861多元微分在幾何上的應(yīng)用

1、第六節(jié)一、空間曲線的切線與法平面一、空間曲線的切線與法平面二、曲面的切平面與法線二、曲面的切平面與法線 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 第八章 一、一、空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面過點(diǎn)過點(diǎn) m 與切線垂直的平面稱為曲線在該點(diǎn)的與切線垂直的平面稱為曲線在該點(diǎn)的法法平面平面.tm空間光滑曲線在點(diǎn)空間光滑曲線在點(diǎn) m 處的處的切線切線為此點(diǎn)處割線的極限為此點(diǎn)處割線的極限位置位置. .點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動畫開始或暫停設(shè)空間曲線的方程設(shè)空間曲線的方程)1()()()( tztytx ozyx(1)(1)式中的三個函數(shù)均可導(dǎo)式中的三個函數(shù)均可導(dǎo). .一、空間曲線的切線與法平面一、空間曲線的切線與法平

2、面m.),(0000tttzzyyxxm 對對應(yīng)應(yīng)于于;),(0000ttzyxm 對應(yīng)于對應(yīng)于設(shè)設(shè)m 考察割線趨近于極限位置考察割線趨近于極限位置切線的過程切線的過程zzzyyyxxx 000 上式分母同除以上式分母同除以, t ozyxmm 割線割線 的方程為的方程為mm ,000tzzztyyytxxx ,0,時時即即當(dāng)當(dāng) tmm 曲線在曲線在m m處的切線方程處的切線方程.)()()(000000tzztyytxx 切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量. . )(),(),(000tttt 法平面：過法平面：過m m點(diǎn)且與切線垂直的平面點(diǎn)且與切線

3、垂直的平面. .0)()()(000000 zztyytxxt 解解, 2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tty ,33tez , 1)0( x, 2)0( y, 3)0( z切線方程切線方程,322110 zyx法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即1.1.空間曲線方程為空間曲線方程為,)()( xzxy ,),(000處處在在zyxm,)()(100000 xzzxyyxx . 0)()()(00000 zzxyyxxx 法平面方程為法平面方程為切線方程為切線方程為特殊地：特殊地：2.2.空間曲線方程為空間曲線方程為,0),(0),

4、( zyxgzyxf切線方程為切線方程為,000000yxyxxzxzzyzyggffzzggffyyggffxx 法平面方程為法平面方程為. 0)()()(000000 zzggffyyggffxxggffyxyxxzxzzyzy 1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,zyxzdxdy ,zyyxdxdz ,1, 0, 1 t所求切線方程為所求切線方程為,110211 zyx法平面方程為法平面方程為, 0)1()2(0)1( zyx0 zx, 0)1, 2, 1( dxdy, 1)1, 2, 1( dxdz設(shè)曲面方程為設(shè)曲面方程為0),( zyxf),(),(),(000tttt 曲線在

5、曲線在m m處的切向量處的切向量在曲面上任取一條通過在曲面上任取一條通過點(diǎn)點(diǎn)m m的曲線的曲線,)()()(: tztytx 二、曲面的切平面與法線二、曲面的切平面與法線ntm),(),(),(000000000zyxfzyxfzyxfnzyx 令令則則,tn 切平面方程為切平面方程為0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxfyyzyxfxxzyxfzyx法線方程為法線方程為),(),(),(000000000000zyxfzzzyxfyyzyxfxxzyx ),(),(),(000000000zyxfzyxfzyxfnzyx 曲面在曲面在m m處的法向量即處的法向量即垂

6、直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量. .特殊地：空間曲面方程形為特殊地：空間曲面方程形為),(yxfz 曲面在曲面在m m處的切平面方程為處的切平面方程為,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在m m處的法線方程為處的法線方程為.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxf 令令)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面上點(diǎn)的切平面上點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量豎坐標(biāo)的增量的的全全微微分分在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)),(),(00yxyxfz 因為曲面在因為曲面在m m處

7、的切平面方程為處的切平面方程為,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff ),(00yxffxx ),(00yxffyy 其中其中解解, 1),(22 yxyxf)4 , 1 , 2()4 , 1 , 2(1,2,2 yxn,1, 2, 4 切平面方程為切平面方程為, 0)4()1(2)2(4 zyx, 0624 zyx法線方程為法線方程為.142142 zyx解解, 32),( xyezzyxfz, 4)0 , 2, 1( xf, 2)0 , 2, 1( yf, 0)0 , 2 , 1( zf令令切平面方程切平面方程法線方程法線方程, 0)0(0)2(2

8、)1(4 zyx, 042 yx.001221 zyx解解設(shè)設(shè) 為曲面上的切點(diǎn)為曲面上的切點(diǎn), ,),(000zyx切平面方程為切平面方程為0)(6)(4)(2000000 zzzyyyxxx依題意，切平面方程平行于已知平面，得依題意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx 因為因為 是曲面上的切點(diǎn)，是曲面上的切點(diǎn)，),(000zyx, 10 x所求切點(diǎn)為所求切點(diǎn)為滿足方程滿足方程),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx切平面方程切平面方程(1)(1)

9、切平面方程切平面方程(2)(2)空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線三、小結(jié)思考題思考題 如如果果平平面面01633 zyx 與與橢橢球球面面163222 zyx相相切切，求求 .思考題解答思考題解答,2,2,6000zyxn 設(shè)切點(diǎn)設(shè)切點(diǎn)),(000zyx依題意知切向量為依題意知切向量為3, 3 32236000 zyx ,00 xy ,300 xz 切點(diǎn)滿足曲面和平面方程切點(diǎn)滿足曲面和平面方程,016930169320202200020 xxxxxx . 2 練練 習(xí)習(xí) 題題.42 zyx6222 zyx22yxz )2 , 1 , 1(四、求球面四、求球面與拋物面與拋物面的交線在的交線在處的切線方程處的切線方程 .三、求出曲線三、求出曲線于平面于平面32,tztytx 上的點(diǎn)上的點(diǎn),使在該點(diǎn)的切線平行使在該點(diǎn)