正弦函數、余弦函數的性質分享資料

1、三角函數三角函數1.4正弦函數余弦函數的性質正弦函數余弦函數的性質1.定義域和值域定義域和值域x22322523yO23225311x22322523yO23225311正弦函數正弦函數sinyx 定義域：定義域：R值域：值域：-1，1余弦函數余弦函數cosyx 定義域：定義域：R值域：值域：-1，1|sin|1|cos|1xx練習練習 P 46 練習練習2(1)2cos3x 2(2)sin0.5x 3cos2x 1 sin0.5x 1,1 周期函數定義：對于函數周期函數定義：對于函數f (x)，如果存在，如果存在一個一個非零常數非零常數T，使得當，使得當x取定義域內的取定義域內的每每一個值一

2、個值時，都有時，都有f (x+T)=f (x)那么函數那么函數f (x)就叫做周期函數，非零常數就叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的周期。叫做這個函數的周期。2.周期性周期性.6判斷下列命題是否正確 1、因為f(x+0)=f(0)，所以函數f(x)為周期函數，周期是0； 2、因為f(x+2x)=f(x),所以函數f(x)為周期函數，周期是2x； 3、因為sin(30+120)=sin30,所以函數f(x)=sinx為周期函數，周期是120； 4、因為sin(x+ 4)=sinx,所以函數f(x)=sinx為周期函數，周期是4: :期期例例1 1、求求下下列列函函數數的的周周.,都都指指最最

3、小小正正周周期期若若不不加加特特別別說說明明;,cos3) 1 (Rxxy;,2sin)2(Rxxy;),621sin(2)3(Rxxy)0, 0.(),sin()4(ARxxAy 舉例舉例3cos(2 )3cosxx 解：（解：（1）自變量自變量x只要并且至少要增加到只要并且至少要增加到x+2 ，函數，函數3cos ,yx xR 的值才能重復出現的值才能重復出現.2 的周期是的周期是所以，函數所以，函數3cos ,yx xR (2)sin(22 )sin2()sin2xxx sin2 ,yx xR 的值才能重復出現的值才能重復出現.，自變量自變量x只要并且至少要增加到只要并且至少要增加到x+

4、 ，函數，函數 的周期是的周期是所以，函數所以，函數2sin,yx xR 111(3)2sin(2 )2sin ()2sin()262626xxx 自變量自變量x只要并且至少要增加到只要并且至少要增加到x+ ，函數，函數的值才能重復出現的值才能重復出現.12sin()26yx 12sin(),26yxxR 所以所以,函數函數 的周期是的周期是)0, 0.(),cos()0, 0.(),sin( ARxxAyARxxAy思考思考(4) 2|T .10練習練習 已知函數已知函數 的周期是的周期是3，且當，且當 時，時， ，求，求( )yf x 0,3x 2( )1f xx(1),(5),(16).

5、fff思考思考： 嗎？嗎？2(5)5126f 正弦函數的圖象正弦函數的圖象探究探究余弦函數的圖象余弦函數的圖象問題：它們的圖象有何問題：它們的圖象有何對稱性對稱性？x22322523yO23225311x22322523yO232253113.3.奇偶性奇偶性3.3.奇偶性奇偶性(1) ( )sin ,f xx xR xR 任意任意()sin()fxx sin x ( )f x ( )sin ,f xx xR 為為奇奇函數函數(2) ( )cos ,f xx xRxR 任意任意()cos()fxx cosx ( )f x ( )cos ,f xx xR 為為偶偶函數函數x22322523yO2

6、3225311PP正弦函數的圖象正弦函數的圖象53113,22222x 對稱軸：對稱軸：,2xkkZ (,0),(0,0),( ,0),(2 ,0) 對稱中心：對稱中心：(,0)kkZ 余弦函數的圖象余弦函數的圖象, 0, 2x 對稱軸：對稱軸：,xkkZ 35(,0),(,0),(,0),(,0)2222 對稱中心：對稱中心：(,0)2kkZ PPx22322523yO23225311練習練習 為函數為函數 的一條對稱軸的是的一條對稱軸的是（ ）sin(2)3yx x22322523yO232253114.3A x 12x .2B x .0D x 解：經驗證，當解：經驗證，當.12C x 時

7、時232x12x 為對稱軸為對稱軸例題例題 求求 函數的對稱軸和對稱中心函數的對稱軸和對稱中心sin(2)3yx 23zx 解解（1）令）令則則sin(2)sin3yxz sinyz 的對稱軸為的對稱軸為,2zkkZ 232xk 解得：對稱軸為解得：對稱軸為,122xkkZ(2)sinyz 的對稱中心為的對稱中心為(,0) ,kkZ 23xk 對稱中心為對稱中心為62xk zk (,0) ,Z62kk 練習練習 求求 函數的對稱軸和對稱中心函數的對稱軸和對稱中心1cos()24yx 四、最最大大值值與與最最小小值值yxo; 1,22, 1,22時取得最小值且僅當當時取得最大值正弦函數當且僅當Z

8、kkxZkkx. 1,2, 1,2時取得最小值當當且僅時取得最大值余弦函數當且僅當ZkkxZkkx.20例例1.下列函數有最大、最小值嗎？如果有，請寫出取最大、最小下列函數有最大、最小值嗎？如果有，請寫出取最大、最小值時的自變量值時的自變量x的集合，并說出最大、最小值分別是什么的集合，并說出最大、最小值分別是什么.cos1,3sin2 ,.yxxRyx xR (1);(2)解：解：這兩個函數都有最大值、最小值這兩個函數都有最大值、最小值.（1）使函數）使函數 取得最大值的取得最大值的x的集合，就是的集合，就是使函數使函數 取得最大值的取得最大值的x的集合的集合cos1,yxxRcos ,yx

9、xR |2,x xkkZ 使函數使函數 取得最小值的取得最小值的x的集合，就是的集合，就是使函數使函數 取得最小值的取得最小值的x的集合的集合cos1,yxxRcos ,yx xR |(21) ,x xkkZ 函數函數 的最大值是的最大值是1+1=2；最小值是；最小值是-1+1=0.cos1,yxxR.21例例1.下列函數有最大、最小值嗎？如果有，請寫出取最大、最小下列函數有最大、最小值嗎？如果有，請寫出取最大、最小值時的自變量值時的自變量x的集合，并說出最大、最小值分別是什么的集合，并說出最大、最小值分別是什么.cos1,3sin2 ,.yxxRyx xR (1);(2)解：解：（2）令）令

10、t=2x,因為使函數因為使函數 取最大值的取最大值的t的集合是的集合是3sin ,yt tR |2,2t tkkZ 222xtk 由由4xk 得得所以使函數所以使函數 取最大值的取最大值的x的集合是的集合是3sin2 ,yx xR |,4x xkkZ 同理，使函數同理，使函數 取最小值的取最小值的x的集合是的集合是3sin2 ,yx xR |,4x xkkZ函數函數 取最大值是取最大值是3，最小值是，最小值是-3。3sin2 ,yx xR .221、_，則，則f（x）在這個區(qū)間上是）在這個區(qū)間上是增增函數函數.)()(21xfxf4.4.正弦余弦函數的單調性正弦余弦函數的單調性函數函數( ),

11、yf x若在指定區(qū)間任取若在指定區(qū)間任取 ，12x x、且且 ，都有：，都有：21xx函數的單調性反映了函數在一個區(qū)間上的走向。函數的單調性反映了函數在一個區(qū)間上的走向。觀察正余弦函數的圖象，探究其單調性觀察正余弦函數的圖象，探究其單調性2、_，則，則f（x）在這個區(qū)間上是）在這個區(qū)間上是減減函數函數.)()(21xfxf增函數：上升增函數：上升減函數：下降減函數：下降.23探究：正弦函數的單調性探究：正弦函數的單調性25232223,25，、，、 當當 在區(qū)間在區(qū)間上時，上時，x曲線逐漸上升，曲線逐漸上升，sin的值由的值由 增大到增大到 。11753357,22222 222、，、 ， 、

12、當當 在區(qū)間在區(qū)間x上時，曲線逐漸下降，上時，曲線逐漸下降， sin的值由的值由 減小到減小到 。11x22322523yO23225311.24探究：正弦函數的單調性探究：正弦函數的單調性x22322523yO23225311正弦函數在每個閉區(qū)間正弦函數在每個閉區(qū)間)(22,22Zkkk都是增函數，其值從都是增函數，其值從1增大到增大到1；而在每個閉區(qū)間而在每個閉區(qū)間32,2()22kkkZ上都是上都是減函數，其值從減函數，其值從1減小到減小到1。.25探究：余弦函數的單調性探究：余弦函數的單調性 3 , 2 0 2 3 ,4 、，、 ，當當 在區(qū)間在區(qū)間x上時，上時，曲線逐漸上升，曲線逐漸

13、上升，cos的值由的值由 增大到增大到 。11曲線逐漸下降，曲線逐漸下降， sin的值由的值由 減小到減小到 。11 2 , 0 23 、，、 ，當當 在區(qū)間在區(qū)間x上時，上時，x22322523yO23225311.26探究：余弦函數的單調性探究：余弦函數的單調性x22322523yO23225311由余弦函數的周期性知：由余弦函數的周期性知：其值從其值從1減小到減小到1。而在每個閉區(qū)間而在每個閉區(qū)間上都是減函數，上都是減函數，2,2kk 其值從其值從1增大到增大到1 ；在每個閉區(qū)間在每個閉區(qū)間2,2kk都是都是增函數增函數，.27 例2.求函數的單調增區(qū)間 解：123sinyx sinyz

14、 2222zkk1222223xkk 54433kxk 4,433,5kkkZ .28 求函數的單調增區(qū)間5334,4kk 12sin, 2 ,23xyx 1,k 2 2 1711,33 0,k 5,33 1,k 711,33.29 求函數的單調求函數的單調增增區(qū)間區(qū)間1sin23yx sinyz 32222zkk12322232xkk 5114433xkk 4,4133,51kkkZ .30 求函數的單調增區(qū)間1sin23yx sin()sin 1sin23yx sinyz sinyz cos()cos .31 求函數的單調增區(qū)間1cos23yx sin()sin 1cos23yx cosy