xué)生了解在初中通過強化記憶和題海戰(zhàn)術(shù)來提高成績是可能的，甚至是行之有效的方法。但將此類方法克隆到高中的學(xué)習(xí)中則是行不通的，甚至是根本不可能實現(xiàn)的。    （2）注重對比。從學(xué)生初中的數(shù)學(xué)知識和

11、數(shù)學(xué)經(jīng)驗與新的高中數(shù)學(xué)知識的矛盾入手幫助學(xué)生消除數(shù)學(xué)認知障礙，盡快實現(xiàn)高中數(shù)學(xué)知識與初中數(shù)學(xué)知識和知識經(jīng)驗的重新組織。在這方面要充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，充分利用課堂教學(xué)的便利條件，在課堂教學(xué)過程中要有意識地進行新、舊知識和新、舊方法的對照、比較。讓學(xué)生通過自己的觀察、比較、反思、總結(jié)、批判達到吸收、消化、升華的目的。實現(xiàn)新的數(shù)學(xué)知識與初中的數(shù)學(xué)經(jīng)驗、數(shù)學(xué)知識互相促進、協(xié)調(diào)發(fā)展。    （3）對于那些習(xí)慣于知識堆積的同學(xué)要有意識地對其進行高中數(shù)學(xué)思維特征及思想方法的輔導(dǎo)。一方面要積極發(fā)揮其直觀、形象記憶好的優(yōu)勢，另一方面要通過課堂教學(xué)發(fā)展其抽象、形式的思維

12、方法，樹立學(xué)習(xí)信心，培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣，以期盡快消除數(shù)學(xué)認知的障礙，走出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的誤區(qū)。    （4）形象直觀。由數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)層次不同造成的數(shù)學(xué)認知障礙，解決方法是教師要通過課堂教學(xué)積極地加以引導(dǎo)，課堂教學(xué)要充分利用學(xué)生的直觀、形象思維好的特點，在抽象性較強的概念教學(xué)時要通過創(chuàng)設(shè)恰當?shù)膯栴}情景與學(xué)習(xí)情景從實際問題和形象化入手，直觀、形象的自然引入，盡量避免過多的抽象性講解，幫助學(xué)生盡可能的縮短適應(yīng)高中數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)的過程，減少由于數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)的層次不同所帶來的認知障礙的負面影響。     （5）針對學(xué)生由于數(shù)學(xué)認

13、知結(jié)構(gòu)的動態(tài)性所造成的認知障礙，還是要從動態(tài)性入手加以解決。首先要從其心理上加以調(diào)整，要學(xué)生明確這種心理障礙的存在是客觀事物發(fā)展的必然規(guī)律，是人人都必須面對的客觀事實，是每一個同學(xué)都會遇到的必然矛盾，它的存在并不可怕。關(guān)鍵是我們?nèi)绾蚊鎸?。正確的態(tài)度是認真對待、理智應(yīng)對，盡快找到解決問題的方法，盡早消除此類認知障礙。其次在日常教育教學(xué)過程中要充分發(fā)揮數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)動態(tài)能動性的積極作用，當新的問題情景出現(xiàn)的時候要積極引導(dǎo)學(xué)生用他們過去已有的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)對所面臨的問題進行加工和處理，在這個過程中教師要通過創(chuàng)設(shè)不同的問題情景，強化新、舊知識結(jié)構(gòu)和新、舊認知結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生不斷的補充、修正過去已有

14、的知識結(jié)構(gòu)和認知結(jié)構(gòu)，加快建立新的知識結(jié)構(gòu)和認知結(jié)構(gòu)，以盡快適應(yīng)高中數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)和認知結(jié)構(gòu)的要求。    心理學(xué)的研究表明，認知一致性是人們認知結(jié)構(gòu)發(fā)展的心理機制。無論是新概念的引入、新命題的發(fā)現(xiàn)，還是新問題的解決，都能導(dǎo)致學(xué)生的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)出現(xiàn)失衡。而在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，通過概念的掌握、技能的形成以及數(shù)學(xué)問題的解決，其數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)將會取得新的平衡。在舊的認知結(jié)構(gòu)平衡被打破、新的認知結(jié)構(gòu)平衡重新建立的過程中，數(shù)學(xué)教師起著重要的作用，只要我們能持之以恒，不斷研究，就能夠在一定程度上消除數(shù)學(xué)認知障礙，實現(xiàn)認知結(jié)構(gòu)的平衡與和諧，從而實現(xiàn)有效學(xué)習(xí)，達 到掌握學(xué)習(xí)

15、的目的。函數(shù)的定義域及其求法函數(shù)的定義域及其求法是近幾年高考考查的重點內(nèi)容之一.這里主要幫助考生靈活掌握求定義域的各種方法，并會應(yīng)用用函數(shù)的定義域解決有關(guān)問題.其中復(fù)合函數(shù)定義域的問題就是定義域中最復(fù)雜的問題，核心在于對函數(shù)的定義域概念的理解。（單純考察定義域）例1已知函數(shù)的定義域為M，g(x)=的定義域為N，則MN= （A） （B） （C） （D）命題意圖: 本題主要考查含有分式、無理式和對數(shù)的函數(shù)的定義域的求法.解：函數(shù)的定義域M= g(x)=的定義域N=MN=故選C（考察常見函數(shù)的定義域）例2. 函數(shù)的定義域是( )（A）(3,+) （B）3, +) （C）(4, +) （D）4, +)

16、命題意圖: 本題主要考查含有無理式和對數(shù)的函數(shù)的定義域的求法.解：由，故選D.（復(fù)合函數(shù)的定義域）例3若函數(shù)的定義域是0，1，求的定義域；若的定義域是-1，1，求函數(shù)的定義域；已知定義域是，求定義域點評：解決復(fù)合函數(shù)問題，一般先將復(fù)合函數(shù)分解，即它是哪個內(nèi)函數(shù)和哪個外函數(shù)復(fù)合而成的 解答： 函數(shù)是由A到B上的函數(shù)與B到C上的函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)函數(shù)的定義域是0，1，B=0,1，即函數(shù)的值域為0，1，即，函數(shù)的定義域0， 函數(shù)是由A到B上的函數(shù)與B到C上的函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的定義域是-1，1，A=-1,1，即-1，,即的值域是-3，1，的定義域是-3，1點評：若已知的定義域為，則的定義域就是不等式

17、的的集合；若已知的定義域為，則的定義域就是函數(shù) 的值域。 函數(shù)是由A到B上的函數(shù)與B到C上的函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的定義域是-4，5),A=-4,5)即，即的值域B=-1，8）又是由到上的函數(shù)與B到C上的函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，而,從而的值域的定義域是1，）例4已知函數(shù)定義域是（a,b），求的定義域解：由題， 當，即時，不表示函數(shù)；當，即時，表示函數(shù)，其定義域為說明： 已知的定義域為(a,b)，求的定義域的方法：已知的定義域為，求的定義域。實際上是已知中間變量的的取值范圍，即，。通過解不等式求得的范圍，即為的定義域。 已知的定義域為(a,b)，求的定義域的方法：若已知的定義域為，求的定義域。實際上是已

18、知直接變量的取值范圍，即。先利用求得的范圍，則的范圍即是的定義域。如果能夠?qū)⒁陨系暮瘮?shù)定義域問題都解決，高中數(shù)學(xué)函數(shù)定義域的問題對于學(xué)生而言已經(jīng)沒有任何問題！函數(shù)解析式的求法綜述在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，會遇到求函數(shù)解析式的一類題，這里是指已知或，求或，或已知或，求或等復(fù)合函數(shù)的解析式，這些問題是學(xué)生在學(xué)習(xí)中感到棘手的問題。常用的解法如下：一、定義法：例1：設(shè)，求.解： =例2：設(shè)，求.解：設(shè)例3：設(shè)，求.解：又故例4：設(shè).解：.二、待定系數(shù)法：例5：已知，求.解：顯然，是一個一元二次函數(shù)。設(shè)則 又比較系數(shù)得： 解得：三、換元（或代換）法：例6：已知求.解：設(shè)則則例7：設(shè)，求.解：令又例8：若 （1）

19、在（1）式中以代替得即 （2）又以代替（1）式中的得： （3）例9：設(shè)，求。解： （1）用來代替，得 （2）由四、反函數(shù)法：例10：已知，求.解：設(shè)，則 即代入已知等式中，得：五、特殊值法：例11：設(shè)是定義在N上的函數(shù)，滿足，對于任意正整數(shù)，均有，求.解：由，設(shè)得：即：在上式中，分別用代替，然后各式相加可得：六、累差法：例12：若，且當，求.解：遞推得： 以上個等式兩邊分別相加，得：七、歸納法：例13：已知，求.解：，依此類推，得再用數(shù)學(xué)歸納法證明之。八、微積分法：例14：設(shè)，求.解：因此反函數(shù) 一、定義與簡單說明1認知高中數(shù)學(xué)對函數(shù)的研究是以映射的觀點來進行的，回顧前面研究映射時我們定義了一

20、個特殊映射.一一映射. 若將某映射f:的對應(yīng)關(guān)系調(diào)轉(zhuǎn)，只有一一映射能夠保證調(diào)轉(zhuǎn)后的對應(yīng)仍是映射，稱這一映射f-1:為原映射的逆映射. 若將前述一一映射限制在數(shù)集到數(shù)集上，就可以得到我們這里研究的反函數(shù). 定義: 如果確定函數(shù)y=f(x)，xA的映射f:AB(f:y=f(x), xA)是從A到B上的一一映射，則它的逆映射f-1:BA(f-1:yx=f-1(y), yB). 所確定的函數(shù)y=f-1(x), xB稱為y=f(x),xA的反函數(shù). 2反函數(shù)存在的條件 按照函數(shù)定義，y=f(x)定義域中的每一個元素x，都唯一地對應(yīng)著值域中的元素y，如果值域中的每一個元素y也有定義域中的唯一的一個元素x和

21、它相對應(yīng)，即定義域中的元素x和值域中的元素y，通過對應(yīng)法則y=f(x)存在著一一對應(yīng)關(guān)系，那么函數(shù)y=f(x)存在反函數(shù)，否則不存在反函數(shù)例如：函數(shù)y=x2,xR，定義域中的元素±1，都對應(yīng)著值域中的同一個元素1，所以，沒有反函數(shù)而y=x2, x1表示定義域到值域的一一對應(yīng)，因而存在反函數(shù)3函數(shù)與反函數(shù)圖象間的關(guān)系 函數(shù)y=f(x)和它的反函數(shù)y=f-1(x)的圖象關(guān)于y=x對稱若點(a,b)在y=f(x)的圖象上，那么點(b,a)在它的反函數(shù)y=f-1(x)的圖象上 4反函數(shù)的幾個簡單命題 （1）一個奇函數(shù)y=f(x)如果存在反函數(shù)，那么它的反函數(shù)y=f-1(x)一定是奇函數(shù) （2

22、）一個函數(shù)在某一區(qū)間是（減）函數(shù)，并且存在反函數(shù)，那么它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間也是增（減）函數(shù)二、說明及性質(zhì) 1由定義和f(x)存在反函數(shù)的充要條件是它的映射為一一映射. 如f(x)=x2(xR)無反函數(shù)（非一一），g(x)=x2+1(x0)有反函數(shù)，因為它是到1，+）上的一一映射. 2f(x),xA和f-1(x), xB互為反函數(shù). 3原函數(shù)的定義域是其反函數(shù)的值域，原函數(shù)的值域是其反函數(shù)的定義域. 4單調(diào)函數(shù)具有反函數(shù)，因為單調(diào)一一映射有反函數(shù). 可見函數(shù)在區(qū)間上具單調(diào)性是它有反函數(shù)的充分不必要條件. 如函數(shù)y=(x0), 其反函數(shù)與自身相同，但它在(-,0)(0,+)上不具單調(diào)性. 5若b=

23、f(a), 則 a=f-1(b),即(a, b)在函數(shù)圖象上，則(b, a)在其反函數(shù)圖像上；反之也對.利用這一點可以把反函數(shù)上點的問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)上的點的問題. 6xA, f-1f(x)=x; xB, ff-1(x)=x. 7原函數(shù)與反函數(shù)圖象關(guān)于y=x對稱. 8單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)與原函數(shù)具有相同的單調(diào)性. 奇函數(shù)如果有反函數(shù)，則其反函數(shù)也是奇函數(shù).需要認識到，奇函數(shù)不一定有反函數(shù). 如：y=x3-x, 當y=0時x=0, ±1, 這不是一一映射，因此不具有反函數(shù).但偶函數(shù)是不是一定沒有反函數(shù)？如y=f(x)，x0, y0,其圖象就是原點.它是偶函數(shù)，也具有反函數(shù)（即自身）. 三、

24、求反函數(shù)的一般步驟 1求D,因為原函數(shù)的值域R是反函數(shù)的定義域，這定義域在結(jié)論中是必須指出的. 2在原函數(shù)的解析式中反求x，寫成x=g(y). 3x, y互換，即將反函數(shù)寫成y=g(x)因為習(xí)慣上通常將x作為自變量. 4下結(jié)論（注意給出反函數(shù)定義域） 四、例題. 例1已知f(x)=(0x4), 求f(x)的反函數(shù). 分析：這里要先求f(x)的范圍（值域）. 解：0x4,0x216, 925-x225, 3y5, y=, y2=25-x2, x2=25-y2. 0x4,x=(3y5) 將x, y互換， f(x)的反函數(shù)f-1(x)=(3x5). 例2已知.f(x+1)=x2-3x+2, x(-,

25、),求.f-1(x). 分析：本題是求函數(shù)解析式與求反函數(shù)兩類問題的稼接，因此可套用相應(yīng)方法分別處理. 解：(1)求f(x)解析式（用換元法）令t=x+1, t<, x=t-1, f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6, t(-,).即y=f(x)=x2-5x+6, x(-,). 這是f(x)的單調(diào)區(qū)間，存在反函數(shù). (2)求反函數(shù)易知 y(-,+).y=(x-)2-, (x-)2=y+, x<, x-<0, x-=-(y>-). x=-(y>-). f-1(x)=-(x>-). 例3已知f(x)=，求f-1(x). 分析：求分數(shù)函數(shù)的反函

26、數(shù)問題，應(yīng)逐段求其反函數(shù)，再合并. 解：當x0時，y=x+11,y1,+), f-1(x)=x-1 (x1) 當x<0時，y=1-x2<1, y(-,1).反解 x2=1-y, x=-(y<1) f-1(x)=-(x<1) 綜上f-1(x)=. 例4已知f(x)=(x3), 求f-1(5). 分析：這里應(yīng)充分理解和運用反函數(shù)的自變量就是原函數(shù)的函數(shù)值，所求的反函數(shù)的函數(shù)值就是原函數(shù)的自變量這一事實，轉(zhuǎn)化成方程問題. 解：設(shè)f-1(5)=x0, 則 f(x0)=5,即 =5 (x03) x02+1=5x0-5, x02-5x0+6=0. 解得：x0=3或x0=2(舍） f

27、-1(5)=3. 例5設(shè)點（4，1）既在f(x)=ax2+b (a<0,x>0)的圖象上，又在它的反函數(shù)圖象上，求f(x)解析式. 分析：由前面總結(jié)的性質(zhì)我們知道.點（4，1）在反函數(shù)的圖象上，則點（1，4）必在原函數(shù)的圖象上.這樣就有了兩個用來確定a,b的點，也就有了兩個求解a,b的方程. 解：解得.a=-, b=, f(x)=-x+. 另這個題告訴我們.函數(shù)的圖象若與其反函數(shù)的圖象相交，交點不一定都在直線y=x上.這一點好些同學(xué)弄不清楚. 例6已知f(x)=的反函數(shù)為f-1(x)=,求a,b,c的值. 分析：注意二者互為反函數(shù)，也就是說已知函數(shù)f-1(x)=的反函數(shù)就是含字母的

28、反函數(shù)f(x). 解：求f-1(x)=的反函數(shù)，令f-1(x)=y有yx-3y=2x+5. (y-2)x=3y+5 x=(y2),f-1(x)的反函數(shù)為 y=.即 =， a=3, b=5, c=-2. 典型題目 題目一：（1999年全國高考試題）已知映射f:AB，其中，集合A=-3,-2,-1,1,2,3,4，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且對任意的aA，在B中和它對應(yīng)的元素是a，則集合B中元素的個數(shù)是（ ）. A、4B、5C、6D、7 分析：根據(jù)映射的基本概念：“映射允許集合A中的不同元素在集合B中有相同的象.”來解題. 解：已知映射f: AB，在集合A=-3,-2,-1,1,2

29、,3,4中共有7個元素，其中兩個不同元素-3, 3對應(yīng)B中相同的象|±3|=3，-2，2對應(yīng)B中相同的象|±2|=2，-1，1對應(yīng)B中相同的象|±1|=1，4對應(yīng)B中的象|4|=4.故本題應(yīng)選擇（A）. 評述：（1）映射是兩個集合A與B之間的一種特殊反應(yīng)，它的特點是對于集合A中任一元素，集合B中都有唯一元素和它對應(yīng)；集合A中不同的元素在B中可以有不同的象，也可以有相同的象；集合B中的元素可以有原象，也可以沒有原象. （2）映射具有方向性，即從A到B的映射與從B到A的映射一般是不同的映射. 題目二:函數(shù)y=f(x+1)與函數(shù)y=f-1(x+1)的圖象（ ） . A、

30、關(guān)于直線y=x對稱 B、關(guān)于直線y=x+1對稱 C、關(guān)于直線y=x-1對稱 D、關(guān)于直線y=-x對稱 解答：y=f(x+1)與y=f-1(x+1)圖象是分別將y=f(x), y=f-1(x)的圖象向左平移一個單位所得， y=f(x)與y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱，y=x向左平移一個單位而得y=x+1. 故選B. 題目三:定義在R上的函數(shù)y=f(x)有反函數(shù)，則函數(shù)y=f(x+a)+b的圖象與y=f-1(x+a)+b的圖象間的關(guān)系是（）. A、關(guān)于直線y=x+a+b對稱B、關(guān)于直線x=y+a+b對稱 C、關(guān)于直線y=x+a-b對稱D、關(guān)于直線x=y+a-b對稱 解答:將y=x向左平移

31、a個單位，向上平移b個單位得y=x+a+b，故選A. 題目四：求下列函數(shù)的反函數(shù)： (1)y=x2+2x-2, x-3,-2; (2)y=. 解：（1） y=(x+1)2-3, x-3,-2, -2y1且(x+1)2=y+3. x+1=-, y=-1-, 所求反函數(shù)y=-1-2x1. (2)若x0，則y=x20, x=-. 若x>0, 則 y=-x-1<-1, x=-y-1. 所求反函數(shù)y=. 評注：求函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)的一般步驟是 （1）確定原函數(shù)的值域，也就是反函數(shù)的定義域 （2）由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y). （3）將x、y交換位置得y=f-1(x) （4

32、）求分段函數(shù)的反函數(shù)，應(yīng)分別求出各段的反函數(shù)，它們聯(lián)合在一起構(gòu)成原函數(shù)的反函數(shù) 題目五：已知點（1，2）既在y=的圖象上，又在它反函數(shù)的圖象上，求a,b 解：點（1，2）在y=上， 2=.(1) 點（1，2）在y=的反函數(shù)的圖象上，點（2，1）在y=上， 1=.(2)由(1),(2)得a=-3, b=7 評議：本題目巧妙的運用了：若點(a,b)在y=f(x)的圖象上，那么點(b,a)在它的反函數(shù)y=f-1(x)的圖象上 題目六：若函數(shù)f(x)的圖象過（0，1）點，則f-1(x+4)的圖象必過點_ 分析：f(x)的圖象過（0，1）點， f-1(x)的圖象過（1，0）點，而f-1(x+4)的圖象是

33、把y=f-1(x)的圖象向左平移4個單位而得到的，故f-1(x+4)的圖象過(-3,0)點 題目七：設(shè)y=f(x)=, y=g(x)的圖象與 y=f-1(x+1)的圖象關(guān)于y=x對稱，求g(3)的值 解：由y=f-1(x+1), f(y)=x+1. x=f(y)-1, y=f(x)-1是y=f-1(x+1)的反函數(shù)，即它們關(guān)于y=x對稱所以g(x)=f(x)-1, g(3)=f(3)-1=-1= 分析：還可以先求出f-1(x)，然后求f-1(x+4)，然后求出f-1(x+4)的反函數(shù)就是y=g(x)的表達式子. 評注：靈活應(yīng)用反函數(shù)的定義，顯得輕盈活潑 題目八：設(shè)y=f(x)是單調(diào)函數(shù)，求證：

34、f(x)的反函數(shù)y=f-1(x)是單調(diào)函數(shù)，且其增減性與f(x)增減性一致 證明：以y=f(x)為增函數(shù)時情況加以證明，用反證法 設(shè)x1<x2, y1=f-1(x1), y2=f-1(x2), 證明y1<y2. 反之若y1y2, 由于f(x)是增函數(shù)，f(y1)f(y2), 而f(y1)=x1, f(y2)=x2, x1x2與x1<x2矛盾， y1<y2, 即f-1(x)為增函數(shù)當y=f(x)是減函數(shù)時，同理可證 題目九：函數(shù)y=f(x)=(1+)2-2(x-2), 求方程f(x)=f-1(x)的解集 分析：若先求出反函數(shù)f-1(x)=2-2(x-2)，再求它的解集，這

35、時由題設(shè)有2-2=(1+)2-2. 整理得四次方程，求解有困難，但我們可利用y=f(x)與y=f-1(x)的圖象關(guān)系求解 首先畫出y=f(x)=(1+)2-2的圖象，如圖所示因為互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象是關(guān)于直線y=x對稱的，故立即可畫出y=f-1(x)的圖象，由圖可見兩圖象恰有兩個交點，且交點在y=x上，因此可由方程組： 解得 x=2或-2, 從而得方程f(x)=f-1(x)的解集為-2,2函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點內(nèi)容之一，它是研究和記憶函數(shù)性質(zhì)的直觀工具，利用它的直觀性解題，可以起到化繁為簡、化難為易的作用.因此，讀者要掌握繪制函數(shù)圖象的一般方法，掌握函數(shù)圖象變化

36、的一般規(guī)律，能利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì).此類題目還很好的考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想.重點、難點：函數(shù)的構(gòu)造思想、數(shù)形結(jié)合與分類思想的運用函數(shù)與方程和不等式有緊密的聯(lián)系.我們對方程不等式的研究，可以采取構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)圖象進行直觀的分析和解決問題，在這種解決問題的過程中體現(xiàn)了構(gòu)造的思想和數(shù)形結(jié)合的思想.方程的問題幾乎滲透到高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的每個環(huán)節(jié)，方程問題的重點是：實系數(shù)一元二次方程根的討論，簡單的指數(shù)、對數(shù)方程；熱點是含參數(shù)的對數(shù)、指數(shù)方程.解決這部分內(nèi)容，經(jīng)常用到的解決問題的思想和方法有：函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想. 典型例題： 例題1：若方程ax2-2x+1=0(a>

37、0)的兩根滿足：x1<1, 1<x2<3, 求a的取值范圍. 分析：由一元二次方程聯(lián)想到一元二次函數(shù)，利用函數(shù)解決方程問題比較方便，一元二次方程的根和一元二次函數(shù)與x軸的交點情況有關(guān)系. 略解：令y=ax2-2x+1,從圖象可以得到， 解次不等式組就可以求出a的范圍來（a>0）. 例題2：討論方程|x2-2x-3|=a,aR的實數(shù)解的個數(shù) 分析：通過觀察方程兩邊可以令為兩個函數(shù)，求方程解個數(shù)的問題就轉(zhuǎn)換成了求函數(shù)圖象交點個數(shù)的問題了. 解：作出函數(shù)y= x2-2x-3=(x-1)2-4的圖象,保留其位于x軸上方的部分,將位于x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方,便可得到函

38、數(shù)y=|x2-2x-3|的圖象 （如圖）再討論它與直線y=a的交點個數(shù)即可（1）當a0時,解的個數(shù)是0； （2）當a=0時或a4時,解的個數(shù)是2； （3）當0a4時,解的個數(shù)是4；（4）當a=4時,解的個數(shù)是3點評：將方程和函數(shù)緊密聯(lián)系起來，利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題比較方便. 例題3：已知方程(2-2k)2=ax(kN)在區(qū)間2k-1，2k+1上有兩個不等實根，求a的取值范圍. 分析：將方程左、右兩邊看成一個二次函數(shù)和一個一次函數(shù)，畫出它們的圖像如圖所示，則將原方程在區(qū)間2k-1, 2k+1上有兩個不等實根問題，轉(zhuǎn)化為兩圖像在此區(qū)間有兩個交點問題. 解：設(shè)f(x)=(x-2k)2，g(x)=a

39、x，x2k-1, 2k+1，在同一坐標系中作出二者的圖像，則原方程在2k-1, 2k+1上有兩個不相等的實根等價于兩圖像在區(qū)間2k-1, 2k+1上有兩個不同的交點. 所以直線l：y=ax應(yīng)介于射線Ox與OB（包括OB）之間，B點坐標為（2k+1, 1） kOx<klKOB，即0<a 點評：kOx，kl，kOB分別表示直線的斜率，相當于一次函數(shù)y=kx+b中的k，過一、三象限的直線越靠近y軸k就越大. 例題4：若方程有實數(shù)解，求的范圍. 分析：這個題目可以直接利用求解對數(shù)方程的方法去求，但是比較煩瑣，可以考慮用構(gòu)造思想，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化求解。 解：由，令，表示以原點為圓心， 半徑為的

40、半圓（由變成，變成，可以看成是到原點的距離等于的點的集合）， 如圖；令y=x-a(y>0),它表示一射線（不含端點），其中a的幾何意義是射線在x軸上的端點.由圖象可以得到當?shù)臅r候，兩曲線有交點，所以a的范圍是 點評：這個題目沒有采用分類討論的思想，采取數(shù)形結(jié)合的思想，避免了煩瑣的代數(shù)運算，解題目的時候要靈活運用數(shù)學(xué)的思想方法. 例題5：解不等式x+a(a>0). 分析：一種方法是列出等價的不等式組求解；另一種方法是在同一坐標系內(nèi)分別畫出左、右兩邊函數(shù)的圖像，再根據(jù)圖像去分析. 解一：轉(zhuǎn)化為解不等式組 或解得：-a<x<0. 解二：令y=和y=x+a，在同一坐標系內(nèi)作y=

41、和y=x+a的圖像如圖所示，并用解方程x+a的方法求出交點A的橫坐標為-a，由圖像知原不等式的解集為：x|-a<x<0. （y=可以變形為，是一個圓的方程） 點評：正確繪制圖形,以反映圖形中相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系.善于觀察圖形,以揭示圖形中蘊含的數(shù)量關(guān)系.象這一類好字母系數(shù)的不等式問題，通過圖象求解，直觀而簡潔，在求交點時需要計算，而在確定不等式解集時需要看圖，體現(xiàn)數(shù)與形的結(jié)合. 函數(shù)綜合問題函數(shù)綜合問題是歷年高考的熱點和重點內(nèi)容之一，一般難度較大，考查內(nèi)容和形式靈活多樣. 這里主要幫助考生在掌握有關(guān)函數(shù)知識的基礎(chǔ)上進一步深化綜合運用知識的能力，掌握基本解題技巧和方法，并培養(yǎng)讀者的思維和創(chuàng)

42、新能力.例1已知（）若k = 2，求方程的解；（）若關(guān)于x的方程在（0，2）上有兩個解x1，x2，求k的取值范圍，并證明命題意圖：本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)、方程與函數(shù)的關(guān)系等基礎(chǔ)知識，以及綜合運用所學(xué)知識、分類討論等思想方法分析和解決問題的能力。 （I）解：當 分兩種情況討論： 當， 方程化為 當， 方程化為1+2x = 0， 解得， 由得， （II）解：不妨設(shè)， 因為 所以是單調(diào)遞函數(shù)， 故上至多一個解， 方法一： 方法二： 因為； 因為， 由消去k，得 復(fù)合函數(shù)問題復(fù)合函數(shù)問題,是新課程、新高考的重點.此類題目往往分為兩類:一是結(jié)合函數(shù)解析式的求法來求復(fù)合函數(shù)的值.二是應(yīng)用已知函數(shù)定義域

43、求復(fù)合函數(shù)的定義域.例1對于函數(shù)，判斷如下兩個命題的真假：命題甲：是偶函數(shù)；命題乙：在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；能使命題甲、乙均為真的所有函數(shù)的序號是（）命題意圖: 本題主要考查利用復(fù)合函數(shù)和函數(shù)單調(diào)性等知識解決問題的能力.解：是偶函數(shù)，又函數(shù)開口向上且在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)故能使命題甲、乙均為真的函數(shù)僅有故選例2函數(shù)對于任意實數(shù)滿足條件，若則_.命題意圖: 本題主要考查代數(shù)式恒等變形和求復(fù)合函數(shù)的值的能力.解：由,得，所以，則.例3已知 求；已知 ，求例4已知 ，求； 已知，求點評：已知求復(fù)合函數(shù)的解析式，直接把中的換成即可。已知求的常用方法有：配湊法和換元法。配湊法就是在中把關(guān)于變量的

44、表達式先湊成整體的表達式，再直接把換成而得。換元法就是先設(shè)，從中解出（即用表示），再把（關(guān)于的式子）直接代入中消去得到，最后把中的直接換成即得。例6已知是一次函數(shù)，滿足，求；已知，求點評： 當已知函數(shù)的類型求函數(shù)的解析式時，一般用待定系數(shù)法。 若已知抽象的函數(shù)表達式，則常用解方程組、消參的思想方法求函數(shù)的解析式。已知滿足某個等式，這個等式除是未知量外，還出現(xiàn)其他未知量，如、等，必須根據(jù)已知等式再構(gòu)造出其他等式組成方程組，通過解方程組求出。函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性是高考的重點內(nèi)容之一，考查內(nèi)容靈活多樣. 這里主要幫助讀者深刻理解奇偶性、單調(diào)性和周期性的定義，掌握判

45、定方法，正確認識單調(diào)函數(shù)與奇偶函數(shù)的圖象.例1 已知函數(shù)，若為奇函數(shù)，則_.命題意圖: 本題主要考查函數(shù)的解析式的求解以及函數(shù)的奇偶性應(yīng)用.常規(guī)解法：由f(x)為奇函數(shù),所以f(x)+f(-x)=0,即應(yīng)填.巧妙解法：因為f(x)為奇函數(shù),所以f(0)=0,即應(yīng)填.點評：巧妙解法巧在利用了f(x)為奇函數(shù),所以f(0)=0,這一重要結(jié)論.例2 ，是定義在上的函數(shù)，則“，均為偶函數(shù)”是“為偶函數(shù)”的（）A充要條件B充分而不必要的條件C必要而不充分的條件D既不充分也不必要的條件命題意圖: 本題主要考查兩個函數(shù)的加法代數(shù)運算后的單調(diào)性以及充分條件和必要條件的相關(guān)知識.解 先證充分性：因為，均為偶函數(shù)

46、，所以，有，所以 為偶函數(shù)反過來，若為偶函數(shù)，不一定是偶函數(shù)如，故選B.方法二：可以選取兩個特殊函數(shù)進行驗證故選B點評：對充要條件的論證，一定既要證充分性，又要證必要性，二著缺一不可同時，對于抽象函數(shù)，有時候可以選取特殊函數(shù)進行驗證例3對于函數(shù)y=x3, (1)畫出它的圖象，(2)寫出它的單調(diào)區(qū)間，并用定義證明之. 解:由圖像知:y=x3的單調(diào)增區(qū)間為（-，+）. 證明:顯然y=x3的定義域為（-，+）, 在R內(nèi)任取x1和x2, 使x1<x2, f(x1)-f(x2)=x13-x23 =(x1-x2)(x12+x1·x2+x22)=(x1-x2)(x1+x2)2+x22 x1<x2,x1-x2<0, 又(x1+x2)20, x220，且(x1+x2)2與x22至多一個為0， f(x1)-f(x2)<0 即f(x1)<f(x2),函數(shù)f(x)在(-,+)內(nèi)為增函數(shù). 點評: 1從圖象上觀察函數(shù)的單調(diào)性固然形象，也必須掌握，但這不夠，函數(shù)單調(diào)性的討論還必須會用定義來證明. 2此題f(x1)-f(x2)的正負的討論，易犯以下錯誤: x1<x2, x13<x23, f(x1)-f(x2)<0, 這種做法其實已經(jīng)用了函數(shù)y=x3在R上是增函數(shù)的結(jié)論，所以它是不可取的，而實現(xiàn)這種判斷還得靠實數(shù)的一些基