數(shù)列求和的各種方法

1、數(shù)列求和的方法教學(xué)目標(biāo)1熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式2掌握非等差、等比數(shù)列求和的幾種常見方法3能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用相關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題教學(xué)內(nèi)容知識(shí)梳理1求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和的方法(1) 公式法 等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式Sn= na1 + . 等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式(I )當(dāng) q = 1 時(shí)，Sn= na1;(n )當(dāng) q豐 1 時(shí)，Sn=. 常見的數(shù)列的前 n項(xiàng)和：，1+3+5+(2n1)=，等(2) 分組轉(zhuǎn)化法 把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解(3) 裂項(xiàng)相消法 把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消剩下

2、首尾若干項(xiàng)(4) 倒序相加法這是推導(dǎo)等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和時(shí)所用的方法，將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排序，如果原數(shù)列相加時(shí)，若有公因式 可提，并且剩余項(xiàng)的和易于求得，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和(5) 錯(cuò)位相減法這是推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，主要用于求an bn的前n項(xiàng)和，其中an和bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列(6) 并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前 n 項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和形如an=(1)nf(n) 類型，可采用兩項(xiàng)合并求解例如，Sn= 1002 992 + 982- 972+ 22- 12= (100 + 99) + (98 + 97) + + (2 + 1) = 5 050.

3、2. 常見的裂項(xiàng)公式(1) =-；(2) =(-)；=；(5) = ( - ) (6) 設(shè)等差數(shù)列an的公差為4,則=().數(shù)列求和題型 考點(diǎn)一 公式法求和1. (2016新課標(biāo)全國(guó)I已知an是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列bn滿足bl = 1,b2=, anbn + 1 + bn+ 1 = nbn.(1) 求an的通項(xiàng)公式；(2) 求bn的前n項(xiàng)和.2. (2013 新課標(biāo)全國(guó)n,17)已知等差數(shù)列an的公差不為零，a1 = 25,且a1 , a11, a13成等比數(shù)列(1) 求an的通項(xiàng)公式；(2) 求 a1 + a4+ a7+ a3n 2.變式訓(xùn)練1. (2015 四川，16)設(shè)數(shù)列an(n

4、= 1, 2, 3,)的前 n 項(xiàng)和 Sn滿足 Sn= 2an a1,且 a1, a2 +1, a3 成 等差數(shù)列 .(1) 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；(2) 設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn.2. (2014 福建，17)在等比數(shù)列an中，a2= 3, a5= 81.(1) 求 an；設(shè)bn= Iog3an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.考點(diǎn)二 錯(cuò)位相減法1. (山東)已知數(shù)列 的前n項(xiàng)和Sn=3n2+8n,是等差數(shù)列，且(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(I)令求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.2. (2015 天津，18)已知數(shù)列an滿足 an+ 2= qan(q 為實(shí)數(shù)，且 qz 1) , n N*, al =

5、1, a2 = 2，且 a2 + a3, a3a4, a4a5 成等差數(shù)列 .(1) 求 q 的值和 an 的通項(xiàng)公式；(2) 設(shè)bn=, n N*,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.變式訓(xùn)練1. (2014 江西，17)已知首項(xiàng)都是1 的兩個(gè)數(shù)列an , bn(bn 豐 0, n N*)滿足 anbn+ 1 an+ 1bn + 2bn1bn= 0.(1) 令cn =，求數(shù)列cn的通項(xiàng)公式；(2) 若 bn= 3n 1 ,求數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 Sn.2. (2014 四川，19)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,點(diǎn)(an , bn)在函數(shù)f(x) = 2x的圖象上(n N*).(1) 若 a1= 2,點(diǎn)

6、(a8 , 4b7) 在函數(shù) f(x) 的圖象上,求數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 Sn； 若a1 = 1，函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(a2 , b2)處的切線在x軸上的截距為2,求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.3. (2015 湖北，18)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列bn的公比為q,已知b1= al, b2= 2, q = d, S10= 100.(1) 求數(shù)列 an , bn 的通項(xiàng)公式；(2) 當(dāng)d>1時(shí)，記cn =，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.4. (2015 山東，18)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.已知2Sn= 3n + 3.(1) 求an的通項(xiàng)公式；(2) 若數(shù)列bn滿足a

7、nbn = Iog3an，求bn的前n項(xiàng)和Tn.5. (2015 浙江，17)已知數(shù)列an和bn滿足 al = 2, bl = 1, an+ 1 = 2an(n N*) , bl + b2+ b3+-+ bn =bn + 1 1(n N*).(1) 求 an 與 bn；記數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn.6. (2015 湖南，19)設(shè)數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn,已知 a1 = 1, a2= 2,且 an+ 2= 3Sn Sn+ 1 + 3, n N*.(1) 證明： an 2= 3an；(2) 求 Sn.考點(diǎn)三 分組求和法1. (2015 福建，17)在等差數(shù)列an中，a2= 4,

8、a4+ a7= 15.(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2) 設(shè) bn=+ n,求 b1 + b2 + b3+ + b10 的值.2. (2014 湖南，16)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=, n N*.(1) 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；設(shè)bn=+ ( 1)nan，求數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和.變式訓(xùn)練1. (2014 北京，15)已知an是等差數(shù)列，滿足a1= 3, a4= 12,數(shù)列bn滿足b1 = 4, b4= 20,且bn an 為等比數(shù)列 .(1) 求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(2) 求數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和 .考點(diǎn)四 裂項(xiàng)相消法1. (2015 新課標(biāo)全國(guó)I, 17)S n為數(shù)列an的前

9、n項(xiàng)和.已知 an >0, a + 2an= 4S n+ 3.(1) 求an的通項(xiàng)公式；(2) 設(shè)bn =，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.2. (2011 新課標(biāo)全國(guó)，17)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a1+ 3a2 = 1, a = 9a2a6.(1) 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；(2) 設(shè) bn = Iog3a1 + Iog3a2 + Iog3an，求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和.3. (2015 安徽，18)已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，且a1+ a4= 9, a2a3 = 8.(1) 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，bn=，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.變式訓(xùn)練1. (2013

10、 江西，16)正項(xiàng)數(shù)列an滿足：a (2n 1)an 2n= 0.(1) 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 an；令bn =，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.2. (2013 大綱全國(guó)，17)等差數(shù)列an中，a7= 4, a19 = 2a9.(1)求an的通項(xiàng)公式；設(shè)bn =，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.3. 在數(shù)列an中，a1= 1,當(dāng)n > 2時(shí)，其前n項(xiàng)和Sn滿足S= an.(1) 求 Sn 的表達(dá)式；(2) 設(shè)bn=，求bn的前n項(xiàng)和Tn.考點(diǎn)五 倒序相加法已知函數(shù) f(x) = (x R). (1)證明：f(x) + f(1 x) =; (2)若 S= f() + f() + f()，貝y S

11、=變式訓(xùn)練1. 設(shè) f(x)=，若 S= f() + f() + f()，貝U S=考點(diǎn)六 并項(xiàng)求和1. (2012 新課標(biāo)，16)數(shù)列an滿足 an+ 1 + ( 1)nan = 2n 1，則an的前 60 項(xiàng)和為2. (2014山東，19)在等差數(shù)列an中，已知公差 d= 2, a2是a1與a4的等比中項(xiàng)(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2) 設(shè) bn=，記 Tn= b1 + b2 b3+ b4+ ( 1)nbn ,求 Tn.變式訓(xùn)練1. (2014 山東理，19)已知等差數(shù)列an的公差為2,前n項(xiàng)和為Sn,且S1, S2, S4成等比數(shù)列(1) 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；(2) 令bn =

12、 ( 1)n 1,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.2. (2013 湖南，15)設(shè) Sn 為數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和，Sn= ( 1)nan , n N*,則:(1) a3 =；(2) S1 + S2+-+ S100=.考點(diǎn)七 數(shù)列 |an| 的前 n 項(xiàng)和問(wèn)題1. （2011 北京，11）在等比數(shù)列an中，若 al = , a4= 4,則公比 q=; |a1| + |a2| + |an|變式訓(xùn)練1. （2013 浙江，19）在公差為d的等差數(shù)列an中，已知a1= 10,且a1 , 2a2+ 2, 5a3成等比數(shù)列（1） 求 d， an； 若 dv 0,求 |a1| + |a2| + |a3| + |

13、an|.考點(diǎn)八 周期數(shù)列1. 已知數(shù)列2 008,2 009,1, 2 008， 2 009，這個(gè)數(shù)列的特點(diǎn)是從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它的前后兩項(xiàng)之和，則這個(gè)數(shù)列的前 2 014 項(xiàng)之和 S2 014 等于（）A2 008 B 2 010 C 1 D 0變式訓(xùn)練1. （2012 福建）數(shù)列an的通項(xiàng)公式an= ncos，其前n項(xiàng)和為Sn,則S2 012等于（）A.1 006B.2 012C.503D.0考點(diǎn)九 數(shù)列與不等式的應(yīng)用1. （2014 新課標(biāo)全國(guó)H, 17）已知數(shù)列an滿足a1 = 1, an+ 1 = 3an+ 1.（1）證明是等比數(shù)列,并求 an 的通項(xiàng)公式；（2）證明 + +

14、+ <.2. (2015 浙江，20)已知數(shù)列an滿足 a1=且 an+ 1 = ana(n N*).(1) 證明：1 ww 2(n N*);(2) 設(shè)數(shù)列a的前n項(xiàng)和為Sn,證明:ww (n N*).3. (2013江西，理)正項(xiàng)數(shù)列an的前項(xiàng)和an滿足：(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；(2) 令，數(shù)列bn的前項(xiàng)和為。證明：對(duì)于任意的，都有變式訓(xùn)練1.(2014 湖北，18)已知等差數(shù)列an滿足：a1 = 2,且a1, a2, a5成等比數(shù)列.(1) 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；(2) 記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)n,使得Sn>60n+ 800?若存在，求n的最小值

15、；若不存在,說(shuō)明理由2. (2013 廣東，19)設(shè)數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn.已知 al = 1 ,= an+ 1 n2- n , n N*.(1) 求 a2 的值；(2) 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；(3) 證明：對(duì)一切正整數(shù) n,有+ + + <.3. (2013 天津，19)已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn(n N*)，且一2S2, S3, 4S4成等差數(shù)列(1) 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；證明 Sn+w (n N*).4. (2014 廣東，19)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn滿足S (n2 + n-3)Sn 3(n2 + n) =0, n N*.

16、(1) 求 a1 的值；(2) 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；(3) 證明：對(duì)一切正整數(shù)n,有+ + + < .答案考點(diǎn)一 公式法求和1. (2016新課標(biāo)全國(guó)I已知an是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列bn滿足bl = 1,b2=, anbn + 1 + bn+ 1 = nbn.(1) 求an的通項(xiàng)公式；(2) 求bn的前n項(xiàng)和.【答案】( I)( II)考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列2. (2013 新課標(biāo)全國(guó)n,17)已知等差數(shù)列an的公差不為零，a1 = 25,且a1 , a11, a13成等比數(shù)列.(1) 求an的通項(xiàng)公式；(2) 求 a1 + a4+ a7+ a3n 2.解(1)設(shè)an的公差為

17、d.由題意，a= a1a13,即(a1 + 10d)2 = a1(a1 + 12d).于是 d(2a1 + 25d) = 0.又 a1 = 25,所以 d = 0(舍去)，d= 2.故 an= 2n+ 27. 令 Sn= a1 + a4 + a7 + + a3n 2.由(1)知a3n 2= 6n + 31,故a3n 2是首項(xiàng)為25,公差為6的等差數(shù)列.從而 Sn= (a1 + a3n 2) = ( 6n + 56) = 3n2 + 28n.變式訓(xùn)練1. (2015 四川，16)設(shè)數(shù)列an(n = 1, 2, 3,)的前 n 項(xiàng)和 Sn滿足 Sn= 2an a1,且 a1, a2 +1, a3

18、成 等差數(shù)列 .(1) 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；(2) 設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn.解 (1)由已知 Sn= 2an a1,有 an = SnSn 1 = 2an 2an 1(n >2)，即 an= 2an 1(n >2), 從而 a2= 2a1, a3=2a2= 4a1,又因?yàn)?a1, a2+ 1, a3 成等差數(shù)列,即 a1+ a3= 2(a2+ 1),所以 a1 + 4a1 = 2(2a1 + 1) ,解得 a1 = 2,所以,數(shù)列 an 是首項(xiàng)為 2,公比為 2的等比數(shù)列,故 an=2n.(2) 由(1) 得=,所以 Tn = + + + = = 1 .2. (201

19、4 福建，17)在等比數(shù)列an中，a2= 3, a5= 81.(1) 求 an；設(shè)bn= Iog3an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解(1)設(shè)an的公比為q,依題意得解得因此，an = 3n 1. 因?yàn)?bn= Iog3an = n 1,所以數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn=.考點(diǎn)二 錯(cuò)位相減法1. (2015山東，理，18)已知數(shù)列 的前n項(xiàng)和Sn=3n2+8n,是等差數(shù)列，且(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(I)令求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.【答案】 ( I)； ( I) .(I)由(I)知，又,得,兩式作差,得所以考點(diǎn)：數(shù)列前 n 項(xiàng)和與第 n 項(xiàng)的關(guān)系；等差數(shù)列定義與通項(xiàng)公式；錯(cuò)位相減法2. (2015 天津，

20、18)已知數(shù)列an滿足 an+ 2= qan(q 為實(shí)數(shù)，且 qz 1) , n N*, a1 = 1, a2 = 2，且 a2 + a3, a3a4, a4a5 成等差數(shù)列 .(1) 求 q 的值和 an 的通項(xiàng)公式；(2) 設(shè)bn=, n N*,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.解 (1) 由已知,有 (a3a4)(a2a3)=(a4a5)(a3a4),即 a4 a2= a5 a3,所以 a2(q 1) = a3(q 1)，又因?yàn)?1,故 a3= a2= 2,由 a3= a1q,得 q= 2.當(dāng) n = 2k 1(k N*)時(shí)，an= a2k 1 = 2k 1 = 2;當(dāng) n= 2k(k N*) 時(shí),

21、 an= a2k= 2k= 2.所以，an的通項(xiàng)公式為an =(2)由(1)得 bn= = , n N*.設(shè)bn的前n項(xiàng)和為Sn,貝U Sn= 1 x + 2x+ 3X + -+ (n 1) x+ nx,Sn= 1x+ 2x+(n 1) x+ nx .上述兩式相減得：Sn= 1 + + + + = =2,整理得，Sn= 4 , n N*. 所以，數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和為 4， n N*.變式訓(xùn)練1. (2014 江西，17)已知首項(xiàng)都是 1 的兩個(gè)數(shù)列an , bn(bn 豐 0, n N*)滿足 anbn+ 1 an+ 1bn + 2bn + 1bn = 0.(1) 令cn =，求數(shù)列c

22、n的通項(xiàng)公式；(2) 若bn = 3n 1，求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.解 (1)因?yàn)?anbn + 1 an+ 1bn+ 2bn+ 1bn = 0, bnO(n N*),所以一=2, 即卩 cn + 1 cn= 2.所以數(shù)列cn是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，故cn= 2n 1.(2)由 bn = 3n 1 知 an=cnbn=(2n 1)3n 1,于是數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和 Sn= 1x 30 + 3X 31 + 5X 32 + + (2n 1) x 3n 1,3Sn= 1 x 31 + 3x 32+-+ (2n 3) x 3n 1 + (2n 1) 3n,相減得2Sn= 1 + 2 (3

23、1 + 32+-+ 3n 1) (2n 1) 3n= 2 (2n 2)3n ,所以 Sn= (n 1)3n + 1.2. (2014 四川，19)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,點(diǎn)(an , bn)在函數(shù)f(x) = 2x的圖象上(n N*).(1) 若 a1= 2，點(diǎn) (a8 ，4b7) 在函數(shù) f(x) 的圖象上，求數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 Sn；(2) 若a1 = 1，函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(a2 , b2)處的切線在x軸上的截距為2 ,求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.解 (1)由已知得，b7= 2a7, b8 = 2a8= 4b7，有 2a8 = 4x 2a7 = 2a7 + 2.解得 d= a8

24、a7= 2.所以, Sn= na1 + d= 2n+ n(n 1)= n2 3n.(2)函數(shù) f(x) = 2x 在(a2 , b2)處的切線方程為 y 2a2 = (2a2ln 2)(x a2),它在 x 軸上的截距為 a2 .由題意得， a2 = 2，解得 a2= 2.所以 d = a2 a1= 1.從而 an=n, bn=2n.所以 Tn = + + + + + ,2Tn = + + + + .因此，2TnTn= 1 + + + + = 2 =.所以， Tn=.3. (2015 湖北，18)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列bn的公比為q,已知b1= al, b2=2，

25、q=d， S10=100.(1) 求數(shù)列 an , bn 的通項(xiàng)公式；(2) 當(dāng)d>1時(shí)，記cn =，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.解 (1) 由題意有,即解得或故或(2)由 d>1，知 an = 2n 1, bn=2n1,故 cn =，于是Tn= 1 + + + + + -+，Tn = + + + + + + +.可得Tn= 2+ + + + = 3,故 Tn= 6 .4. (2015 山東，18)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.已知2Sn= 3n + 3.(1) 求an的通項(xiàng)公式；(2) 若數(shù)列 bn 滿足 anbn= log3an ,求 bn 的前 n 項(xiàng)和 Tn.解 (1) 因?yàn)?

26、2Sn=3n3,所以 2a1 = 3 3,故 a1 = 3,當(dāng) n > 1 時(shí)，2Sn 1= 3n 1 + 3,此時(shí) 2an = 2Sn2Sn 1 = 3n 3n 1 = 2X 3n 1,即卩 an=3n 1,所以 an=(2) 因?yàn)?anbn= log3an ,所以 b1 =,當(dāng) n> 1 時(shí)，bn= 31 nlog33n 1 = (n 1) 31 n.所以 T1=b1=；當(dāng) n> 1 時(shí)，Tn= b1+ b2 + b3+-+ bn=+ (1 x 3 1 + 2x 3 2 + -+ (n 1) x 31 n),所以 3Tn= 1 + (1 x 30+ 2x 3 1 + -+

27、 (n 1) x 32 n),兩式相減，得 2Tn=+ (30 + 3 1 + 3 2+-+ 32 n) (n 1) x 31 n=+ (n 1) x 31 n=,所以 Tn=,經(jīng)檢驗(yàn), n= 1 時(shí)也適合.綜上可得 Tn= .5. (2015 浙江，17)已知數(shù)列an和bn滿足 a1 = 2, b1 = 1, an+ 1 = 2an(n N*) , b1 + b2 + b3+-+ bn=bn + 1 1(n N*).(1) 求 an 與 bn ；記數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn.解 由 a1 = 2, an+ 1 = 2an,得 an = 2n(n N*).由題意知：當(dāng) n= 1 時(shí)，

28、b1 = b2- 1，故 b2= 2.當(dāng)n2時(shí)，bn=bn+ 1 bn,整理得=，所以 bn= n(n N*).(2) 由 (1) 知anbn = n 2n.因此 Tn= 2+ 2 22+ 3 23+ n 2n，2Tn= 22 + 2 23+ 3 24+ n 2n+ 1，所以 Tn 2Tn= 2 + 22 + 23+ 2n n 2n+ 1.故 Tn= (n 1)2n + 1+ 2(n N*).6. (2015 湖南，19)設(shè)數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，已知 a1 = 1，a2= 2,且 an+ 2= 3Sn Sn+ 1 + 3, n N*.(1) 證明：an+ 2= 3an;(2) 求 S

29、n.(1) 證明由條件，對(duì)任意 n N*，有an+ 2= 3SnSn+ 1 + 3，因而對(duì)任意 n N*，n2，有 an+ 1 = 3Sn 1 Sn+ 3.兩式相減，得 an+ 2 an+ 1 = 3an an +1，即卩 an+ 2 = 3an，n2.又 a1 = 1，a2= 2，所以 a3 = 3S1 S2+ 3= 3a1 (a1 + a2) + 3 = 3a1， 故對(duì)一切 n N*， an+ 2= 3an.解 由(1)知，an豐0,所以=3.于是數(shù)列a2n 1是首項(xiàng)a1 = 1，公比為3等比數(shù)列；數(shù)列a2n是首項(xiàng) a2= 2,公比為3的等比數(shù)列.因此a2n 1 = 3n 1, a2n =

30、 2 x 3n 1.于是S2n= a1 + a2+ a2n=(a1 + a3+ a2n 1) + (a2 + a4+ a2n)=(1 + 3+-+ 3n 1) + 2(1 + 3+-+ 3n 1)=3(1 + 3 + + 3n 1)=.從而 S2n 1= S2n a2n= 2x 3n 1=(5 x 3n2 1).綜上所述， Sn=考點(diǎn)三 分組求和法1. (2015 福建，17)在等差數(shù)列an中，a2= 4, a4 + a7= 15.(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2) 設(shè) bn=+ n,求 b1 + b2 + b3 + + b10 的值.解 (1) 設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為 d，由已知得解得

31、所以 an=a1+(n1)d=n+2.(2) 由 (1) 可得 bn= 2n+ n，所以 b1 + b2 + b3+-+ b10 = (2 + 1) + (22 + 2) + (23 + 3) + (210 + 10)=(2 + 22 + 23+ 210) + (1 + 2 + 3 + 10)=+= (211 2) + 55= 211 + 53= 2 101.2. (2014 湖南，16)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=, n N*.(1) 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；設(shè)bn=+ ( 1)nan，求數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和.解當(dāng)n= 1時(shí)，a1 = S1= 1;當(dāng) n2 時(shí)，an=SnSn 1 = =

32、n.故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an= n.(2) 由(1)知，bn= 2n + ( 1)nn.記數(shù)列bn的前 2n項(xiàng)和為 T2n,則 T2n= (21 + 22+ 22n) + ( 1 + 2 3 + 4 + 2n).記 A= 21 + 22+ 22n, B= 1 + 2 3+ 4 + 2n,則A= 22n + 1 2,B= ( 1+ 2) + ( 3+ 4) + (2n 1) + 2n = n.故數(shù)列bn的前 2n 項(xiàng)和 T2n= A+ B= 22n+ 1+ n 2.變式訓(xùn)練1. (2014 北京，15)已知an是等差數(shù)列，滿足a1= 3, a4= 12,數(shù)列bn滿足b1 = 4, b4= 20

33、,且bn an 為等比數(shù)列 .(1) 求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(2) 求數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和 .解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由題意得d= = = 3.所以 an= a1 + (n 1)d = 3n(n = 1, 2,).設(shè)等比數(shù)列bn an的公比為q,由題意得q3= = = 8,解得 q= 2.所以 bn an= (b1 a1)qn 1 = 2n 1.從而 bn=3n+2n1(n = 1, 2，). 由(1)知 bn = 3n+ 2n 1(n = 1, 2,).數(shù)列3n的前n項(xiàng)和為n(n + 1)，數(shù)列2n 1的前n項(xiàng)和為1 x= 2n 1.所以，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為n(n +

34、 1) + 2n 1.考點(diǎn)四 裂項(xiàng)相消法1.(2015 新課標(biāo)全國(guó)I,17)S n為數(shù)列an的前n項(xiàng)和.已知 an >0, a + 2an= 4S n+ 3.(1) 求an的通項(xiàng)公式；(2) 設(shè)bn =，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.解 (1)由 a + 2an= 4Sn+ 3,可知 a + 2an + 1 = 4Sn+ 1 + 3.可得 a a+ 2(an + 1 an) = 4an+ 1，即2(an + 1 + an) = a a = (an + 1 + an)(an + 1 an).由于 an>0,可得 an+ 1 an= 2.又 a + 2a1= 4a1 + 3,解得 a1 = 1

35、(舍去)，a1 = 3.所以an是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為 an=2n+ 1.(2)由 an = 2n+ 1 可知bn =設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,則Tn= b1 + b2+ + bn2. (2011 新課標(biāo)全國(guó)，17)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a1+ 3a2 = 1, a = 9a2a6.(1) 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；(2) 設(shè) bn = Iog3a1 + Iog3a2 + Iog3an，求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和.解 (1) 設(shè)數(shù)列 an 的公比為 q.由 a = 9a2a6,得 a = 9a,所以q2=.由條件可知q>0,故q= 由 2a13a2=1 得 2a

36、13a1q=1，所以 a1 = .故數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為 an= .bn = Iog3a1 + Iog3a2 + Iog3an=(1 + 2+ n)故= 2( ) ，+ + + = _ 2 所以數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為 .3. (2015 安徽， 18)已知數(shù)列 an 是遞增的等比數(shù)列，且 a1a4=9， a2a3=8.(1) 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，bn=，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解 由題設(shè)知 a1 a4= a2 a3= 8.又 a1a4= 9. 可解得或 ( 舍去 ).由 a4= a1q3 得公比 q= 2，故 an= a1qn 1 = 2n 1.(2) S

37、n = 2n 1，又 bn=，所以 Tn= b1 + b2 + + bn = + + + = = 1 .變式訓(xùn)練1.(2013 江西， 16) 正項(xiàng)數(shù)列 an 滿足： a (2n 1)an 2n= 0.(1) 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 an；令bn =，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解 (1) 由 a (2n 1)an 2n= 0，得(an 2n )(a n + 1) = 0.由于 an 是正項(xiàng)數(shù)列，所以 an= 2n.(2) 由 an= 2n， bn=，則 bn=， Tn=2. （2013 大綱全國(guó)，17）等差數(shù)列an中，a7= 4, a19 = 2a9. （1）求an的通項(xiàng)公式；設(shè)bn =，求

38、數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,貝Uan= al + (n 1)d.由得解得 a1 = 1, d =. an的通項(xiàng)公式為an=.(2) v bn= = = , Sn = + + + =.3. 在數(shù)列an中，a1= 1,當(dāng)n > 2時(shí)，其前n項(xiàng)和Sn滿足S= an.(1) 求 Sn 的表達(dá)式；(2) 設(shè)bn=，求bn的前n項(xiàng)和Tn.答案( 1)可求得( 2)考點(diǎn)五 倒序相加法1.已知函數(shù) f(x) = (x R).證明：f(x) + f(1 x)=;變式訓(xùn)練1.設(shè) f(x)=，若 S= f() + f() + f()，貝U S=.考點(diǎn)六 并項(xiàng)求和1. (2012

39、新課標(biāo)，16)數(shù)列an滿足 an+ 1 + ( 1)nan = 2n 1，則an的前 60 項(xiàng)和為.理科解析 當(dāng) n= 2k 時(shí)，a2k + 1 + a2k = 4k 1，當(dāng) n = 2k 1 時(shí)，a2k a2k 1 = 4k 3， a2k + 1 + a2k1 = 2， a2k + 3 + a2k + 1 = 2，. a2k 1 = a2k + 3，. a1 = a5= a61. -a1 + a2 + a3+ a60= (a2+ a3) + (a4 + a5) + (a60 + a61) = 3 + 7 + 11 + -+ (2 x 60 1) = 30x 61 = 1 830.答案 1 8

40、30文科解析 van+1+(1)nan=2n1， a2=1+a1， a3=2a1， a4=7a1， a5=a1，a6= 9+ a1 ， a7= 2 a1 ， a8= 15 a1 ， a9= a1 ，a10= 17+ a1，a11 = 2 a1，a12= 23 a1，a57=a1， a58=113+a1， a59=2a1， a60=119a1， a1 + a2 + -+ a60= (a1 + a2 + a3 + a4) + (a5 + a6 + a7 + a8) + (a57 + a58+ a59 + a60)=10 + 26 + 42+-+ 234= 1 830.答案 D2. (2014山東，

41、19)在等差數(shù)列an中，已知公差 d= 2，a2是a1與a4的等比中項(xiàng).(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2) 設(shè) bn=，記 Tn= b1 + b2 b3 + b4+ ( 1)nbn，求 Tn.解 (1) 由題意知 (a1 + d)2 =a1(a1 + 3d)，即(a1 + 2)2 = a1(a1 + 6)，解得 a1 = 2.所以數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為 an= 2n.(2) 由題意知 bn= a= n(n + 1).所以 Tn= 1 x 2 + 2X 3 3x4 + + ( 1)nn x (n + 1).因?yàn)?bn+1bn=2(n+1)，可得當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，Tn= ( b1+ b2) +

42、 ( b3 + b4) + ( bn 1 + bn)=4 + 8 + 12+ 2n當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，Tn= Tn 1+ ( bn)=n(n + 1)所以Tn=變式訓(xùn)練1.(2014 山東理，19)已知等差數(shù)列an的公差為2,前n項(xiàng)和為Sn,且S1, S2, S4成等比數(shù)列(1) 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；(2) 令bn = ( 1)n 1,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解 (1) 因?yàn)?S1=a1,S2= 2a1 + x 2= 2a1 + 2,S4= 4a1 + x 2= 4a1+ 12 ,由題意得 (2a1+2)2=a1(4a1 +12),解得 a1 = 1 ，所以 an= 2n 1.(2)bn

43、 = ( 1)n 1=(1)n1=(1)n1.當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，Tn=+= 1= .當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，Tn=一+= 1+= .所以 Tn=2. (2013 湖南，15)設(shè) Sn 為數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和，Sn= ( 1)nan , n N*,則:(1) a3 = ；(2) S1 + S2+-+ S100=.解析 (1) I Sn= ( 1)nan .當(dāng) n = 3 時(shí)，a1 + a2 + a3 = a3 ，當(dāng) n= 4 時(shí), a1 + a2+ a3+ a4= a4,a1 + a2 + a3 =，由知 a3= .(2) T Sn= ( 1)nan 當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，兩式相減得 an+ 1 = a

44、n+ 1+ an +, an= ； 當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，兩式相減得 an + 1 = an + 1 an +,即 an= 2an+ 1 + =,故 an=. Sn= S1+ S2+-+ S100= 答案 (1) (2)考點(diǎn)七 數(shù)列 |an| 的前 n 項(xiàng)和問(wèn)題1.(2011 北京，11)在等比數(shù)列an中，若 a1 = , a4= 4,則公比 q=; |a1| + |a2| + |an|解析 T q3= = 8,. q= 2,貝U an=x ( 2)n 1, |a1| + |a2| + |a3| + |an| =+ 1 + 2+-+ 2n 2 = = 2n 1 .答案 2 2n1變式訓(xùn)練1.(20

45、13 浙江，19)在公差為d的等差數(shù)列an中，已知a1= 10,且a1 , 2a2+ 2, 5a3成等比數(shù)列(1) 求 d， an； 若 dv 0,求 |a1| + |a2| + |a3| + |an|.解 (1)由題意得 5a3 a1 = (2a2 + 2)2 ,即 d2 3d 4= 0.故 d= 1 或 d= 4， an = n+ 11, n N*或 an= 4n+ 6, n N*.(2) 設(shè)數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn，tdv 0，由(1)得 d= 1, an=n+11,則當(dāng) nW 11 時(shí)，|a1| +|a2| +|a3| + |an| =Sn= n2+n.當(dāng)n12時(shí)，|a1|

46、+ |a2| + |a3| + |an| = Sn+ 2S11= n2 n+ 110, 綜上所述： |a1| +|a2| +|a3| + |an|考點(diǎn)八 周期數(shù)列1.已知數(shù)列2 008,2 009,1, 2 008， 2 009，這個(gè)數(shù)列的特點(diǎn)是從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它的前后兩項(xiàng)之和，則這個(gè)數(shù)列的前 2 014 項(xiàng)之和 S2 014 等于（）A2 008 B 2 010 C 1 D 0答案 B變式訓(xùn)練1.（2012 福建）數(shù)列an的通項(xiàng)公式an= ncos，其前n項(xiàng)和為Sn,則S2 012等于（）A.1 006B.2 012C.503D.0考點(diǎn)九 數(shù)列與不等式的應(yīng)用1. (2014 新課標(biāo)全

47、國(guó)n,17)已知數(shù)列an滿足al = 1, an+ 1 = 3an+ 1.(1) 證明是等比數(shù)列，并求 an 的通項(xiàng)公式；(2) 證明 + + + <證明 (1) 由 an1= 3an1 得 an1= 3又 a1 =,所以是首項(xiàng)為,公比為 3 的等比數(shù)列.an + =，因此an的通項(xiàng)公式為 an=.(2) 由(1) 知= .因?yàn)楫?dāng)n> 1時(shí)，3n 1 >2X 3n 1，所以w .于是 + + + =1 + += <.所以 + + + <2. (2015 浙江，20)已知數(shù)列an滿足 a1 =且 an+ 1 = ana(n N*).(1) 證明：1 ww 2(n N

48、*);(2) 設(shè)數(shù)列a的前n項(xiàng)和為Sn,證明：ww (n N*).證明 (1) 由題意得 an1 an= aw 0,即 an+ 1 wan,故 anw .由 an= (1 an 1)an 1 得an = (1 an 1)(1 an 2)(1 a1)a1 >0.由0v anw得= 1 , 2 ,即 1ww 2(2、)由題意得a = anan+1,所以 Sn= a1 an+1 由=和 1ww 2 得1 ww 2,所以 nww 2n,因此w an+ 1 w (n N*).由得ww (n N*).3. (2013江西，理)正項(xiàng)數(shù)列an的前項(xiàng)和an滿足：(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；(2) 令

49、，數(shù)列bn的前項(xiàng)和為。證明：對(duì)于任意的，都有變式訓(xùn)練1.(2014 湖北，18)已知等差數(shù)列an滿足：a1 = 2,且a1, a2, a5成等比數(shù)列.(1) 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；(2) 記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)n,使得Sn>60n+ 800?若存在，求n的最小值；若不存在,說(shuō)明理由解 (1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，依題意，2, 2+ d, 2 + 4d成等比數(shù)列，故有(2 + d)2 = 2(2 + 4d), 化簡(jiǎn)得 d2 4d= 0,解得 d= 0 或 d= 4.當(dāng) d= 0 時(shí), an= 2；當(dāng) d = 4 時(shí)，an= 2 + (n 1) 4 = 4n 2,從而得數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an= 2或an=4n