概率論第三章：二維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布

1、第三章 二維隨機(jī)變量及其聯(lián)合概率分布考試內(nèi)容：二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù) / 離散型二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布、邊緣分布和條件分布 / 連續(xù)型二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度、邊緣密度/ 隨機(jī)變量的獨(dú)立性和相關(guān)性 / 常見(jiàn)二維隨機(jī)變量的概率分布 / 兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布考試要求：1、理解二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)的概念和基本性質(zhì)。2、理解二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布的概念、性質(zhì)及其兩種基本表達(dá)形式：離散型二維隨機(jī)變量聯(lián)合概率分布和連續(xù)型二維隨機(jī)變量聯(lián)合概率密度。掌握已知兩個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布時(shí)分別求它們的邊緣分布的方法。3、理解隨機(jī)變量的獨(dú)立性和相關(guān)性的概念，掌握隨機(jī)變量獨(dú)立的條件；理解隨機(jī)變量的

2、不相關(guān)性與獨(dú)立性的關(guān)系。4、掌握二維均勻分布和二維正態(tài)分布，理解其中參數(shù)的概率意義。5、掌握根據(jù)兩個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布求其函數(shù)概率分布的方法。 一、知識(shí)要點(diǎn)1、二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù)，性質(zhì):，單調(diào)不減，右連續(xù)，；X的邊緣分布函數(shù)：；Y的邊緣分布函數(shù)：.2、二維離散型隨機(jī)變量聯(lián)合分布律：，一般用矩形表格列出；邊緣分布律：， ，.3、二維連續(xù)型隨機(jī)變量若，稱為的聯(lián)合密度函數(shù)；的性質(zhì):(1) ；(2) ； (3)若連續(xù)，則；(4)；邊緣密度: ；二維均勻分布：，為的面積；二維正態(tài)分布：其邊緣分布分別為一維正態(tài)分布，.4、隨機(jī)變量的獨(dú)立性若，稱與相互獨(dú)立；離散型：，；連續(xù)型：，.5、

3、條件分布離散型：在條件下X的條件分布為，.6、二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布主要研究的分布：連續(xù)型，卷積公式：或；若相互獨(dú)立，則或；可加性定理：(1) 設(shè)，且相互獨(dú)立，則；(2) 設(shè)，且相互獨(dú)立，則;(3) 設(shè)，且相互獨(dú)立，則有;推廣到有限多個(gè)，若，且相互獨(dú)立，則有，稱為正態(tài)分布的可加性.二、典型例題題型1：二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布、邊緣分布、條件分布【例1】 (研97) 設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立且同分布：，則下列各式成立的是【 】(A) (B) (C) (D) 【詳解】 由X和Y相互獨(dú)立知。而，?！敬鸢浮?應(yīng)選(A).【例2】 (研99) 設(shè)隨機(jī)變量，且滿足，則等于【 】(A)0(B)(C)

4、(D)1【詳解】 先求聯(lián)合分布：由于，所以，即， 0 a 0b c d0 e 0 由聯(lián)合與邊緣分布的關(guān)系得 ，所以 ，【答案】 應(yīng)選(A).【例3】 (研09) 設(shè)袋中有1個(gè)紅球，2個(gè)黑球和3個(gè)白球?，F(xiàn)有放回地從袋中取兩次，每次取一球，以分別表示兩次取球所取得的紅球、黑球和白球的個(gè)數(shù).(1) 求；(2) 求二維隨機(jī)變量的概率分布.【詳解】 (1) 表示在沒(méi)有取得白球的情況下取了一次紅球的概率，相當(dāng)于在紅球和黑球中有放回地從袋中兩次取球，其中一個(gè)為紅球，一個(gè)為黑球的概率，故.(2) 的取值為0，1，2，且，故二維隨機(jī)變量的概率分布如下： XY01201/41/61/3611/31/9021/90

5、0題型2：二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布、邊緣分布【例1】 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，試求：(1) 系數(shù)；(2) 的概率密度；(3) 邊緣密度函數(shù)；(4) .【詳解】 (1) ，.(2) 的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 .(3) ，或解：邊緣分布函數(shù)分別為，求導(dǎo)得邊緣密度函數(shù)分別為，.(4) .【例2】 (研92) 設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為，(1) 求X的邊緣密度；(2) 求概率.【詳解】(1) ，當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，所以.(2) .【例3】 (研95) 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為，求的聯(lián)合分布函數(shù).【詳解】 ，分塊計(jì)算，當(dāng)或時(shí)，顯然；當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，綜上所述，.題型3：二維隨機(jī)

6、變量函數(shù)的分布【例1】 (研01) 設(shè)二維隨機(jī)變量在正方形上服從均勻分布，試求隨機(jī)變量的概率密度函數(shù).231xy = - uxy = u13Oyx2【詳解】 由題設(shè)知， 的聯(lián)合密度函數(shù)為，先求的分布函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，于是.【例2】 (研03) 設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，其中X的概率分布為 ，而Y的概率密度為，求隨機(jī)變量的概率密度.【分析】求二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布，一般用分布函數(shù)法轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)的概率. 注意X只有兩個(gè)可能的取值，求概率時(shí)可用全概率公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】 設(shè)是Y的分布函數(shù)，則由全概率公式，知的分布函數(shù)為 .由于X和Y相互獨(dú)立，可見(jiàn) ，由此，得U的概率密度.【評(píng)注】 本題屬新題

7、型，求兩個(gè)隨機(jī)變量和的分布，其中一個(gè)是連續(xù)型一個(gè)是離散型，要求用全概率公式進(jìn)行計(jì)算，類似問(wèn)題以前從未出現(xiàn)過(guò)，具有一定的難度和綜合性?！纠?】 (研07) 設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為 (1) 求；(2) 求的概率密度.【詳解】(1) . (2) 方法一： 先求Z的分布函數(shù)： 當(dāng)時(shí), ； 當(dāng)時(shí), ；當(dāng)時(shí), ；當(dāng)時(shí), .故的概率密度 .方法二： ，當(dāng) 或 時(shí), ；當(dāng)時(shí), ；當(dāng)時(shí), ；故的概率密度 .【例4】 (研08) 設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布且X分布函數(shù)為，則的分布函數(shù)為【 】(A) (B) (C) (D) 【詳解】 獨(dú)立同分布.【答案】應(yīng)選(A).【例5】 (研08) 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，X的

8、概率分布為，Y的概率密度為，記.(1) 求；(2) 求Z的概率密度【詳解1】 (1) .(2) 先求Z的分布函數(shù) ，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由全概率公式，所以Z的密度函數(shù)為.【詳解2】 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜合如下 ，所以Z的概率密度為 .【例6】 (研09) 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，Y的概率分布為，記為隨機(jī)變量的分布函數(shù)，則函數(shù)的間斷點(diǎn)個(gè)數(shù)為【 】（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【詳解】 ，因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立，所以 ，顯然是唯一的間斷點(diǎn).【答案】 應(yīng)選(B).題型4：隨機(jī)變量的獨(dú)立性與相關(guān)性【例1】 (研90) 一電子儀器由兩個(gè)部件構(gòu)成，以X和Y分別表示兩個(gè)部

9、件的壽命(單位:千小時(shí))，已知X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為，(1) 問(wèn)X和Y是否獨(dú)立？(2) 求兩個(gè)部件的壽命都超過(guò)100小時(shí)的概率.【詳解】 由題設(shè)條件知，X和Y的邊緣分布函數(shù)分別為，.(1) 由上式知 ，故X和Y相互獨(dú)立.(2) .【例2】 (研05) 設(shè)二維隨機(jī)變量的概率分布為 YX a b 若隨機(jī)事件與相互獨(dú)立，則【答案】應(yīng)填.【分析】 首先所有概率求和為1，可得。其次，利用事件的獨(dú)立性又可得一個(gè)等式，由此可確定的取值.【詳解】 由題設(shè)，知 ；又事件與相互獨(dú)立，于是有 ，即 , 由此可解得 ?！纠?】 (研06) 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間上的均勻分布，則 = .【答案】應(yīng)填.【

10、詳解】因?yàn)閄與Y服從上的均勻分布，則有 ，再由X與Y相互獨(dú)立，有.【例4】 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為，證明：X與Y不獨(dú)立，但與獨(dú)立.【詳解】 先求邊緣分布，因?yàn)椋訶與Y不獨(dú)立；再計(jì)算與的分布函數(shù)，再計(jì)算與的聯(lián)合分布函數(shù)，于是有，即與獨(dú)立.【評(píng)注】 如果X與Y相互獨(dú)立，則與也相互獨(dú)立，但反之不然，本例即說(shuō)明了這一點(diǎn).題型5：綜合題【例1】 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，下表列出了的聯(lián)合分布及邊緣分布的部分?jǐn)?shù)值，試在空白處填入相應(yīng)數(shù)值。 【詳解】，由獨(dú)立性，再由獨(dú)立性，將所得數(shù)字填入，得下表： 【例2】 設(shè)袋中有標(biāo)記為的四張卡片，從中不放回地抽取兩張，X表示首次抽到的卡片上的數(shù)字，Y表示抽到

11、的兩張卡片上的數(shù)字差的絕對(duì)值。(1) 求的聯(lián)合概率分布；(2) 求X和Y的邊緣分布；(3) 求在條件下Y的條件分布以及在條件下X的條件分布。【詳解】(1)按題意， X的可能取值為，Y的可能取值為，的聯(lián)合概率分布如下表，其中，表示卡片上的數(shù)字分別為和，所以，其它可類似求得. 4 (2) X的邊緣分布為 ，Y的邊緣分布為 .(3) 取定，則把該行各概率除以，即可得到在條件下Y的條件分布:同理， 在條件下X的條件分布為 .【例3】 (研05) 設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為 求：(1) 的邊緣概率密度；(2) 的概率密度.【分析】 求邊緣概率密度直接用公式即可；而求二維隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度，一般用分布函數(shù)法，即先用定義求出分布函數(shù)，再求導(dǎo)得到相應(yīng)的概率密度；直接用條件概率公式計(jì)算即可.【詳解】 (1) 關(guān)于X的邊緣概率密度2x - y = 0Oxy12x - y = z，關(guān)于Y的邊緣概率密度，(2) Z的分布函數(shù)為 ，1) 當(dāng)時(shí)，；2) 當(dāng)時(shí)， ，3) 當(dāng)時(shí)，即Z