空間的平行直線與異面直線(一)

1、課題： 空間的平行直線與異面直線(一)教學(xué)目的：1. 會判斷兩條直線的位置關(guān)系.2. 理解公理四 , 并能運(yùn)用公理四證明線線平行 .3. 掌握等角定理 , 并能運(yùn)用它解決有關(guān)問題 .4. 了解平移的概念，初步了解平幾中成立的結(jié)論哪些在立幾中成立5. 掌握空間兩直線的位置關(guān)系， 掌握異面直線的概念， 會用反證法和異面直線的判定定理證明兩直線異面；6. 掌握異面直線所成角的概念及異面直線垂直的概念， 能求出一些較特殊的異面直線所成的角教學(xué)重點： 公理 4 及等角定理的運(yùn)用 異面直線所成的角 .教學(xué)難點： 公理 4 及等角定理的運(yùn)用異面直線所成的角.授課類型： 新授課課時安排： 1 課時教具：多媒體

2、、實物投影儀內(nèi)容分析 ：本節(jié)共有兩個知識點，平行直線、異面直線 以平行公理和平面基本性質(zhì)為基礎(chǔ)進(jìn)一步學(xué)習(xí)平行直線的性質(zhì)，把平行公理和平行線的傳遞性推廣到空間并引出平移概念，了解了平移的初步性質(zhì) 在這一節(jié)還由直線平行的性質(zhì)學(xué)習(xí)異面直線及其夾角的概念要求學(xué)生正確掌握空間平行直線性質(zhì)和異面直線及其夾角的概念，這樣就為學(xué)生學(xué)習(xí)向量和空間圖形的性質(zhì)打下了基礎(chǔ)教學(xué)過程 ：一、復(fù)習(xí)引入：把一張紙對折幾次，為什么它們的折痕平行？（答：把一張長方形的紙對折兩次，打開后得4 個全等的矩形，每個矩形的豎邊是互相平行的，再應(yīng)用平行公理，可得知它們的折痕是互相平行的）你還能舉出生活中的相關(guān)應(yīng)用的例子嗎？二、講解新課：1

3、 空間兩直線的位置關(guān)系（ 1）相交 有且只有一個公共點；（ 2）平行 在同一平面內(nèi)，沒有公共點；（ 3）異面 不在任何 一個平面內(nèi)，沒有公共點；2 平行直線（ 1）公理 4 ：平行于同一條直線的兩條直線互相平行推理模式：a / b,b / ca / c 說明：（ 1）公理 4 表述的性質(zhì)叫做空間平行線的傳遞性；（ 2）幾何學(xué)中，通常用互相平行的直線表示空間里一個確定的方向；（ 3）如果空間圖形F 的所有點都沿同一個方向移動相同的距離到F 的位置，則就說圖形F作了一次平移（ 2）空間四邊形： 順次連結(jié)不共面的四點 A,B,C,D 所組成的四邊形叫空間四邊形，相對頂點的連線 AC,BD 叫空間四邊

4、形的對角線（ 3）等角定理： 如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等分析：在平面內(nèi)，這個結(jié)論我們已經(jīng)證明成立了在空間中，這個結(jié)論是否成立，還需通過證明要證明兩個角相等，常用的方法有：證明兩個三角形全等或相似，則對應(yīng)角相等；證明兩直線平行，則同位角、內(nèi)錯角相等；證明平行四邊形，則它的對角相等，等等根據(jù)題意，我們只能證明兩個三角形全等或相似，為此需要構(gòu)造兩個三角形，這也是本題證明的關(guān)鍵所在已知：BAC和BAC求證：BACBAC的邊 AB / A B , AC / A C ，并且方向相同，證明：在BAC 和 B A C 的兩邊分別截取 ADAD ,AE AE ，AD/

5、AD,AD AD ，E C A D DA 是平行四邊形，AD BC AA /DD ,AADD，同理 AA / EE , AAEE ，EDAB EE / DD ,EEDD，即 D E ED 是平行四邊形， EDED ，ADEADE，所以，BACBAC (4) 等角定理的推論: 如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行, 那么這兩條直線所成的銳角(或直角 ) 相等 .指出 : 等角定理及其推論, 說明了空間角通過任意平行移動具有保值性, 因而成為異面直線所成角的基礎(chǔ) .3. 空間兩條異面直線的畫法abD1C1A1B1bbaaDCAB4異面直線定理： 連結(jié)平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面內(nèi)不

6、經(jīng)過此點的直線是異面直線推理模式： A, B,l, BlAB 與 l 是異面直線證明 ：（反證法）假設(shè)直線 AB 與 l 共面， B,l, B l ，點 B 和 l 確定的平面為，直線 AB 與 l 共面于， A，與 A矛盾，所以， AB 與 l 是異面直線5異面直線所成的角：已知兩條異面直線a, b ，經(jīng)過空間任一點 O 作直線 a / a, b / b ， a ,b 所成的角的大小與點 O 的選擇ab無關(guān)，把 a , b 所成的銳角（或直角）叫異面直線a, b 所成的角bO（或夾角）為了簡便，點O 通常取在異面直線的一條上異面直線所成的角的范圍：(0,26 異面直線垂直：如果兩條異面直線所

7、成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直兩條異面直線a, b 垂直，記作ab 7求異面直線所成的角的方法：（ 1）通過平移，在一條直線上找一點，過該點做另一直線的平行線；（ 2）找出與一條直線平行且與另一條相交的直線，那么這兩條相交直線所成的角即為所求三、講解范例：例 1 已知四邊形ABCD是空間四邊形， E、H 分別是 AB、AD的中點， F、G分別是邊 CB、CD上的點，且 CFCG2 ，CBCD3求證：四邊形EFGH是梯形AEH分析：梯形就是一組對邊平行且不相等的四邊形考慮哪組BD對邊會平行呢？為什么？ （平行公理） 證明對邊不相等可GF以利用平行線分線段成比例證明：如圖，連接BDC EH是

8、ABD的中位線， EH/BD,EH= 1 BD.2又在 BCD中， CFCG2 ， FG/BD,FG= 2 BD.CBCD33根據(jù)公理4， EH/FG又 FG EH,四邊形EFGH的一組對邊平行但不相等例 2 如圖， A 是平面 BCD 外的一點 G, H 分別是ABC , ACD 的重心，求證： GH / BD 證明：連結(jié) AG , AH 分別交 BC, CD 于 M , N ，連結(jié) MN ， G, H 分別是 ABC,ACD 的重心，A M , N 分別是 BC, CD 的中點，GH MN / BD ，又 AGAH2，BDAMAN3MNGH /MN，由公理 4知GH /BDC例 3如圖，已

9、知不共面的直線a, b, c 相交于 O 點，M , P 是直線 a 上的兩點， N , Q 分別是 b,c 上的一點aP求證： MN 和 PQ 是異面直線M證（法一）：假設(shè) MN 和 PQ 不是異面直線，OQ c則 MN 與 PQ 在同一平面內(nèi)，設(shè)為Nb， M , P a, M , P， a，又 o a ， o， N,O b, Nb ， b，同理 c， a, b, c 共面于，與已知 a,b,c 不共面相矛盾，所以， MN 和 PQ 是異面直線（法二）： a I cO ，直線 a, c 確定一平面設(shè)為， Pa, Qc ， P,Q， PQ且 M, MPQ ，又 a, b, c 不共面， Nb

10、， N，所以， MN 與 PQ 為異面直線DC例 4 正方體 ABCDA B C D 中那些棱所在的直線與直線 BAA是異面直線？求 BA 與 CC 夾角的度數(shù)那些棱所在的直線與直線BAA 垂直？BA 成異面直線的有DC解：（ 1）由異面直線的判定方法可知，與直線AB直線 BC ,AD,CC ,DD ,DC,DC ，（ 2）由 BB / CC ，可知B BA 等于異面直線BA 與 CC 的夾角，所以異面直線 BA 與 CC 的夾角為45o （3）直線 AB, BC,CD, DA, A B , B C ,C D ,D A 與直線 AA 都垂直例 5 兩條異面直線 的公垂線指的是(A) 和兩條異面

11、直線都垂直的直線(B) 和兩條異面直線都垂直相交的直線(C) 和兩條異面直線都垂直相交且夾在兩交點之間的線段(D) 和兩條異面直線都垂直的所有直線答案： B例 6 在棱長為a 的正方體中，與AD成異面直線且距離等于a 的棱共有(A)2條(B)3條(C)4條(D)5條答案： BB 1, CC 1, A1B1, C1D1 共四條 故選 C.例 7 若 a、b 是兩條異面直線， 則下列命題中， 正確的是(A) 與 a、 b 都垂直的直線只有一條(B)a 與 b 的公垂線只有一條(C)a 與 b 的公垂線有無數(shù)條(D)a 與 b 的公垂線的長就是a、 b 兩異面直線的距離答案： B例 8 已知正方體

12、ABCD A 1B 1C1D1 的棱長為 a，則棱 A 1B1 所在直線與面對角線 BC 1 所在直線間的距離是( )()()()D1C1A1B1DCAB（ A ）2 a（ B） a（ C） 2a（ D ） a22答案： A四、課堂練習(xí) ：課堂小練習(xí)1 判斷下列命題的真假，真的打“” ，假的打“×”（ 1）平行于同一直線的兩條直線平行.（）（ 2）垂直于同一直線的兩條直線平行.（）（ 3）過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行.（）（ 4）與已知直線平行且距離等于定長的直線只有兩條.（）（ 5）若一個角的兩邊分別與另一個角的兩邊平行，那么這兩個角相等（）（ 6）若兩條相交直線和

13、另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等 .（）（ 7）向量AB與A1B1，AC與A1C1 是兩組方向相同的共線向量，那么BACB AC1（）11答案：（ 1）（ 2）×（ 3）（ 4）×（ 5）×（ 6）（ 7）2選擇題（ 1）“ a，b 是異面直線”是指 ab=且 a 不平行于 b； a平面， b平面 且 a b= a平面， b平面 不存在平面，能使 a且 b成立上述結(jié)論中，正確的是（）（ A）（ B）（C）（ D）（ 2）長方體的一條對角線與長方體的棱所組成的異面直線有（）（A）2 對（B）3 對（C）6 對（D） 12 對（ 3）兩條

14、直線 a, b 分別和異面直線c, d 都相交，則直線 a，b 的位置關(guān)系是 （）（ ）一定是異面直線（ ）一定是相交直線AB（ C）可能是平行直線（ D）可能是異面直線，也可能是相交直線（ 4）一條直線和兩條異面直線中的一條平行, 則它和另一條的位置關(guān)系是 ( )（ A）平行（ B）相交（C）異面（ D）相交或異面答案：（ 1）C（ 2） C（ 3） A（ 4） D3兩條直線互相垂直，它們一定相交嗎？答： 不一定，還可能異面4. 垂直于同一直線的兩條直線，有幾種位置關(guān)系？答： 三種：相交，平行，異面5畫兩個相交平面，在這兩個平面內(nèi)各畫一條直線使它們成為（1）平行直線；（ 2）相交直線；（ 3

15、）異面直線解：6選擇題（ 1）分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線間的位置關(guān)系是（ ）（ ）異面 （ ）平行（ ）相交（ ）以上都有可能ABCD（ 2）異面直線a, b 滿足 a, b , =l ，則 l與 a, b 的位置關(guān)系一定是（）（ ）至多與a，b中的一條相交（）l至少與a，b中的一條相交A lB（ C） l 與 a， b 都相交（ D） l至少與 a， b 中的一條平行（ 3）兩異面直線所成的角的范圍是（）（ A）（ 0°,90 °）（B） 0 ° ,90 ° ) （ C）（ 0° ,90 ° （ D） 0 ° ,90 &#

16、176; 答案（ 1） D（ 2）B（ 3）： C7判斷下列命題的真假，真的打“”，假的打“×”（ 1）兩條直線和第三條直線成等角，則這兩條直線平行（）（ 2）和兩條異面直線都垂直的直線是這兩條異面直線的公垂線（）（ 3）平行移動兩條異面直線中的任一條，它們所成的角不變（）（ 4）四邊相等且四個角也相等的四邊形是正方形（）答案：×，×，×五、小結(jié)：這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了兩條直線的位置關(guān)系（平行、相交、異面），平行公理和等角定理及其推論異面直線的概念、判斷及異面直線夾角的概念；證明兩直線異面的一般方法是“反證法”或“判定定理”；求異面直線的夾角的一般步驟是： “作證算答”六、課后作業(yè)：1如圖，有哪些直線和直線D1C 是異面直線，它們所成的角分別是什么？并求出這些角的大小2如圖正方體ABCDA1 B1C1 D1 中， E、F 分別為 D1C1 和 B1C1 的中點， P、 Q分別為 A1C1 與 EF、 AC與 BD的交點，（ 1）求證： D、 B、F、 E 四點共面；（ 2）若 A1C 與面 DBFE交于點 R，求證： P、 Q、 R三點共線提示：（ 1）證明四點共面，也就是證明什么？有什么公理或定理可用？（ 2）證明三點共線的方法是什么？想一想