坐標(biāo)系與參數(shù)方程PPT精品文檔

1、.1 第一講第一講 坐坐 標(biāo)標(biāo) 系系.2一、直角坐標(biāo)系一、直角坐標(biāo)系.3 1 數(shù)軸數(shù)軸(直線坐標(biāo)系直線坐標(biāo)系)： 2 平面直角坐標(biāo)系：平面直角坐標(biāo)系： 3 空間直角坐標(biāo)系：空間直角坐標(biāo)系：任意任意點(diǎn)點(diǎn)P實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)x確定確定有序?qū)崝?shù)對有序?qū)崝?shù)對(x, y)確定確定有序?qū)崝?shù)組有序?qū)崝?shù)組(x, y, z)確定確定 建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系目的目的是是確定點(diǎn)的位置確定點(diǎn)的位置. 創(chuàng)建坐標(biāo)系的創(chuàng)建坐標(biāo)系的基本原則基本原則： (1) 任意一點(diǎn)都有確定的坐標(biāo)與它對應(yīng)；任意一點(diǎn)都有確定的坐標(biāo)與它對應(yīng)； (2) 依據(jù)一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)就能確定此點(diǎn)的位置依據(jù)一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)就能確定此點(diǎn)的位置. 求出此點(diǎn)在該坐標(biāo)系中的求出此點(diǎn)在該

2、坐標(biāo)系中的坐標(biāo)坐標(biāo).直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系.4例例1 1、選擇適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，表示邊長、選擇適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，表示邊長為為2 2的正六邊形的頂點(diǎn)的正六邊形的頂點(diǎn). .ABCDEFOxyOxyABCDEF.5例例2 2、某地區(qū)原計(jì)劃經(jīng)過、某地區(qū)原計(jì)劃經(jīng)過B B地沿著東北方向修地沿著東北方向修建一條高速公路，但在建一條高速公路，但在A A村北偏西村北偏西30300 0方向距方向距A A村村500500m m處，發(fā)現(xiàn)一古代文物遺址處，發(fā)現(xiàn)一古代文物遺址W W。經(jīng)過初。經(jīng)過初步勘察，文物管理部門將遺址步勘察，文物管理部門將遺址W W周圍周圍200200m m范范圍劃為禁區(qū)，已知圍劃為禁區(qū)，已知

3、B B地位于地位于A A村的正西方向村的正西方向1 1kmkm 處，試問：修建高速公路和計(jì)劃需要修處，試問：修建高速公路和計(jì)劃需要修改嗎？改嗎？ 解決問題的關(guān)鍵：解決問題的關(guān)鍵：確定遺址確定遺址W與高速公路與高速公路BC的的相對位置相對位置.WABC4506005001000OxyOy.6例例3 3、求證：三角形的外心、重心、垂心、求證：三角形的外心、重心、垂心在一條直線上。在一條直線上。ABC).3b,3caG（即重心坐標(biāo)為30b0y,3c0aG各H。則有x為O,垂心分別ABC的外心、重心和三角形b)C(c,0),B(0,設(shè)A（a,0),建立如圖所示坐標(biāo)系，:解GGGHDxyO.7CD(),

4、BO()0.H 0).0aAByx c ACbayx cacxbbx邊上的高所在直線的方程為邊上的高所在直線的方程為解方程組得垂心坐標(biāo) （ ，)2bbac,2ca得外心坐標(biāo)為O(2cax)2a(xba2by解方程組.2ca所在直線的方程為x線段AC的垂直平分線),2a(xba2b所在直線的方程為y線段AB的垂直平分線2.8)63,6()2,2()3,322bbaccabbaccabcaOG（向量)23,2()2,2(), 0(O22bbaccabbaccabacH向量|21|3OGHOGOGH）上，且在一條直線（稱重心、垂心，所以三角形的外心、向量歐拉線歐拉線.9答答: :再增設(shè)一個(gè)觀測點(diǎn)再增

5、設(shè)一個(gè)觀測點(diǎn)C，利用，利用B、C（或（或A、C）兩處）兩處測得的爆炸聲的時(shí)間差，可以求出另一個(gè)雙曲線的方測得的爆炸聲的時(shí)間差，可以求出另一個(gè)雙曲線的方程，解這兩個(gè)方程組成的方程組，就能確定爆炸點(diǎn)的程，解這兩個(gè)方程組成的方程組，就能確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置準(zhǔn)確位置. .這是雙曲線的一個(gè)重要應(yīng)用這是雙曲線的一個(gè)重要應(yīng)用. .10PBA Cxyo.11.12.13平面直角坐標(biāo)系建系時(shí)，根據(jù)幾何特點(diǎn)選擇平面直角坐標(biāo)系建系時(shí)，根據(jù)幾何特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系。適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系。（1）如果圖形有對稱中心，可以選對稱中心為）如果圖形有對稱中心，可以選對稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)；坐標(biāo)原點(diǎn)；（2）如果圖形有對稱軸，可以選擇

6、對稱軸為坐）如果圖形有對稱軸，可以選擇對稱軸為坐標(biāo)軸；標(biāo)軸；（3）使圖形上的特殊點(diǎn)盡可能多的在坐標(biāo)軸上。）使圖形上的特殊點(diǎn)盡可能多的在坐標(biāo)軸上?？偨Y(jié)總結(jié).14二、極坐標(biāo)系二、極坐標(biāo)系.15問題問題2：如何刻畫這些點(diǎn)的位置？如何刻畫這些點(diǎn)的位置？情境情境1：軍艦巡邏在海面上，發(fā)現(xiàn)前方有一群水雷，軍艦巡邏在海面上，發(fā)現(xiàn)前方有一群水雷， 如何確定它們的位置以便將它們引爆？如何確定它們的位置以便將它們引爆？情境情境2：請問到復(fù)旦中學(xué)怎么走？請問到復(fù)旦中學(xué)怎么走？ 問題問題1：為了簡便地表示上述問題中點(diǎn)的位置，為了簡便地表示上述問題中點(diǎn)的位置， 應(yīng)創(chuàng)建怎樣的坐標(biāo)系呢？應(yīng)創(chuàng)建怎樣的坐標(biāo)系呢？問題情境問題情

7、境.16請分析這句話，他告訴了問路人什么？請分析這句話，他告訴了問路人什么？從從 這這 向 南向 南 走走 2 0 0 米米 ！出發(fā)點(diǎn)出發(fā)點(diǎn)方向方向距離距離 在生活中人們經(jīng)常用方向和距離來表示一點(diǎn)的位置。在生活中人們經(jīng)常用方向和距離來表示一點(diǎn)的位置。這種用這種用方向方向和和距離距離表示平面上一點(diǎn)的位置的思想，就是表示平面上一點(diǎn)的位置的思想，就是極坐標(biāo)的基本思想。極坐標(biāo)的基本思想。情境情境2：請問到復(fù)旦中學(xué)怎么走？：請問到復(fù)旦中學(xué)怎么走？.171 1、極坐標(biāo)系的建立：、極坐標(biāo)系的建立：在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做，叫做極點(diǎn)極點(diǎn).引一條射線引一條射線OX，叫做，叫做極軸極軸。再選定

8、一個(gè)再選定一個(gè)長度單位長度單位和計(jì)算和計(jì)算角度的正方向。角度的正方向。（通常取逆時(shí)針方向）（通常取逆時(shí)針方向）.這樣就建立了一個(gè)這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系.XO極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系.182 2、極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)的規(guī)定、極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)的規(guī)定 對于平面上任意一點(diǎn)對于平面上任意一點(diǎn)M,M,用用 表示線段表示線段OMOM的長度的長度, ,用用 表示以射線表示以射線OXOX為始邊為始邊, ,射線射線OMOM為終邊所成的為終邊所成的角角, , 叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)M M的的極徑極徑, , 叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)M M的的極角極角, ,有序數(shù)對有序數(shù)對( ( , , ) )就叫做就叫做M M的的極坐標(biāo)極坐標(biāo)。

9、XOM 極點(diǎn)極點(diǎn)的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為 (0, ), 可為任意值可為任意值.思考思考: 對比直角坐標(biāo)系，比較異同。對比直角坐標(biāo)系，比較異同。要素：要素：_ _；(2) 平面內(nèi)點(diǎn)的極坐標(biāo)用平面內(nèi)點(diǎn)的極坐標(biāo)用_表示表示.極點(diǎn)、極軸、長度單位、極點(diǎn)、極軸、長度單位、計(jì)算角度的正方向計(jì)算角度的正方向( , ).19例例1 1、如圖，寫出各點(diǎn)的極坐標(biāo)：、如圖，寫出各點(diǎn)的極坐標(biāo)：。Ox ABCDEFGA(4,0)B(3, ) 4C(2, ) 2D(5, )5 6E(4.5, )F(6, )4 3G(7, )5 3156 43 53 2 4 .20小結(jié)小結(jié)由極坐標(biāo)描點(diǎn)的步驟：由極坐標(biāo)描點(diǎn)的步驟： (1) 先按

10、先按極角極角找到點(diǎn)所在射線；找到點(diǎn)所在射線； (2) 在此射線上按在此射線上按極徑極徑描點(diǎn)描點(diǎn).思考思考: : 平面上一點(diǎn)的極坐標(biāo)是否唯一？平面上一點(diǎn)的極坐標(biāo)是否唯一？ 若不唯一，那有多少種表示方法？若不唯一，那有多少種表示方法？不同的極坐標(biāo)是否可以寫出統(tǒng)一表達(dá)式？不同的極坐標(biāo)是否可以寫出統(tǒng)一表達(dá)式？.213 3、點(diǎn)的極坐標(biāo)的表達(dá)式的研究、點(diǎn)的極坐標(biāo)的表達(dá)式的研究XOM 如圖：如圖：OM的長度為的長度為4，4請說出點(diǎn)請說出點(diǎn)M的極坐標(biāo)的表達(dá)式？的極坐標(biāo)的表達(dá)式？思考：思考：這些極坐標(biāo)之間有何異同？這些極坐標(biāo)之間有何異同？思考：思考：這些極角有何關(guān)系？這些極角有何關(guān)系？這些極角的始邊相同，終邊也

11、相同。也就是說它們這些極角的始邊相同，終邊也相同。也就是說它們是終邊相同的角。是終邊相同的角。4+2k4， 極徑相同，不同的是極角極徑相同，不同的是極角.)(Zk.224 4、極坐標(biāo)系下點(diǎn)與它的極坐標(biāo)的對應(yīng)情況、極坐標(biāo)系下點(diǎn)與它的極坐標(biāo)的對應(yīng)情況11給定（給定（ , , ）, ,就可以在就可以在極坐標(biāo)極坐標(biāo)平平面內(nèi)確定唯一的一點(diǎn)面內(nèi)確定唯一的一點(diǎn)M M22給定平面上一點(diǎn)給定平面上一點(diǎn)M M，但卻有無數(shù)個(gè)極坐標(biāo)與之對應(yīng)。，但卻有無數(shù)個(gè)極坐標(biāo)與之對應(yīng)。原因在于：極角有無數(shù)個(gè)。原因在于：極角有無數(shù)個(gè)。OXPM(,)如果如果限定限定0,00,022那么那么除極點(diǎn)除極點(diǎn)外外, ,平面內(nèi)的點(diǎn)和極坐標(biāo)就可以

12、平面內(nèi)的點(diǎn)和極坐標(biāo)就可以一一對應(yīng)一一對應(yīng)了了. .2321P5Q 1PQ4452P5Q 1PQ4,43,0M3例 、在極坐標(biāo)系中，（ ）已知兩點(diǎn) （ 、 ）， （ ， ），求線段的長度。（ ）已知兩點(diǎn) （ 、）， （ ， ），求線段的長度。（ ）說明滿足條件的點(diǎn)（ ， ）所組成的圖形思考：思考：在本節(jié)開頭關(guān)于修建高速公路的問題中能否在本節(jié)開頭關(guān)于修建高速公路的問題中能否在極坐標(biāo)系中解題。在極坐標(biāo)系中解題。表示什么樣的圖形？，則）中的若（MR3.24 在一般情況下，極徑都是取正值。但在某些必要的在一般情況下，極徑都是取正值。但在某些必要的 情況下，也允許取負(fù)值情況下，也允許取負(fù)值( 0):當(dāng)當(dāng)

13、0時(shí)如何規(guī)定時(shí)如何規(guī)定( , )對應(yīng)的點(diǎn)的位置？對應(yīng)的點(diǎn)的位置？Ox當(dāng)當(dāng) 0)A(a,0)(a0)，且垂直于極軸的，且垂直于極軸的直線直線l l的極坐標(biāo)方程。的極坐標(biāo)方程。ox AM解：解：acos.533 3、設(shè)點(diǎn)、設(shè)點(diǎn)A A的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為(a,0)(a,0)，直線，直線l l過點(diǎn)過點(diǎn)A A且與極且與極軸所成的角為軸所成的角為, , 求直線求直線l l 的極坐標(biāo)方程。的極坐標(biāo)方程。 解：如圖，設(shè)點(diǎn)解：如圖，設(shè)點(diǎn)M(,), M(,), 為直線為直線l l上異上異于于A A的點(diǎn)的點(diǎn), ,連接連接OMOM，在，在MOAMOA中有中有 oMx Asin()sin()a 即即sin()sina

14、顯然顯然A A點(diǎn)也滿足上方程點(diǎn)也滿足上方程. .54練習(xí)：按下列條件寫出直線的極坐標(biāo)方程：練習(xí)：按下列條件寫出直線的極坐標(biāo)方程：(1)A(6)(2)B(5)(3)C(8)62(4)D(2 3,0)3經(jīng)過極點(diǎn)和點(diǎn)， 的直線；5經(jīng)過點(diǎn)，且垂直于極軸的直線；經(jīng)過點(diǎn)， ，且平行于極軸的直線；經(jīng)過點(diǎn)，且傾斜角為的直線；(1)5(2)cos5 (3) sin42(4) sin()33.55例例4 4、設(shè)點(diǎn)、設(shè)點(diǎn)P P的極坐標(biāo)的極坐標(biāo)(0 0, ,0 0,) ,) ，直線直線l l過點(diǎn)過點(diǎn)P P且與極軸所成的角為且與極軸所成的角為, ,求直線求直線l l的極坐標(biāo)方程。的極坐標(biāo)方程。 oxMP 0 0 解：如

15、圖，設(shè)點(diǎn)解：如圖，設(shè)點(diǎn)M(,) M(,) 為直線上除點(diǎn)為直線上除點(diǎn)P P外外的任意一點(diǎn)，連接的任意一點(diǎn)，連接OMOM，在在MOPMOP中有中有 顯然點(diǎn)顯然點(diǎn)P P的坐標(biāo)也是它的解。的坐標(biāo)也是它的解。00sin()sin()00sin()sin() OPsinsinOMOMPOPM.5600sin()sin()00上式是過（ ， ），傾斜角為 的直線的極坐標(biāo)方程.010ll、當(dāng)直線 過極點(diǎn)，即 時(shí)，直線的方程是什么？2M( ,)2lb、當(dāng)直線過點(diǎn)且平行于極軸時(shí)，直線的極坐標(biāo)方程是什么？練習(xí)：練習(xí)：sinb.57xC(a,0)O如圖如圖, ,半徑為半徑為a a的圓的圓心坐標(biāo)的圓的圓心坐標(biāo)為為(a,

16、0)(a0), (a,0)(a0), 你能用一個(gè)等式你能用一個(gè)等式表示圓上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)表示圓上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)( ( , , ) )滿足的條件？滿足的條件？探探 究究1. 1. 定義：定義：如果曲線上的點(diǎn)與方程如果曲線上的點(diǎn)與方程f(f( , , )=0)=0有如下關(guān)系有如下關(guān)系( () )曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)( (所有坐標(biāo)中至少有一個(gè)所有坐標(biāo)中至少有一個(gè)) )符合符合方程方程f(f( , , )=0 )=0 ；( () )方程方程f(f( , , )=0)=0的所有解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上。的所有解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上。 則曲線的方程是則曲線的方程是f(f( , , )=0

17、 )=0 。圓的極坐標(biāo)方程圓的極坐標(biāo)方程.58例例1 1、已知圓、已知圓O O的半徑為的半徑為r r，建立怎樣的坐標(biāo)系，可以，建立怎樣的坐標(biāo)系，可以使圓的極坐標(biāo)方程更簡單？使圓的極坐標(biāo)方程更簡單？例例2 2、若圓心的坐標(biāo)為、若圓心的坐標(biāo)為M(M(0 0,0 0) )，圓的半徑為，圓的半徑為r r，求圓，求圓的方程。的方程。OMP0r002222220000P()MOPMP =OM +OP -2OM OP cos. -2cos()0POMr 解：當(dāng)時(shí)，設(shè)圓上任意一點(diǎn)為，在中，由余弦定理知可得000222000=0=r()-2cos()0rr 當(dāng)時(shí)，圓心位于極點(diǎn)，圓的極坐標(biāo)方程是，亦滿足上面的方程

18、。故圓心為，半徑為 的圓的極坐標(biāo)方程是x.59運(yùn)用此結(jié)果可以推出一些特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程。運(yùn)用此結(jié)果可以推出一些特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程。練習(xí)練習(xí)1 1、求下列圓的極坐標(biāo)方程、求下列圓的極坐標(biāo)方程( () )圓心在極點(diǎn)，半徑為圓心在極點(diǎn)，半徑為2 2；( () )圓心在圓心在( (a a,0),0)，半徑為，半徑為a a；( () )圓心在圓心在( (a a , , / /2)2)，半徑為，半徑為a a；( () )圓心在圓心在( ( 0 0 , , ) )，半徑為，半徑為r r 2 2 2acos 2acos 2asin 2asin 2 2 -2 -2 0 0 cos( cos( - -

19、 ) ) + + 0 0 2 2- - r 2 2 = 0= 0M( ,0)2M(r,)2r1、當(dāng)圓心位于時(shí)，由上式可得圓的極坐標(biāo)方程是;、當(dāng)圓心位于時(shí)，由上式可得圓的極坐標(biāo)方程是=2rcos=2rsin.602(1)A(3,0)(2)B(8)2(3)OC(-4,0)(4)D(2 3)6練習(xí) 、按下列條件寫出圓的極坐標(biāo)方程：以為圓心，且過極點(diǎn)的圓；以， 為圓心，且過極點(diǎn)的圓；以極點(diǎn) 與點(diǎn)連接的線段為直徑的圓；圓心在極軸上，且過極點(diǎn)與點(diǎn)， 的圓。(1) =6cos(2)16sin(3)4cos(4)4cos辨析辨析: :圓心在不同位置時(shí)圓極坐標(biāo)方程和特征圓心在不同位置時(shí)圓極坐標(biāo)方程和特征. .6

20、1例例4 4、以極坐標(biāo)系中的點(diǎn)、以極坐標(biāo)系中的點(diǎn)(1,1)(1,1)為圓心為圓心, 1, 1為半徑的圓為半徑的圓的方程是的方程是 ( )( )()().2 cos.2 sin44.2 cos1.2 sin1ABCDC例例3 3、極坐標(biāo)方程分別是、極坐標(biāo)方程分別是 coscos和和 sinsin 的兩個(gè)圓的圓心距是多少的兩個(gè)圓的圓心距是多少? ? 22.62例例5 5、在圓心的極坐標(biāo)為、在圓心的極坐標(biāo)為A(4,0)A(4,0)，半徑為，半徑為4 4的圓中，的圓中， 求過極點(diǎn)求過極點(diǎn)O O的弦的中點(diǎn)的軌跡。的弦的中點(diǎn)的軌跡。 練習(xí)練習(xí)3 3、在極坐標(biāo)系中、在極坐標(biāo)系中, , 已知圓已知圓C C的圓

21、心的圓心C(3, C(3, /6),/6),半徑半徑r=3r=3 求圓求圓C C的極坐標(biāo)方程。的極坐標(biāo)方程。 若若Q Q點(diǎn)在圓點(diǎn)在圓C C上運(yùn)動上運(yùn)動 ,P,P在在QOQO的延長線上的延長線上, ,且且OQ:OP=3:2, OQ:OP=3:2, 求動點(diǎn)求動點(diǎn)P P的軌跡方程。的軌跡方程。.63例例6 6、橢圓上、橢圓上 兩點(diǎn)兩點(diǎn)A,BA,B，O O為坐為坐標(biāo)原點(diǎn)，且標(biāo)原點(diǎn)，且（1 1）求證：）求證： 為定值；為定值；（2 2）若）若O O到到ABAB距離為距離為d d，求證：，求證：d d為定值；為定值；（3 3）求三角形）求三角形AOBAOB面積的取值范圍。面積的取值范圍。)0( 12222

22、babyaxOBOA 22|0|1|1BOA.64曲線極坐標(biāo)方程總結(jié)曲線極坐標(biāo)方程總結(jié).65.66題型分析題型分析.67解析：解析：(1)(1)將將x xcoscos，y ysinsin代入代入y y2 24 4x x，得得( (sinsin) )2 24 4coscos. .化簡，得化簡，得sinsin2 24cos4cos. .(2)(2)將將x xcoscos，y ysinsin代入代入y y2 2x x2 22 2x x1 10 0，得得( (sinsin) )2 2( (coscos) )2 22 2coscos1 10 0，化簡，得化簡，得2 22 2coscos1 10.0.68.69.70.71.72.73(2)曲線曲線C1的普通方程是的普通方程是x2(y1)21，曲線，曲線C2的直角的直角坐標(biāo)方程是坐標(biāo)方程是xy10，由于直線，由于直線xy10經(jīng)過圓經(jīng)過圓x2(y1)21的圓心，故兩曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是的圓心，故兩曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是2.74.75.76答案：答案：4.778 8、(2011(2011廣東