自動(dòng)控制原理拉普拉斯變換

1、 拉普拉斯變換拉普拉斯變換(Laplace變換變換)拉普拉斯變換拉普拉斯變換的基本性質(zhì) 拉普拉斯逆變換拉普拉斯變換的應(yīng)用 在數(shù)學(xué)中，為了把較復(fù)雜的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的運(yùn)算，常常采用一種變換手段. 所謂積分變換，就是通過(guò)積分運(yùn)算把一個(gè)函數(shù)變成另一個(gè)函數(shù)的變換。積分變換包括拉普拉斯（Laplace）變換和傅立葉（Fourier）變換。這里只研究Laplace變換，討論他的定義、性質(zhì)及其應(yīng)用。一、拉普拉斯變換的概念以時(shí)間t為自變量的函數(shù) ，它的定義域是則積分式拉普拉斯變換( )f t0t0( )( )stF sf t edt（ 是一個(gè)復(fù)變量） s稱(chēng)上式為函數(shù) 的拉普拉斯變換式 ( )f t( )F s

2、 ( )f t叫做( )f t的拉氏變換,稱(chēng)為象函數(shù).( )F s叫做的拉氏逆變換,稱(chēng)為原函數(shù),( )f t( )F s( )f t= )(1sF（2） 在 的任一有限區(qū)間上連續(xù)或分段連續(xù)； （1） 時(shí), 一個(gè)函數(shù)可以進(jìn)行拉氏變換的充分條件是0t 0t ( )0f t 二、拉普拉斯變換存在定理二、拉普拉斯變換存在定理dtetfst0)(（3）拉普拉斯變換例1 求單位階躍函數(shù)求單位階躍函數(shù) 的拉氏變換的拉氏變換 u t解解 0100)(tttusstsstedtetuL10101)(三、一些常用函數(shù)的拉普拉斯變換三、一些常用函數(shù)的拉普拉斯變換 即stuL1)(根據(jù)定義dtetftfLst0)()

3、(拉普拉斯變換tttt0, 00)(11)1 (1 ()1 ()()(11101101seedtetLsssstsst解解 例2 求單位脈沖函數(shù)求單位脈沖函數(shù) 的拉氏變換的拉氏變換 t1)(tL即根據(jù)定義dtetftfLst0)()(拉普拉斯變換例3 求指數(shù)函數(shù)求指數(shù)函數(shù) 的拉氏變換的拉氏變換 ktetf)(解：解：根據(jù)定義kseksdtedteetfLtkstksstkt10)(1)()(0)(0dtetftfLst0)()(kseLkt1即拉普拉斯變換四、拉普拉斯變換的性質(zhì)四、拉普拉斯變換的性質(zhì) )()(saFtafL)()()()(2121sFsFtftfL1. 線性性質(zhì) 齊次性：設(shè) 則

4、拉普拉斯變換的性質(zhì)拉氏變換也遵從線性函數(shù)的齊次性和疊加性疊加性：設(shè))()(11sFtfL)()(22sFtfL則)()(sFtfL)()(sFtfL2.微分定理設(shè)可得各階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換為) 0() 0() 0() 0()()() 0() 0()()() 0()()() 1()2(21222nnnnnnnfsffsfssFsdttfdLfsfsFsdttfdLfssFdttdfL拉普拉斯變換的性質(zhì)特別地,當(dāng)(1)(0)(0)(0)(0)0nffff時(shí),)()()()()()(222sFsdttfdLsFsdttfdLssFdttdfLnnn拉普拉斯變換的性質(zhì)3.積分定理)()(sFtfL設(shè)原函數(shù)

5、 積分的拉氏變換為:)(tfsdttfssFdttfLt0)()()(拉普拉斯變換的性質(zhì)4.時(shí)滯定理)(tf)(TtfT)()(sFtfL設(shè)平移函數(shù)的拉氏變換0)()()(sFedteTtfTtfLsTst拉普拉斯變換的性質(zhì)若 且 存在5.初值定理)()(sFtfL)(limssFs則)(lim)(lim0ssFtfst6.終值定理若 ， 且 的所有極點(diǎn)全部在s平面的左半部。)()(sFtfL)(ssF則 的穩(wěn)態(tài)值)(tf)(lim)(lim0ssFtfst拉普拉斯變換的性質(zhì)例4.應(yīng)用初值定理求 的原函數(shù) 的初始值2)2(1)(ssF)(tf)0(, )0(ff解：（1）求)0(f0441li

6、m)2(1lim)(lim)(lim)0(20ssssssFtffssst（2）求)0(f 0)2(1)0()()(2ssfssFtfL14411lim)2(lim)(lim)(lim)0(220ssssssFstffssst拉普拉斯變換的性質(zhì)五五. . 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換根據(jù)拉普拉斯變換的定義 102js tjf tF s e dstj 右端的積分稱(chēng)為拉氏反演積分.它是一個(gè)復(fù)變函數(shù)的積分,但計(jì)算比較麻煩. 對(duì)于絕大多數(shù)控制系統(tǒng)，是按照下面方法求拉氏逆變換的。五. 拉普拉斯逆變換設(shè)的極點(diǎn)稱(chēng)為的零點(diǎn)稱(chēng)為)()()()(,)(1111101110sFpsFzpszsKmnasasasab

7、sbsbsbsFjinjjmiinnnnmmmm（1）只包含不相同極點(diǎn)時(shí)的逆變換)(tf因?yàn)楦鳂O點(diǎn)均互不相同，因此 可分解成為諸分式之和)(sF五. 拉普拉斯逆變換nnpsApsApsAsF2211)(式中， 為常數(shù)，稱(chēng)為 的留數(shù)。iAips)()(limsFpsAipsii即ipsiipssFA)(各項(xiàng)系數(shù)求出后，可按下式求原函數(shù))(tftpntptpnnneAeAeApsALpsALpsALsFLtf212112211111)()(五. 拉普拉斯逆變換例5.求下列函數(shù)的拉氏逆變換。已知 ，求)2)(1(3)(ssssF)()(1sFLtf解：21)(21sAsAsF式中，21) 1()2)

8、(1(31sssssA12)2()2)(1(32sssssA022112)()(211teessLsFLtftt五. 拉普拉斯逆變換（2）包含共軛復(fù)極點(diǎn)時(shí)的逆變換如果 有一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)，則可以利用下面的展開(kāi)式簡(jiǎn)化運(yùn)算。)(tf)(sF設(shè) 為共軛復(fù)極點(diǎn)21, pp nnpsApsApspsAsAsF332121)()(式中， 的計(jì)算可根據(jù)21, AA11)()()(2121pspsAsApspssF五. 拉普拉斯逆變換例6.) 1(1)(2sssssF)()(1sFLtf求解：1) 1(1)(22102ssAsAsAsssssF確定各待定系數(shù)111)(0200sssssssFAjsjsAsAss

9、ssss232121232122)() 1() 1(1得0121AA五. 拉普拉斯逆變換223222322)() 5 . 0(5 . 0)() 5 . 0(5 . 0111)(sssssssssF)23sin(3323cos1)(5 . 05 . 0tetetftt（3）包含有 個(gè)重極點(diǎn)時(shí)的逆變換)(tfr)()()()()()(21021nrrrmpspspspszszszsKsF將上式展開(kāi)成部分分式nnrrrrrpsApsApsApsApsAsF11001002001)()()(五. 拉普拉斯逆變換上式中，000)()()!1(1)()()()(0110002001psrrrrpsrpsr

10、sFpsdsdrAsFpsdsdAsFpsA五. 拉普拉斯逆變換2)2)(1(3)(ssssF例7.)()(1sFLtf求解：12)2()(3221sAsAsAsF2) 1()2)(1(32)2()2)(1(31)2()2)(1(312322222221sssssssAssssdsdAssssA1222)2(1)(2ssssFttteetesFLtf22)()(221五. 拉普拉斯逆變換六.常系數(shù)線性微分方程的拉普拉斯變換 解法 利用拉普拉斯變換可以比較方便地求解常系數(shù)線性微分方程（或方程組）的初值問(wèn)題,其基本步驟如下: （1）根據(jù)拉普拉斯變換的微分性質(zhì)和線性性質(zhì),對(duì)微分方程（或方程組）兩端取拉普拉斯變換,把微分方程化為象函數(shù)的代數(shù)方程; （2）從象函數(shù)的代數(shù)方程中解出象函數(shù); （3）對(duì)象函數(shù)求拉普拉斯逆變換,求得微分方程（或方程組）的解.應(yīng)用例例8 8 求微分方程 滿足初始