2019真題匯編-平面解析幾何(答案解析版)

1、專題平面解析幾何1.【2019年高考全國I卷理數(shù)】已知橢圓C的焦點為F1( -1,0) , F2(1,0),過的直線與C交于A, B兩點.若I AF2 |二2 F2B I, ABl=IBFIl ,則C的方程為2A. y12B.=12 2C. £ 143【答案】B2 2X y JID.154【解析】法一：如圖，由已知可設(shè)F2 B = n ,貝V AF2 = 2n , BF1 = AB= 3n ,由橢圓的定義有 2a = BF1 + BF2 = 4n ,二 AR =2a AF? =2n .3在ARB中，由余弦定理推論得cos_ F1AB =2 2 24n 9n -9n2 2n 3n在厶A

2、F1 F2中，由余弦定理得4n2 4n2-2 2n 2n 1 = 4 ,解得 n =332.2a =4 n=23,. a=,3,. b2 = a2-c2 = 3-1 = 2 ,.所求橢圓方程為2 2X -1 ,故選B.3 2法二：由已知可設(shè) F2B = n ,則 AF2 =2 n, BFI= AB =3 n ,由橢圓的定義有2a=BF1BF2 = 4n ,二 AR =2a-AF2 =2n .在厶 AF1F2 和厶 BF1F2 中，由余弦定理得 I4；*42'2 n'2 c：SNAF2 ,In2 +4-2 n 2 8SBF2F1 =9n2又/AF2F1 , MBF2F1 互補，.

3、cos/AF2F1 亠 CoSMBF2F1 = O，兩式消去cos AF2F1, c0s BF2R ,得 3n26=11 n2 ,解得2a =4 n =2-,3,. a、, 3,. b2 = a2 - C2 = 3-1 = 2 ,.所求橢圓方程為=1，故選B.【名師點睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的 能力，很好地落實了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng).2.【2019年高考全國卷理數(shù)】若拋物線y2=2px( p>0)的焦點是橢圓X23p P2=1的一個焦點，則P=A. 2C. 4【答案】DB. 3D. 8【解析】因為拋物線=2 PX(P 0)的焦點,0)是橢

4、圓2 2X y1的一個焦點，所3p P以 3p -p =(-)2 ,解得 P =8 ,故選 D.2【名師點睛】本題主要考查拋物線與橢圓的幾何性質(zhì)，滲透邏輯推理、運算能力素養(yǎng).解答時，禾U用拋物線與橢圓有共同的焦點即可列出關(guān)于P的方程，從而解出 P,或者利用檢驗排除的方法，如 P =2時，拋物線焦點為(1, 0),橢圓焦點為(± 2, 0),排除A,同樣可排除B, C,從而得到選D.3.【2019年高考全國卷理數(shù)】2設(shè)F為雙曲線C： %a2b1(a o,b 0)的右焦點,坐標(biāo)原點，以O(shè)F為直徑的圓與圓2 + y2 =a2交于P, Q兩點.若PQ = OF ,貝y C的離心率為A- 2C

5、. 2D. ,5【答案】A【解析】設(shè)PQ與X軸交于點A ,由對稱性可知PQ _ X軸,又；PQ =OFc,PA=c,. PA為以O(shè)F為直徑的圓的半徑,2.I I C JCC IOA 2，P 2,2 ，又P點在圓x2 y2 = a上，2 2C C 2a442 2即乳幾斧24#先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾運算繁瑣，準(zhǔn)確率大大降低，雙曲線離心率問題是 圓錐曲線中的重點問題，需強化練習(xí)，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來解答本題時，準(zhǔn)確畫圖，由圖形對稱性得出可求雙曲線的離心率.4.【2019年高考全國川卷理數(shù)】雙曲線C：P點坐標(biāo)，代入圓的方程得到 C與a的關(guān)系,2 2X =1的右焦點為F,點P

6、在C的一條漸4 2近線上，O為坐標(biāo)原點，若 PO = PF ,則 PFO勺面積為A.【答案】A【解析】由 a =2,b = 2, c= Ja2 +b2 =6, ；IPOl=IPFl ,二 XP=£ ,又P在C的一條漸近線上，不妨設(shè)為在by X上，則a11二 Smfo =1OF DP=丄匯 J6x<3=3 ,故選 A2 224【名師點睛】本題考查以雙曲線為載體的三角形面積的求法，滲透了直觀想象、邏輯推 理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)采取公式法，利用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸和方程思想解題忽視圓 錐曲線方程和兩點間的距離公式的聯(lián)系導(dǎo)致求解不暢，采取列方程組的方式解出三角形 的高，便可求三角形面積.5.

7、【2019年高考北京卷理數(shù)】已知橢圓2 2X y11a b(a> b> 0)的離心率為A. a2=2b2B.3a2=4b2C. a=2bD.3a=4b【答案】BC【解析】橢圓的離心率 e =a1 2,c2-a - b2，化簡得 3a? = 4b ,故選B.?基本運【名師點睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，屬于容易題，注重基礎(chǔ)知識算能力的考查由題意利用離心率的定義和a,b,c的關(guān)系可得滿足題意的等式C:6 .【2019年高考北京卷理數(shù)】數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線2 2X y =1|X| y就是其中之一(如圖).給出下列三個結(jié)論:曲線C恰好經(jīng)過6個整點曲線C上任意一

8、點到原點的距離都不超過,2 ；曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.其中，所有正確結(jié)論的序號是AVC.D【答案】C【 解 析 】 由 X y2 = x y 得-Xy = X23x2所以X可取的整數(shù)有0, -1, 1,從而曲線C : X2 y Vx y恰好經(jīng)過（0 , 1）,（0 , -1）, (1 , 0) , (1 , 1) , ( -1, 0) , (-1, 1),共 6 個整點，結(jié)論正確.2222 2+v222由X +y =1 + x y得，X +y , 1+J ,解得x+y蘭2 ,所以曲線C上任意2點到原點的距離都不超過 、2結(jié)論正確如圖所示，易知 A 0,-1 ,B 1,0 ,C

9、1,1, ,D 0,1 ,1 3四邊形ABCD的面積S四邊形ABCD=I 1 1 1 1,很明顯“心形”區(qū)域的面積大于2 22S形ABCD ,即“心形”區(qū)域的面積大于3,說法錯誤.故選C.【名師點睛】本題考查曲線與方程 ？曲線的幾何性質(zhì)，基本不等式及其應(yīng)用，屬于難題，注重基礎(chǔ)知識？基本運算能力及分析問題、解決問題的能力考查，滲透“美育思想”將所給方程進行等價變形確定X的范圍可得整點坐標(biāo)和個數(shù)，結(jié)合均值不等式可得曲線上的點到坐標(biāo)原點距離的最值和范圍，利用圖形的對稱性和整點的坐標(biāo)可確定圖形面積的 范圍7【2019年高考天津卷理數(shù)】已知拋物線y2 =4x的焦點為F ,準(zhǔn)線為I ,若I與雙曲線2 2X

10、y -豈=d(a 0,b 0)的兩條漸近線分別交于點 A和點B ,且IAB =4 OF | ( O為 a b原點)，則雙曲線的離心率為A. .、2C. 2【答案】DB., 3D.5【解析】拋物線y2 =4x的準(zhǔn)線I的方程為X = -I ,雙曲線的漸近線方程為y= -X ,a 則有 A( -1,b), B(-1b),aaABI=些,空=4 ,a aC . a2 b2- e = = = 5a a故選D.【名師點睛】本題考查拋物線和雙曲線的性質(zhì)以及離心率的求解,解題關(guān)鍵是求出 AB的長度解答時，只需把AB=40F用a,b,c表示出來，即可根據(jù)雙曲線離心率的定義求得離心率&【2019年高考浙江

11、卷】漸近線方程為 X ± y=0的雙曲線的離心率是A.B. 1C. , 2【答案】CD. 2【解析】因為雙曲線的漸近線方程為X - y = 0 ,所以a = b ,則Ca2 b2 、2a，所以雙曲線的離心率 e = & 2.故選c.a【名師點睛】 本題根據(jù)雙曲線的漸近線方程可求得a = b,進一步可得離心率， 屬于容易題，注重了雙曲線基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查.理解概念，準(zhǔn)確計算，是解答此類問題的基本要求.部分考生易出現(xiàn)理解性錯誤 .9.【2019年高考浙江卷】 已知圓C的圓心坐標(biāo)是（O, m）,半徑長是r.若直線2x _ y 3 = 0與圓C相切于點 A(2, 1),則m

12、=, r =【答案】-2 , 、5【解析】由題意可知kAC蘭一A ACyI =12（x2）,把（Q m代入直線AC的方程得 m - -2 ,此時 r =I ACI= 、廠5 【名師點睛】本題主要考查圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系首先通過確定直線 AC的斜率，進一步得到其方程，將 （0,m）代入后求得m ,計算得解解答直線與圓的位置關(guān) 系問題，往往要借助于數(shù)與形的結(jié)合，特別是要注意應(yīng)用圓的幾何性質(zhì)2 210.【2019年高考浙江卷】已知橢圓 1的左焦點為F ,點P在橢圓上且在X軸的95上方，若線段 PF的中點在以原點 O為圓心，OFl為半徑的圓上，則直線 PF的斜率 是.【答案】.15【解析】方法

13、1：如圖，設(shè)F1為橢圓右焦點.由題意可知 OFFOM |= C= 2 ,由中位線定理可得PR =2| OM F4 ,設(shè)P(x, y),可得(x 2)2 + y2 =16 ,與方程-11聯(lián)立，可解得x-弓，X = 21 （舍），9 5 2 215,所以kPF 1又點P在橢圓上且在X軸的上方，求得 P 一3,15I 2 2丿方法2：（焦半徑公式應(yīng)用）由題意可知IoFI=IoM I= C= 2 ,3由中位線定理可得 PF1 =20M I= 4 ,即a-exp =4= Xp ：5, 3 x75 從而可求得P , ，所以kpF = 15.I 22丿PF12【名師點睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的幾

14、何性質(zhì)、圓的方程與性質(zhì)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合思想，是解答解析幾何問題的重要途徑結(jié)合圖形可以發(fā)現(xiàn)，利用三角形中位線定理，將線段長度用圓的方程表示，與橢圓方程聯(lián)立可進一步求解 也可利用焦半徑及三角形中位線定理解決，則更為簡潔2 211.【2019年高考全國川卷理數(shù)】設(shè) F, F2為橢圓C: += 1的兩個焦點，M為C上一3620點且在第一象限.若厶MF1F2為等腰三角形，則 M的坐標(biāo)為.【答案】3,-15【解析】由已知可得 a2 = 36, b2 = 20 , c2 = a2 - b2 = 16 , c = 4 ,二 MFII=IF1F2 =2c = 8, MF2 =4 .、 一 1設(shè)點 M的坐標(biāo)為

15、（X。，y0後 x0 A O ,y0> 0 ）,則SAmf1F2= FIF2 4 y0 ，1 2 2又 SaMF1F2 壬 4 .82 -22 =4 .15 ,. 4y。=4 15 ,解得 y°r15 , 2x! .15 _ 1 ,解得 x3 （ XO = -3 舍去）,3620 一M的坐標(biāo)為3,15 .【名師點睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好地落實了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng).解答本題時，根據(jù)橢圓的定義分別求出MF1、MF2 ,設(shè)出M的坐標(biāo)，結(jié)合三角形面積可求出M的坐標(biāo).2 212.【2019年高考全國I卷理數(shù)】已知雙曲線C:

16、Xy _爲(wèi)=1心.0,b 0）的左、右焦點a bF1B F2 B = 0 ,則C的離心率為A, B 兩點.若 FIA = AB ,分別為F1, F2 ,過F1的直線與 C的兩條漸近線分別交于【答案】2【解析】如圖，由F1A = AB）得 RA= AB.又 OR = OF?,得OA是三角形FB的中位線，即 BF?/ OA,BF2 =2OA.由 F1B F2B=O ,得 RB _ F Br OA _ FA,OB =OF1 , AOB= AOF1,又OA與 OB都是漸近線，得 BOF2 =/AOF1,又 NBOF2+NAOB+NAOF1 = , .藝BOF2 =NAOF1 =NBOA = 60又漸近

17、線OB的斜率為一 =tan603 ,二該雙曲線的離心率為ae 竺1 J）2 = 1（、3）2 =2 .a a【名師點睛】本題結(jié)合平面向量考查雙曲線的漸近線和離心率，滲透了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，采取幾何法，利用數(shù)形結(jié)合思想解題.解答本題時，通過向量關(guān)系得到FiA = AB和OA _ FiA ,從而可以得到.AOB =/AOFi ,再結(jié)合雙曲線的漸近線可得._BOF2 = AOFi,進 而得到BOF. AOFI= . BOA= 60 ,從而由b=t a n 6 0三可求離心率.a213. 【2019年高考江蘇卷】在平面直角坐標(biāo)系XOy中，若雙曲線x2-y2=i(b . 0)經(jīng)過點(3,

18、 4),則該雙曲線的漸近線方程是.【答案】42 _ _【解析】由已知得32 - 一2 = 1 ,解得b = . 2或b = - . 2 ,b因為b 0 ,所以b 2因為a =1 ,所以雙曲線的漸近線方程為 y = .2x.【名師點睛】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，往往以小題的形式考查，其難度一般較小，是高考必得分題.雙曲線漸近線與雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的a,b密切相關(guān)，事實上，標(biāo)準(zhǔn)方程中化1為0,即得漸近線方程.414. 【2019年高考江蘇卷】在平面直角坐標(biāo)系 XOy中，P是曲線y = x (X 0)上的一個X動點，則點P到直線x+y=0的距離的最小值是 .【答案】44【解析】當(dāng)直線x+y=0平移到

19、與曲線y=x 相切位置時，切點 Q即為點P,此時到直X線x+y=0的距離最小.由 y'1=T ,得 X = &(X = -.2 舍) , y =3& ,即切點 Qc"2,3-2),X2+32則切點Q到直線x+y=0的距離為4 ,故答案為4 .【名師點睛】本題考查曲線上任意一點到已知直線的最小距離，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).采取導(dǎo)數(shù)法和公式法，利用數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題15. 【2019年高考全國I卷理數(shù)】已知拋物線C: y2=3x的焦點為F,斜率為-的直線l與C的交點為A, B,與X軸的交點為P.(1)若 I AF+ BF=4 ,求 I 的方程；(2

20、)若 AP =3PB ,求 |AB .【答案】(1) y =3X-7 ；2 8(2)4.133【解析】設(shè)直線3I : y 二尹 t, A x1,y1 ,B X2,y2 .(1)由題設(shè)得F 3,014,故 | AF| BF x< X2 -,由題設(shè)可得 x1x-J224r 3V X t由y 2 ,可得2y=3x9x2 12(t -1)X 4t2 =0 ,則 x1 X2 = 12(t -I)132,從而3所以I的方程為y X-2 8(2)由APtPB 可得 yr® .y X t2y2 =3x由 2 ,可得 y -2y 2t =0 .所以 y1 y2 =2 .從而 -3y2 y2 =

21、2 ,故 y2 = -1,y1 = 3.代入C的方程得X1 =3,X2 =1 .3故 IABI =4 133【名師點睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的綜合應(yīng)用問題， 涉及平面向 量、弦長的求解方法，解題關(guān)鍵是能夠通過直線與拋物線方程的聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造等量關(guān)系16.【2019年高考全國卷理數(shù)】已知點A：-2, 0) , B(2 , 0),動點MX, V滿足直線 AM1與BM的斜率之積為-丄記M的軌跡為曲線 C2(1) 求C的方程，并說明C是什么曲線；(2) 過坐標(biāo)原點的直線交 C于P, Q兩點，點P在第一象限，PEX軸，垂足為E,連結(jié)QE并延長交C于點G (i )證明： P

22、QG是直角三角形;(ii )求厶PQG面積的最大值【答案】16(1)見解析；(2).9【解析】2 2(1)由題設(shè)得一yy1 ,化簡得-y1(|x卜2),所以C為中x+2 X-2242心在坐標(biāo)原點，焦點在 X軸上的橢圓，不含左右頂點.(2)( i )設(shè)直線PQ的斜率為k ,則其方程為y = kx(k 0).y = kx2由X2 y2 得 一+L=1+2k2.422記 U2 ,則 P(u,uk), Q( -UUk), E(u,0).Jl+2k2kk于是直線QG的斜率為仝，方程為y ( 一 U).22y =尹-u), 由22 得X-422 2 2 2 2(2 k )x -2uk XkU -8 =O

23、設(shè)G(XG ,yG),貝U -U和XG是方程的解，故2u(3k 2)2 k2,由此得yG =Uk從而直線PG的斜率為uk32 k2-Uku(3k22)2 k2-U2 .15所以PQ _ PG ,即 PQG是直角三角形.(ii )由(i )得 |PQ2u .k2，IPGl= 2u；：2 -,所以 PQG勺面積1918(K k)1S弓Pa PGI=8k(1 k2)22-(1 2k2)(2 k2)設(shè)t=k+-,則由k>0得t 2,當(dāng)且僅當(dāng)k=1時取等號. k8+因為S2在2 , +)單調(diào)遞減，所以當(dāng) t=2,即k=1時，S取得最大值，最大1+2t2值為169因此， PQGr積的最大值為169【

24、名師點睛】 本題考查了求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及利用直線與橢圓的位置關(guān)系，判斷三角形形狀以及三角形面積最大值問題,考查了數(shù)學(xué)運算能力，考查了求函數(shù)最大值問題17.【2019年高考全國川卷理數(shù)】已知曲線C的兩條切線，切點分別為 A, B.(1)證明：直線AB過定點：C y=- , D為直線y=-1上的動點，過2 25(2)若以E(0 ,-)為圓心的圓與直線2ADB啲面積.AB相切，且切點為線段 AB的中點，求四邊形【答案】(1)見詳解；(2) 3或4 2.【解析】(1)設(shè) D t,-1 , A x1y ,則 X2 =2%.I 2丿由于y= ,所以切線DA勺斜率為x1 .整理得 2 tx1 -2 y1

25、+1=0.設(shè) B X2,y2 ,同理可得 2tX2 -2 y2+1=0 .故直線AB的方程為2tx_2y 1=01所以直線AB±定點(0 -).，21(2)由(1)得直線AB勺方程為y "X .2丄1=tx2X22可得 X -2tx -1=0.于是x1x2= 2t,x1x2=-1,y1y2= tx1X21 = 2t2 1,| AB|=+t2 X1 -X2 = J1 +t2 KJ(X1 +X2 丫 4X1X2 = 2(t2 +1 )2設(shè)d11d2分別為點D E到直線AB勺距離，則d t2 1, d2 LJt2 +1因此，四邊形 ADB的面積 S=IlABld1 d2 = t2

26、 3 、t2 1 .2設(shè)M為線段AE的中點，則M t,t2 1.:EM _ AB ,而 EM= t,t2 一2，由于EM _AB與向量(1, t)平行，所以t t2 - 2 t = 0 .解得t=0或t »1.當(dāng) t=0時，S=3;當(dāng) t = 1 時，S =4'.2.因此，四邊形ADB的面積為3或4 2.【名師點睛】此題第一問是圓錐曲線中的定點問題，第二問是求面積類型，屬于常規(guī)題型，按部就班地求解就可以，思路較為清晰，但計算量不小18.【2019年高考北京卷理數(shù)】已知拋物線C x2=-2py經(jīng)過點(2, -1).(1) 求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；(2) 設(shè)O為原點，過拋物

27、線 C的焦點作斜率不為 0的直線I交拋物線C于兩點M N, 直線y=-1分別交直線 OM ON于點A和點B.求證：以 AB為直徑的圓經(jīng)過 y軸上的兩 個定點.【答案】(1)拋物線C的方程為X2 = -4y ,準(zhǔn)線方程為y =1 ; (2)見解析.【解析】(1)由拋物線C : X2 - -2py經(jīng)過點(2, -1),得P =2.所以拋物線C的方程為2=-4y ,其準(zhǔn)線方程為y=1.(2)拋物線C的焦點為F(0, -1).設(shè)直線I的方程為y = kx 一 1(k = 0).由Xk4y,得 2m.設(shè) M X1,y1 , N X2, y2 ,則 xx -4.直線OM的方程為y =上X.X令y = -1

28、 ,得點A的橫坐標(biāo)XA-y同理得點B的橫坐標(biāo)XB-y2設(shè)點 D(0, n),則 DA =/ 、X1-,_1 _ nT,DB =f、X2-，_1_ nJ y1丿< y2丿DA DB 竺(n 1)2y”2X1X2Z 2 V-X1-2、X2'、4 J4丿(n 1)2二匹(n FX1X22= -4 ( n 1).令 DA DB = 0,即卩 一4 (n 1)2 =0 ,貝U n綜上，以 AB為直徑的圓經(jīng)過 y軸上的定點(0,1)和(0, -3).【名師點睛】本題主要考查拋物線方程的求解與準(zhǔn)線方程的確定，直線與拋物線的位置關(guān)系，圓的性質(zhì)及其應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力X

29、2 y219. 2019年高考天津卷理數(shù)】設(shè)橢圓 盲+七=1(a Ab A0)的左焦點為F ,上頂點為B 已a b知橢圓的短軸長為4,離心率為.5(1) 求橢圓的方程；(2) 設(shè)點P在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點，點 M為直線PB與X軸的交點，點N在y軸的負半軸上若IoN I=IoF | ( O為原點)，且OP _ MN ,求直線PB的斜率.【答案】/ 八X2 丄 y2彳2>30 十2/30(1)1 ;( 2)或5455【解析】(1)設(shè)橢圓的半焦距為C ,依題意，24,-5 ,又ab2 c2 ,可得a 5a =、5 , b=2, c=1 .2 2所以，橢圓的方程為 -y 1 .54(2

30、)由題意，設(shè)P XP P XPuo , M XM ,0 設(shè)直線PB的斜率為k k = 0 , 又B 0,2 ,則直線PB的方程為y = kx 2 ,y = kx 2,與橢圓方程聯(lián)立2y2整理得4 5k2 X2 20kx=0,+ = 154,可得XP二20k24 5k代入y = kx 2得yP8-10k22""4 5k進而直線OP的斜率yP _ 4-5k2XP-10k212在 y=kx2 中，令 y=0 ,得 xm.k由題意得N 0, -1 ,所以直線MN的斜率為- k .2絲，從而k4 -5k2'' k 由OP丄MN ,得,1 ,化簡得k2-10k I 2

31、丿所以，直線PB的斜率為0或-20【名師點睛】 本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程等基礎(chǔ)知識 考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì).考查運算求解能力，以及用方程思想解決問題的能力.2 220.【2019年高考江蘇卷】 如圖，在平面直角坐標(biāo)系 Xoy中，橢圓C篤十爲(wèi)=l(a a b > 0)a b的焦點為Fi (- 1、0), F2 (1, 0).過F2作X軸的垂線I，在X軸的上方，I與圓2 2 2F2：(X-1) +y =4a交于點A,與橢圓C交于點D連結(jié)AF并延長交圓F2于點B,連 結(jié)B交橢圓C于點E連結(jié) DF.已知DF= 5 .2(1) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2) 求點E的

32、坐標(biāo).223【答案】(1) y 1 ； (2) E(J-P).432【解析】(1)設(shè)橢圓C的焦距為2c.因為 F1(-1, 0) , F2(1 , 0),所以 F1F2=2, c=1.又因為 D=I , AR X 軸，所以 DF=JDFFFF = J(5)222 =寸，因此 2a=DF+DF=4 ,從而 a=2.由 b2=a2-c2,得 b2=3.2 2因此，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 =1.432 2(2)解法一：由(1)知，橢圓 C: =1 , a=2,43因為AF2丄X軸，所以點A的橫坐標(biāo)為1.將x=1代入圓F2的方程(x-1) 2+y2=16，解得y=± 4.因為點A在X軸上方，所以AI , 4).又 F(-1，0),所以直線 AF： y=2+2.y =2x 22由(X-1)2 y2.16，得 5x 6-10，解得 X"或 X =11代入y5=2x 2，得 y = _12511 12因此B(=上).553又 F2(1，0),所以直線 BF2： y (X -1).43y(X -I)4T 221_43,得 72 -6x -13 =0 ,解得 X 二-1 或 X = 13又因為E是線段B與橢圓的交點，所以 x = -1