計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第6章假設(shè)檢驗(yàn)

1、 第第6章章 回歸模型的假設(shè)檢驗(yàn)回歸模型的假設(shè)檢驗(yàn) 回歸分析回歸分析是要判斷解釋變量解釋變量x是否是被解釋變被解釋變量量y的一個(gè)顯著性的影響因素。 在一元線性模型一元線性模型中，就是要判斷x是否對(duì)y具有顯著的線性性影響。這就需要進(jìn)行變量的顯著性變量的顯著性檢驗(yàn)。檢驗(yàn)。 變量的顯著性檢驗(yàn)所應(yīng)用的方法是數(shù)理統(tǒng)計(jì)變量的顯著性檢驗(yàn)所應(yīng)用的方法是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的學(xué)中的假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)。 計(jì)量經(jīng)計(jì)學(xué)中計(jì)量經(jīng)計(jì)學(xué)中，主要是針對(duì)變量的參數(shù)真值，主要是針對(duì)變量的參數(shù)真值是否為零來(lái)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)的。是否為零來(lái)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)的。 第一節(jié)第一節(jié) 假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn) 所謂假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)，就是事先對(duì)總體參數(shù)或總體分就是事先

2、對(duì)總體參數(shù)或總體分布形式作出一個(gè)假設(shè)，然后利用樣本信息來(lái)判斷布形式作出一個(gè)假設(shè)，然后利用樣本信息來(lái)判斷原假設(shè)是否合理，即判斷樣本信息與原假設(shè)是否原假設(shè)是否合理，即判斷樣本信息與原假設(shè)是否有顯著差異，從而決定是否接受或否定原假設(shè)有顯著差異，從而決定是否接受或否定原假設(shè)。 假設(shè)檢驗(yàn)采用的邏輯推理方法是反證法。假設(shè)檢驗(yàn)采用的邏輯推理方法是反證法。 先假定原假設(shè)正確，然后根據(jù)樣本信息，觀察由此假設(shè)而導(dǎo)致的結(jié)果是否合理，從而判斷是否接受原假設(shè)。 判斷結(jié)果合理與否，是基于判斷結(jié)果合理與否，是基于“小概率事件不易小概率事件不易發(fā)生發(fā)生”這一原理的這一原理的 1、顯著性檢驗(yàn)、顯著性檢驗(yàn)t檢驗(yàn)檢驗(yàn) ),(221

3、1ixn)2(1112211ntsxtit t值是用來(lái)檢驗(yàn)根據(jù)值是用來(lái)檢驗(yàn)根據(jù)olsols估計(jì)出來(lái)的回歸系數(shù)是否顯著估計(jì)出來(lái)的回歸系數(shù)是否顯著的統(tǒng)計(jì)量。的統(tǒng)計(jì)量。 檢驗(yàn)步驟：檢驗(yàn)步驟： （1）對(duì)總體參數(shù)提出假設(shè) h0： 1=0， h1：10（2）以原假設(shè)h0構(gòu)造t統(tǒng)計(jì)量，并由樣本計(jì)算其值（3）給定顯著性水平，查t分布表，得臨界值t /2(n-2)(4) 比較，判斷 若 |t| t /2(n-2)，則拒絕h0 ，接受h1 ； 若 |t| t /2(n-2)，則拒絕h1 ，接受h0 ；t=11(2)( )bt ns b 對(duì)于一元線性回歸方程中的0，可構(gòu)造如下t統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)： )2(0022

4、200ntsxnxtii在上述收入-消費(fèi)支出例中，首先計(jì)算2的估計(jì)值 134022107425000777. 04590020222221222nxyneiii0425. 00018. 07425000/13402221ixs41.98742500010/53650000134022220iixnxst統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算結(jié)果分別為： 29.180425. 0777. 0111st048. 141.9817.103000st 給定顯著性水平=0.05，查t分布表得臨界值 t 0.05/2(8)=2.306 |t1|2.306，說(shuō)明家庭可支配收入在家庭可支配收入在95%95%的置信的置信度下顯著，即是消

5、費(fèi)支出的主要解釋變量；度下顯著，即是消費(fèi)支出的主要解釋變量； |t2|2.306,表明在95%的置信度下，無(wú)法拒絕截距項(xiàng)為零的假設(shè)。 2、顯著性檢驗(yàn)、顯著性檢驗(yàn)f檢驗(yàn)檢驗(yàn) f檢驗(yàn)屬于回歸方程的顯著性檢驗(yàn)，它是對(duì)所有參數(shù)感興趣的一種顯著性檢驗(yàn)。其檢驗(yàn)步驟為： 第一步：提出假設(shè)。 原假設(shè)h0： （ 同時(shí)為零） 備擇假設(shè)h1： 不同時(shí)為零01，01=001，第二步：構(gòu)造f統(tǒng)計(jì)量。可以證明：1(1,2)(2)essffnrssn(2.4.6)即f統(tǒng)計(jì)量服從第一自由度為，第二自由度為n-2的t分布。f統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算一般通過(guò)下列方差分析表進(jìn)行。表2.4.2 方差分析表 變差來(lái)源 平方和 自由度 均方 f統(tǒng)計(jì)

6、量 回歸 殘差 ess rss 1 2n ess 22erss ns 1(2)essfrssn 總變差 tss 1n 21ytss ns 第三步：給定顯著水平 ，查f分布臨界值得到第四步：做出統(tǒng)計(jì)決策(1,2)fn例2.3.2仍以例2.2.1資料為例，f檢驗(yàn)過(guò)程如下： 第一步：提出假設(shè)。 原假設(shè)h0： （ 同時(shí)為零） 備擇假設(shè)h1： 不同時(shí)為零01，01=001，第二步：計(jì)算f統(tǒng)計(jì)量 因?yàn)閑ss1602708.6 (計(jì)算過(guò)程見(jiàn)表2.4.3) 或直接取自輸出結(jié)果2.2.1中的方差分析部分“回歸分析（行） ss（列）”(1602708.6)。21()niirssyy 40158.071 (計(jì)算過(guò)程

7、見(jiàn)計(jì)算表2.3.3) 或直接取自輸出結(jié)果2.2.1中的方差分析部分“殘差（行） ss（列）”(40158.071)。(見(jiàn)方差分析表2.3.4)1602708.6/11399.0999940158.071 /10(2)essfrssn或直接取自輸出結(jié)果2.2.1中的方差分析部分“回歸分析（行） f（列）”(399.09999)。(見(jiàn)表2.4.4) 表2.4.3 計(jì)算表 汽車(chē)銷(xiāo)售量（輛） y 廣告費(fèi)（萬(wàn)元） x iy 2()iiyy 2 ()iyy 1000 1100 1250 1280 1360 1480 1500 1720 1800 1890 2100 2200 357 385 420 406

8、 490 525 602 651 735 721 840 924 1087.996761 1144.805205 1215.81576 1187.411538 1357.83687 1428.847425 1585.070646 1684.485423 1854.910755 1826.506533 2067.94242 2238.367752 7743.429946 2007.506395 1168.562264 8572.623296 4.679131397 2616.585929 7237.014811 1261.285179 3015.191015 4031.420352 1027.6

9、88435 1472.084394 219651.4805 169629.8636 116179.3406 136349.35 39533.28804 16337.75854 806.786042 16337.63447 88949.53623 72813.55346 261402.8959 464716.3697 表2.4.4 方差分析表 方差分析 變差來(lái)源 df ss ms f significance f 回歸 1 1602708.6 1602708.6 399.09999 2.16982e-09 殘差 10 40158.071 4015.8071 總計(jì) 11 1642866.7 第三步

10、：給定顯著水平5%，查f分布臨界值得到0.05(1,10)4.96f 第四步：做出統(tǒng)計(jì)決策 ，所以我們拒絕原假設(shè)0h，接受備擇假設(shè)，認(rèn)為x與y 關(guān)系顯著即回歸方程顯著，f檢驗(yàn)通過(guò)。 因?yàn)閒=399.099990.05(1,10)4.96f三，結(jié)構(gòu)變化的三，結(jié)構(gòu)變化的f檢驗(yàn)檢驗(yàn) 結(jié)構(gòu)變化的f檢驗(yàn)，也成為chow test，用于調(diào)查，檢驗(yàn)經(jīng)濟(jì)分析中一個(gè)極其重要的問(wèn)題，即“是否存在結(jié)構(gòu)變化”。步驟步驟1：在利用時(shí)間序列所做的回歸分析中，找出估算期間內(nèi)發(fā)生結(jié)構(gòu)變化的時(shí)點(diǎn)（分界點(diǎn)），以此時(shí)點(diǎn)為標(biāo)準(zhǔn)，將期間分為前期和后期。步驟步驟2：對(duì)前期，后期，全部期間進(jìn)行回歸分析，求各自的殘差平方和 。步驟步驟3：根

11、據(jù)結(jié)構(gòu)變化的f檢驗(yàn)公式，計(jì)算f值。rsrsssrs, 2s, 1:1ssr前期的殘差平方和 :1n前期的樣本數(shù) :2ssr后期的殘差平房和 :2n后期的樣本數(shù) :srr 全部期間的殘差平方和 :k解釋變量的數(shù) （1） ，1, 121knkn的情形。 結(jié)構(gòu)變化的 f 檢驗(yàn)為 1) 1( 22s1) 21s(21kknnrsssrssrrsssrf （2） ，, 11 kn的情形（以及) 11 kn 21) 1(11nknssrssrssrf 步驟步驟4: 利用f分布表，對(duì)步驟3計(jì)算出的f值進(jìn)行檢驗(yàn)。在檢驗(yàn)時(shí)，分別就上述（1）的情形中，自由度（分子，分母）= ，(2)的情形中，自由度 進(jìn)行f檢驗(yàn)。

12、 如果計(jì)算出的f值大于f分布表中的判定值，放棄“前期的回歸系數(shù)與后期的回歸系數(shù)完全相等”的假設(shè)，說(shuō)明出現(xiàn)了結(jié)構(gòu)性變化。相反，如果計(jì)算出的f值小于f分布表中的判定值，不放棄“前期的回歸系數(shù)與后期的回歸系數(shù)完全相等”的假設(shè)，說(shuō)明沒(méi)有發(fā)生結(jié)構(gòu)性變化。)22, 1(21knnk) 1,(12knn4、相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)（r-test）由于一元線性回歸方程研究的是變量x與變量y之間的線性相關(guān)關(guān)系，所以我們可以用反映變量x與變量y之間的相關(guān)關(guān)系密切程度的相關(guān)系數(shù)來(lái)檢驗(yàn)回歸方程的顯著性。 由于總體相關(guān)系數(shù)定義為ov( , )( )( )cx yvar xvar y設(shè)( ,),1,2,.,iix yin是( , )

13、x y的n組樣本觀測(cè)值，則我們稱(chēng) 12211()()()()ninniiiixxyylxyrlxxlyyxxyy11122221111nnniiiiiiinnnniiiiiiiinx yxynxxnyy 1lxxblyy其中 xyl1()()nix xy y xxl21()niixxyyl21()niiyy為x與y的簡(jiǎn)單線性相關(guān)系數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)相關(guān)系數(shù)。它表示x和y的線性相 關(guān)關(guān)系的密切程度。其取值范圍為|r| 1，即-1 r 1。 當(dāng)r=-1時(shí)，表示x與y之間完全負(fù)相關(guān)； 當(dāng)r=1時(shí)，表示x與y之間完全正相關(guān)；當(dāng)r=0時(shí)，表示x與y之間無(wú)線性相關(guān)關(guān)系，即說(shuō)明x與y可能無(wú)相關(guān)關(guān)系或x與y之間存在非線

14、性相關(guān)關(guān)系。5、四種檢驗(yàn)的關(guān)系 前面介紹了t檢驗(yàn)、擬合優(yōu)度（ ）檢驗(yàn)、f檢驗(yàn)和相關(guān)系數(shù)（r）檢驗(yàn)，對(duì)于一元線性回歸方程來(lái)說(shuō)，可以證明，這四種檢驗(yàn)：2r221r ntr(2.4.8)2(2)frnf(2.4.9)2f t (2.4.10) 2rr (2.4.11)因此，對(duì)于一元線性回歸方程，我們只需作其中的一種檢驗(yàn)即可。但對(duì)于多元線性回歸方程這四種檢驗(yàn)有著不同的意義，并不是等價(jià)的，需分別進(jìn)行檢驗(yàn)。是等價(jià)的。5、回歸方程的標(biāo)準(zhǔn)記法 為了方便，我們往往將回歸方程的參數(shù)估計(jì)和系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量結(jié)果放在一起。例如，對(duì)于例2.2.1，我們可以采用以下標(biāo)準(zhǔn)記法： 363.6891 + 2.028873x

15、 s（62.455288） （0.101558） t（ ）（ ）iy*5.8231909*19.977487 有時(shí)s（回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，有時(shí)也記為 ）也可不寫(xiě)；t統(tǒng)計(jì)量右上角*的表示顯著性水平的大小，*一般表示在顯著性水平1下顯著，*一般表示在顯著性水平5下顯著，無(wú)*表示5下不顯著。 es第第2節(jié)節(jié) 預(yù)測(cè)與控制預(yù)測(cè)與控制 一、預(yù)測(cè)一、預(yù)測(cè) （點(diǎn)預(yù)測(cè)、區(qū)間預(yù)測(cè)）（點(diǎn)預(yù)測(cè)、區(qū)間預(yù)測(cè)）二、控制二、控制 對(duì)于一元線性回歸模型iixy10給定樣本以外的解釋變量的觀測(cè)值x0，可以得到被解釋變量的預(yù)測(cè)值0 0 ，可以此作為其條件均值條件均值e(y|x=x0)或個(gè)別值個(gè)別值y0的一個(gè)近似估計(jì)注意：注意：嚴(yán)格地

16、說(shuō)，這只是被解釋變量的預(yù)測(cè)值的估計(jì)值，而不是預(yù)測(cè)值。 原因:（1）參數(shù)估計(jì)量不確定； （2）隨機(jī)項(xiàng)的影響一、預(yù)測(cè)（一）點(diǎn)預(yù)測(cè)即0 y是0()e y的無(wú)偏估計(jì)量，但不是0y的無(wú)偏估計(jì)量。但00()0e yy，說(shuō)明預(yù)測(cè)誤差00()yy在多次觀察中，平均值趨于零。因此，也可以用0 y作為0y的點(diǎn)估計(jì)值。 于是，我們把點(diǎn)預(yù)測(cè)分為兩種：一是平均值的點(diǎn)預(yù)測(cè)，二是個(gè)別值的點(diǎn)預(yù)測(cè)。利用回歸方程，對(duì)于x的一個(gè)固定值，推算出y的平均值的一個(gè)估計(jì)值，就是平均值的點(diǎn)預(yù)測(cè)；如果對(duì)于x的一個(gè)特定值，推算出y的一個(gè)個(gè)別值的估計(jì)值，則屬于個(gè)別值的點(diǎn)預(yù)測(cè)。例2.5.1仍以例2.2.1資料為例，若要估計(jì)廣告費(fèi)用為1000萬(wàn)元時(shí)，

17、所有12個(gè)汽車(chē)銷(xiāo)售分公司的汽車(chē) 銷(xiāo)售量的平均數(shù)為 0()e y363.6891 2.02887310002393（輛）， 就是平均值的點(diǎn)預(yù)測(cè)；若要估計(jì)廣告費(fèi)用為602萬(wàn)元的那個(gè)汽車(chē)銷(xiāo)售分公司的汽車(chē)銷(xiāo)售量為 0 y363.6891 2.0288736021585（輛） 就屬于個(gè)別值的點(diǎn)預(yù)測(cè)。 ( (二二) )、區(qū)間預(yù)測(cè)值、區(qū)間預(yù)測(cè)值 1、總體均值預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間、總體均值預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間 由于0100xy),(2211ixn),(22200iixnxn)(),(2)()(12010000varxcovxvaryvar0101000)()()(xexeye于是可以證明 2210/),(ixxcov

18、因此222022022202)(iiiixxxxxxnxyvar200222222xxxxnxnxxii)(20222xxnxxii故)(1(,(22020100ixxxnxny)2()(00100ntsxyty)(1(22020iyxxxns其中于是，在1-的置信度下，總體均值總體均值e(y|x0)的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 0202000)|(yystyxyesty2、總體個(gè)值預(yù)測(cè)值的預(yù)測(cè)區(qū)間、總體個(gè)值預(yù)測(cè)值的預(yù)測(cè)區(qū)間 由 y0=0+1x0+ 知:),(20100xny于是 )(11 (, 0(220200ixxxnnyy)2(0000ntsyytyy式中 :)(11 (220200iyyx

19、xxns從而在1-的置信度下， y0的置信區(qū)間的置信區(qū)間為002020000yyyystyysty在上述收入收入-消費(fèi)支出消費(fèi)支出例中，得到的樣本回歸函數(shù)為iixy777. 0172.103則在 x0=1000處， 0 = 103.172+0.7771000=673.84 29.37277425000)21501000(10113402)(20yvar而05.61)(0ys因此，總體均值總體均值e(y|x=1000)的95%的置信區(qū)間為： 673.84-2.30661.05 e(y|x=1000) 673.84+2.30661.05或 （533.05, 814.62） 同樣地，對(duì)于y在x=10

20、00的個(gè)體值個(gè)體值，其95%的置信區(qū)間為： 673.84 - 2.30661.05yx=1000 673.84 + 2.30661.05或 (372.03, 975.65) 總體回歸函數(shù)的置信帶（域）置信帶（域）（confidence band） 個(gè)體的置信帶（域）置信帶（域） 對(duì)于y的總體均值e(y|x)與個(gè)體值的預(yù)測(cè)區(qū)間（置信區(qū)間）:（1）樣本容量n越大，預(yù)測(cè)精度越高，反之預(yù)測(cè)精度越低；（2）樣本容量一定時(shí)，置信帶的寬度當(dāng)在x均值處最小，其附近進(jìn)行預(yù)測(cè)（插值預(yù)測(cè)）精度越大；x越遠(yuǎn)離其均值，置信帶越寬，預(yù)測(cè)可信度下降。二、控制所謂控制實(shí)際上就是預(yù)測(cè)的反問(wèn)題。 即若因變量y取值于一定范圍內(nèi)，例

21、如 ， 已經(jīng)給定，求自變量x應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)。這等價(jià)于求 與 ，使得當(dāng) 時(shí)，因變量y以1- 的概率取值于 。12yyy12yy和1x2x1212( ,)( ,)min x xxmax x x1,2()y y 對(duì)于個(gè)別值的區(qū)間預(yù)測(cè)101 10022012002(2)()(2)()ybb xtnvar yyybb xtnvar yy由可以解出1x與2x作為x的控制限。 但應(yīng)注意，要實(shí)現(xiàn)控制必須 ，即應(yīng)有120 xx21002(2)()0yytnvar yy從而1y和2y應(yīng)滿(mǎn)足 210022(2)()yytnvar yy當(dāng)此條件滿(mǎn)足時(shí)，1212( ,),( ,)min x xmax x x 即為x

22、的控制范圍。 同理，對(duì)于平均值的區(qū)間預(yù)測(cè)2101 100222012002(2)()(2)()ybb xtnvar ye yybb xtnvar ye y由可以解出1x與2x作為x的控制限。 第第3 3節(jié)節(jié) 案例：案例：一元線性回歸模一元線性回歸模型的應(yīng)用型的應(yīng)用 已知某地區(qū)1978年2003年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值gdp與貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量的數(shù)據(jù)如下表所示：年 份 gdp (億元) 貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量 （億噸公里） 年 份 gdp (億元) 貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量 （ 億 噸 公里） 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 5.0 8.7

23、 12.0 16.0 19.0 22.0 25.0 28.0 36.0 40.0 41.0 32.0 34.0 9.0 12.0 14.0 15.0 17.0 20.0 20.5 23.5 30.0 35.0 32.0 24.0 28.0 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 44.0 47.0 54.0 56.5 56.0 57.0 59.0 63.0 66.5 67.0 70.5 70.6 73.0 32.0 34.0 37.0 40.0 44.0 43.5 43.5 43.5 44.0 45.5

24、47.0 46.0 52.0 試對(duì)其進(jìn)行一元線性回歸分析。若2005年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值gdp達(dá)到80億元，試對(duì)其貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量做出區(qū)間預(yù)測(cè) 。(5%)一、相關(guān)分析 繪制散點(diǎn)圖，以觀察國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值gdp與貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量之間的關(guān)系形態(tài)。 用excel軟件制作散點(diǎn)圖的步驟如下： 第一步：選擇“插入”下拉菜單。 第二步：選擇“圖表”選項(xiàng) 第三步：選擇xy散點(diǎn)圖。第四步：輸入數(shù)據(jù)區(qū)域。第五步：定義x軸為“國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值gdp”、y軸為“貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量”。 第六步：選擇新工作表插入還是作為其中的對(duì)象插入(在這里我們選擇作為其中的對(duì)象插入)。按“完成”。圖形如2.6.1所示。0102030405060020406080由圖2.6.1可以看出，國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值gdp與貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量之間具有線性相關(guān)關(guān)系。于是我們可以對(duì)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值x與貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量y建立一元線性回歸方程 iy01bbix進(jìn)行回歸分析。 二、回歸分析 用excel軟件進(jìn)行回歸計(jì)算的步驟如下：第一步：選擇“工具”下拉菜單。第二步：選擇“數(shù)據(jù)分析”選項(xiàng)。第三步：在分析工具中，選擇“回歸”，然后按“確定”。第四步：定義自變量、因變量、置信度、輸出區(qū)域。選擇“確定”后得到如輸出結(jié)果62.6.1所示。summary output 回 歸 統(tǒng) 計(jì) multiple r 0.9893081 r square 0.9787304 adjusted r sq