復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法

1、第五講第五講 復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法 內(nèi)容提要內(nèi)容提要 1.多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則； 2.隱函數(shù)的求導(dǎo)法則。隱函數(shù)的求導(dǎo)法則。 教學(xué)要求教學(xué)要求 1.熟練掌握各種情形下的多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法；熟練掌握各種情形下的多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法； 2.理解和掌握抽象復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)。理解和掌握抽象復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)。先復(fù)習(xí)一元函數(shù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則先復(fù)習(xí)一元函數(shù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則)(),(xuufy 設(shè)設(shè)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù))(xfy dxdydudy )()(xuf )()(),(xvvuufy 設(shè)設(shè)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為則則復(fù)復(fù)合合

2、函函數(shù)數(shù))(xfy dxdydudy )()()(xvuf dxdudvdudxdv一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則),(),(yxyxfz 這個復(fù)合過程，這個復(fù)合過程，zuvxy下面先對二元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)進(jìn)行討論下面先對二元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)進(jìn)行討論),(),(yxuvufz 通通過過中中間間變變量量設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)的的下面定理給出直接由下面定理給出直接由),(),(),(yxyxvuf .,的求導(dǎo)公式的求導(dǎo)公式求求yzxz .,),(的復(fù)合函數(shù)的復(fù)合函數(shù)成為成為及及yxyxv ,偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)可以形象的用可以形象的用一條鏈一條鏈來描述：來描述：定理定理1）處處有有偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，在在點(diǎn)

3、點(diǎn)（設(shè)設(shè)yxyxvyxu,),(),( 有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，在在對對應(yīng)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)),(),(vuvufz 處處有有偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，在在點(diǎn)點(diǎn)),(),(),(yxyxyxfz 則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)且且 xz yz上述復(fù)合過程可以形象的用上述復(fù)合過程可以形象的用一條鏈一條鏈來描述：來描述：zuvxyxuuz xvvz yuuz yvvz 解解 xzuz xu vz xv yzuz yu vz yv zuvxy，求求xz yz ,lnvezu 設(shè)設(shè)例例1.22yxv ,xyu 222yxxexy veuln y.)ln(22yxyexy x2veu1 veuln xveu1 y222222yxyyx

4、xexy )ln(解解 xzuz xu vz xv veucos ),cossin(vvyeu yzuz yu vz yv xveu sin)cossin(vvxeu zuvxyveusin y 1 ，求求xz yz ,sinvezu 設(shè)設(shè),xyu . yxv ),cos()sin(yxyxyexy ).cos()sin(yxyxxexy 1 veucos練習(xí)練習(xí)說明：說明：uvxz，若若)(),(xvxu 的的函函數(shù)數(shù)，是是則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)xxxfz)(),( 簡單表示為簡單表示為的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)稱稱為為全全導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，對對此此時時xz dxdz且且有有),(,vufz 對對中中在在定定理理1

5、1.uz vz dxdudxdv.)(sincosdxdyxyx的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求例例 2解解xvxucos,sin 令令，則則vuy uyxvdxdyuy vy 1 vvuxcosuuvln )sin(x )ln(sin)(sincos)(sin1cos21cosxxxxxx dxdu dxdv ),(1vufz 中，對中，對在定理在定理，若若xvyxu ),( 2.的的函函數(shù)數(shù)，是是則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)yxxyxfz,),( 復(fù)合過程復(fù)合過程zuxyxxz yuuz 兩者的區(qū)別兩者的區(qū)別xf 求偏導(dǎo)求偏導(dǎo)對對對對xxyxfz),( xf 為了區(qū)別將其改為為了區(qū)別將其改為求偏導(dǎo)求偏導(dǎo)對對對對x

6、xufz),( xxz uz yz可以形象的用可以形象的用一條鏈一條鏈來描述：來描述：xu 例例3yzxzyxuufyuyfz ,),(),( 22求求設(shè)設(shè)解解zuyxuz )(uf )(222yxfx uz yf )(uf )(2122yxfy yz xz yxu x2yu )(y2 1 zwvuyx定理定理1可推廣到中間變量和自變量多于兩個的情形可推廣到中間變量和自變量多于兩個的情形3.具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，例例如如，設(shè)設(shè)),(wvufz 都都具具有有偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，而而),(),(),(yxwyxvyxu ),(),(),(yxyxyxfz 復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)復(fù)合過程復(fù)合過程wz w

7、z xzuz vz yz uz vz 形象的用形象的用一條鏈一條鏈來描述：來描述：xu xv xw yu yv yw 例例4,2222222tsytsxzyxu 設(shè)設(shè),stz2 tusu ,求求zyxust解解tu su zu tzzu xu yu txxu tyyu 222zyxx s2 222zyxy s2 222zyxz t 2 2222zyxztysxs )(2222zyxzsytxt )(sx sy sz ),(wvufz 對對,),(),(時時當(dāng)當(dāng)xwyxvyxu ),(),(xyxyxfz 復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)復(fù)合過程復(fù)合過程zvuyxxxf xzuz vz yz uz vz x形象

8、的用形象的用一條鏈一條鏈來描述：來描述：xu xv yu yv ，設(shè)設(shè)例例25xvexvufzu sin),(xz 求求yz 和和解解zvuyxxxf xzxuuz xvvz yz yuuz yvvz ,xyv , yxu 其中其中veucos veusin yxxyyxyeyx2 )cos()sin(veusin veucos x)cos()sin(xyxxyeyx x2 zwvux),(wvufz 對對時時，當(dāng)當(dāng))(),(),(xwxvxu )(),(),(xxxfz 復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)復(fù)合過程復(fù)合過程dxdwwz dxdzdxduuz dxdvvz 形象的用形象的用一條鏈一條鏈來描述：來描

9、述：例例 6 6 設(shè)設(shè)tuvzsin ，而而teu ，tvcos ， 求求全全導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)dtdz. 解解tcos tcos .cos)sin(costttet tzuvtz dtdzuz vz tetetcos tetsin v tdtdu dtdv tsin u例例 7yzxzyxxyfz ,),(求求設(shè)設(shè)解解,xyu 令令),(vufz 則則zuvxyxvvz vz yzvz xz 于是于是xuuz uz uz yyvvz yuuz x, yxv ，對對),(.vufz 1的的函函數(shù)數(shù)，是是則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)yxyxyxfz,),(),( xz yzzuvxyxuuz xvvz yuuz

10、yvvz ，若若),(),(yxvyxu uvxz，若若)(),(xvxu 的的函函數(shù)數(shù)，是是則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)xxxfz)(),( dxdz),(.vufz 對對2vz dxdudxdv回回 顧顧uz 的的函函數(shù)數(shù)，是是則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)yxxyxfz,),( zuxyxyuuz xf xz xuuz yz),(.xufz 對對3),(yxu 若若zwvuyx，對對),(.wvufz 4),(),(yxvyxu 若若),(),(),(yxyxyxfz 復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)xwwz ywwz xzxuuz xvvz yz yuuz yvvz ，),(yxw ),(.xvufz 對對5,),()

11、,(時時當(dāng)當(dāng)yxvyxu ),(),(xyxyxfz 復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)zvuyxxxf xzxuuz xvvz yz yuuz yvvz zwvux),(.wvufz 對對6時時，當(dāng)當(dāng))(),(),(xwxvxu )(),(),(xxxfz 復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)dxdwwz dxdzdxduuz dxdvvz 形式隱函數(shù)形式隱函數(shù) 0),(. 1 yxf二、隱函數(shù)求導(dǎo)法二、隱函數(shù)求導(dǎo)法的的導(dǎo)導(dǎo)所所確確定定的的函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)方方程程)(),(xfyyxf 0處處某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)),(),(yxyxf，及及的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)),(),(yxfyxfyx的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為確確定定的的則則由由)

12、(0),(xfyyxf dxdy, 0),( yxfy且且)(),(xfyyxf 確確定定函函數(shù)數(shù)因因?yàn)闉?0)(,( xfxffxy證明證明),(yxfx),(yxfy 0 dxdy),(),( yxfyxfdxdyyx 有連續(xù)有連續(xù)數(shù)存在，數(shù)存在，),(),(yxfyxfyx ),(sinxfyxyyx 確確定定函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)方方程程xxyyyxf sin),(令令 dxdy則則xyxxyycoscos 11xyxxyycos1cos1 例例1dxdy求求解解yxff dxdy則則),(),(yxfyxfyx 0 ),(yxfxyyxsin 0 xxyysin已已知知xyyxarctanln

13、22 ，求求 dxdy. 令令則則 ),(yxf,),(22yxyxyxfx ,),(22yxxyyxfy yxffdxdy .xyyx ,arctanlnxyyx 22提示：提示：練習(xí)練習(xí)形形式式的的隱隱函函數(shù)數(shù)0),(. 2 zyxf確確定定的的函函數(shù)數(shù)為為因因?yàn)闉?),( zyxf),(yxfz fxyz0),(,( yxfyxf求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)和和兩兩邊邊分分別別對對yxxf的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(),(zyxzyxf，偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)),(),(),(zyxfzyxfzyxfzyx. 0),( zyxfz且且的的所所確確定定的的函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)方方程程),(0)

14、,(yxfzzyxf 存在，存在，及及偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)yzxz 證明證明,zxffxz 則則0 zf zxffxz zyffyz 同理同理zyffyz xz ，確確定定函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)方方程程例例),(yxfzxyzez 2xyzezyxfz ),(令令zyffyz zxffxz 則則xyeyzz yyzz xyxyzyz 由對稱性由對稱性xxzz zyzxffyzffxz ,則則0),( zyxf.yzxz 及及求求解解yyxzzyzxzln 11),(yxfzyzzx 確確定定函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)方方程程0,yz 求求.xz 練習(xí)練習(xí)解解 ),(zyxf令令zyffyz 則則zxyz yyxzzzzxxlnln 1zxffxz 則則解解令令, zyxu ,xyzv 則則0),( vuff