南航理學(xué)院復(fù)變函數(shù)與積分變換積分變換第3講

1、1積分變換積分變換第第3講講本文件可從網(wǎng)址http:/上下載(單擊ppt講義后選擇工程數(shù)學(xué)子目錄)2傅氏變換的性質(zhì)3這一講介紹傅氏變換的幾個(gè)重要性質(zhì), 為了敘述方便起見, 假定在這些性質(zhì)中, 凡是需要求傅氏變換的函數(shù)都滿足傅氏積分定理中的條件, 在證明這些性質(zhì)時(shí), 不再重述這些條件.4線性性質(zhì) 設(shè)f1(w)=f f1(t), f2(w)=f f2(t), a,b是常數(shù), 則 f af1(t)+bf2(t)=af1(w)+bf2(w) (1.13)這個(gè)性質(zhì)的作用是很顯然的, 它表明了函數(shù)線性組合的傅氏變換等于各函數(shù)傅氏變換的線性組合. 它的證明只需根據(jù)定義就可推出.同樣, 傅氏逆變換亦具有類似的

2、線性性質(zhì), 即 f -1af1(w)+bf2(w)=af1(t)+bf2(t) (1.14)52. 位移性質(zhì))15.1()()(00tfettftjffwtjtuttuttfftfuufuufutttttfttf0000e)()()(ede)(ede)()(de)()(01jjj)(j0j00wwwwwwww-fff同理有令證 由傅氏變換的定義, 可知6微分性質(zhì) 如果f(t)在(-, +)上連續(xù)或只有有限個(gè)可去間斷點(diǎn), 且當(dāng)|t|+時(shí), f(t)0, 則f f (t)=jwf f(t).(1.17)證 由傅氏變換的定義, 并利用分部積分可得)(jde)(je)(de)()(jjjtfttftf

3、ttftftttffwwwww-推論f f(n)(t)=(jw)nf f(t).(1.18)7同樣, 我們還能得到象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式, 設(shè)f f(t)=f(w), 則)(j)()(dd,).(j)(ddtftfttffnnnnff-wwww有一般地8本書中的積分的記號有不嚴(yán)格的寫法, 即)(d)(ddd)(ddeeededed)(d)(,d)(d)(tfuuftttfteutuufttfuufttftttttututttttt-且有例如時(shí)必須將它理解為即我們看到的意思其實(shí)是94. 積分性質(zhì)-ttttttftftfttfttfttfttftgtd)(j)(),(d)(dd)19. 1 ().(j1

4、d)(0d)()(,ffffww因?yàn)樽C則時(shí)如果當(dāng)10例2 求微分積分方程)(d)()()(thttxctbxtxat-wwwwwwwwwwcabhxhxcbxxajj)()()()(j)()(的解, 其中-t0)令g(t)=u(t)e-bt, 則f(t)=g(t)+g(-t)tg(t)tg(-t)tf(t)ooo33因此有222j1j1)()()()(j1)()(j1)()(wbbwbwbwwbwwbw-ftgtgtfgtggtg34習(xí)題二 3.(2) f(t)=e-|t|cos t) 1() 1(21)(e)(e)(212ee)(cos)()(12)(e)(jjjj2| |-wwwwwggf

5、tgtgtgttgtfgtgttttt則令354424)2(42)22)(22(24) 1(12) 1(1221)(12)(e)(422222222222| |-wwwwwwwwwwwwwwwfgtgt36習(xí)題二 3.(3) 1() 1(2j)(e)(e)(2jj2ee)(sin)()(sinc2)()(|0|1)(|0|sin)(jjjj-wwwwwggftgtgtgttgtfgtgtttgttttftttt則令371sin2j1111)sin(j) 1()sin() 1()sin(jsinc2sinc22j) 1() 1(2j)(sinc2)()(2-wwwwwwwwwwwwwwwwggf

6、gtg38習(xí)題二 4題1|01|2/1)(211,1, 2,21,2|02|)()(,sincsin)(tttfeettetftff即得再由得而必是一個(gè)方波函數(shù)則ttttttwwww39習(xí)題二 5. f(w)=(w+w0)+(w-w0)ttfttttt0jj0j0jcosee21)()(2e)(2e)(211)(0000wwwwwwwwww-40習(xí)題二 6 f(t)=sgn twwj2)(2)(2)(fttf1-1tf(t)2tf (t)oo41習(xí)題二 7.2coscoseeee21)(e)(, 1)(22)()(21)(2j2jjjj00aaftttatatatattfaaaatwwwwwwww-42習(xí)題二 8. f(t)=cos t sin t)2()2(j2)()2(2e)2(2e),(21eej41eeeej41sincos2j2j2j2jjjjj-wwwwwwftttttttttt43習(xí)題二 9. f(t)=sin3t)1(3) 1(3)3()3(4j)()(2eee3e3e8jeej81sin0j3jjj3j3jj30-wwwwwwwwftttttttt由44