143對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

1、上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院11.4.3 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法一、冪指函數(shù)的對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則一、冪指函數(shù)的對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則二、乘積形式函數(shù)的對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則二、乘積形式函數(shù)的對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則三、小結(jié)三、小結(jié)上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2觀察函數(shù)觀察函數(shù).,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 求導(dǎo)方法求導(dǎo)方法: :先在方程兩邊取對(duì)數(shù)先在方程兩邊取對(duì)數(shù), , 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)方法求出導(dǎo)數(shù). .-對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用范圍適用范圍: :( )( ).v xu x多多個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)相相乘乘和和冪冪指

2、指函函數(shù)數(shù)的的情情形形上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院3解解例例1sin(0),.xyxxy 設(shè)設(shè)求求等式兩邊取對(duì)數(shù)得等式兩邊取對(duì)數(shù)得xxylnsinln x上上式式兩兩邊邊對(duì)對(duì) 求求導(dǎo)導(dǎo)得得xxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 一、冪指函數(shù)的對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則一、冪指函數(shù)的對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院4(1sin ) ,xyx d_.y 例例2 設(shè)設(shè)則則分析分析 要求冪指函數(shù)要求冪指函數(shù)根據(jù)對(duì)數(shù)恒等式，先變換成根據(jù)對(duì)數(shù)恒等式，先變換成 ()ln

3、( )eg xf xy ( )ln( )e.g xf x (按復(fù)合函數(shù)求微分或?qū)?shù)按復(fù)合函數(shù)求微分或?qū)?shù))或或 ( )lnln( )g xyf x ( )ln ( ).g xf x (按隱函數(shù)求微分或?qū)?shù)按隱函數(shù)求微分或?qū)?shù)) 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院5解解 恒等變形得恒等變形得 (1sin ) ,xyx lnln(1sin )yxx根據(jù)微分法則知根據(jù)微分法則知1ddln(1sin )yxxy1cos d1sinxx xx 因此因此 1ddln(1sin )cos d1sinyyxxxx xx cos(1sin )ln(1sin.)d1sinxxxxx

4、xx 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院6對(duì)冪指函數(shù)對(duì)冪指函數(shù),( ),( ),vyuuu x vv x其其中中可用對(duì)數(shù)可用對(duì)數(shù)lnln ,yvu 1yy lnvu ,u vu ln.vu vyuvuu lnvyuu v1.vvuu 求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則: :按指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式按指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式按冪函數(shù)求導(dǎo)公式按冪函數(shù)求導(dǎo)公式注注 求導(dǎo)法求導(dǎo)求導(dǎo)法求導(dǎo): :上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院7冪指函數(shù)的求導(dǎo)公式冪指函數(shù)的求導(dǎo)公式:lnvyuu v1.vvuu 按指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式按指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式按冪函數(shù)求導(dǎo)公式按冪函數(shù)求導(dǎo)公式將冪指函

5、數(shù)當(dāng)作冪函數(shù)求導(dǎo)將冪指函數(shù)當(dāng)作冪函數(shù)求導(dǎo)加上加上將冪指函數(shù)將冪指函數(shù)當(dāng)作指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)當(dāng)作指數(shù)函數(shù)求導(dǎo).上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院8sin(0)xyxx的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). . 例例3 利用求導(dǎo)公式利用求導(dǎo)公式求求 sin1sinsinlnsinxxyx xxxxx 解解 根據(jù)求導(dǎo)公式可得根據(jù)求導(dǎo)公式可得 sin1sinsinlncosxxx xxxx sinsinlncos.xxxxxx注注 結(jié)果與結(jié)果與例例1中利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法所得完全一致中利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法所得完全一致.上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院9二、二、乘積形式函數(shù)的對(duì)數(shù)

6、求導(dǎo)法則乘積形式函數(shù)的對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則乘積形式函數(shù)的求導(dǎo)法則：如果利用乘積形式函數(shù)的求導(dǎo)法則：如果利用來(lái)求導(dǎo)，理論上是可行的，但對(duì)于比較復(fù)雜的情來(lái)求導(dǎo)，理論上是可行的，但對(duì)于比較復(fù)雜的情形，例如形，例如uvu vuv32(1)1,(4)xxxyxe 則過(guò)程顯得非常繁瑣，因此也先取對(duì)數(shù)，再求導(dǎo)則過(guò)程顯得非常繁瑣，因此也先取對(duì)數(shù)，再求導(dǎo).上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院10例例4解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式兩邊等式兩邊先取絕對(duì)值再取對(duì)數(shù)先取絕對(duì)值再取對(duì)數(shù)得得1lnln1ln12ln43yxxxxx上上式式兩兩邊邊對(duì)對(duì) 求求導(dǎo)導(dǎo)得

7、得142)1(3111 xxxyy32(1)1,.(4)xxxyyxe 設(shè)設(shè)求求上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院11(1)(2),(3)(4)xxyxx 1ln2y 對(duì)對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo) 12yy 1(1)(2)2(3)(4)xxyxx 1111.1234xxxx解解 等式兩邊等式兩邊先取絕對(duì)值再取對(duì)數(shù)先取絕對(duì)值再取對(duì)數(shù)得得ln1ln2xx ln3ln4xx11x 12x 13x 1,4x 例例5 設(shè)設(shè).y 求求上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院12例例6 設(shè)設(shè)(0 ,0 ,1,0 ),xababxayabxbxab 解解 兩邊取對(duì)數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)ln y 兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo)yy lnabax ,bx xababxybxa lnabax bx lnaxb lnlnabx lnln ,bxa .y 求求上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院13三、小結(jié)三、小結(jié)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用的函數(shù)類型：對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用的函數(shù)類型：1. 冪指函數(shù)；冪指函數(shù)；2. 乘積形式函數(shù)乘積形式函數(shù).對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則：對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則：對(duì)方程兩邊取對(duì)數(shù)，按隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)對(duì)方程兩邊取對(duì)數(shù)，按隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo).上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返回首頁(yè)返回首頁(yè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院143. ,( ).yyx 等等式式兩兩端端